Алма-Ата )

•ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Том 21 Ноябрь 1981 Декабрь

УДК 519.614

v

ОЦЕНКА НАИМЕНЬШЕГО СОБСТВЕННОГО З Н А Ч Е Н И Я ОДНОГО . КЛАССА МАТРИЦ, СООТВЕТСТВУЮЩЕГО РАЗНОСТНОМУ

УРАВНЕНИЮ ШТУРМА - Л И У В И Л Л Я

МУСИЛИМОВ В., ОТВЖВАЕВ М. ' \ • • (Алма-Ата )

Дается двусторонняя оценка наименьшего собственного значения од­

ного класса матриц. Этот класс матриц соответствует разностному урав­

нению Штурма-Л иув ил ля. .

При .приближенном вычислении собственных значений дифференци­

альных операторов возникает необходимость вычисления собственных значений некоторых конечномерных матриц. Эти вычисления обычно про­

водятся приближенно. Эффективных формул для точного вычисления собственных значений матриц порядка не менее 5 в общем случае не су­

ществует. В различных задачах вычислительной математики (см., напри­

мер, [1, с. 109, 142, 200]), а также при приближенном вычислении соб­

ственных значений весьма важноГ предварительно получить оценки пре­

делов их значений. Обычно легко указать грубые, но эффективные оценки сверху или снизу. Получить достаточно точные эффективные двусторон­

ние оценки хотя бы для наименьшего собственного значения, по-видимому, в общей ситуации невозможно.

В настоящей заметке для наименьших собственных значений одного класса матриц {^4} получены оценки вида а⁰(А)/8<К⁰(А)<15а^(А), где а⁰(А) выписывается через элементы матрицы А^е{А}. Рассматриваемый класс матриц включает множество матриц, соответствующее разностным уравнениям Штурма — Лиувилля.

Пусть А есть тг-мерная матрица lci + 2 - 1

— 1

c

²

-f

2 —1

(1) - 1

о

о

с^п-г + 2

—1

—1 с^п+ 2 где с^{>0.

Через Iz¹ обозначим n-мерное гильбертово пространство векторов х={х^и ..., х^п) с нормой, соответствующей скалярному произведению

(x,y) = '£^jxⁱyⁱ.

Оценка наименьшего собственного значения 1431

Здесь г/* — число, комплексно-сопряженное числу г/*. Матрице А соот­

ветствует квадратичная форма n-i

г = 2 -

Ч-(с^±+2) I г /⁴1²—г /²^ ; + ( с^ + 2 ) Упростим правую часть:

п ^п

(2) \Ау,у)=^сАуА²+2^Ы2-

г=1 г=1

( г/ г - 1 ^ г + г/ г + 1 ^ г ) - ? / 2 ^ 1 - ? / n - l ^ n =

п+1 •

i = l г=Ч

здесь и в дальнейшем для удобства считаем, что г / о = г/ п + 1 = 0 .

Матрица А является неотрицательной и самосопряженной. Для полу­

чения оценки наименьшего собственного значения А будем пользоваться вариационным принципом (см. [2, с. 4 5 ] ) . Если \ А — неотрицательный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве Н и Х⁰ — наи­

меньшее собственное значение оператора А, то

%0=Ы(Ау, у)нIIу\\н"²,

где инфимум берется по всем уФО. , Введем необходимые обозначения. Положим

(3) /с,= • m a x | f t : [ 2 ( * + 4 ) ] -¹^ - с , , 1 « — с , < 7 ² ,

.0, с<>7„

и обозначим через с / новую последовательность, введенную формулой (4) с / = т а х ( [ 2 ( ^ + 1 ) ] - \ с,)-.

Оценку наименьшего собственного значения матрицы А дает следующая Т е о р е м а . Имеет место оценка

(5) а0/ 8 < Я0< 1 5 а0, где

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть U=r — произвольное фиксированное число, l^r^n. Если с,-⁰3^7², то k^r=0. Возьмем такой вектор у=(у⁰,•

Уп+i), где г/г=1 и г/г=0 при i^=r. Тогда

(Ay,y)=2+c^r\y^r\^2+c^r, \\у\\²=1,

так как у нас у= (у⁰,..., и y⁰=yⁿ+i=0. Поэтому 15с *

(6) ( ^ ы ^ н ^ - ф . .

Если

Ci<V

²

,

то возьмем г/,=0, l=sSZ«Sr-/c^r-l; 1 /⁴_^{к г}= 1 , i /^<_^{f t r + 1}= 2 , . . . ,

y

^r

-i=

=&,-, г/

^г

=М-1, г/

^>+1

=/с

^г

,...,

^{yr+hr-i=2, yi+ir=l; у,=0, i+kr}+Ks<n. Имеем

r + *r

(Ay,y)<2(kr+1)+ £ c,(A;^r+l)², \\Ж>у (kr+i)³. i=r—h^r

Поэтому ,

3 г ^{T + h r}

(Ay,y)\\y\\-2^ —

[2(k

^r

+l)-

²

+2\

cdkr+l)-*].

i=r—h^r

Так как, по определению (3) и (4),

r + A r 1

£ ^Ci^2(k^r+1) ^{= С Л} то получаем, что

15с *

(60 u , , y n y ^ j ~ .

Отсюда и из (6), в силу произвольности числа i0i вытекает справедливость правого неравенства в (5). Докажем левое неравенство в (5).

Возьмем произвольное фиксированное целое /, 1^/<тг. Пусть с,<72 и У⁼ (Уо, »

I/n+i)

— произвольный элемент из гильбертова пространства lzn

(напомним, что по условию y0=iyn+i=0). Обозначим через

i=j-hf-i

Возможны два случая:

с/

i—j—hj 3+к$

i=j—hj

Если выполнено (7), то очевидно, что

(8) £ «.!»-1'?«-

¹

^пгЕ '*'••

i=3—hj-\ i=3-hj i=i—kj I

Оценка наименьшего собственного значения 1433

Если же выполнено ( 7 " ) , то существует /⁰ такое, что j—kj—Kj^Q<j+kj+l и |у*| = s u p { \ y^t\ : j-kj-l^i^j+kj+1}. Имеем | у г - у ь \ < \y^t-y^t-i| +

+1

г/г-1-г/г-²1

+ ... +1уь+1-Уь|

при i>j⁰ и | г/*-^-⁰|^ | у —^Уг^{+ 1} \+]y^i+l-

~У\+г1 + . . . + j г/io-i—У jo I при i ^ /⁰. Отсюда, пользуясь неравенством Коши — Буняковского для г, удовлетворяющего условию j—kj—l^i^j+k^+1, полу^

чаем \yⁱ-y^[2(kⁱ+l)]V.

Воспользуемся ( 7 ' ) :

^ [ 0 - ^ / ( 2 ^ + 1 ) Г ° Ы . •

Из определения с / следует, что с / = [ 2 ( ^ + 1 ) ] - ' , поэтому О V ( 2 ^ + 1 ) ^

=0 Следовательно,

-Чи,\ и Ы З * - 0 6'^{/ г}-1

Но тогда

e'<-i»²

=j—h] i=j—kj 3+kj

Отсюда, выбирая 9—4, и получаем ( 8 ) .

Если с^1², то из определения с / вытекает с/=с³- и &j=0. Следователь­

но, выполнено ( 8 ) .

Таким образом, в обоих случаях имеет место неравенство ( 8 ) . Из (8) и определения а⁰ вытекает

3+hj з+hj j+hj

(9) ^ \y,⁺ -yi\^z+J^ ^y^-Y^Tt ^{l y ,}'^{l v 1}^^{/ < B}-

i=j—k]—l i=j—hj i—j—kj r '

Возьмем числа l^/i< . . . < j i . Обозначим через A ⁸ множество целых точек в отрезке [/⁸—k^js, j^s+k^J8]. При k^js=0 множество A ^s состоит из одной

точки /⁸. ¹

Числа /в выберем таким образом, чтобы выполнялись следующие уело- г . .,.

вия: множество [J А*, содержит все числа 1, 2 , . . , , , п и А^{8 о}П А^{в 1}= 0 при

| 5⁰— 5 i | > 2 . Здесь 0 —пустое множество. Существование такого набора {/«}s=iнетрудно доказать, исходя из определения с / и kj.

Далее, в силу (9), имеем

п п

lyi+l-yi^+^C^yA2^ -

'

^>

T * E ' ( I

^l

»

^{J ,}

)

^>

T ' i

^w

' '

Из этого неравенства и вариационного принципа вытекает, что X⁰^CL⁰!8.

Теорема полностью доказана.

Эффективность формулы (5) доказывают следующие примеры.

П р и м е р 1. Пусть в матрице (1) будет

п=2к+1

и c^+^U при г = 0 , 1 , . / . , к и 0<с^г^*/² хотя бы при одном / — / о , 0<j<k; тогда из (3) полу­

чаем, что &j=0 для всех / = 1 , 2 , . . . , 2к+1. Поэтому из (4) вытекает ^Cj*>l[2. Но легко видеть, что с*-^о=^2> Следовательно, а^{0 = 1}Д - Отсюда и из теоремы находим 7 з г ^ А ,⁰" <^{1 5}/ 4 .

Этот пример показывает, что, имея довольно скудную информацию о

{Cj}j>u можно из теоремы получать двусторонние оценки для наименьшего собственного значения матрицы ( 1 ) .

П р и м е р 2. Пусть в матрице (1) будет

п=2к+\.

Предположим, что

C i > f , Cr_ i > l , _ C r = . 0 , cr+a = 0, c r + a+ 1 > l , C 2f t + i > l ,

где г и а —целые положительные числа такие, что К г , г+ос^2/с+1, при­

чем а нечетно. ' В этом случае простые вычисления дают, что a⁰= ( a + 3 ) " "². Поэтому

8 ( a + 3 ) -²< X⁰^ 1 5 ( a + 3 ) -².

З а м е ч а н и е . Для большого количества задач математической физики вычис­

ления строятся таким образом, что на каждом шаге приходится решать трехточеч- ные уравнения вида

(10) Aiyi-i-Ciyi+Bw+i^-Fi, *=1, 2 Лг^О, В^{Ф0, с некоторыми краевыми условиями,

Эта задача является классической, к ней сводятся многие сложные задачи тео­

рии вычислительных методов (см.- [1, с. 39]). Систему уравнений (10) нетрудно привести к такой, чтобы соответствующая матрица имела вид (1).

Литература

1. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. Новосибирск:Наука, 1973.

2. Гулд С. Вариационные методы в задачах на собственные значения. М.: Мир, 1970.

S. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

Поступила в редакцию 13.11.1980 Переработанный вариант 18.XII.1980