Министерство образования и науки Республики Казахстан Некоммерческое акционерное общество
«АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ имени Гумарбека Даукеева »
Л.П. Болдырева, Н.М. Айтжанов
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ Учебное пособие
Алматы, 2021
УДК 621.3 (075.8) ББК 31.2 я 73 Б79
Рецензенты:
профессор НАО «Казахский агротехнический университет им.
С. Сейфуллина», доктор технических наук Ахметбаев Д.С.
ассоциированный профессор «Академии логистики и транспорта», PhD Онгар Булбул
НАО «Алматинский университет энергетики и связи
имени Гумарбека Даукеева»,кандидат технических наук, доцент Курпенов Б.К
Рекомендовано к изданию Ученым советом Алматинского Университета энергетики и связи имени Гумарбека Даукеева (протокол № 4 от 15.03.2019 г).
Печатается по тематическому плану выпуска ведомственный литературы АУЭС имени Гумарбека Даукеева на 2021 год, позиция 29.
Л.П. Болдырева, Н.М. Айтжанов
Б79 Основы электротехники и электроники. Учебное пособие /
Л. П. Болдырева, Н.М. Айтжанов. – Алматы: НАО «АУЭС имени Гумарбека Даукеева», – 2021. 69 с.
Табл. 4, ил. 52, библиогр. – 10 назв.
ISBN 978-601-358-005-0
Учебное пособие поможет студентам овладеть методами расчета линейных электрических цепей постоянного, однофазного и трехфазного синусоидальных токов, а также методами расчета электрических цепей в установившихся и переходных режимах, ознакомиться с расчетом характеристик трансформаторов и электрических машин постоянного и переменного тока.
Предназначается для студентов специальности бакалавриата ОП 6В11201 –
«Безопасность жизнедеятельности и защита окружающей среды».
УДК 621.3 (075.8) ISBN 9965-494-17-7 ББК 31.2 я 73
Б79
©АУЭС, 2021
Болдырева Л.П.2021 Айтжанов Н.М., 2021
В в е д е н и е
Электротехникой в широком смысле слова называется обширная область применения электрических и магнитных явлений для производства и преобразования электроэнергии, обработки материалов и т.д.
Развитие электротехники потребовало больших работ в области изучения и разработки электромагнитных явлений и их практического применения.
Электромагнитную энергию можно получать в значительных количествах, передавать на большие расстояния и легко преобразовать в энергию других видов.
Цель учебного пособия состоит в оказании помощи студентам в их самостоятельной работе. Поэтому все задачи даны с подробными решениями, пояснениями, методическими указаниями, приведены основные положения теории и необходимые расчетные формулы.
В пособии «Основы электротехники и электроники» даны основные определения и методы расчета линейных и нелинейных электрических цепей постоянного и переменного тока, трехфазных цепей в симметричном и аварийном режимах, анализ переходных процессов в линейных электрических цепях. Рассмотрены конструкция, принцип действия и характеристики трансформаторов и электрических машин постоянного и переменного тока, основные принципы, методы электрических измерений и основные электронные приборы.
1. Расчет линейных электрических цепей постоянного тока
Электрической цепью называется совокупность устройств, предназначенных для передачи, распределения и взаимного преобразования электрической и других видов энергии, если процессы, протекающие в устройствах, могут быть описаны при помощи понятий об электродвижущей силе (ЭДС), токе и напряжении. Основными элементами электрической цепи являются источники и приемники электрической энергии, которые соединяются между собой проводами.
Электрические цепи, в которых получение электрической энергии в источниках, ее передача и преобразование в приемниках происходят при неизменных во времени токах и напряжениях, называют цепями постоянного тока.
Расчет линейных электрических цепей постоянного тока основан на применении закона Ома и законов Кирхгофа.
Закон Ома
Закон Ома применяется для ветви или для одноконтурной замкнутой цепи. При написании закона Ома следует прежде всего выбрать положительное направление тока.
Закон Ома для ветви:
, (1.1)
где – напряжение на ветви, отсчитываемое по выбранному положительному направлению тока;
– алгебраическая сумма ЭДС ветви, со знаком «+» – ЭДС,
совпадающие с током, со знаком «-» – противоположные току;
– арифметическая сумма сопротивлений ветви.
Закон Ома для одноконтурной схемы:
, (1.2) где – алгебраическая сумма ЭДС, действующих в схеме;
– арифметическая сумма сопротивлений контура.
Задача. В схеме (рисунок 1.1) 𝐸1 = 60𝐵, 𝐸2 = 20𝐵, 𝑅1 = 6 𝑂м, 𝑅2 = 4 Ом. Определить напряжение Uав.
+
= −в
a в a
R I Е
в а
Uав = −
Е
ва
R
R I E
=
E
R
Рисунок 1.1
Задавшись положительным направлением тока по часовой стрелке, на основании закона Ома, имеем:
. 4
2 1
2
1 A
R R
E
I E =
+
= −
Напряжение Uавможно найти по закону Ома для участка adb:
,
2 2
R Е I Uав −
=
откуда 𝑈ав = Е2+ 𝑅2𝐼 = 36𝐵. Такой же результат можно получить для участка bcа:
1 1
R Е
I = −Uав+ , откуда 𝑈ав = Е1− 𝐼𝑅1 = 36 𝐵.
Закон Ома для участка электрической цепи с током I: ток пропорционален приложенному к участку напряжению плюс алгебраической сумме ЭДС участка и обратно пропорционален сумме сопротивлений участка.
Например, запишем ток в электрической цепи на участке ab:
Рисунок 1.2 𝐼 = 𝜑𝑎−𝜑в+𝐸1−𝐸2+Е3
𝑅1+𝑅2+𝑅3 =𝑈ав+𝐸1−𝐸2+Е3
𝑅1+𝑅2+𝑅3 (1.3)
Основными законами являются два закона Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю. Условно: токи, направленные к узлу – возьмем со знаком «+» и от узла – со знаком «–». Количество уравнений, которые необходимо записать по первому закону Кирхгофа, 𝑁𝐼 равно количеству узлов 𝑁𝑦минус один.
Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма напряжений на элементах контура равна алгебраической сумме ЭДС идеальных источников напряжения этого контура. Для определения знаков напряжений и ЭДС выбирают направление обхода контура. Напряжения и ЭДС, совпадающие по
направлению с обходом контура, берут со знаком плюс, а не совпадающие – со знаком минус.
Количество независимых контуров, для которых необходимо записать уравнения по второму закону Кирхгофа в общую систему уравнений, равно числу ветвей 𝑁𝐵 минус число ветвей с источниками тока 𝑁𝐼 и минус количество уравнений, уже записанных на основании первого закона Кирхгофа, то есть:
𝑁𝐼𝐼 = 𝑁𝐵 − 𝑁𝐽 − 𝑁𝐼 = 𝑁𝐵 − 𝑁𝐽 − 𝑁𝑦 + 1.
Рассмотрим расчет на примере электрической цепи постоянного тока (рисунок 1.3).
Дано: ЭДС :Е1=0 В, Е2=150 В, Е3=120 В, Е4=200 В, Е5=0 В Е6=180 В. Ток источника тока JТ5=5 А.
Сопротивления ветвей электрической цепи:
R1=30 Ом, R2=80 Ом, R3=40 Ом, R4=90 Ом, R5=60 Ом.
Рисунок 1.3
Заменим источник тока J эквивалентным источником э.д.с. EJ5(рисунок 1.4):
Е𝐽 = 𝑅5∗ 𝐽 = 60 ∗ 5 = 300(𝐵), 𝐸𝐽5 = 𝐸𝐽 − 𝐸5 = 300 − 0 = 300 (В)
Рисунок 1.4
Рисунок 1.5 Законы Кирхгофа
Составление уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы электрической цепи на основании законов Кирхгофа.
Выбираем произвольно положительные направления токов во всех ветвях схемы электрической цепи (рисунок 1.5).
Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа применяется к узлам схемы электрической цепи и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:
Ik
k
n =
= 0 1. (1.4)
Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно числу узлов минус 1.
Токи, направленные к узлу, будем записывать с положительными знаками, токи, направленные от узла – с отрицательными.
Для схемы: число узлов Nу =4.
Число уравнений У= Nу-1=4-1=3.
𝐼4− 𝐼1− 𝐼2 = 0 (для 1 узла);
𝐼2− 𝐼3 − 𝐼5 = 0 (для 2 узла); (1.5) 𝐼1+ 𝐼3− 𝐼6 = 0 (для 3 узла).
Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа.
Второй закон Кирхгофа применяется к контурам схемы электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур, равна алгебраической сумме ЭДС:
R IK K EK
K n K
n =
=
=
1 1. (1.6)
Выбираем взаимно независимые контуры. Контуры взаимно независимы, если каждый последующий контур, для которого составляется уравнение, имеет хотя бы одну новую ветвь и не получается из контуров, для которых уже написаны уравнения, путем удаления из этих контуров общих ветвей.
Выбираем произвольно направления обхода контуров. Положительные знаки принимаются для токов и ЭДС, положительные направления которых совпадают с выбранным направлением обхода контура. Отрицательные знаки принимаются для токов и ЭДС, положительные направления которых противоположны выбранным направлениям обхода контура.
𝑅1𝐼1− 𝑅3𝐼3− 𝑅2𝐼2 = −𝐸2− 𝐸3 (для контура 1-3-2-1);
𝑅2𝐼2+ 𝑅5𝐼5+ 𝑅4𝐼4 = 𝐸2+ 𝐸𝐽5+ 𝐸4 (для контура 1-2-4-1); (1.7)
𝑅3𝐼3− 𝑅5𝐼5 = 𝐸3+ 𝐸6− 𝐸𝐽5 (для контура 2-3-4-2).
Расчет токов во всех ветвях электрической цепи методом контурных токов (МКТ)
Выбираем взаимно независимые контуры, в каждом из которых замыкается один контурный ток. Положительные направления контурных токов выбираем произвольно. Число уравнений, составленных по МКТ, равно числу уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа.
Составим уравнения для расчета токов методом контурных токов для электрической цепи (рисунок 1.5):
{
𝑅11𝐼11 + 𝑅12𝐼22 + 𝑅13𝐼33 = 𝐸11 𝑅21𝐼11 + 𝑅22𝐼22 + 𝑅23𝐼33 = 𝐸22 𝑅31𝐼11 + 𝑅32𝐼22 + 𝑅33𝐼33 = 𝐸33
(1.8) R11, R22, R33 – собственные сопротивления контуров.
Собственное сопротивление контура равно сумме сопротивлений ветвей, входящих в данный контур:
𝑅11 = 𝑅1+ 𝑅2+ 𝑅3 = 30 + 80 + 40 = 150 Ом;
𝑅22 = 𝑅2+ 𝑅4+ 𝑅5 = 80 + 90 + 60 = 230 Ом;
𝑅33 = 𝑅3+ 𝑅5 = 40 + 60 = 100 Ом
R12=R21; R13=R31; R23=R32 – общие сопротивления контуров.
Общее сопротивление контуров равно сопротивлению ветви, общей для этих контуров. Общее сопротивление берется со знаком «+», если контурные токи рассматриваемых контуров протекают через общие для этих контуров ветви в одинаковом направлении, знак «–», если контурные токи в общих ветвях имеют противоположные направления.
𝑅12 = 𝑅21 = −𝑅2 = −80 Ом 𝑅23 = 𝑅32 = −𝑅3 = −40 Ом 𝑅31 = 𝑅13 = −𝑅5 = −60 Ом Е11, Е22, Е33 – контурные ЭДС.
Каждая из контурных ЭДС равна алгебраической сумме ЭДС всех источников в ветвях, входящих в данный контур. Положительные знаки взяты для ЭДС, положительные направления которых совпадают с положительным направлением контурного тока, замыкающегося в данном контуре.
𝐸11 = −𝐸3− 𝐸2 = −120 − 150 = −270 В
𝐸22 = 𝐸2+ 𝐸𝐽5+ 𝐸4 = 150 + 300 + 200 = 650 В 𝐸33 = 𝐸3+ 𝐸6− 𝐸𝐽5 = 120 + 180 − 300 = 0 В
Система уравнений для расчета токов по методу контурных токов имеет вид:
{
150𝐼11 − 80𝐼22 − 40𝐼33 = −270
−80𝐼11 + 230𝐼22 − 60𝐼33 = 650
−40𝐼11 − 60𝐼22 + 100𝐼33 = 0.
(1.9)
Решая систему (1.9) при помощи определителей, определим токи I11, I22, I33. Рассчитаем определитель системы ∆:
∆= |
𝑅11 𝑅12 𝑅13 𝑅21 𝑅22 𝑅23 𝑅31 𝑅32 𝑅33
| = |
150 −80 −40
−80 230 −60
−40 −60 100
| = 1 518 000
∆11= |
𝐸11 𝑅12 𝑅13 𝐸22 𝑅22 𝑅23 𝐸33 𝑅32 𝑅33
| = |
−270 −80 −40 650 230 −60
0 −60 100
| = 1 522 000
∆22= |
𝑅11 𝐸11 𝑅13 𝑅21 𝐸22 𝑅23 𝑅31 𝐸33 𝑅33
| = |
150 −270 −40
−80 650 −60
−40 0 100
| = 5 902 000
∆33= |
𝑅11 𝑅12 𝐸11 𝑅21 𝑅22 𝐸22 𝑅31 𝑅32 𝐸33
| = |
150 −80 −270
−80 230 650
−40 −60 0
| = 4 150 000
𝐼11 =∆11
∆ = 1522000
1518000= 1.002 (А) 𝐼22 =∆22
∆ =5902000
1518000 = 3.888 (А) 𝐼33 =∆33
∆ =4150000
1518000 = 2.733 (А) Токи в ветвях I1, I4, I6 равны контурным токам.
𝐼1 = 𝐼11 = 1.002 (А) 𝐼4 = 𝐼22 = 3.888 (А) 𝐼6 = 𝐼33 = 2.733 (А)
Токи в ветвях I2, I3, I5, общих для нескольких контуров, равны алгебраической сумме контурных токов, протекающих по этим ветвям:
𝐼2 = −𝐼11 + 𝐼22 = −1.002 + 3.888 = 2.886 (А) 𝐼3 = −𝐼11 + 𝐼33 = −1.002 + 2.733 = 1.731 (𝐴)
𝐼5 = 𝐼22 − 𝐼33 = 3.888 − 2.733 = 1.155 (𝐴) Проверка производится по второму закону Кирхгофа:
{
𝐼1𝑅1− 𝐼2𝑅2− 𝐼3𝑅3 = −𝐸2 − 𝐸3 𝐼2𝑅2+ 𝐼4𝑅4+ 𝐼5𝑅5 = 𝐸2+ 𝐸4+ 𝐸5
𝐼3𝑅3− 𝐼5𝑅5 = 𝐸3+ 𝐸6 − 𝐸5
(1.10) {
1.002 ∗ 30 − 2.886 ∗ 80 − 1.731 ∗ 40 = −150 − 120 2.886 ∗ 80 + 1.155 ∗ 60 + 3.888 ∗ 90 = 150 + 200 + 300
1.731 ∗ 40 − 1.155 ∗ 60 = 120 + 180 − 300 {
−270 = −270 650 = 650
0 = 0
Если в результате решения значение какого-либо тока получилось отрицательным, то это означает, что действительное направление этого тока противоположно направлению, принятому за положительное.
Расчет токов во всех ветвях электрической цепи методом узловых потенциалов (МУП)
Суть МУП заключается в определении потенциалов узлов электрической цепи, токи рассчитываются по закону Ома. При составлении уравнений узловых потенциалов потенциал одного из узлов принимают равным нулю, для определения потенциалов оставшихся узлов составляются уравнения.
Если электрическая схема содержит только одну ветвь с идеальным источником ЭДС (в данном случае Е6) и с сопротивлением, равным нулю, то при составлении уравнений по методу узловых потенциалов к нулю приравнивается потенциал одного из узлов, к которому присоединена данная ветвь. Тогда потенциал другого узла, присоединенного к этой же ветви, будет равен Е.
Определим узловые потенциалы для электрической цепи (рисунок 1.4).
Рассчитаем проводимости каждой ветви:
𝑔1 = 1 𝑅1 = 1
30 = 0.0333 (См) 𝑔2 = 1
𝑅2 = 1
80 = 0.0125 (См) 𝑔3 = 1
𝑅3 = 1
40 = 0.025 (См) 𝑔4 = 1
𝑅4 = 1
90 = 0.0111 (См) 𝑔5 = 1
𝑅5 = 1
60 = 0.0166 (См) Приравниваем к нулю потенциал любого узла:
𝜑3 = 0, 𝜑4 = 𝐸6 = 180 В.
Запишем уравнения для определения узловых потенциалов:
{ 𝜑1𝑔11 − 𝜑2𝑔12 − 𝜑4𝑔13 = 𝐸4𝑔4− 𝐸2𝑔2
−𝜑1𝑔21+ 𝜑2𝑔22 − 𝜑4𝑔23 = 𝐸2𝑔2− 𝐸3𝑔3− 𝐸𝐽5𝑔5 (1.11)
g11, g22, – собственная узловая проводимость, равна сумме проводимостей ветвей, присоединенных к данному узлу.
𝑔11 = 𝑔1+ 𝑔2+ 𝑔4 = 0.0333 + 0.0125 + 0.0111 = 0.0569 (См) 𝑔22 = 𝑔2+ 𝑔3+ 𝑔5 = 0.0125 + 0.025 + 0.0166 = 0.0541 (См)
g12 = g21, g13 = g31, g23 = g32 −общая узловая проводимость, равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих между собой рассматриваемые узлы.
𝑔12 = 𝑔21 = 𝑔2 = 0.0125 (См)
𝑔13 = 𝑔31 = 𝑔4 = 0.0111 (См) 𝑔23 = 𝑔32 = 𝑔5 = 0.0166 (См)
Eg – алгебраическая сумма произведений ЭДС на соответствующие проводимости для всех ветвей, присоединенных к рассматриваемому узлу.Если ЭДС направлена к рассматриваемому узлу, записывается знак «+», если ЭДС направлена от узла – «–».
{0,0569𝜑1− 0,0125𝜑2 = 2,343
−0,0125 + 0,0541 = −3,117
Рассчитаем потенциалы φ1, φ2 при помощи определителей.
Определители для системы уравнений равны:
∆= |𝑔11 𝑔12
𝑔21 𝑔22| = | 0.0569 −0.0125
−0.0125 0.0541 | = 0.0029
∆11= |𝐸11 𝑔12
𝐸22 𝑔22| = | 2.343 −0.0125
−3.117 0.0541 | = 0.088
∆22= |𝑔11 𝐸11
𝑔21 𝐸22| = | 0.0569 2.343
−0.0125 −3.117| = −0.148 Потенциалы φ1, φ2 определим по формулам:
𝜑1 =∆11
∆ = 0,088
0,0029= 30,34 (В) 𝜑2 =∆22
∆ = − 0,148
0,0029 = −51,034 (В) Токи в ветвях электрической цепи определим по закону Ома:
𝐼1 =𝜑1
𝑅1 = 30.34
30 = 1.01 (𝐴) 𝐼2 =𝜑1− 𝜑2+ 𝐸2
𝑅2 =30.34 + 51.034 + 150
80 = 2.89 (𝐴) 𝐼3 =𝜑2+ 𝐸3
𝑅3 = −51.034 + 120
40 = 1.72 (𝐴) 𝐼4 =𝜑4− 𝜑1+ 𝐸4
𝑅4 =180 − 30.34 + 200
90 = 3.88 (𝐴) 𝐼5 = 𝜑2− 𝜑4 + 𝐸𝐽5
𝑅5 = 1.15 (𝐴) Ток I6 определим по первому закону Кирхгофа:
𝐼6 = 𝐼1 + 𝐼3 = 1.01 + 1.72 = 2.73 (𝐴) Проверка по первому закону Кирхгофа:
𝐼4− 𝐼2 − 𝐼1 = 3.88 − 2.89 − 1.01 = −0.02 (для 1 узла) 𝐼2− 𝐼3 − 𝐼5 = 2.89 − 1.72 − 1.15 = 0.02 (для 2 узла) 𝐼6− 𝐼1− 𝐼3 = 2.73 − 1.01 − 1.72 = 0 (для 3 узла) 𝐼4− 𝐼5 − 𝐼6 = 3.88 − 1.15 − 2.73 = 0 (для 4 узла)
Составление уравнения баланса мощностей
Суммарная мощность всех источников ЭДС – РИСТ в электрической цепи равна суммарной мощности, расходуемой в сопротивлениях – РНАГР:
РИСТ = РНАГР
∑𝑛𝑘=1𝐸𝑘𝐼𝑘 = ∑𝑛𝑘=1𝐼𝑘2𝑅𝑘. (1.12)
ЕkIk – мощность источника ЭДС в к-й ветви; мощность положительна, если положительные направления ЭДС ЕК и тока IK одинаковы; и отрицательна, если положительные направления ЭДС ЕК и тока IK противоположны;
I Rk2 k – мощность в сопротивлении к-й ветви.
Рнагр = 1,0022∗ 30 + 2,8862∗ 80 + 1,7312∗ 40 + 3,8882∗ 90 + 1,1552∗ 60
= 2256,8247 (Вт)
Рист = 150 ∗ 2,886 + 120 ∗ 1,731 + 200 ∗ 3,888 + 300 ∗ 1,155 + 180 ∗ 2,733
= 2256,66 (Вт)
Метод двух узлов является частным случаем метода узловых потенциалов, если схема содержит два узла.
Для схем, имеющих два узла (например, узлы a и b), узловое напряжение Uab определяется формулой:
Uab =
+
m m
n n
n n
n
G J G
E
, (1.13)
где ∑Εn Gn – алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей (ЭДС считаются положительными, если они направлены к узлу а, и отрицательными, если направлены от узла а к узлу b) на проводимости этих ветвей;
Jn – токи источников тока (положительны, если они направлены к узлу а, и отрицательны, если направлены от узла а к узлу b);
m
Gm – сумма проводимости всех ветвей, соединяющих узлы а и b.
Рисунок 1.6
Найдем напряжение Uab (рисунок 1.6), воспользовавшись методом двух узлов:
1 1 2 2 3 3
1 2 3
/ .
1 / 1 / 1 /
ab
E R E R E R J
U R R R
− + + −
= + + (1.14) Токи в ветвях найдем по закону Ома:
1 2 3
1 2 2
1 2 3
, , .
ab ab ab
U E U E U E
I I I
R R R
− − − − +
= = =
Потенциальная диаграмма
Потенциальная диаграмма – это график распределения потенциала вдоль участка цепи или замкнутого контура. По оси абсцисс откладываются сопротивления участков в той последовательности, в которой они включены в цепь, а по оси ординат – потенциалы соответствующих точек.
Задача.Построить график изменения потенциала вдоль цепи (рисунок 1.7).
1 =25
E В,E2 =5 В, E3 =20 В, E4 =35 В, R1 =10 Ом, R2 =30 Ом, R3 =42 Ом,
4 =8
R Ом.
Задавшись положительным направлением тока, по закону Ома найдем:
R A R R R
E E E
I E 0,5
4 3 2 1
4 3 2
1 =
+ + +
+
−
= + .
Рисунок 1.7 Вычислим потенциалы всех точек схемы:
0 35 31
11 10
5 20 5 0
4 4 3 3 2 2 1 1
= +
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
= +
=
=
−
=
= +
=
−
=
−
=
=
E
B I
R
В Е
B I
R
B E
B I R
B E
B I R
k a к n
д n д f
d f
c d
в c
а в a
Построим потенциальную диаграмму (рисунок 1.8)
Рисунок 1.8 – Потенциальная диаграмма
2. Расчет электрических цепей однофазного синусоидального тока 2.1. Основные определения
Синусоидальная функция времени и вектор, изображающий её на комплексной плоскости, приведены на рисунках 2.1.1 а и б, соответственно.
а б
Рисунок 2.1 – Мгновенные значения и вектор синусоидальной функции
m m I
U , – амплитуда напряжения, тока;
cos jsin
ej = + – единичный вектор на комплексной плоскости, причем положительный угол откладывается против часовой стрелки от положительного направления оси действительных единиц (+1);
j
m m j m
m U e I I e
U = , = – комплексная амплитуда;
, 2 2
m
m I
U I
U = = – действующее значение напряжения, тока;
j
j I I e
e U
U = , = – комплексные действующие значения;
𝑓, Гц – линейная частота напряжения, тока;
𝜔 = 2𝜋𝑓, рад
𝑐 – циклическая (круговая) частота;
𝜓,рад – начальная фаза напряжения, тока;
f c T 1 ,
= – период напряжения, тока.
Полное комплексное сопротивление:
𝑍 = 𝑅 + 𝑗(𝑋𝐿 − 𝑋𝐶) = 𝑅 + 𝑗𝑋 = 𝑧 ⋅ 𝑒𝑗𝜃,
где: 𝑧 = √𝑅2+ 𝑋2 – модуль полного комплексного сопротивления;
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑋
𝑅 – аргумент полного комплексного сопротивления;
𝑅, Ом – активное сопротивление;
𝑋𝐿 = 𝜔 ⋅ 𝐿, Ом – индуктивное сопротивление;
𝑗𝑋𝐿 = 𝑋𝐿 ⋅ 𝑒𝑗90° – комплексное индуктивное сопротивление;
𝑋𝐶 = 1
𝜔𝐶, Ом – емкостное сопротивление;
(−𝑗𝑋𝐶) = 𝑋𝐶 ⋅ 𝑒−𝑗90° – комплексное емкостное сопротивление.
Полная комплексная проводимость:
( )
,1 j
L
C b g jb ye
b j Z g
Y = = + − = + =
где: 𝑦 = √𝑔2+ 𝑏2 – модуль полной комплексной проводимости;
𝜓 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑏
𝑔 – аргумент полной комплексной проводимости;
𝑔, См – активная проводимость;
𝑏𝐿, См – индуктивная реактивная проводимость;
𝑏𝐶, См – емкостная реактивная проводимость;
𝑏 = 𝑏𝐶 − 𝑏𝐿 – реактивная проводимость.
2.2. Расчет простейших цепей однофазного синусоидального тока Расчет линейных электрических схем гармонического тока в установившимся режиме аналогичен расчету электрических цепей постоянного тока, только все параметры записывают в комплексной (символической) форме.
Представим напряжение на активном сопротивлении, индуктивности и емкости относительно мгновенных и комплексных значений.
1.
2.
. R I U
iR uR
•
• =
=
где – индуктивное сопротивление в комплексной форме.
3.
где – емкостное сопротивление в комплексной форме.
2.2.1. Рассмотрим схему последовательного соединения активного, индуктивного и емкостного сопротивлений.
Рассчитаем ток, построим векторную диаграмму (рисунок 2.2).
Рисунок 2.2 Комплексное сопротивление контура:
Комплексное значение тока:
Комплексы падений напряжений на участках:
L j jXL =
j c jXc
− 1
=
−
Z A I U
• •
=
•
•
•
•
•
•
−
=
=
=
I jX U
I jX U
I R U
C C
L L
R
,
•
• =
=
I L j U
dt L di uL
1 , 1
•
• =−
=
c I j U
c idt u
C C
) (XL XC j
R
Z = + −
Построим векторную диаграмму (рисунок 2.3), для этого нужно выбрать масштаб для тока и напряжений: , .
Рисунок 2.3
2.2.2. Рассмотрим смешанное соединение приемников (рисунок 2.4).
Определим токи ветвей. Построим векторную диаграмму.
Рисунок 2.4 Комплексные сопротивления ветвей:
Полное сопротивление цепи:
mI mU
3 2 1
3 3 2 2
1 1
L C L
jX R Z
jX R Z
jX R Z
+
=
−
= +
=
Ток в неразветвленной части цепи:
Токи в параллельных ветвях могут быть выражены по теореме разброса:
Для построения векторной диаграммы (рисунок 2.5) рассчитаем падения напряжений на участках схемы:
Перед построением векторной диаграммы нужно выбрать масштабы по току и по напряжению: .
При построении векторной диаграммы учитываем, что:
3 2
3 2
1 Z Z
Z Z Z
Z +
+
=
Z I U
• • 1 =
3 2
3 1
2 Z Z
I Z I• = • +
3 2
2 1
3 Z Z
I Z I• = • +
•
•
•
•
•
=
=
=
3 3
2 2
1 1
3 2 1
I R U
I R U
I R U
R R
R
•
•
•
•
•
•
=
−
=
=
3 2 1
3 3 2 2 1 1
I jX U
I jX U
I jX U
L L C C L L
I; m mU
.
;
;
;
3 3 2 2
1
3 1
2 1
ab ma
L R C R ab
L R ma
U U U
U U U U U
U U U
I I I
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
+
=
+
= +
=
+
= +
=
Рисунок 2.5
2.3. Методы расчёта разветвленных электрических цепей однофазного синусоидального тока
Расчет линейных электрических схем однофазного синусоидального тока аналогичен расчету электрических цепей постоянного тока, только все
параметры записывают в комплексной (символической) форме. Таким образом можно перейти от интегро-дифференциальных уравнений, составленных относительно мгновенных значений, к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексных значений.
Законы Кирхгофа в дифференциальной форме
Законы Кирхгофа в дифференциальной форме записываются для мгновенных значений переменных токов и напряжений. Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма мгновенных значений токов в узле схемы равна нулю:
Со знаком «+» записываются токи , положительные направления которых направлены к рассматриваемому узлу, со знаком «–» записываются токи , положительные направления которых направлены от данного узла (или наоборот).
Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма мгновенных ЭДС всех источников напряжения в любом замкнутом контуре схемы равна алгебраической сумме мгновенных напряжений на всех остальных элементах того же контура:
= n =K
iK 1
. 0
iK
iK
Второй закон Кирхгофа записывается для независимых контуров схемы, независимые контуры выбираются так же, как и для цепей постоянного тока.
Со знаком «+» записываются мгновенные напряжения, если положительные направления токов и направление обхода контура совпадают, в противном случае напряжения записываются со знаком «–». Мгновенные ЭДС записываются со знаком «+», если положительные направления и направление обхода контура совпадают, в противном случае записываются со знаком «–».
Законы Кирхгофа в символической форме
Законы Кирхгофа в символической (комплексной) форме записываются для комплексных амплитуд или комплексных действующих значений токов, напряжений, ЭДС. Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных токов в узле схемы равна нулю:
Со знаком «+» записываются токи , направленные к рассматриваемому узлу, со знаком «–» записываются токи , направленные от данного узла (или наоборот).
Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных ЭДС всех источников напряжения в любом замкнутом контуре схемы равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех остальных элементах того же контура:
или Здесь
комплексное напряжение на активном сопротивлении;
комплексное напряжение на индуктивности;
комплексное напряжение на емкости.
Напряжения записываются со знаком «+», если положительные направления токов и направление обхода контура совпадают, в противном случае напряжения записываются со знаком «–». ЭДС
записываются со знаком «+», если положительные направления и
. 1 )
(
1
1
= == +
+ n
K K K
K n
K
K K K
K i dt e
C dt L di i R
iK
eK
eK
eK
= n =K
IK 1
.
0
IK
IK
= ==
−
+ n
K K K
n
K K
K K K
K I E
j C I L j I R
1 1
, 1 )
(
=
=
= n
K K n
K
K
KI E
Z
1 1
.
), ( LK CK
K RK j x x
Z = + − xL LK,xC 1 CK;
K
K = =
−
= K K
R R I
U K
−
=
= K K L K
L j L I jx I
U K K
−
−
=
−
= K K C K
C j C I jx I
U K K
1
K K
K L C
R U U
U , ,
IK
EK
EK
