Векторное граничное управление тепловыми процессами, описываемыми вольтерровыми интегро-дифференциальными уравнениями

(1)

Теорема 2. Айталық fL_p(R), ал r(x)1 функциясы үзіліссіз дифференциалдансын және

0 )

( lim , 0

lim ( ,)

/ 1 / 1 )

, ( /

1   







 







 L t

q p x t

L p

x p p

r t r

x

теңдігі орындалсын. Сонда (1) дифференциалдық теңдеудің шешімдерінің жиыны L_p(R)- де компактылы. Басқаша айтқанда, (1) теңдеуінің резольвентасы L_p(R) кеңістігінде компактылы оператор болады.

Теорема 2 және оның шарттары орындалғанда (1) теңдеуінің шешімдерін L_p(R) - дің шекті ӛлшемді ішкі кеңістіктері элементтерімен осы L_p(R) нормасы бойынша жуықтауға болатынын кӛрсетеді.

Қолданылған әдебиеттер тізімі

1. W.N. Everitt, M. Giertz. Some properties of the domains of certain differential operators // Proc. London Math. Soc., 1971, Vol. 23, № 3, Р. 301-324.

2. W.N. Everitt, M. Giertz. On some properties of the domains of powers of certain differential operators // Proc. London Math. Soc., 1972, Vol. 24, № 3, Р. 756-768.

3. K. Ospanov, R. Akhmetkaliyeva. Separation and the existence theorem for second order nonlinear differential equation// Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 2012, № 66, Р. 1-12.

4. K. Ospanov. L₁- maximal regularity for quasilinear second order differential equation with damped term // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 2015, № 39, Р. 1–9.

5. W.N. Everitt, M. Giertz. An example concerning the separation property of differential operators // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect. A., 1973, Vol. 71, № 2, Р. 159-165.

УДК 517.97

ВЕКТОРНОЕ ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

ТЕПЛОВЫМИ ПРОЦЕССАМИ, ОПИСЫВАЕМЫМИ ВОЛЬТЕРРОВЫМИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

Сейдакмат кызы Эркеаим [email protected]

Преподаватель Кыргызско-Российского Славянского университета имени первого президента РФ Б.Н. Ельцина, Бишкек, Кыргызстан

Научный руководитель – А. Керимбеков

Рассмотрим управляемый тепловой процесс ^

 

^{t x}^, ^,

 

^{t x}^, ^{   }^Q



⁰ ^x ^{1, 0}^{ }^t ^T



^,

описываемый краевой задачей [1,2]

       

0

, , , , , ,

t x

t

x K t x d g t x t x Q

  



     (1) а на границе области Q начальному условию

 

^0,^x

 

^x ^{, 0} ^x ¹

    , (2) и граничным условиям

 

, 0 1 , 1

 

, 0

x t  p t u t   t T

 ,

 

,1

 

,1 2 , 2

 

, 0

x t  t  p t u t   t T

  , (3)

(2)

где ^{K t}

 

^,^ – известная ограниченная функция, т.е.

 

0 ,

sup ,

t D

K K t

 



 ; (4)

 

^,

 

g t x H Q , ^

 

^x ^^H

 

^0,1 ^– ^{заданные} ^{функции;} p t u t1 , 1

 

H

 

0,T ,

   

2 , 2 0,

p t u t H T – функции внешних источников, нелинейно зависящие от функции управления u t1

 

H

 

0,T и u t2

 

H

 

0,T и по функциональным переменным

   

1 , 2

u t u t удовлетворяют условию

   

1

2 2

, 1 ,

0, 0

p t u t p t u t

u u

       

  , ^{ }^t

 

^0,^T ; (5)

– параметр, постоянная  0, T–фиксированный момент времени; H Y( )–гильбертово пространство функций, определенных на множестве Y .

Слабо обобщенным решением краевой задачи (1) – (3) называется функция ^

 

^{t x}^, ^^{H Q}

 

^,

которое удовлетворяет интегральному тождеству [3]

 

² ²

           

1 1

0 0 0

, , , , ,

t t

t xx

t

t dx  t x  K t x d g t x  t x dxdt

      

   

  



^



^{ } ^ ^



^{ } ^ ^ ^

(6)

                   

2

1

2 , 2 ,1 ,1 ,1 ,1 1 , 1 ,0 , 0 , 0

t

x x

t

t t t t

p t u t     p t u t  t  t  t dt

 





          ^,

при любых

t

₁ и

t

₂



0   t1 t t2 T



, и для любой функций ^

 

^{t x}^, ^^C^1,2^{( )}^Q , а начальному и граничным условиям в слабом смысле, т.е.

       

1 1

0 0

00 0

lim 0,

t  x  x dx  x  x dx









^,

   

1 1 1

   

1

0 0 0

lim , 0 ,

T T

x x t  t dt p t u t  t dt

 







  ^,

   

 

1

^{ }

2 2

^{   }

1

1 00 0

lim ,1 ,1 ,

T T

x x t  t  t dt p t u t  t dt

 



 



  , (7) для любых функций 0

 

x H(0,1) и 1

 

t H

 

0,T , где

C

^1,2

( ) Q

– пространство функций, имеющих производную первого порядка по переменной t и второго порядка по переменной

x.

Слабо обобщенное решение краевой задачи (1)-(3) построим в виде

 

ⁿ²^t

n t e ^ n

  ^  

             

2( )

2 2 1 1

0 0

, , 1 , 0

n t

t

n n n n

e ^ ^ K s s ds g p t u t z p t u t z d

    

   

      

     

 









, (8)

которой при каждом фиксированном n1, 2,3, определяется как решение линейного интегрального уравнения [4]

       

0

,

t

n t K t sn n s ds a tn

 



  , (9) с ядром

 

^, ^t ⁿ²^{ }

 

^,

n

K t s 



e^^ t^^ K  s d , (10)

(3)

и свободным членом

 

² ²⁽ ⁾

  

² ²

   

¹ ¹

    

0

, 1 ,

n n

t

t t

n n n n n

a t e^^  



e^^ ^^ g  p  u  z p  u  z d , (11) где функции zn

 

x определяется как решение краевой задачи [5]

 

²^z

 

^0, ^z

 

⁰ ^0, ^z

 

¹

 

¹ ⁰

z^^ x  x  ^  ^ z  .

Собственные значения  находится как решения трансцендентного уравнения   tg  и удовлетворяют условиям

1, 1, 2,3, , lim

n n n

n

  _ n 

       и



¹

 

² ¹



n 2

n    n , а соответствующее собственные функции краевой задачи имеет вид

  

² ²



2 2

2

cos , 1, 2, 3,

n

n n

n

x x

z   n

   

   

  ,

и образует полную ортонормированную систему в гильбертовом пространстве ^H

 

^0,1 ^{. А}

 

n, gn

  – коэффициенты Фурье соответственно функций ^

 

^x ^и^{g t x}^,

 

^.

Решение интегрального уравнения (3.1.9) находим по формуле [4]

       

0

, ,

t

n t R t sn an s ds a tn

 



  , (12) где R t sn



^{, ,}



резольвента ядра K t s_n

 

, K_n,1

 

t s, и итерированные ядра K_{n i},

 

t s, определяются по формулам (2.1.24), (2.1.25).

Слабо обобщенное решение краевой задачи (1) – (3) имеет вид

         

1 0

, , ,

t

n n n n

n

t x R t s a s ds a t z x

 ^  



 

   

 

 

, (13) и удовлетворяет соотношению ¹

 

0 0

,

T

t x dxdt

  



, т.е. является элементом пространства

 

H Q .

Рассмотрим задачу оптимизации, где требуется минимизировать квадратичный интегральный функционал

   

¹

   

²



1²

    

1

0 2

2 2 0

, , 0

,

T

Ju t u t 



 T x  x  dx



u t u t dt   , (14) где ^

 

^x ^^H

 

^0,1 – заданная функция, на множестве решений краевой задачи (1)-(3), т.е.

нужно найти такие управления u t1⁰

 

H

 

0,T и u t2⁰

 

H

 

0,T , которые вместе с соответствующим им решением ^⁰

 

^{t x}^, краевой задачи (1)-(3) доставляет наименьшее возможное значение функционалу (14). При этом u1⁰

 

t и u2⁰

 

t называется оптимальными управлениями, а ^⁰

 

^{t x}^, – оптимальным процессом.

Согласно методике вывода принципа максимума [5] приращение функционала (14) можно представить в виде

J[ ,u u1 2]J



u1 u u1, 2 u2



J[ ,u u1 2]

       

¹ ²

0 0

1 2

, , , , , , ( , )

T

u u

t t x  t x t t dt  T x dx

  



   



, (15) где

(4)

       

1 2

, , , , , ,

t t x t x u t u t

   

     

1 1

   

2 2

         

1 2

, , , , , , , , , , , ,

t t x t x u t u t u t u t t t x t x u t u t

            ,

       

1 2

, , , , , ,

t t x t x u t u t

   

 

^t^{, 0} ^{p t}¹ ^,^u¹

 

^t

 

^t^,1 ^p² ^t^,^u²

 

^t



^u¹²

 

^t ^u²²

 

^t



       , (16)

 

^{t x}^,

 – определяется как решение сопряженной краевой задачи

   

^, ^, ^{0, 0} ^{1, 0}

T

t xx

t

K t x d x t T

 

  



        ^,



^{T x}^,



^²^_



^{T x}^,



^

 

^x ^_ ^^{0, 0}^{ }^x ¹

   ,

 

^,0 ^0,

 

^,1

 

^,1 ^{0, 0}

x t x t t t T

       . (17) Решение сопряженной краевой задачи (17) находится по формуле

     

²^ ^

 

²^ ^

 

1

, 2 , , ⁿ ⁿ

T

T s T t

n n n n n n

n t

t x L s t T e ^ ds T e ^ z x

 ^     ^ ^   ^ ^



 

         

 

 

, (18)

где

       

0

, ,

T

n T R T sn an s ds an T

 



  ^,

 

² ²^ ^

  

²

   

¹ ¹

    

0

, 2 1 , 0

n n

T T T

n n n n n

a T e^^  



e^^ ^^ g   p  u  z  p  u  z d , (19) а резольвента L s tn



^{, ,}



определяется в виде ряда Неймана и сходится равномерно для любого значения



.

Согласно принципу максимума для систем с распределенными параметрами [5], условия оптимальности векторного управления определяются соотношениями

 

    ^{ }

 

    ^{ }

1

2

1

1 1

2 2

2

2 , 0 ,

2 ,

,

1

, ,

u

u t t u t

t

t p

u t

p t u t

 

  

  

  



 

  



(20)

   

¹

 ^{ } _{ } 

1 1

1

1 1

, 0

u ,

u u

t u t u t

t u t p

p

 

  

 

     

,

   

²

 ^{ } _{ } 

2 2

2

2 2

, 0

u ,

u u

u t t u t

t u t p

p

 

  

 

     

. (21) Оптимальное управление находим согласно условиям оптимальности (20) и (21).

Решение сопряженной краевой задачи (17), определяемое равенствами (18) и (19), подставим в (20)

     

²^ ^ ²^ ^

1 1

1

1 0 , , ⁿ ⁿ

T

T s T t

n n n n

n t

z T L s t e ds e

u p u

 

   



 

   



 

       

   

   

 



 

^,

     

²^ ^ ²^ ^

2 1

2 2

1

1 , , ⁿ ⁿ

T

T s T t

n n n n

n t

z T L s t e ds e

u p u

 

  

 

 

   



 

      

 

   

 







^,

и приводим к виду

(5)

 

   

 

   

 

            ^{ } _{ }

1

2 1

1 1

1

2 2

2

1

1 0

0 ,

, , 0 , 1

1 ,

,

T n

n n

u n

u

n n

n

z p u

G t S z z d

z u t

p t u t u p t u

p t

u

 t  

 

 





 

 

 

      

 

   

   

    

       





 

 

   

1

0 ,

1

n

n n

z G t h

z 







 





  , (22) где

     

2 2

0 0

, , ,

n n

T T

T s

n n n n n n

h   ^e^^  R T s  e^^ ds^ S t  g  d









; (23)

 

^, ⁿ²^^T ^ ^T



^{, ,}



ⁿ²^{ }

n

t s t

n t

e R T s e d

S t  ^ ^^ ^   ^^ ^ s^





; (24)

 

^, ⁿ²^^{T t}^ ^T



^{, ,}



ⁿ²^^{T s}^

n n

t

G t  ^e^^ ^  L s t  e^^ ^ ds^





. (25) Таким образом, оптимальное управление определяется как решение системы нелинейных интегральных уравнений (22) и при этом должно выполняться условия (21).

Список использованных источников

1. Владимиров В.С. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц //

Труды МИАН, 1961, Т. 61, С. 3-158.

2. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений - М.: Наука, 1982, 304 с.

3. Плотников В.И. Энергетическое неравенство и свойство переопределенности системы собственных функции // Изв. АН СССР сер.мат., 1968, Т. 32, № 4, C. 743-755.

4. Краснов М.В. Интегральные уравнения. - М.: Наука, 1975, 303 с.

5. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами - М.:

Наука, 1978, 500 с.

УДК 510

ЕВКЛИДТІК РАЦИОНАЛДЫ ТРИГОНОМЕТРИЯ Татиева К.

[email protected]

Е.А.Бӛкетов атындағы Қарағанды мемлекеттік университетінің студенті,Қарағанды қ., Қазақстан

Ғылыми жетекшісі – А.Р. Ешкеев

Евклидтік геометрия үшін рационалды тригонометрияның негізгі ұғымдарын мен ережелерін алғаш рет 2005 жылы Н.Дж.Уайлдберг енгізді. Кейіннен бұл түсініктерді ол гиперболалық геометрия үшін кеңейтті.

Жаңа тригонометрияның негізі –арақашықтық пен бұрыш деген түсініктердің орнына квадранс (quadrance) және апертура (spread) ұғымдарына ауыстыруы болып табылады. Бұл тәсіл тригонометриялық функциялардың мәндерінің кестесінен, яғни жуық мәндерден бас тартып, кӛбінесе дәлірек мәнге ие болады.