Весовая оценка промежуточного оператора на конусе неотрицательных функции

(1)

УДК 517.51

ВЕСОВАЯ ОЦЕНКА ПРОМЕЖУТОЧНОГО ОПЕРАТОРА НА КОНУСЕ

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Р. Ойнаров

Аннотация: Рассматривается интегральный оператор

Kβf(x) =

x

Z

0

K^β(x, t)f(t)dt, x >0, 0≤β≤1, K≡K1.

При некотором ограничении на положительную непрерывную функциюK(x, s)по- лучены необходимые и достаточные условия на весовые функции u, v и ρ, при которых справедливо неравенство kuK_βfkq ≤ C(kρfkp+kvKfkr), f ≥ 0, когда 1< p, q, r <∞,q≥max{p, r}. Библиогр. 8.

1. ПустьR+= (0,+∞),µиλ— неотрицательные борелевские меры наR+, u, v и ρ— весовые функции наR+,т. е. неотрицательные локально интегриру- емые наR+ функции. ПустьK — интегральный оператор вида

Kf(x) =

x

Z

0

K(x, t)f(t)dt, x >0, (1)

с непрерывным при0< s≤x <+∞ядромK(x, t), удовлетворяющим условиям:

(а)K(x, s)>0приx > s;

(б) существует постояннаяd≥1такая, что 1

d(K(x, t) +K(t, s))≤K(x, s)≤d(K(x, t) +K(t, s)) (2) для всех x, t, sтаких, что0< s < t < x <∞.

Оператор вида (1) с условием (б) был введен в работе [1], а различные его свойства исследованы в работах [2, 3]. Класс операторов вида (1) с условиями (а) и (б) включает в себя почти все известные операторы дробного интегриро- вания, в частности, оператор Римана — Лиувилля

Rαf(x) = 1 Γ(α)

x

Z

0

(x−s)^α−1f(s)ds, α≥1, гдеΓ(·)— гамма-функция.

Введем «промежуточный» оператор вида Kβf(x) =

x

Z

0

K^β(x, t)f(t)dt, (3)

c 2002 Ойнаров Р.

(2)

где 0 ≤β ≤1, который при β = 1сводится к оператору (1), а приβ = 0— к оператору интегрирования

K0f(x) =

x

Z

0

f(s)ds.

Рассмотрим неравенство

kKβfkq,µ≤C(kρfkp+kKfkr,λ), f ≥0, (4) где1< p, q, r <∞,k · k_p — обычная норма пространстваL_p(R+),

kgkq,µ=





∞

Z

0

|g(x)|^qdµ(x)





1 q

.

В случае, когда в (4) dµ(x) = u^q(x)dx, dλ(x) = v^r(x)dx, K ≡ Rn, β = ^m−1_n−1, m=n−k,0≤k≤n−1, имеем неравенство

kuRmfk_q ≤C(kρfk_p+kvRnfk_r), f ≥0, (5) которое эквивалентно весовой оценке промежуточных производных

kuy^(k)kq ≤C(kρy⁽ⁿ⁾kp+kvykr) (6) на классе функцииM ={y:y⁽ⁿ⁾≥0,y⁽ⁱ⁾(0) = 0, i= 0,1, . . . , n−1}.

Оценка вида (6) используется в различных задачах математического анали- за, и проблема заключается в нахождении необходимых и достаточных условий на весовые функции u, v и ρ таких, что справедливо (6) для всех функций y, для которых конечна правая часть (6).

При n = 1, p = r решение этой задачи дано в работах [4–6], а в общем случае вопрос остается открытым.

Неравенство (4) в случае, когдаdµ(x) =u^q(x)dx,dλ(x) =v^r(x)dx,1< p= r ≤ q < ∞, исследовано в [7] при β = 0, a при β = 1 и 0 < β < 1 основные результаты анонсированы соответственно в [1, 8].

Пусть ρ⁻¹ ≡ ¹_ρ ∈ L^loc_p0 (R+), ¹_p + _p¹0 = 1, и для функции ρ^−p⁰(·)χ_[t,z)(·), где χ[t,z)(·)— характеристическая функция интервала[t, z)⊂R+, правая часть (4) конечна. Тогда из (2) и (4) вытекают следующие необходимые условия на µи λ:

µ([t,+∞))≡

+∞

Z

t

dµ(x)<∞, Z

[t,+∞)

K^βq(x, t)dµ(x)≡

∞

Z

t

K^βq(x, t)dµ(x)<∞,

+∞

Z

t

dλ(x)<∞,

∞

Z

t

K^r(x, t)dλ(x)<∞ ∀t >0, которые далее будем считать выполненными.

ВR⁺определим функции ϕ(·)иϕβ(·):

ϕ(z) =



 inf

0<t<z









z

Z

t

ρ^−p⁰ds





−_p¹0

+





∞

Z

t

K^r(x, t)dλ(x)





1 r







−1

,

(3)

ϕβ(z) = [ inf

0<t<z(Φβ(t, z) + Ψβ(t, z))]⁻¹, где

Φβ(t, z) = inf

t<τ <z









τ

Z

t

K^βp⁰(z, s)ρ^−p⁰(s)ds





−_p¹0

+K^−β(z, τ)





∞

Z

z

K^r(x, z)dλ(x)





1 r

,

Ψ_β(t, z) =





z

Z

t

K^(1−β)r(x, t)dλ(x)





1 r

+K^1−β(z, t)





∞

Z

z

dλ(x)





1 r

.

Положим

A1(z, β) =ϕ(z)





∞

Z

z

K^βq(x, z)dµ(x)





1 q

, A2(z, β) =ϕβ(z)





∞

Z

z

dµ(x)





1 q

,

Ai≡Ai(β) = sup

z>0

Ai(z, β), i= 1,2, Aβ= max{A1(β), A2(β)}.

Заметим, что при β = 0 в силу (2) ϕ0(z) ≈ϕ(z) для любых z > 0 и поэтому A0≈A1(0)≈A2(0).

Здесь и далее A << C означает A≤αC с некоторой постояннойα > 0, а запись A ≈C утверждает наличие двусторонней оценки A << C << A. Для удобства примем также соглашения

Z

[t,z)

f(x)dµ(x)≡

z

Z

t

f(x)dµ(x).

2. Основной целью настоящей статьи является доказательство следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть 1 < p, q, r < ∞, max{p, r} ≤ q, 0 ≤ β ≤ 1, функция K(x, s) непрерывна при 0 < s ≤ xи удовлетворяет условиям (а) и (б). Тогда неравенство(4)выполнено тогда и только тогда, когдаAβ<∞, причемAβ≈C, гдеC — константа в(4), наименьшая из возможных.

Доказательство. В ходе доказательства без напоминания будут исполь- зованы почти неубывание по первому аргументу (dK(x, s) ≥ K(t, s) при x >

t > s >0)и почти невозрастание по второму аргументу(dK(x, s)≥K(x, t)при x > t > s >0)функцииK(x, s), вытекающие из левого неравенства (2).

Необходимость. Полагаяf(·) =ρ^−p⁰(·)χ_[t,z)(·), имеем

kKβfkq,µ>>





∞

Z

z

K^βq(x, z)dµ(x)





1 q z

Z

t

ρ^−p⁰(s)ds, kρfkp=





z

Z

t

ρ^−p⁰(s)ds





1 p

,

kKfk_r,λ<<





∞

Z

t

K^r(x, t)dλ(x)





1 r z

Z

t

ρ^−p⁰(s)ds.

(4)

Подставив последние оценки в (4) и заметив, что после сокращения обеих частей полученного неравенства на

z

R

t

ρ^−p⁰(s)dsлевая часть его не зависит отt,0< t <

z, получим





∞

Z

z

K^βq(x, z)dµ(x)





1 q

<< Cϕ⁻¹(z) ∀z >0.

Следовательно, A₁(β)<< C <∞. Если β6= 0, то введем еще функцию f(·) =χ_[t,τ)(·)K^β(p⁰⁻¹⁾(z,·)ρ^−p⁰(·), 0< t < τ < z.

Тогда

kKβfkq,µ>>





∞

Z

z

dµ(x)





1 q τ

Z

t

K^βp⁰(z, s)ρ^−p⁰(s)ds, (7)

kρfkp=





τ

Z

t





1 p

, (8)

kKfkr,λ<<





z

Z

t

K^r(1−β)(x, t)dλ(x)





1 r τ

Z

t

+





∞

Z

z





τ

Z

t

(K(x, z) +K(z, s))K^β(p⁰⁻¹⁾(z, s)ρ^−p⁰(s)ds





r

dλ(x)





1 r

<<









z

Z

t

K^r(1−β)(x, t)dλ(x)





1 r

+K^−β(z, τ)





∞

Z

z

K^r(x, z)dλ(x)





1 r

+K^1−β(z, τ)





∞

Z

z

dλ(x)





1 r



τ

Z

t

K^βp⁰(z, s)ρ^−p⁰(s)ds. (9) Подставляя (7), (8) и (9) в (4) и сокращая обе части полученного неравенства на

τ

R

t

K^βp⁰(z, s)ρ^−p⁰(s)ds, а затем учитывая, что левая часть этого неравенства не зависит отτ,t < τ < z, и отt,0< t < z, получим





∞

Z

z

dµ(x)





1 q

<< Cϕ⁻¹_β (z) ∀z >0.

Отсюда следует, чтоA2(β)<< C <∞. Необходимость доказана.

Достаточность. ПустьAβ < ∞ и для функции f ≥ 0 конечна правая часть (4). Далее рассмотрим два случая: β = 0и0< β≤1.

Случайβ= 0. В этом случаеA₀≈A₁(0)≈A₂(0)и K0f(x) =

x

Z

0

f(s)ds.

(5)

Следовательно, мы должны показать, что изA1=A1(0)<∞вытекает

kK0fkq,µ≤C(kρfkp+kKfkr,λ) (10) и C << A₁, гдеC — константа в (10), наименьшая из возможных.

В силу непрерывности и монотонности функцииK0f(x)наR⁺ существует последовательность точек {xk}_k∈Z₀ ⊂R+, Z0⊂Z, таких, что

2^k−1=K0f(xk−1) =

x_k

Z

xk−1

f(s)ds∀k∈Z0, R+= [

k∈Z0

[xk, xk+1),

[xi, xi+1)∩[xj, xj+1) =∅приi6=j иK0f(x)≤2^k+1 при xk ≤x≤xk+1, k∈Z0. Тогда

kK0fk^q_q,µ= X

k∈Z0

xk+1

Z

x_k

|K0f(x)|^qdµ(x)≤ X

k∈Z0

2^(k+1)q

xk+1

Z

x_k

dµ(x). (11)

Из A1=A1(0)<∞следует, что для любогоk∈Z0

∞

Z

xk

dµ(x)≤A^q₁ϕ^−q(xk)≤A^q₁









x_k

Z

xk−1

ρ^−p⁰ds





−¹

p0

+





∞

Z

xk−1

K^r(x, x_k−1)dλ(x)





1 r



q

.

Поэтому из (11) имеем

kK0fk^q_q,µ≤A^q₁ X

k∈Z0

2^q(k+1)









x_k

Z

x_k−1

ρ^−p⁰ds





−_p¹₀

+





∞

Z

x_k−1

K^r(x, x_k−1)dλ(x)





1 r



q

<< A^q₁



 X

k∈Z0

2^q(k−1)





x_k

Z

xk−1

ρ^−p⁰ds





−_p^q₀

+X

k∈Z0

2^q(k−2)





∞

Z

xk−1

K^r(x, xk−1)dλ(x)





q r



=A^q₁(I₁+I₂). (12) Учитывая, что q≥pи q≥r≥1, получим

I1= X

k∈Z0





x_k

Z

xk−1

f(s)ds





q



x_k

Z

xk−1

ρ^−p⁰ds





−_p^q₀

≤ X

k∈Z0





x_k

Z

xk−1

|ρf|^pds





q p

≤





 X

k∈Z0

xk

Z

xk−1

|ρf|^pds







q p

≤ kρfk^q_p, (13)

I₂= X

k∈Z0





∞

Z

xk−1





x_k−1

Z

xk−2

K(x, x_k−1)f(s)ds





r

dλ(x)





q r

≤



 X

k∈Z0

X

i≥k x_i

Z

xi−1





xk−1

Z

x_k−2

K(x, x_k−1)f(s)ds





r

dλ(x)





q r

(6)

<<



 X

i x_i

Z

xi−1

X

k≤i





xk−1

Z

xk−2

K(x, s)f(s)ds





r

dλ(x)





q r

≤



 X

i x_i

Z

xi−1



 X

k≤i xk−1

Z

xk−2

K(x, s)f(s)ds





r

dλ(x)





q r

≤ kKfk^q_r,λ. (14)

Из (12)–(14) следует (10) с оценкойC << A1.

Случай0< β ≤1. Из условии (2) вытекает, что K^β(x, s)≤d^β K^β(x, t) +K^β(t, s)

, 0< s < t < x. (15) ПоложимD=d^β+ 1 и для любогоk∈Zопределим

xk = sup{x >0 :Kβf(x)≤D^k}.

Очевидно, чтоx_k≤x_k+1 и в силу непрерывности функцииK_βf(x)будетD^k = Kβf(xk), если xk < ∞. Пусть Zβ = {k : D^k = Kβf(xk), k ∈ Z}. Тогда [xi, xi+1)∩[xj, xj+1) =∅приi6=j,i∈Zβ,j∈Zβ и

R+= [

k∈Zβ

[x_k, x_k+1), K_βf(x)≤D^k+1 приx_k ≤x≤x_k+1, k∈Zβ. (16) Дляk∈Zβ в силу (15) имеем

D^k−1=D^k−d^βD^k−1=

xk

Z

0

K^β(x_k, s)f(s)ds−d^β

xk−1

Z

0

K^β(x_k−1, s)ds

≤

x_k

Z

xk−1

K^β(xk, s)f(s)ds+d^βK^β(xk, xk−1)

xk−1

Z

0

f(s)ds

<<

x_k

Z

x_k−1

K^β(x_k, s)f(s)ds+K^β(x_k, x_k−1)K₀f(x_k−1). (17) Из (16) следует

kKβfk^q_q,µ= X

k∈Zβ

xk+1

Z

x_k

K_βf(x)q

dµ(x)≤ X

k∈Zβ

D^q(k+1)

xk+1

Z

x_k

dµ(x)

= X

k∈Z⁰_β

+ X

k∈Z⁰⁰_β

D^q(k+1)

xk+1

Z

x_k

dµ(x) =I⁰+I⁰⁰, (18) гдеZ⁰⁰β =Z−Z⁰β иk∈Z⁰β, если

Φ_β(x_k−1, x_k)≤Ψ_β(x_k−1, x_k). (19) Используя (17), оценимI⁰ иI⁰⁰ по отдельности:

I⁰= X

k∈Z⁰_β

D^q(k+1)

xk+1

Z

x_k

dµ(x)<< X

k∈Z⁰_β

D^q(k−2)

xk+1

Z

x_k

dµ(x)

(7)

<< X

k∈Z⁰_β







xk−1

Z

x_k−2

K^β(xk−1, s)f(s)ds







q xk+1

Z

x_k

dµ(x)

+ X

k∈Z⁰β

K^βq(x_k−1, x_k−2)(K0f(x_k−2))^q

x_k+1

Z

x_k

dµ(x) =I₁⁰ +I₂⁰. (20)

Из условияA2=A2(β)<+∞и из (19) выводим, что дляk∈Z⁰β

∞

Z

xk

dµ(x)≤A^q₂ϕ^−q_β (xk)<< A^q₂(Ψβ(xk−1, xk))^q.

Поэтому

I₁⁰ << A^q₂ X

k∈Z⁰_β







x_k−1

Z

xk−2

K^β(x_k−1, s)f(s)ds







q

Ψ_β(x_k−1, x_k)^q

<< A^q₂ X

k∈Z⁰_β







xk−1

Z

x_k−2







q





x_k

Z

x_k−1

K^r(1−β)(x₁, x_k−1)dλ(x)







q r

+A^q₂ X

k∈Z⁰β







xk−1

Z

xk−2







q

K^q(1−β)(xk, x_k−1)





∞

Z

xk

dλ(x)





q r

=A^q₂(I₁₁⁰ +I₁₂⁰ ). (21) Так какq≥r≥1, имеем

I₁₁⁰ = X

k∈Z⁰_β





x_k

Z

x_k−1

K^r(1−β)(x, x_k−1)





xk−1

Z

x_k−2





r

dλ(x)





q r

<<



 X

k∈Z⁰_β x_k

Z

xk−1





xk−1

Z

xk−2

K(x, s)f(s)ds





r

dλ(x)





q r

≤ kKfk^q_r,λ, (22)

I₁₂⁰ = X

k∈Z⁰β





∞

Z

x_k





x_k−1

Z

xk−2

K^β(x_k−1, s)K^(1−β)(xk, x_k−1)f(s)ds





r

dλ(x)





q r

<<



 X

k∈Zβ

X

i≥k xi+1

Z

x_i





x_k−1

Z

xk−2

K(x, s)f(s)ds





r

dλ(x)





q r

=



 X

i xi+1

Z

x_i

X

k≤i





xk−1

Z

x_k−2

K(x, s)f(s)ds





r

dλ(x)





q r

(8)

<<



 X

i x_i+1

Z

xi



 X

k≤i xk−1

Z

xk−2

K(x, s)f(s)ds





r

dλ(x)





q r

≤ kKfk^q_r,λ. (23) Из (21)–(23) следует, что

I₁⁰ << A^q₂kKfk^q_r,λ. (24) Переходим к оценкеI₂⁰:

I₂⁰ = X

k∈Z⁰β

K^βq(x_k−1, x_k−2)(K0f(x_k−2))^q

x_k+1

Z

xk

dµ(x)≤

∞

Z

0

|K0f(s)|^qdµ0(s), (25) где

dµ₀(s) = X

k∈Z⁰_β

K^βq(x_k−1, x_k−2)

xk+1

Z

x_k

dµ(x)δ_x_k−2(s)ds, (26) δx_k−2(s)— дельта-функция Дирaка в точке x_k−2∈R⁺. Как мы уже показали, имеет место оценка в виде (10)

∞

Z

0

|K₀f(s)|^qdµ₀(s)<<Ab^q₀(kρfk_p+kKfk_r,λ)^q, (27) где

Ab0= sup

z>0





∞

Z

z

dµ0(s)





1 q

ϕ(z).

В силу (26)

∞

Z

z

dµ0(s) = X

xk−2≥z

K^βq(xk−1, xk−2)

x_k+1

Z

xk

dµ(x)

<< X

x_k−2≥z xk+1

Z

x_k

K^βq(x, x_k−2)dµ(x)<<

∞

Z

z

K^βq(x, z)dµ(x).

Значит,

Ab0<<sup

z>0

ϕ(z)





∞

Z

z

K^βq(x, z)dµ(x)



=A1(β)≡A1

и из (25), (27) следует, что

I₂⁰ << A^q₁(kρfkp+kKfkr,λ)^q. (28) Из (20), (24) и (28) имеем

I⁰<< A^q_β(kρfk_p+kKfk_r,λ)^q. (29) Теперь оценимI⁰⁰. Ввиду (17)

I⁰⁰=D^2q X

k∈Z⁰⁰β

D^q(k−1)

x_k+1

Z

xk

dµ(x)<< X

k∈Z⁰⁰β







x_k

Z

xk−1

K^β(xk, s)f(s)ds







q

(9)

×

xk+1

Z

x_k

dµ(x) + X

k∈Z⁰⁰_β

K^βq(x_k, x_k−1)

xk+1

Z

x_k

dµ(x)(K₀f(x_k−2))^q =I₁⁰⁰+I₂⁰⁰. (30)

ВыражениеI₂⁰⁰ оценивается точно так же, как иI₂⁰, т. е.

I₂⁰⁰<< A^q₁(kρfkp+kKfkr,λ)^q. (31) Так как Φβ(x_k−1, xk) > Ψβ(x_k−1, xk) при k ∈ Z⁰⁰β, поступая так же, как при оценке I₁⁰, имеем

I₁⁰⁰<< A^q₂ X

k∈Z⁰⁰_β







x_k

Z

xk−1

K^β(xk, s)f(s)ds







q

(Φβ(xk−1, xk))^q.

Выберем τ=τ_k ∈(x_k−1, x_k)так, чтобы

τ_k

Z

xk−1

K^β(xk, s)f(s)ds=

x_k

Z

τk

K^β(xk, s)f(s)ds.

Тогда

Φβ(xk−1, xk)≤





τ_k

Z

x_k−1

K^βp⁰(xk, s)ρ^−p⁰(s)ds





−_p¹₀

+K^−β(x_k, τ_k)





∞

Z

x_k

K^r(x, x_k)dλ(x)





1 r

и

I₁⁰⁰<< A^q₂ X

k∈Z⁰⁰β

K^−βq(xk, τk)





x_k

Z

τ_k

K^β(xk, s)f(s)ds





q



∞

Z

x_k

K^r(x, xk)dλ(x)





q r

+A^q₂ X

k∈Z⁰⁰_β







τ_k

Z

xk−1

K^β(x, s)f(s)ds







q





τ_k

Z

xk−1

K^βp⁰(xk, s)ρ^−p⁰(s)ds







−_p^q0

<< A^q₂ X

k∈Z⁰⁰_β





∞

Z

xk

K^r(x, xk)





x_k

Z

τk

f(s)ds





r

dλ(x)





q r

+A^q₂ X

k∈Z⁰⁰_β







τ_k

Z

xk−1

|ρf|^pds







q p

<< A^q₂



 X

k∈Z⁰⁰β

X

i≥k x_i+1

Z

xi





x_k

Z

τ_k

K(x, s)f(s)ds





r

dλ(x)





q r

+A^q₂





 X

k∈Z⁰⁰β

τ_k

Z

xk−1

|ρf|^pds







q p

<< A^q₂





 X

i x_i+1

Z

xi





 X

k≤i x_k

Z

xk−1

K(x, s)f(s)ds







r

dλ(x)







q r

(10)

+A^q₂





 X

k xk

Z

xk−1

|ρf|^p ds







q p

<< A^q₂(kρfkp+kKfkr)^q.

Отсюда и из (31), (30) следует, что

I⁰⁰<< A^q_β(kρfkp+kKfkr)^q.

Это неравенство вместе с (29) и (18) приводит к соотношению kKβfkq,µ<< A_β(kρfkp+kKfkr)^q.

Следовательно, и в случае 0 < β ≤ 1 доказана справедливость (4) с оценкой Aβ>> C. Теорема 1 доказана.

Так как функции Ai(z, β),i= 1,2, суть произведения двух локально огра- ниченных функций, конечность Aβ зависит от поведения функции Ai(z, β) на концах интервалаR+. Поэтому справедлива

Теорема 1⁰. Пусть выполнены условия теоремы1. Тогда неравенство(4) выполнено тогда и только тогда, когда

z→0limAi(z, β)<∞, i= 1,2, (32)

z→∞lim A_i(z, β)<∞, i= 1,2. (33) 3. В качестве примера рассмотрим неравенство

kRmfk_q,µ≤C kfk_p,γ+kRnfk_r,λ

, f ≥0, (34)

гдеm=n−k,n≥1,0≤k≤n−1,dµ(x) =x^µqdx,dγ(x) =x^γpdx,dλ(x) =x^λrdx, µ, γ, λ∈R, которое эквивалентно неравенству

ky^(k)kq,µ≤C(ky⁽ⁿ⁾kp,γ+kykr,λ), y∈M. (35) Утверждение. Пусть1 < p, q, r < ∞, q≥ max{p, r}, m= n−k, n ≥ 1, 0≤k≤n−1. Тогда неравенство(34) (соответственно(35))выполнено для всех функций f ≥0, f 6≡0 (y ∈M,y 6≡0), для которых конечна правая часть (34) ((35)), тогда и только тогда, когда

µ+m−1 + 1/q <0, λ+n−1 + 1/r <0, (36) max{γ−1 + 1/p, λ+n−1 + 1/r} ≥µ+m−1 + 1/q

≥min{γ−1 + 1/p, λ+n−1 + 1/r} приγ <1−1/p, (37) λ+n−1 + 1/r≤µ+m−1 + 1/q приγ≥1−1/p. (38) Доказательство. Условие (36) эквивалентно существованию хотя бы од- ной функцииf ≥0,f 6≡0, для которой имеет место (34). Функцииϕиϕβ ≡ϕm

имеют вид

ϕ(z) = inf

0<t<z









z

Z

t

x^−γp⁰dx





−_p¹0

+





∞

Z

t

x^λr(x−t)^r(n−1)dx





1 r



−1

,

(11)

ϕm(z) = [ inf

0<t<z(Φm(t, z) + Ψk(t, z))]⁻¹, гдеΦm(t, z) = inf

t<τ <zg(t, τ, z),

g(t, τ, z)=





τ

Z

t

x^−γp⁰(z−x)^p⁰^(m−1)dx





−_p¹0

+(z−τ)^−m+1





∞

Z

z

x^λr(x−z)^r(n−1)dx





1 r

,

Ψk(t, z) =





z

Z

t

x^λr(x−t)^rkdx





1 r

+ (z−t)^k





∞

Z

z

x^λrdx





1 r

.

Произведем необходимые оценки функции ϕ и ϕm. Учитывая, что ϕ1 ≈ ϕ, в основном оцениваем функциюϕm.

Оценим снизу функциюϕ⁻¹_m(z) : Φm(t, z)≥z^−m+1









z

Z

t

x^−γp⁰dx





−¹

p0

+





∞

Z

z

x^λr(x−z)^r(n−1)dx





1 r

,

Ψ_k(t, z) =z^−m+1









z

Z

t

x^rλz^r(m−1)(x−t)^rkdx





1 r

+





∞

Z

z

x^rλ[z^m−1(z−t)^k]^rdx





1 r



≥z^−m+1









z

Z

t

x^rλ(x−t)^r(n−1)dx





1 r

+





∞

Z

z

x^rλ(z−t)^r(n−1)dx





1 r

.

Следовательно,

ϕ⁻¹_m(z)>> z^−m+1ϕ⁻¹(z). (39) Если γ < _p¹0, то

ϕ⁻¹(z)>>max{z^γ−^p¹⁰, z^λ+n−1+¹^r}. (40) При γ≥ _p¹0 рассмотрим два случая: z <1иz >1.

В случаеz <1

ϕ⁻¹(z)>> z^λ+n−1+¹^r. (41) Пустьγ > _p¹0 и z >1. Тогда

ϕ⁻¹(z)>> inf

0<t<z(t^γ−^p¹⁰ +t^λ+n−1+^r¹)≥ inf

0<t<∞(t^γ−^p¹⁰ +t^λ+n−1+¹^r)>>1. (42) В случаеγ=_p¹0 и z >1 имеем

ϕ⁻¹(z)>>min







0<t<1inf t^λ+n−1+¹^r, inf

1<t<z





z

Z

t

dx x





−_p¹₀





= min{1,|lnz|⁻^p¹⁰}=|lnz|⁻^p¹⁰. (43) Оценим сверху функцию ϕ⁻¹_m (z):

ϕ⁻¹_m(z)≤Φm

1 3z, z

+ Ψk

1 3z, z

<< g 1

3z,1 2z, z

+z^−m+λ+n+¹^r

<< z^−m+1max{z^γ−^p¹⁰, z^λ+n−1+¹^r}. (44)

(12)

Из (39), (40) и (44) следует, что приγ < _p¹0

ϕm(z)≈z^m−1min{z^p¹⁰^−γ, z^{−(λ+n−1+}¹^r⁾}. (45) Если γ≥ _p¹0 иz <1, то из (39), (41) и (44) получим

ϕm(z)≈z^m−(λ+n+¹^r⁾. (46)

А в случаеz >1из (39), (42) и (43) следует, что

ϕm(z)<< z^m−1 приγ >1/p⁰, (47) ϕm(z)<< z^m−1|lnz|^p¹⁰ приγ= 1/p⁰. (48) На основании теоремы 1⁰ неравенство (34) выполнено тогда и только тогда, когда

z→0limAi(z, m)<∞, i= 1,2, (49)

z→∞lim A_i(z, m)<∞, i= 1,2, (50) где

A1(z, m) =ϕ(z)





∞

Z

z

x^(µ−1)q(x−z)^µqdx





1 q

≈ϕ(z)z^µ+m+¹^q⁻¹,

A2(z, m) =ϕm(z)





∞

Z

z

x^µqdx





1 q

≈ϕm(z)z^µ+¹^q.

Из (36), (47) и (48) следует, что приγ≥ _p¹0 условие (50) всегда имеет место, а из (46) вытекает, что (49) выполнено тогда и только тогда, когдаλ−µ≤¹_q−¹_r−k.

Еслиγ < _p¹0, то ввиду (36), (45) условия (49), (50) эквивалентны соответственно правому и левому неравенствам (37). Утверждение доказано.

4. Рассмотрим неравенство

kK_β^∗gkqµ≤C kρgkp+kK^∗gkr,λ

, g≥0, (51) где

K^∗g(s) =

∞

Z

s

K(x, s)g(x)dx, K_β^∗g(s) =

∞

Z

s

K^β(x, s)g(x)dx,

0≤β≤1, функцияK(x, s)непрерывна приx≥s >0и удовлетворяет условиям (а) и (б). Предположим, что весовая функцияρи неотрицательные борелевские мерыµ,λудовлетворяют условиям

ρ⁻¹∈L^loc_p0 (R+),

t

Z

0

dµ(s)<∞,

t

Z

0

K^βq(t, s)dµ(s)<∞,

t

Z

0

dλ(s)<∞,

t

Z

0

K^r(t, s)dλ(s)<∞ ∀t >0.

(13)

Положим ϕ^∗(z) =



 inf

z<t<∞









t

Z

z

ρ^−p⁰ds





−_p¹0

+





t

Z

0

K^r(t, s)dλ(s)





1 r







−1

,

ϕ^∗_β(z) = [ inf

z<t<∞(Φβ(z, t) + Ψβ(z, t))]⁻¹, где

Φ^∗_β(z, t) = inf

z<τ <t









t

Z

τ

ρ^−p⁰(x)K^βp⁰(x, z)dx





−_p¹0

+K^−β(τ, z)





z

Z

0

K^r(z, s)dλ(s)





1 r

,

Ψ^∗_β(z, t) =





t

Z

z

K^(1−β)r(x, z)dλ(x)





1 r

+K^1−β(t, z)





z

Z

0

dλ(s)





1 r

,

A^∗₁(z, β) =ϕ^∗(z)





z

Z

0

K^βq(z, s)dµ(s)





1 q

, A^∗₂(z, β) =ϕ^∗_β(z)





z

Z

0

dµ(s)





1 q

,

A^∗_β = max{sup

z>0

A^∗_i(z, β), i= 1,2}.

Аналогично теореме 1 доказывается

Теорема 2. Пусть1 < p, q, r <∞,q≥max{p, r},0≤β ≤1. Пусть также функцияK(x, s)непрерывна при0≤s≤xи удовлетворяет условиям(а)и(б).

Тогда неравенство(51)выполнено в том и только в том случае, когдаA^∗_β<∞, причемA^∗_β ≈C, гдеC — константа в(51), наименьшая из возможных.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ойнаров Р.Весовые неравенства для одного класса интегральных операторов // Докл.

АН СССР. 1991. Т. 319, № 5. С. 1076–1076.

2. Ойнаров Р.Двусторонние оценки норм некоторых классов интегральных операторов //

Тр. МИ РАН.. 1993. Т. 204. С. 240–250.

3. Stepanov V. D.Weighted norm inequalities for integral operators and related topics // Non- linear analysis, function spaces and applications: Proc. Spring School held in Prague, May 23-28, 1994.. Prague, 1994. V. 5. P. 139–175.

4. Ойнаров Р., Отелбаев М.Критерии дискретности спектра общего оператора Штурма — Лиувилля и теоремы вложения, связанные с ними // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24,

№ 4. С. 584–591.

5. Oinarov R.On weighted norm inequalities with three weights // J. London Math. Soc.. 1993.

V. 48, N 1. P. 137–151.

6. Ойнаров Р.Об одном трехвесовом неравенстве // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат.. 1992.

№ 1. С. 47–51.

7. Ойнаров Р.Об одном трехвесовом обобщении неравенства Харди // Мат. заметки. 1993.

Т. 54, № 2. С. 56–62.

8. Ойнаров Р., Чагиров А. А.Трехвесовое неравенство с интегральным оператором // Докл.

НАН РК. 1993. № 2. С. 13–16.

Статья поступила 12 октября 2000 г.

Ойнаров Рыскул

Институт математики МОиН Республики Казахстан ул. Пушкина, 125, Алматы 480100, Казахстан

[email protected]