1) Under the conditions of Theorem 1, words of the form

Вестник Национальной инженерной академии Республики Казахстан. 2022. № 4 (86) 134

l l_x _x l_x

j1 j2… jt, (6) where j₁≤ j₂≤ ≤… j_t, t≥0, form the basis of the algebra LU(A).

2) Algebra LU(A) is the associative algebra with generators l_x, i≥1, and defining relations (4).

3) Under the conditions of Theorem 1, the algebra RU(A) is the free associative algebra with free set of generators

r r_x _x r_x

i1 i2,…, is,…. (7) Proof. By definition, LU(A) is the subalgebra of the associative algebra U(A) generated by the elements l_x, i≥1. Using relation (4), it is easy to show that any element of LU(A) is linearly expressed by words of the form (6). Words of the form (6) are part of the basis (3), consequently, they are also linearly independent and form the basis of LU(A). This implies the statement of the corollary. The statement 3) follows directly from Theorem 1. Corollary 1 is proved.

Affine automorphisms. Let k be an arbitrary field and let A₂ be a two-dimensional left- symmetric algebra over the field k with linear basis e, f and ef = fe=0. Then the universal multiplicative enveloping algebra U(A₂) of A₂ is generated by the operators r r l l_e, _f, ,_e _f and the relations (2) imply the defining relations of U(A₂)

l l_{x y} =l l_{y x}, r l_{x y} =l r_{y x} +r r_{x y}, x∈A₂. (8) Let e< f. Then, by Theorem 1, the basis of the algebra U A( ₂) consists of words of the form

l_e l l_e l r r r

f f

x_i x_i x_im

� …… �� …

1 2

, where x_i x_i e f s t m

1,…, ∈{ , }, , , ≥0.

Theorem 2. Let A₂ be the two-dimensional left-symmetric algebra over an arbitrary field k with linear basis e, f and ef = fe=0. If j is the linear automorphism of the universal multiplicative enveloping algebra U A( ₂) of A₂ then

ϕ α β

ϕ γ δ

ϕ α β

ϕ γ δ

( ) ,

l l l

r r r

e e f

f e f

e e f

f e f

= +

= + where α β

γ δ ≠0, α β γ δ, , , ∈k.

Proof. For convenience, denote r r l l_e, _f, ,_e _f by a b a b, , ′ ′, , respectively. By definition, U A( ₂) is the associative algebra with generators a b a b, , ′ ′, and defining relations

135 Zhangazinova D. M. е. а. Affine automorphisms of the universal multiplicative enveloping ...

b a′ ′ = ′ ′a b, (9) ab′ = ′ +b a ab, (10) ba′ = ′ +a b ba, (11) aa′ = ′ +a a a², (12) bb′ = ′ +b b b². (13) Let j be a linear automorphism of U(A₂) and

ϕ α β α β

ϕ α

( ) ,

( )

′ = + + ′ ′ + ′ ′

a a b a b

b a b a b

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

4 4 4 4

a b a b

b a b a b

+ + ′ ′ + ′ ′

= + + ′ ′ + ′ ′

β α β

ϕ α β α β

( ) ,

where

α β α β

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

4 4 4 4

′ ′

≠ . (14)

Since j is the automorphism of the algebra U(A₂) it follows from (13) that ϕ ϕ( ) ( )b b′ =ϕ( ) ( )b′ ϕ b +ϕ( ) ,b ²

i.e.,

( )( )

(

α β α β α β α β

α β α

4 4 4 4 2 2 2 2

2 2 2

a b a b a b a b

a b a

+ + ′ ′ + ′ ′ + + ′ ′ + ′ ′

= + + ′ ′ + ′′ ′ + + ′ ′ + ′ ′ + + + ′ ′ + ′ ′ +

β α β α β

α β α β α β

2 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4

b a b a b

a b a b a b

)( )

( )( ++ ′ ′ + ′ ′α₄a β₄b).

(15)

Taking into account the defining relations (9) – (13), from (15) the equality follows (α α₂ ₄a²+ ′α α₂ ₄aa′ +α α₂ ₄′ ′ + ′ ′ ′ +a a α α₂ ₄a ²) (β β₂ ₄b²+ ′β β₂ ₄bb′ +β β₂ ′₄₄ ₂ ₄ ²

2 4 2

2 4 2 4 2 4

2 4 2 2

′ + ′ ′ ′

= + ′ ′ + ′ ′ + ′ ′ ′ +

b b b

a aa a a a a

β β

α α α α α α α α α

)

( ++ ′ ′ + ′ ′ + ′ ′

+ + ′ ′ + ′ ′ + ′

α α α α α

β β β β β β β

4 4 4 4 4

2 2

2 4 2

2 4 2 4 2

aa a a a

b bb b b

) ( β′′ ′ +₄b ² β₄²b²+β β₄ ′ ′ +₄bb β β₄ ′ ′ + ′ ′₄b b β₄²b²).

Applying (12) – (13) to the last equality, we obtain

( ) ( )

(

′ ′ + ′ + ′ ′ + ′ ′ + ′ + ′ ′

α α α α α α β β β β β β

2 4 2 4

2 4 2 4 2 4

2 2 4

a a a a a b b b b b

2 4 2 4

2 4 4

2 2

4 4 4 4

2 4

2 2

′ ′ + ′ + ′ ′ + +2 ′ ′ + ′ + ′ ′ α a a α α a α α a a α a α α a a α α a α a ) ++(β β₂ ′ ′ +₄b b β β₂ ′ + ′₄b² β β₂ ₄b b′ +β₄²b²+2β β₄ ′ ′ +₄b b β β₄ ′ + ′ ′₄b² β₄²bb ²).

Вестник Национальной инженерной академии Республики Казахстан. 2022. № 4 (86) 136

This equality can be written as

( )

(

α α α α α α α α α α

β β β β

2 4 4

4 4 2 4

4 4 4

2 2

2 4 4

2 4

′ + + ′ − ′ +2 ′ ′ + ′ ′

+ ′ + + ′

a a a a

ββ₄− ′β β₂ ₄)b²+2β β₄ ₄′ ′ + ′ ′ =b b β₄²b ² 0. This equality implies the equality system

′ = ′ =

− ′ =







α β

α α α

β β β

4 4

4 4 2

0 0 0 ,

( ) ,

( ) .

(16)

Taking into account the defining relations (9) – (13), from (15) the equality follows

( )

(

α β α β α β α β

α β α β α β

4 2 4 2 2 4 2 4

2 4 4 2 2 4

ab ab ba ba

ab ba a b

+ ′ ′ + + ′ ′

= + + ′ ′ + αα β₄ ₂′ ′ +b a α β₄ ₄ab+α β₄ ₄ba).

Applying (10) – (11) to the last equality, we obtain

( )

(

α β α β α β α β α β α β

α β

4 2 4 2 4 2 2 4 2 4 2 4

2 4

ab b a ab ba a b ba

+ ′ ′ + ′ + + ′ ′ + ′

= + αα β₄ ₂ba+ ′α β₂ ₄a b′ +α β₄ ₂′ ′ +b a α β₄ ₄ab+α β₄ ₄ba).

This equality can be written as

(α β₂ ₄+α β₄ ₄−α β₄ ₂−α β₄ ₂′)ab+(α β₄ ₂+α β₄ ₄−α β₂ ₄− ′α β₂ ₄)ba=0. Hence

α β β α β α β β α α α β α β

4 4 2 4 2 2 4

0 0

( ) ,

( ) .

− ′ − + =

− ′ + − =



 (17) Since j is the automorphism of the algebra U(A₂) it follows from (12) that

ϕ ϕ( ) ( )a a′ =ϕ( ) ( )a′ ϕ a +ϕ( ) ,a ² i.e.,

( )( )

(

α β α β α β α β

α β α

3 3 3 3 1 1 1 1

1 1 1

a b a b a b a b

a b a

+ + ′ ′ + ′ ′ + + ′ ′ + ′ ′ + + ′ ′ + ′ββ α β α β

α β α β α β

1 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3

′ + + ′ ′ + ′ ′ + + ′ ′ + ′ ′ + + ′

b a b a b

a b a b a b

)( )

( )( αα₃a′ + ′ ′β₃b).

(18)

Taking into account the defining relations (9) – (13), from (18) the equality follows

(α α₁ ₃a²+ ′α α₁ ₃aa′ +α α₁ ₃′ ′ + ′ ′ ′ +a a α α₁ ₃a ²) (β β₁ ₃b²+ ′β β₁ ₃bb′ +β β₁ ′₃₃ ₁ ₃ ²

1 3 2

1 3 1 3 1 3

2 3 2 2

′ + ′ ′ ′

= + ′ ′ + ′ ′ + ′ ′ ′ +

b b b

a aa a a a a

β β

α α α α α α α α α

)

( ++ ′ ′ + ′ ′ + ′ ′

+ + ′ ′ + ′ ′ + ′

α α α α α

β β β β β β β

3 3 3 3 3

2 2

1 3 2

1 3 1 3 1

aa a a a

b bb b b

) ( β′′ ′ +₃b² β₃²b²+β β₃ ′ ′ +₃bb β β₃ ′ ′ + ′ ′₃b b β₃²b ²).

137 Zhangazinova D. M. е. а. Affine automorphisms of the universal multiplicative enveloping ...

Applying (12) – (13) to the last equality, we obtain

( ) ( )

(

′ ′ + ′ + ′ ′ + ′ ′ + ′ + ′ ′

α α α α α α β β β β β β

1 3 1 3

1 3 1 3 1 3

2 1 3

a a a a a b b b b b

1 3 1 3

1 3 3

2 2

3 3 3 3

2 3

2 2

′ ′ + ′ + ′ ′ + +2 ′ ′ + ′ + ′ ′ α a a α α a α α a a α a α α a a α α a α a ) ++(β β₁ ′ ′ +₃b b β β₁ ′ + ′₃b² β β₁ ₃b b′ +β₃²b²+2β β₃ ′ ′ +₃b b β β₃ ′ + ′ ′₃b² β₃²bb ²).

This equality can be written as

( )

(

α α α α α α α α α α

β β β β

1 3 3

3 3 1 3

3 3 3

2 2

1 3 3

2 3

′ + + ′ − ′ +2 ′ ′ + ′ ′ + ′ + + ′

a a a a

ββ₃− ′β β₁ ₃)b²+2β β₃ ₃′ ′ + ′ ′ =b b β₃²b ² 0. Hence

′ = ′ =

− ′ =





 α β α α α β β β

3 3

3 3 1

0 0 0 ,

( ) ,

( ) .

(19)

(18) also implies the equality

( )

(

α β α β α β α β

α β α β α β

3 1 3 1 1 3 1 3

1 3 3 1 1 3

ab ab ba ba

ab ba a b

+ ′ ′ + + ′ ′

= + + ′ ′ + αα β_{3 1}′ ′ +b a α β₃ ₃ab+α β₃ ₃ba).

Applying (10) – (11) to the last equality, we obtain

( )

(

α β α β α β α β α β α β

α β

3 1 3 1 3 1 1 3 1 3 1 3

1 3

ab b a ab ba a b ba

+ ′ ′ + ′ + + ′ ′ + ′

= + αα β_{3 1}ba+ ′α β₁ ₃a b′ +α β_{3 1}′ ′ +b a α β₃ ₃ab+α β₃ ₃ba).

This can be written as

(α β₁ ₃+α β₃ ₃−α β α β_{3 1}− _{3 1}′)ab+(α β α β_{3 1}+ ₃ ₃−α β₁ ₃− ′α β₁ ₃)ba=0. Hence

α β β α β α β β α α α β α β

3 3 1 3 1 1 3

0 0

( ) ,

( ) .

− ′ − + =

− ′ + − =



 (20) Taking into account (14) and the first equalities of systems (16) and (19), we obtain

α β α β

3 3

4 4

1 1

2 2

⋅ ′ ′ 0

′ ′ ≠ . Consequently,

α β α β

α β

3 3

4 4

1 1

2 2

0 0

≠ ′ ′

′ ′ ≠

, . (21) Considering that j is the automorphism, it follows from (11) that

ϕ ϕ( ) ( )b a′ =ϕ( ) ( )a′ ϕb +ϕ ϕ( ) ( ),b a

Вестник Национальной инженерной академии Республики Казахстан. 2022. № 4 (86) 138

i.e.,

( )( )

( )(

α β α β α β

4 4 1 1 1 1

1 1 1 1 4

a b a b a b

a b a b a

+ + + ′ ′ + ′ ′

= + + ′ ′ + ′ ′ + ₄₄b)+(α₄a+β₄b)(α₃a+β₃b).

Opening the brackets, we get

(α α₁ ₄a²+ ′α α₁ ₄aa′ +) (β β₁ ₄b²+ ′β β₁ ₄bb′ +) (α β₄ ₁ab+α β₄ ₁′ ′ +ab α β₁ ₄baa ba

a a a a b b b

+ ′ ′

= + ′ ′ + + + ′ ′ +

α β

α α α α α α β β β β β β

1 4 1 4

1 4 3 4

1 4 2

1 4 3

)

( ) ( ₄₄ ²

1 4 4 1 1 4 4 1 4 3 3 4

ab ba a b b a ab ba

)

( ).

+ α β +α β + ′α β ′ +α β′ ′ +α β +α β

Applying (10) – (13) to the last equality, we obtain

( ) ( )

(

′ ′ + ′ + ′ ′ + ′

+ + ′ ′ + ′

α α α α β β β β

α β α β α

1 4 1 4

4 1 4 1 4

a a a b b b

ab b a ββ α β α β α β

α α α α β β

1 1 4 1 4 1 4

1 4 3 4

1 4

ab ba a b ba

a a a b b

+ + ′ ′ + ′

= ′ ′ + + ′ ′

)

( ) ( ++

+ + + ′ ′ + ′ ′ + +

β β

α β α β α β α β α β α β

3 4 2

1 4 4 1 1 4 4 1 4 3 3 4

ab ba a b b a ab ba

)

( ).

This equality can be written as

( ) ( )

( ) (

α α α α β β β β α β α β α β α β α

3 4 1 4

1 4 4 3 4 1 4 1 4

− ′ + − ′

+ + − − ′ +

a b

ab ββ α β₁+ ₃ ₄−α β₁ ₄− ′α β₁ ₄)ba=0. This implies the following equality system

α α α β β β

α β β α β α β β α α

4 3 1

4 3 1 4 1 1 4

4 3 1

0 0

( ) ,

(

− ′ =

− ′ − + =

− ′))+ − = .









 α β α β₄ ₁ ₁ ₄ 0

(22)

Considering that j is the automorphism, it follows from (10) that ϕ ϕ( ) ( )a b′ =ϕ( ) ( )b′ ϕ a +ϕ ϕ( ) ( ),a b i.e.,

( )( )

( )(

α β α β α β

3 3 2 2 2 2

2 2 2 2 3

a b a b a b

a b a b a

+ + + ′ ′ + ′ ′

= + + ′ ′ + ′ ′ + ₃₃b)+(α₃a+β₃b)(α₄a+β₄b).

Opening the brackets, we get

(α α₂ ₃a²+ ′α α₂ ₃aa′ +) (β β₂ ₃b²+ ′β β₂ ₃bb′ +) (α β₃ ₂ab+α β₃ ₂′ ′ +ab α β₂ ₃baa ba

a a a a b b b

+ ′ ′

= + ′ ′ + + + ′ ′ +

α β

α α α α α α β β β β β β

2 3 2 3

2 3 3 4

2 3 2

2 3 3

)

( ) ( ₄₄ ²

2 3 3 2 2 3 3 2 3 4 4 3

ab ba a b b a ab ba

)

( ).

+ α β +α β + ′α β ′ +α β′ ′ +α β +α β

Zhangazinova D. M. е. а. Affine automorphisms of the universal multiplicative enveloping ... 139

Applying (10) – (13) to the last equality, we obtain

( ) ( )

(

′ ′ + ′ + ′ ′ + ′

+ + ′ ′ + ′

α α α α β β β β

α β α β α

2 3 2 3

3 2 3 2 3

a a a b b b

ab b a ββ α β α β α β

α α α α β β

2 2 3 2 3 2 3

2 3 3 4

2 3

ab ba a b ba

a a a b b

+ + ′ ′ + ′

= ′ ′ + + ′ ′

)

( ) ( ++

+ + + ′ ′ + ′ ′ + +

β β

α β α β α β α β α β α β

3 4 2

2 3 3 2 2 3 3 2 3 4 4 3

ab ba a b b a ab ba

)

( ).

This can be written as

( ) ( )

( ) (

α α α α β β β β

α β α β α β α β α

3 4 2 3

2 3 3 4 3 2 3 2 3

− ′ + − ′

+ + − − ′ +

a b

ab ββ₂+α β₄ ₃−α β₂ ₃− ′α β₂ ₃)ba=0. Hence

α α α β β β

α β β α β α β β α α

3 4 2

3 4 2 3 2 2 3

3 4 2

0 0

( ) ,

(

− ′ =

− ′ − + =

− ′))+ − = .









 α β₃ ₂ α β₂ ₃ 0

(23)

It follows from (9) that

ϕ( ) ( )a′ ϕb′ =ϕ( ) ( ),b′ ϕ a′ i.e.,

( )( )

(

α β α β α β α β

α β α

1 1 1 1 2 2 2 2

2 2 2

a b a b a b a b

a b a

+ + ′ ′ + ′ ′ + + ′ ′ + ′ ′

= + + ′ ′ + ′′ ′β₂b)(α₁a+β₁b+ ′ ′ + ′ ′α₁a β₁b ).

Opening the brackets, we get

(α α₁ ₂a²+α α₁ ₂′ ′ + ′aa α α₁ ₂a a′ + ′ ′ ′ +α α₁ ₂a ²) (β β₁ ₂b²+β β₁ ₂′ ′ + ′bb β β₁ ₂₂ ₁ ₂ ²

1 2 1 2 2 1 2 1 1 2

′ + ′ ′ ′

+ + ′ ′ + + ′ ′ + ′ ′

b b b

ab ab ba ba a b

β β

α β α β α β α β α β

)

( ++ ′ ′ ′ ′ + ′ ′ + ′ ′ ′ ′

= + ′ ′ + ′ ′

α β α β α β

α α α α α α

1 2 2 1 2 1

1 2 2

1 2 1 2

a b b a b a

a aa a

)

( aa a b bb b b b

+ ′ ′ ′ + + ′ ′ + ′ ′ + ′ ′ ′ +

α α β β β β β β β β

α β

1 2 2

1 2 1 2 1 2

2 1

) ( )

( ++α β₂ ₁′ ′ +ab α β₁ ₂ba+ ′α β₁ ₂ba′ + ′α β₂ ₁a b′ + ′ ′ ′ ′ +α β₂ ₁a b α β₁ ′ ′ + ′₂b a α₁₁β₂′ ′ ′b a).

Applying (9) – (13) to the last equality, we obtain

( ) ( )

(

α α α α α α β β β β β β

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

2 1 2

′ ′ + ′ + ′ ′ + ′ ′ + ′ + ′ ′ +

a a a a a b b b b b

1β2ab+α β1 2′ ′ +b a α β1 2′ +ab α β2 1ba+ ′α β2 1a b′ + ′α β2 1ba+ ′α β1 2a b′ +α₂₂ ₁

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

2 1

′ ′

= ′ ′ + ′ + ′ ′ + ′ ′ + ′ +

α α α α α α β β β β β

b a

a a a a a b b b

)

( ) ( ′′ ′

+ + ′ ′ + ′ + + ′ ′ + ′ +

α β α β α β α β α β α β

2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2

b b

ab b a ab ba a b ba

)

( α β′′₂ ₁a b′ +α β₁ ′ ′₂b a).

Write this equality as

( ) ( )

( )

′ − ′ + ′ − ′

+ + ′ − − ′ +

α α α α β β β β α β α β α β α β

1 2 1 2

2 1 2 1 1 2 1 2

a b

ab ((α β₁ ₂+ ′ −α β₁ ₂ α β α β₂ ₁− ′₂ ₁)ba=0.

Вестник Национальной инженерной академии Республики Казахстан. 2022. № 4 (86) 140

Hence

′ − ′ =

+ ′ − + ′ = +

α α α α β β β β

α β β α β β

β α

1 2 1 2

2 1 1 1 2 2

2 1

0 0

0 ,

( ) ( ) ,

( ′′ − + ′ =







 α₁) β α₁( ₂ α₂) 0.

(24)

Let α₄ ≠0,β₄≠0. Then it follows from systems (16) and (22) that

′ = ′ = ′ = ′ =

α₁ α β₃, ₁ β α₃, ₂ α β₄, ₂ β₄. Considering all of this, systems (17), (20), (22), (23) imply the equality system

α β α β α β α β α β α β α β α β

2 4 4 2

1 3 3 1

1 4 4 1

2 3 3 2

0 0

− =









, ,

, .

(25)

Multiplying both parts of the second equality of system (25) by b₄ and applying the third equality of the same system, we obtain

β α β₁( ₄ ₃−α β₃ ₄)=0.

Analogically, multiplying both parts of the last equality of system (25) by a₄ and applying the first equality of this system, we obtain

α α β₂( ₄ ₃−α β₃ ₄)=0.

According to (21) α β₄ ₃−α β₃ ₄≠0. Then it follows from the last two equalities that β₁=α₂=0. Taking this into account, system (25) easily implies that α₁=β₂ =0.

Let α₄=0,β₄ ≠0 or α₄ ≠0,β₄=0. Then it follows from (21) that α₃≠0 or β₃≠0, respectively. It’s easy to see that systems (16), (17), (19), (20), (22), (23) imply

′ = ′ =

α₁ α β₃, ₁ β₃, α′ =₂ α β₄, ′ =₂ β₄ and α₁=α₂=β₁=β₂=0.

It is also easy to notice that for α₁=α₂=β₁=β₂=0 all equalities of the system (24) are satisfied. Consequently, if j is the linear automorphism of the algebra U(A₂) then

ϕ α β

( ) ,

′ = ′ + ′

= +

a a b

b a b

a a b

b a b

3 3

4 4

3 3

4 4

where α β α β

3 3

4 4

≠0. Theorem 2 is proved.

141 Zhangazinova D. M. е. а. Affine automorphisms of the universal multiplicative enveloping ...

Theorem 3. Let A₂ be the two-dimensional left-symmetric algebra over an arbitrary field k with linear basis e, f and ef = fe=0. If j is the affine automorphism of the universal multiplicative enveloping algebra U(A₂) of A₂ then

ϕ α β ν

ϕ γ δ µ

ϕ α β

ϕ γ δ

( ) ,

( )

l l l

r r r

e e f

f e f

e e f

f e

= + +

= +

= + _ff, where α β

γ δ ≠0, α β γ δ ν µ, , , , , ∈k.

Proof. As in the proof of Theorem 1 denote r r l l_e, _f, ,_e _f by a b a b, , ′ ′, , respectively. Let j be the affine automorphism of U(A₂) Then, by Theorem 1,

ϕ α β ν

ϕ γ δ ν

ϕ α β ν

ϕ γ δ

( ) ,

( )

′ = ′ + ′ +

= + +

= +

a a b

b a b

a a b

b a b

1 2 3

++ ν₄.

It’s easy to see that defining relations (9) – (13) imply the statement of this Theorem.

Theorem 3 is proved.

Let LU(A₂) and RU(A₂) be the left and the right universal multiplicative enveloping algebras of A₂ respectively.

Corollary 2. 1) LU(A₂) is the free associative commutative algebra with the free generators l l_e, _f over a field k;

2) RU(A₂) is the free associative algebra with the free generators r r_e, _f over a field k.

Let M be some variety of linear algebras over a field k. Let F_n =k x₁,…,x_n be the free algebra of the variety M with the set of free generators { ,x₁…,x_n}. Denote by Aut(F_n) the automorphism group of this algebra. The automorphism j of the algebra F_n such that ϕ( )x_i = f_i, 1≤ ≤i n, f_i∈F_n, is denoted by

ϕ =( ,f f₁ ₂,…,f_n).

The automorphism

σ α( , , )i f =( ,x x₁ ₂,…,x_i₋₁,αx_i+ f x, _i₊₁,…,x_n), where 0≠ ∈α k, f ∈k x x₁, ₂,…,x_i₋₁,x_i₊₁,…,x_n , is called elementary.

An automorphism represented as a composition of elementary automorphisms is called tame. Otherwise, it is called wild.

In 1953, van der Kalk [5] proved that the automorphisms of a polynomial algebra in two variables over an arbitrary field are tame. A similar result for the free associative

Вестник Национальной инженерной академии Республики Казахстан. 2022. № 4 (86) 142

algebras was obtained by L. Makar Limanov [7] and A.G. Cherniyakievich [6]. Moreover, the automorphism groups of these algebras are isomorphic.

Corollary 3. All automorphisms of the algebras LU(A₂) and RU(A₂) are tame. More- over,

Aut LU A( ( ₂))≅Aut RU A( ( ₂)).

This work was supported by the grant of the Ministry of Education and Science of the Republic of Kazakhstan (project AP08052290).

RefeRences

1 Segal D. Free Left-Symmetric algebras and an Analogue of the Poincre-Birkhoff-Witt Theorem, Jornal of Algebra, 164 (1994), 750-772.

2 Dzhumadil’daev A.S., Lofwall C. Trees, free right-symmetric algebras, free Novikov algebras and identities, Homology, Homotopy and Applications, 4(2) (2002), 165-190.

3 Dzhumadil’daev A.S. Minimal identities for right-symmetric algebras, J. Algebra, 225(1) (2000), 201-230.

4 Jung H.W.E. Uber ganze birationale Transformationen der Ebene, J. reine angew Math, 184 (1942), 161-174.

5 Van der Kulk W. On polynomial rings in two variables, Nieuw Archief voor Wisk, 1(3) (1953), 33-41.

6 Czerniakiewicz A.G. Automorphisms of a free associative algebra of rank 2, I, II, Trans. Amer.

Math. Soc., 160 (1971), 393-401; 171 (1972), 309-315.

7 Makar-Limanov L. The automorphisms of the free algebra of two generators, Funktsional.

Anal. i Prilozhen., 4(3) (1970), 107-108.

8 Makar-Limanov L., Turusbekova U., Umirbaev U. Automorphisms and derivations of free Poisson algebras in two variables, J. Algebra, 322(9) (2009), 3318-3330.

9 Cohn P.M. Subalgebras of free associative algebras, Proc. London Math. Soc., (1964), 618- 632.10 Lewin J. On Schreier varities of linear algebras, Trans. Amer. Math. Soc., (1968), 553-562.

11 Kurosh A.G. Nonassociative free algebras and free products of algebras, Mat. Sb., 20 (1947), 239-262.

12 Shirshov A.I. Subalgebras of free commutative and free anticommutative algebras, Mat. Sb., 34(76) (1954), 81-88 (in Russian).

13 Shirshov A.I. Subalgebras of free Lie algebras, Mat. Sb., 33(75) (1953), 441-452 (in Russian).

14 Witt E. Die Unterringe der freien Lieschen Rings, Math. Z., (1956), 195-216.

15 Mikhalev A.A. Subalgebras of free colored Lie superalgebras , Mat. Zametki, 37(5) (1985), 653-661.

16 Shtern А.S. Free Lie superalgebras, Sib. Mat. Zh., 27(1) (1986), 170-174.

17 Kozybaev D., Makar-Limanov L., Umirbaev U. The Freiheitssatz and the automorphisms of free right-symmetric algebras, Asian-European Journal of Mathematics, (2008), 243-254.

18 Alimbaev A.A., Naurazbekova A.S., Kozybaev D.Kh. Linearization of automorphisms and triangulation of derivations of free algebras of rank 2, Sib. Elektron. Mat. Izv., 16 (2019), 1133- 1146.

19 Shestakov I.P., Umirbaev U.U. The Nagata automorphism is wild, Proc. Natl. Acad. Sci.

USA, 100(22) (2003), 12561–12563.

143 Zhangazinova D. M. е. а. Affine automorphisms of the universal multiplicative enveloping ...

20 Shestakov I.P. and Umirbaev U.U. Tame and wild automorphisms of rings of polynomials in three variables, J. Amer. Math. Soc., 17 (2004), 197–227.

21 Umirbaev U.U., Shestakov I.P. Subalgebras and automorphisms of polynomial rings, Dokl.

Akad. Nauk, 386(6) (2002), 745–748.

22 Umirbaev U.U. Defining relations of the group of tame automorphisms of the polynomial algebra and wild automorphisms of free associative algebras, Dokl. RAN. 407(3) (2006), 319–324.

23 Umirbaev U.U. The Anick automorphism of free associative algebras, J. Reine Angew. Math., 605 (2007), 165–178.

24 Kozybaev D.Kh., Umirbaev U.U. The Magnus embedding for right-symmetric algebras, Sib.

Mat. Zh., 45(3) (2004), 592-599.

25 Jacobcon N. Structure and representations of Jordan algebras, Providence: Amer. Math. Soc., 39 (1968).

26 Bokut’ L.А. Associative rings, NGU, 1977.

д. М. жАНгАзИНовА, А. С. НАуРАзбеКовА, д. х. ҚозыбАев Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университеті, Астана, Қазақстан НӨЛДіК КӨБЕЙТіНДіСі БАР ЕКі ӨЛШЕМДі СОЛ-СИММЕТРИЯЛЫ

АЛГЕБРАНЫң УНИВЕРСАЛДЫ МУЛЬТИПЛИКАТИВТі ОРАУШЫ АЛГЕБРАСЫНЫң АФФИНДі АВТОМОРФИзМДЕРі

Сол-симметриялы алгебраның универсалды мультипликативті ораушы алгебрасының базисі тұрғызылған. Нөлдік көбейтіндісі бар екі өлшемді сол-симметриялы алгебраның универсалды мультипликативті ораушы алгебрасының аффинді автоморфизмдері сипатталған.

Түйін сөздер: сол-симметриялы алгебра, универсалды мультипликативті ораушы алгебра, ав- томорфизм.

д. М. жАНгАзИНовА, А. С. НАуРАзбеКовА, д. х. КозыбАев Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева, Астана, Казахстан

АФФИННЫЕ АВТОМОРФИзМЫ УНИВЕРСАЛЬНОЙ

МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ ОБЕРТЫВАЮЩЕЙ АЛГЕБРЫ ДВУМЕРНОЙ ЛЕВОСИММЕТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ С НУЛЕВЫМ УМНОЖЕНИЕМ Построен базис универсальной мультипликативной обертывающей алгебры левосимметрич- ной алгебры. Описаны аффинные автоморфизмы универсальной мультипликативной обертываю- щей алгебры двумерной левосимметричной алгебры с нулевым умножением.

Ключевые слова: левосимметричная алгебра, универсальная мультипликативная обертываю- щая алгебра, автоморфизм.

УДК 629.7

https://doi.org/10.47533/2020.1606-146X.204

б. Т. жуМАгуЛов¹, А. К. ТуЛеШов^1,2*, Н. М. ТоКеНов³, И. гРИцеНКо², Ч. А. АЛИМбАев²

1Национальная инженерная академия Республики Казахстан;

2Институт механики и машиноведения им. У.А.Джолдасбекова

3ТОО «АспапГЕО»

МОДАЛЬНЫЙ АНАЛИз КОЛЕБАНИЙ И ОЦЕНКА

ВИБРОАКТИВНОСТИ ПЛАТФОРМЫ И ПРОПЕЛЛЕРА ВОзДУШНОГО РОБОТА ТИПА RW-UAS

Квадрокоптер применяется для выполнения маркшейдерских и геодезических работ, разработ- ке бесконтактной технологии опробования руд, основанной на использовании интеллектуального беспилотного летательного аппарата, оснащенного техническим зрением, и установленном на нем специализированном рентгенофлуоресцентном энергодисперсионном приборе. В данной рабо- те осуществляется вывод уравнений динамики квадрокоптера под нагрузкой, влияние динамических возмущений на НДС пропеллеры. Проводится анализ крутящих моментов на четырех пропеллерах.

Уравнения динамики 4-х роторов робота RW-UAS (квадрокоптера) написана на основе уравнений Лагранжа – Максвелла. Проводится анализ управляющих моментов, которые позволяет реализо- вать горизонтальный и вертикальный полеты квадрокоптера. Моделирование проводилось с ис- пользование среды аналитических вычислений Maple. На основе модального анализа уравнений дина- мики воздушного робота получены результаты, где определены диапазоны волновых возмущений на воздушный аппарат и получены НДС лопастей и их упругопластическое перемещения. Проведенные исследование показывает необходимость детального изучения динамических процессов на воздуш- ном роботе, особенно важным является поведение роторной системы.

Ключевые слова: квадрокоптер, модальный анализ, виброактивность, воздушный робот.

Введение. Успехи ученых и инженеров в области создания отечественных рентге- норадиометрических средств измерения (далее – РРП) и программно-аппаратного ком- плекса спектрального анализа[1,2] позволяют решать сложные научно-практические задачи по разработке интеллектуальных систем для выполнения маркшейдерских и геодезических работ [3]. Идея заключается в разработке бесконтактной технологии опробования руд, основанной на использовании интеллектуального беспилотного летательного аппарата, оснащенного техническим зрением, и установленном на нем специализированном рентгенофлуоресцентном энергодисперсионном приборе [4].

Одной из бесконтактной технологий решения маркшейдерских задач на крупных карьерах и рудниках является метод дистанционного картографирования с использо- ванием беспилотных летательных аппаратов (БПЛА) [5,6,7]. Применение RW-UAS имеет бесспорные преимущества: простота использования, быстрый запуск, полно- стью автоматический полёт, высокое качество снимков и ортофотопланов, безопас- ность и законченность решения. Большое значение имеют: экономическая эффектив- ность RW-UAS по сравнению аэрофотосъёмками; улучшение оперативности, полноты и точности маркшейдерских съёмок по сравнению лазерным сканированием; возмож- ность проведения мониторинга открытых и подземных горных работ.

* E-mail корреспондирующего автора: [email protected]

145 Наряду с маркшейдерской съемкой беспилотный RW-UAS выполняет функцию спектрального сканирования руды. Особый интерес в этом плане представляют рент- генофизические методы анализа, включающие рентгенофлуоресцентные и рентгено- структурные методы: экспрессность, простота и возможность осуществления анализа без непосредственного контакта с образцом выгодно отличают их от традиционных методов аналитической физхимии [8]. Благодаря этим преимуществам, рентгенофи- зические методы, удачно дополняя возможности других физических методов анализа, получают все большее распространение в аналитической науке и промышленности как в нашей стране, так и за рубежом [9,10].

Воздушные роботы могут физически исследовать мосты, трубопроводы и линии электропередач для ремонта и замены деталей, проводить обработку урожая и обез- вреживание мин. Лаборатории, подобные лабораториям ETH Zurich [11] и Болонско- го университета [12], представили соответствующие результаты в этой теме. Недавно исследователям удалось получить высокоточную трехмерную модель швейцарской вершины горы Маттерхорн, используя небольшой FW - UAS и сложные методы роботизированного зрения [13], другие усилия привели к проверке котла реальной электростанции с использованием многороторного транспортного средства и тесно интегрированных визуально-инерционных алгоритмов [14], в то время как с точки зрения промышленного применения воздушные роботы, как доказано, минимизиро- вали время проверки энергетической инфраструктуры [15] и часто используются в сочетании с данными географических информационных систем (ГИС )[11].

Полезная нагрузка исследуемого RW-UAS составляет 1,8-2,5 кг., куда входит мас- са видеокамеры и портативного рентгенорадиометрического прибора. Например, для зависания мультироторного БПЛА[16] требуется около 100 мВт мощности на 1 г. до- полнительного взлетного веса. Поэтому аэродинамические исследования на предмет обеспечения полета RW-UAS с учетом взлетной массы, полезной нагрузки и времени полета является актуальной задачей проекта. На рисунке 1 приведен квадрокоптер типа Vision. Такой квадрокоптер будет применен в реализации БПЛА для мониторин- га естественных залеганий руд.

а) б)

Рисунок 1 – Квадрокоптер типа Vision (а) и его кинематическая схема (б)

Моделирование кинематики и динамики полета воздушного робота типа RW- UAS. Неподвижная система координат обозначена как {Ox₀y₀z₀} (рисунок 2). Ось z связанной системы координат {Bxyz} направлена вниз в соответствии с аэрокосми- Жумагулов Б. Т. и др. Модальный анализ колебаний и оценка виброактивности ...

Вестник Национальной инженерной академии Республики Казахстан. 2022. № 4 (86) 146

ческой конвенцией. Углы поворота аппарата описываются в терминах углов Эйлера- Крылова: {j, y, q}, где q – угол тангажа, y – угол рыскание, j – угол крена. Квадро- коптер имеет четыре ротора, обозначенных от 1 до 4, установленных на конце каждой поперечины.

Рисунок 2 – Выбор системы отчета и углов Эйлера Матрица перехода из системы {Bxyz} в систему {Ox₀y₀z₀} имеет вид:

c c c s s s c s s c c s s c c c s s s s c s c s

10=

− +

+ −

−

ψ θ ψ ϕ θ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ θ ψ θ ψ ϕ ψ ϕ θ ψ ϕ θ ψ ϕ

θθ c sθ ϕ c cθ ϕ















 , где обозначены sinj = sj, cosj = cj и т.д.

Рассмотрим угловые скорости вращения роторов квадрокоптера в системе. Вве- дем следующие обозначения: ω�_B= ω ω ω_x, _y, _z^t – вектор угловой скорости корпуса квадрокоптера относительно полюса B; ω�_i=

[

^{0 0}^{, ,}ω_i

]

^t – вектор угловой скорости i-го ротора в системе {A_i, x_i, y_i, z_i}. Отметим, что оси систем координат {A_i, x_i, y_i, z_i} вы- бираются параллельными соответствующим осям системы {Bxyz}. Тогда угловая ско- рость i-го ротора в системе {Bxyz} равная Ω =�_i ω�_B+ω�_i имеет координат

�

Ω =_i ω ω ω_x, _y, _z+ω_i^t, i=1 2 3 4, , , . (1) Роторы приводятся в движение электродвигателями с электронными регулятора- ми скорости. Скорость ротора ω�_i , а вектор тяги T_i- направленный вверх

T_i =bω�_i², i=1 2 3 4, , , (2)

147 Жумагулов Б. Т. и др. Модальный анализ колебаний и оценка виброактивности ...

В отрицательном направлении оси z, где b > 0 – постоянная подъемной силы, кото- рая зависит от плотности воздуха, куба радиусалопастей ротора, количества лопастей и длины лопасти.

Движение квадрокоптера рассматривается как сумма двух движений: поступа- тельное движение центра B и вращательное движение вокруг точки B. Поступатель- ная динамика аппарата в декартовых координатах определяется уравнением второго закона Ньютона[17]

m v mg

A T

�^⋅ = bv�











−











− 0

10 0 (3) где v�=

[

x y z� � �^{, ,}

]

– скорость полюса B летательного аппарата в неподвижной системе отсчета, g ускорение свободного падения, m – полная масса устройства, B – аэродина- мическое трение и T= ∑Ti – полная суммарная тяга, A₁₀ – матрица преобразования координат. Первый член – это сила тяжести, которая действует вниз в неподвижной системе координат, второй член – это общая тяга в раме аппарата. Третье слагаемое – аэродинамическое сопротивление.

Представим роторы в виде круглых цилиндров с радиусом R_i, длиной l_i и массой m_i, тогда тело является симметричным относительно осей системы {A_ix_iy_iz_i}

J m R

i i

i = ²

2 и J J m R l

x y i

i i

i = i =  +







2 2

4 12 .

Корпус квадрокоптера состоит из рамы и контейнера, на котором установлен при- боры и камеры. Их представим в виде параллелепипеда с размеров (a, p, l), который также имеет оси симметрии, моменты инерции относительно осей системы {Bxyz}

равны

J m l a

J m l p

J m p a

z_B =

(

²+ ²

)

x_B ₌

(

²⁺ ²

)

y_B ₌

(

²⁺ ²

)

12 , 12 , 12 .

Так как оси {A_ix_iy_iz_i} и {Bxyz} момент инерции квадрокоптера относительно {Bxyz}

равны

J J J d m m l p

m R l

x x x i i d m

i i

B i

= + + =

(

)

₊ ^ ₊





 +

∑

∑ ∑

4 2

1 4

2 2

4 2 2

12 4 12 ^rr ,

J J J d m m p a

m R l

y y y i i d m

i i

B i

= + + =

(

)

₊ ^ ₊





+

∑

∑ ∑

4 2

1 4

2 2

4 2 2

12 4 12 ^rr ,

J J J d m m l a m R

d m J J d

z z z i

i i

r zi

B i zi

= +

_∑

(

)

₊

_∑

₊ ₌ ₊

4 2

1 4

2 2 2

4 2

12 2 , ²²

4 m_r

∑

где m_r=

∑

1m_i

4 .

Вестник Национальной инженерной академии Республики Казахстан. 2022. № 4 (86) 148

Вращательное движение выражается с помощью динамических уравнений дви- жения Эйлера[17]:

JΩ = −Ω × Ω + τ�� J� � , (4) где J – матрица инерции 3 × 3 летательного аппарата, а �

Ω – вектор угловой скоро- сти.

Уравнение (4) раскрывается в виде системы

J_xω�_x+⁽J_z −J_y⁾ω ω_y _z+ω_y

∑

J_zi^Aω_i=τ_x

1 4

J_yω�_y+⁽J_x −J_z⁾ω ω_x _z−ω_x

∑

1J_zi^Aω_i=τ_y

4 (5) J_zω�_z+J_zi^Aω�_i+(J_y−J_x)ω ω_x _y =τ_x

которой присоединяются кинематические уравнения Эйлера ω_x = +ϕ ψ� �sinθ,

ω_y =ψ� cos cosθ ϕ θ+�sinϕ, ω_z =θ�cosϕ ψ− � cos sinθ ϕ .

Полный крутящий момент, приложенный к аппарату равен �τ=(τ τ τ_x, _y, _z) и момен- ту силы T попарно разность крутящих моментов роторов от тяги T_i заставляют аппарат вращаться. Крутящий момент вокруг оси x робота, который создается силами тяги

τ_x =dT₄−dT₂ (6) где d – расстояние от оси ротора до центра масс (рисунок 1). Мы можем записать это относительно скорости вращения ротора

τ_x =db(ω₄²−ω₂²) (7) Аналогично выводится крутящий момент от пар сил тяги T₁ и T₃ вокруг оси y τ_y =db(ω₁²−ω₃²) (8) На каждый пропеллер действуют момент силы от аэродинамического сопротив- ления

Q_i =kω_i², i=1 2 3 4, , , (9) где k коэффициент аэродинамического сопротивления зависит от тех же факторов, что и коэффициент b. Эти моменты сил создают противодействующий реактивный момент на воздушный аппарат. Полный реактивный момент вокруг оси z равен:

τ_z=Q₁−Q₂+Q₃−Q₄=k(ω₁²+ω₃²−ω₂²−ω₄²) (10) где разные знаки обусловлены разным направлением вращения роторов. А момент рыскания может быть создан просто соответствующим скоординированным управле- нием всеми четырьмя роторами.

149 Жумагулов Б. Т. и др. Модальный анализ колебаний и оценка виброактивности ...

Управление воздушным роботом. Для обеспечения тангажа и поступательного движения по оси x внутренний цикл использует пропорционально дифференциаль- ный (ПД) регулятор для расчета необходимого момента тангажа летательного аппа- рата:

τ^∗_y =K_τ_,_p(θ^∗_p−θ^#_p)+K_τ_,_d(θ�^∗_p−θ�^#_p) (11) На основе минимизации отклонения между целевым и фактическим углом танга- жа коэффициенты усиления K_t,p и K_t,d определяются известными подходами[18-20], основанными на аппроксимации целевой функции. Затем результаты настраиваются в соответствии с критериями оптимального управления. Фактический угол тангажа θ^#_p снимается от показаний инерциальной навигационной системы, а его скорость dθ^#_p может быть получена на основе показаний гироскопических датчиков.

Рассмотрим систему координат {Bx y z′ ′ ′}, прикрепленную к воздушному роботу и имеющую то же начало, как {Bxyz}, но с осями x и y в горизонтальной плоскости и параллельно земле. Вектор тяги параллелен оси z системы {Bxyz} и направлен вниз, поворачивает робот вокруг оси y на q_p, создавая усилие

^′ = ⋅











 =

















y p

T T T

f ( )

sin cos θ

θ 0

0 0 (12)

которое имеет проекцию на ось Bx′

^B^′f_x =Tsinθ_p≈Tθ_p (13) Эта сила ускоряет робот в направлении Bx′ .

Контроль скорости в этом направлении осуществляется с помощью пропорцио- нального регулятора (П)

^B^′^f^x^∗=^mK^f

(

^B^{′ ∗}^v^x − ^B^′^v^x^#

)

(14) где K > 0 – положительный коэффициент.

На основании двух уравнений (12) и (13) получаем желаемый угол наклона по тангажу

θ_p m _f ^B _x ^B _x

T K v v

∗ ≈

(

′ ∗− ′

)

(15) Далее вычисляются требуемые крутящие моменты тангажа, а затем – необходи- мые частоты вращения ротора. Для квадрокоптера в вертикальном равновесии полная тяга равна силе веса, поэтому m/T ≈ 1/g. Фактическая скорость устройства будет оце- нена инерциальной навигационной системой. Если положение аппарата в плоскости xy мировой системы координат p ∈ R₂, то желаемая скорость задается пропорциональ- ным законом управления

Вестник Национальной инженерной академии Республики Казахстан. 2022. № 4 (86) 150

⁰v^∗=K_p(⁰p^∗− ⁰p^#) (16) На основе (15) скорость полета в плоскости системы координат {Bx y z′ ′ ′} равна

′







 = −















B v B v

v v

x x y y

y y

T x y

cos sin

sin cos

θ θ

θ θ (17) что является функцией угла q_y

Высота устройства управляется пропорционально дифференциальным регулято- ром

T =K_p(z^∗−z^#)+K_d(z�^∗−z�^#)+T0 (18) Необходимо подчеркнуть следующую особенность об управлении квадрокоп- тером. Ошибка положения приводит к необходимости регулировать линейную ско- рость. Для этого требуются соответствующие углы тангажа и крена, чтобы направить компонент тяги аппарата, действующий в горизонтальной плоскости и создающий подъемную силу, разогнал аппарат в требуемом направлении. По мере приближе- ния к цели аппарат должен поворачиваться в противоположном направлении, так что компонент тяги замедляет движение. Изменение углов тангажа и крена требуют дифференциальной тяги винтов, чтобы создать момент, который повернет аппарат.

Осуществление поступательного движения как функции от вращательного является следствием структуры аппарата. Конфигурационное пространство робота 6-ти мер- ное. В пространстве конфигурации мы не можем двигаться в направлении x или y, но мы можем двигаться в направлении тангажа или крена, что приводит к движению в направлении x или y. Углы тангажа и крена аппарата являются средством контроля над линейным перемещением и не могут управляться независимо.

Динамика винта (пропеллера) робота. Уравнения динамики 4-х роторов ро- бота RW-UAS (квадрокоптера) можно написать на основе уравнений Лагранжа –Максвелла[21].

I d

dt i M

L di

dt R i u

⋅ + ⋅ + − ∂ c

∂ ⋅ =

∂

∂ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ω ρ ω σφ

φ ω

Ψ (19)

Здесь ω=dφ

dt – угловая скорость винта; I d

⋅ = ωdt – момент сопротивления, вы- званный механической инерционностью системы (I – момент инерции системы), r ⋅ w – момент вязкого сопротивления, σ ∙ f – момент упругого сопротивления, ∂

∂ Ψ

φ – вращающий момент, M_c – статический момент сопротивления, ∂

∂Ψ⋅

φ ω – ЭДС индук- ции (вращения), L di

⋅dt – ЭДС самоиндукции, R ⋅ i – падение напряжения на активном сопротивлении.

151 Жумагулов Б. Т. и др. Модальный анализ колебаний и оценка виброактивности ...

Моделирование влияния виброактивности на структурные элементы воздушного робота типа RW-UAS. Оценка виброактивности проводится при высоких скоростях вращения роторов и перемещениях общего центра тяжести под воздействием силы тяжести полезного груза. Динамическая модель машины может быть представлена в виде поступательной колебательной системы с сосредоточенными параметрами.

В механической поступательной системе движущая сила P_M действует на массу m m, прикреплённую к упругому элементу l_M, с потерями на трение r_M, пропорцио- нальными линейной скорости, m а в механической вращательной системе движущий крутящий момент M_q действует на маховик с моментом инерции J, соединённым с вращательным упругим элементом l_q, с потерями на трение r_q, пропорциональными угловой скорости. Уравнения сил и моментов для этих систем имеют вид

md y

dt r dy dt

y P e

J d

dt r d

dt M e

m m

j t

j t 2

2 2

+ + =

ϕ ϕ ϕ

θ ω

(20)

где d y dt

2 сила инерции; r dy

S dt – сила трения; у/λм – сила упругости; Рмеjωt – прило- женная к системе сила; J d

2 2

ϕ момент сил инерции вращающегося маховика r d

n dt ϕ ;

момент сил трения; φ/λθ – момент сил упругости.

Решения этих уравнений имеют вид

�

y P e

r j m j

P z M e

r j J j

m z

m jot

S S S

n jot

S n n

= + − =

+ − =

ω ωλ

( )

(21)

Источником магнитного шума и вибрации являются колебания якоря двигателя, поэтому виброакустические расчёты электрической машины сводятся к исследова- ниям колебаний её якоря под действием периодически изменяющихся во времени и симметрично распределённых по окружности радиальных и тангенциальных сил, ко- торые зависят от распределения магнитной индукции в воздушном зазоре

b( , )θt = f( , ) ( , )θt Λ θt (22) где q – координата рассматриваемой точки воздушного зазора в момент времени t; f(q, t) и Λ( , )θt – мгновенные значения результирующей МДС обмоток статора и ротора и магнитной проводимости зазора.

Значение и распределение радиальных магнитных сил в воздушном зазоре опре- деляется уравнением

Dalam dokumen ХАБАРШЫСЫ ВЕСТНИК - Вестник НИА РК (Halaman 133-200)