К вопросу о предельной погрешности неточной информации при оптимальном восстановлении функций

Н. Темиргалиев, Ш. Ажгалиев, Г. Таугынбаева

К вопросу о предельной погрешности неточной информации при оптимальном восстановлении функций

(Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, г. Астана) (Институт теоретической математики и научных вычислений, г. Астана)

В шкале пространств СоболеваW_p^r(0,1)получены предельно точные теоремы восстановления функций по неточной информации.

Введение. Ранее, в 2004 году в [1-2], было в введено новое понятие предельной погреш- ности неточной информации при оптимальном восстановлении, данная статья имеет целью в модельной ситуации показать ее содержательность.

Напомним постановку задачи. Пусть при некоторомk (k=1, 2, . . . ) даны нормированные пространстваX⁽¹⁾, ..., X^(k)и Y числовых функций, определенных на множествахΩ_X(1), ...,Ω_X(k)

и ΩY соответственно, множества F^(j) ⊂ X^(j)(j= 1, ..., k) и T = T f = u(y, f) ≡ u(y, f1, ..., fk) - отображение F = F⁽¹⁾ × ...×F^(k) в Y. Пусть также даны целые положительные числа N₁, ..., N_k, векторε^(N) = (ε₁, ...., ε_k)∈R^N (N =N₁+...+N_k), составленный из векторовε_j =

ε⁽¹⁾_j , ...., ε^(N_j ^j)

с неотрицательными компонентами ε⁽ⁱ⁾_j ≥ 0 (j = 1, ..., k;i = 1, ..., N_j), набор функционалов l^(N) = (l₁, ...., l_k), l_j =

l_j⁽¹⁾, ..., l^(N_j ^j)

, l⁽ⁱ⁾_j (·) :F^(j) → C (j= 1, ..., k;i= 1, ..., N_j) и функция ϕ_N(τ₁, ..., τ_k;y) :C^N×Ω_Y →C такая, что ϕ_N(τ₁, ..., τ_k;y) при всех фиксированных τj =

τ_j⁽¹⁾, ..., τ_j^(Nj)

(j = 1, ..., k) как функция от y принадлежит пространству Y, где C, как обычно, есть поле комплексных чисел.

Тогда для каждого f = (f1, ..., fk) ∈ Fсоответствующую функцию T f = u(y, f) будем приближать в метрикеY функцией - вычислительным агрегатом - ϕN(z;y)≡ϕN(z1, ..., z_k;y), z_j =

z_j⁽¹⁾, ..., z_j^(Nj)

(j= 1, ..., k), построенной по числовой информации z≡(z₁, ..., z_k) объема N, полученной обf посредством функционаловl₁, ...., l_k с точностьюε^(N)и переработанной по алгоритму ϕN до функции, зависящей от той же переменной, что и Tf. Именно, для данной пары l^(N), ϕ_N

положим

δ_N(

l^(N), ϕ_N

;T, F, ε^(N))_Y =

= sup

f = (f₁, ..., f_k)∈F (z1, ..., z_k) :

l_j⁽ⁱ⁾(fj)−z_j⁽ⁱ⁾ ≤ε⁽ⁱ⁾_j j= 1, ...., k;i= 1, ..., Nj

ku(·;f)−ϕN(z1, ..., z_k;·)k_Y (1)

Пусть теперь

l^(N), ϕ_N есть множество всевозможных пар l^(N), ϕ_N

и пусть D_N ⊂ l^(N), ϕN , т.е.DN есть некоторое множество вычислительных агрегатов l^(N), ϕN

.

Задача заключается в получении оценок сверху и оценок снизу (желательно совпадающих с точностью до констант) для величины

δN(ε^(N))≡δN(DN;T, F, ε^(N))Y = inf (^l(N),ϕN)^∈DN

δN(

l^(N), ϕN

;T, F, ε^(N))Y (2) и в указании вычислительного агрегата l^(N), ϕN

, реализующего оценку сверху.

Приε^(N)= (0, ...,0)∈R^N задача (1-2) есть задача восстановления по точной информации, где величина δ_N(0) в (1-2) одним из авторов [3] была названа компьютерным (вычислитель- ным) поперечником (подробности см., в [4]-[10]).

Теперь сформулируем задачу нахождения предельной погрешности неточной информации при оптимальном восстановлении.

Сначала условимся о следующих обозначениях. Черезc(α,β,. . . ) будем обозначать некото- рые положительные величины, разные, вообще говоря, в разных формулах и зависящие лишь от указанных в скобках параметров.

Если {A_N}^∞_N=1 – последовательность положительных чисел и {B_N}^∞_N=1 - произвольная числовая последовательность, то запись B_N <<

α,β,...A_N означает, что найдется постоянная c(α, β,. . . ), для которой при каждом целом положительном N выполнено неравенство |B_N| ≤ c(α, β, ...)AN. Если же {A_N}^∞_N=1 и {B_N}^∞_N=1 - две последовательности положительных чи- сел, то записьA_N ≺

α,β,...B_N означает, что одновременно выполняются соотношенияA_N <<

α,β,...B_N иA_N >>

α,β,...B_N.

В случае, если δN(DN, T, F; 0)_Y ≺ ψ(N) (N →+∞), то задача нахождения неулучша- емой последовательности ε˜N =

˜

ε⁽¹⁾_N , ...,ε˜^(N_N ⁾

(N = 1,2, ...) состоит в следующем: выполнено δ_N(D_N, T, F; ˜ε_N)_Y ≺ ψ(N) (N →+∞), и, одновременно, для всяких возрастающих к +∞

при возрастании N при каждом j последовательностей n

η^(j)_N o

(N = 1,2, ...;j= 1,2, ..., N) имеет место равенство

N→∞lim δN

DN, T, F;

η_N⁽¹⁾ε˜⁽¹⁾_N , ..., η^(N_N ⁾ε˜^(N)_N

Y

δ_N(D_N, T, F; 0)_Y =

(3)

= lim

N→∞

δN

D_N, T, F;

η⁽¹⁾_N ε˜⁽¹⁾_N , ..., η_N^(N)ε˜^(N_N ⁾

Y

ψ(N) = +∞.

Таким образом, задача заключается в нахождении предельно большой величины границы εN неточности информации, поскольку, величина допустимой ошибки, естественно, должна быть возможно большей. Здесь же сформулировано ее свойство быть предельной, но с сохра- нением максимально возможной скорости убывания уклонения при восстановлении по точной информации.

При этом, искомая нечувствительность к восстановлению по неточной информацииε˜_N сле- дует из неравенств

c1ψ(N)≤δ_N(D_N, u, F; 0)_Y ≤δ_N(D_N, u, F; ˜ε_N)_Y ≤c2ψ(N).

Приведем некоторые соображения, лежащие в основе определений (1)-(3).

Вычисление функционалов, как правило, не может быть математически точным, поэтому, самое лучшее, на что можно рассчитывать при восстановлении – это точность, с которой заданы сами используемые значения функционалов.

С другой стороны, излишняя точность вычислений при реализации алгоритма приводит к неоправданному увеличению объема памяти и количества арифметических операций, посколь- ку не улучшает заложенного в алгоритме порядка точности.

Математическим эквивалентом изложенных выше положений и является приведенная в (1)-(3) постановка задачи восстановления по неточной информации (см.[1],[2]).

Практическое использование вычислительной техники требует точную формулировку и ре- шение заложенных в (1)-(3) теоретических задач.

Во-первых, поскольку на компьютере можно изучать только то, что поддается описанию ко- нечными наборами конечных чисел, то именно этим продиктовано привлечение функционалов l(f)-числовой информации о функции f, априори несущей бесконечную информацию.

По сравнению с другими характеристиками функции (например, с наилучшими приближе- ниями функции многочленами заданного порядка по той или иной системе) требованию “для использования компьютеров исходные математические модели надо приближенно заменить такими, которые описываются конечным набором чисел”, непосредственно отвечает число- вая информация l₁(f), ...., l_N(f) объема N о функции f, с возможностью варьирования вида l получаемой числовой информации (но не безграничного, какие-то ограничения, например, линейность, для обеспечения содержательности должны быть (об этом см.[5])) .

Во-вторых, основными объектами в математических моделях (в их числе и в традиционных областях – механике, физике, технике), являются функции, интегралы, производные, решения дифференциальных, алгебраических и иных уравнений, которые в (1-2) вводятся конкретиза- цией оператора T f. Этим же обеспечивается то, что называют “массовостью алгоритма ” (см.

[11; Предисловие]).

Далее следует алгоритм ϕN переработки полученной числовой информации, с допусти- мой ошибкой ε^(N)- границей неточности используемой информации, до искомого T f со спосо- бом измерения отклонения по норме Y и с оптимизацией по всем агрегатам приближения из DN, что и составляет содержание задачи (1-2). Особо следует отметить роль классов F: без каких-либо количественных ограничений на характер изменения функции (даже бесконечная дифференцируемость недостаточна) всякая дискретная информация не будет достаточной для содержательных выводов (такой пример приведен, напр., в [4; §5]).

2. Необходимые определения и вспомогательные утверждения.Тот факт, что функцияf(x)абсолютно непрерывна на [a, b]будем коротко записыватьf ∈AC[a, b].

Класс Соболева W_q^r(0,1) (r= 1,2, ...; 1≤q≤+∞) есть множество всех 1-периодических функций f(x)таких, что f^(r−1) ∈AC[0,1], f^(r) ∈L^q(0,1)и выполнено неравенство

kfk_Wr

q ≡ kfk_Lq + f^(r)

L^q

≤1.

Для дальнейшего изложения понадобятся разделенные разности. Напомним их определение (см., напр., [13; гл.II, § 4]).

Пусть даны функцияf(x) (a≤x≤b) и попарно различные числа{x_j}ⁿ_j=0 ⊂[a, b].

Разделенными разностями 1-го порядка называются числа f(xi, xj) = f(xj)−f(xi)

x_j−x_i ,(j, i= 0,1, ..., n, i6=j).

Если уже определены разделенные разности r-го порядка f(xi, xi+1, ..., xi+r), то разделен- ные разности (r+ 1)−го порядка определяются равенством

f(x_i, ..., x_i+r+1) = f(x_i+1, ..., x_i+r+1)−f(x_i, ..., x_i+r) xi+r+1−xi

.

Отметим следующее свойство разделенной разности (см., напр., [11; гл.III, § 3, предложение 1]):

a) Пусть дана функцияf(x)(a≤x≤b)такая, что f^(r−1)(x)∈AC[a, b].Тогда f(x, x0, ..., xr−1) =

1

Z

0 t1

Z

0

...

tr−1

Z

0

f^(r)(x+t1(x0−x) +t2(x1−x0) +...+tr(xr−1−xr−2))dtr....dt2dt1.

Интерполяционным многочленом Лагранжа, построенном по попарно различным точкам x0, ..., xr−1 и по соответствующим им значениям z0, ..., zr−1, называется функция (см., напр., [13; гл.II,§ 2]).

L_r(x)≡L_{x0,...,xr−1}(z₀, ..., zr−1;x) =

r−1

X

j=0

z_j·

r−1

Y t= 0 t6=j

x−x_t xj −xt

.

В частности, в случае табличного задания функции f(xj) =zj (j = 0, ...., r−1), полагают Lr(f, x)≡Lx0,...,xr−1(f(x0), ..., f(xr−1);x).

Для погрешности приближения функции ее многочленом Лагранжа имеет место следующее представление (см., напр., [13; гл.II,§ 5]):

b) Пусть даны функция f(x)(a≤x≤b) и числа a≤x₀< ... < xr−1 ≤b.Тогда f(x)−Lr(f, x) =f(x, x0, ..., xr−1)ωr(x),

гдеωr(x) =ωx0,...,xr−1(x) = (x−x0)·...·(x−xr−1).

Пусть даны r ≥ 2 и целое k ≥ 2 и пусть N = k(r −1). Через L⁽ⁱ⁾_N,r(f) (i= 0,1, ...k−1) обозначим интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по значениям непрерывной функции f(x) в точках ^i(r−1)_N ,^i(r−1)+1_N , ...,^(i+1)(r−1)_N .

Справедлива

Лемма 1. Пусть даны целое число r ≥2и 1≤p≤ ∞и пусть f(x)∈W_p^r(0,1). Тогда для всякого целого k≥2иN =k(r−1), для всякого i= 0,1, ..., k−1и всякого x∈h_i(r−1)

N ,^(i+1)(r−1)_N i имеет место неравенство

f(x)−L⁽ⁱ⁾_N,r(f, x)

≤ Cr

N^r−1

(i+1)(r−1)

ZN

i(r−1) N

f^(r)(t)

dt,

где C_r=r^r.

Теперь определим следующий агрегат приближения:

1) При r ≥ 2 для каждого i(i= 0,1,2,...,(k-1)) и для каждого х из отрезкаh_i(r−1)

N ,^(i+1)(r−1)_N i

положим

ϕ^∗_N,r(z₀, z₁, ..., z_N;x) =L⁽ⁱ⁾_N,r(z_i(r−1), ..., z_(i+1)(r−1);x).

В случае z0 =f(0), z1 =f(_N¹), ..., zN−1 =f(^N−1_N ), zN =f(1) положим

ϕ^∗_N,r(f(0), f( 1

N), ..., f(N−1

N ), f(1);x)≡ϕ^∗_N,r(f;x). (4)

2) Приr = 1 длях из_i

N,ⁱ⁺¹_N

, где i = 0,1, ..., N−1, положим ϕ^∗_N,1(z₀, z₁, ..., z_N;x) =L_xi,xi+1(z_i, z_i+1;x) =z_ix−x_i+1

x_i−x_i+1 +z_i+1 x−x_i x_i+1−x_i,

ϕ^∗_N,1(f;x) =ϕ^∗_N,1

f(0), f( 1

N), ..., f(N−1

N ), f(1);x

.

Справедлива

Лемма 2 (Оценка сверху по точной информации). Пусть даны числа 1 ≤ p < q ≤

∞ и r (r = 1,2, ...)такие, что rp>1.Тогда sup

f∈W_p^r(0,1)

f(x)−ϕ^∗_N,r(f;x)

L^q(0,1) << N^−(r−

1 p−¹

q

).

3.Основная теорема. Рассмотрим следующую конкретизацию сформулированной общей задачи:F =W_p^r(0,1)- класс Соболева (определение дано в п.2), Y =L^q(0,1)(L^∞≡ C[0,1])- пространство Лебега, где целоеr ≥1,1≤p < q ≤+∞,

D^(∗)_N = {(l₁(f), ..., lN(f)) : lj(f)−все возможные линейные функционалы на линейной обо- лочкеF =W_p^r(0,1)такие, что |l_j(1)| ≤1} × {ϕ_N}.

И, наконец, ε^(N) = (εN, ..., εN) ∈ R^N, |l_j(f)−zj| ≤ εN (j = 1, ..., N), η^(N) = (ηN, ..., ηN) ∈ R^N.

Цель настоящей статьи, как это выше отмечалось, заключается в том, чтобы в данной модельной ситуации показать, что задача о предельной погрешности неточной информации при оптимальном восстановлении содержательна. Это вытекает из следующей теоремы.

Основная теорема. Пусть даны числа 1 ≤p < q ≤ ∞ и r (r = 1,2,3, ....) такие, что rp>1 и пусть ε˜_N =N⁻

r−

1 p−¹_q

.Тогда

δ_N(D^(∗)_N , T f =f, W_p^r(0,1),0)_L^q ≺

≺δ_N(D_N^(∗), T f =f, W_p^r(0,1),ε˜_N)_L^q ≺N⁻

r−

1 p−¹_q

, (5)

причем для всякой возрастающей к +∞положительной последовательности{η_N}^∞_N=1имеет место равенство

Nlim→∞

δN

n

D_N^(∗);T f =f;W_p^r(0,1); ˜εNηN

o

L^q

δ_Nn

D_N^(∗);T f =f;W_p^r(0,1); 0o

L^q

= +∞.

Таким образом, в условиях Основной теоремы, восстановление в L^q -норме всех функций f из класса Соболева W_p^r по точной информации l1(f), ..., lN(f), имеющий порядок δN(0) ≺ N⁻

r−

1 p−¹_q

= ˜ε_N, с сохранением того же порядка можно заменить на восстановление по неточной информацииz₁, ..., z_N, отличающихся от соответствующих точных значений на вели- чину, не превосходящую eεN.

При этом, порядокeε_N точен в том смысле, что при заменеεe_N наεe_N·η_N c любой сколь угодно медленно возрастающей к +∞ положительной последовательностью{η_N},порядок δN(0) уже не сохранится.

Замечание 1.Верхняя оценка в (5) реализуется на интерполяционных сплайнах Лагранжа.

Замечание 2. Неулучшаемые оценки восстановления функций по их точным значениям в точках были получены С.Н.Кудрявцевым [12], а по точным значениям, полученных посред- ством всех возможных линейных функционалов, - в [5] при 2 ≤ p < q ≤ ∞ (причем в обеих случаях в многомерном случае).

Замечание 3.Как уже отмечалось в предыдущем Замечании , С.Н. Кудрявцевым [12] были получены двусторонние оценки. Однако агрегаты восстановления в этом случае есть свертки с ядрами типа Дирихле, которые сильно реагирует на изменение значений функции. Поэтому для восстановления функции по неточной информации необходим более устойчивый к ошибкам агрегат приближения,который построен в (4).

Поскольку для функционаловl(f) =f(ξ) - значений функции в точках,- выполненоl(1)≡ 1, то в терминах приведенных определений и обозначений справедливо

Следствие. Пусть даны 1 ≤ p < q ≤ ∞ и r ≥ 1 -целое такие, что rp > 1. Тогда предельная погрешность восстановления по неточной информации функции f из класса Собо- лева W_p^r(0,1) произвольными вычислительными агрегатами вида ϕN(f(ξ0), f(ξ1)..., f(ξN);x), 0 ≤ξ0 < ξ1 < ... < ξ_N ≤1 есть последовательность ε˜_N =N⁻

r−

1 p−¹_q

, которая совпадает с неулучшаемой погрешностью восстановления по точной информации.

Выводы.Итак, Основная теорема показывает, что задача, сформулированная в названии этой статьи, имеет решение со всеми вытекающими из нее выводами. Именно, построен кон- кретный вычислительный агрегат - интерполяционный сплайн Лагранжа, который находится по приближенным значениям функции в узлах равномерной сетки, причем указана предельная погрешность вычисления этих значений, сохраняющая тот же порядок погрешности восстанов- ления, если бы восстановление производилось по точным значениям линейных функционалов от приближаемой функции.

В добавление ко всему этому, делается вывод, что привлечение вычислительных понятий и средств численного анализа и вычислительной математики таких как линейный попереч- ник, поперечник Фурье (ортопоперечник), частичные суммы рядов Фурье по всевозможным ортонормированным системам (включая системы, состоящие из всплесков) и разложений по базисам, линейные методы суммирования рядов Фурье, более лучший порядок приближения обеспечить не может.

Как это отмечалось в [1] (см. также[14]), квадратурные формулы, операторы восстановле- ния функции по их значениям в точках и всякая оценка сверху их погрешности несут в себе вычислительный ресурс, позволяющий значения функций находить с ненулевой погрешностью, позволяющей сохранить порядок данной оценки погрешности.

Вместе с тем, задача нахождения предельной погрешности, по-видимому, является далеко не тривиальной.

Поэтому приведем формулировку о нахождении предельной погрешности

˜

ε^(N) в ослаб- ленном варианте, ограничивались одним частным случаем.

Так, точность в степенной шкале можно понимать как следующее (ниже все функции ψ с индексами предполагаются положительными, возрастающими к +∞на [0; +∞)и такими, что для всякогоτ >0 выполненоψ(N) =о (N^τ) при N →+∞):

Если для некоторыхψ₁,ψ₂,ψ₃, числаα >0и всехN = 1,2, . . . выполнены соотношения ψ1(N)

N^α ≤δN(DN, u, F; 0)_Y ≤ ψ2(N) N^α , δN

DN, u, F; ¯ε^(N)

Y ≤ ψ3(N) N^α

и для некоторогоψ4 и всякой положительной возрастающей последовательностиηN →+∞

(N →+∞)имеет место равенство

N→+∞lim δ_N

D_N, u, F;η_Nε¯^(N)

Y N^αψ₄⁻¹(N) = +∞.

В заключение, приведем один пример, где также сохраняется порядок восстановления по точной информацииl(f) при возможной ошибке |l(f)−z|того же порядка.

Будем пользоваться определениями и обозначениями из статьи [6].

Пусть 1≤p < q <2,T f =f,F =H_p^ω,Y =L^q(0,1). ПоложимD_N,

DN =







l_k(f) =

1

Z

0

f(x)χ_k(x)dx= ˆfχ(k)(k= 1, ..., N);ϕN(z1, ..., zN;x) =

N

X

k=1

z_kχ_k(x)





 ,

где χ≡ {χ_k(x)}-система Хаара.

Тогда для каждой функцииf(x)из классаH_p^ω, будем иметь

δ_N(0) =δ_N D_N, T f =f, H_p^ω,0

L^q <<

( _∞ X

n=N+1

n^qp−2ω^q 1

N )¹_q

.

Действительно,из теорем П.Л. Ульянова (см.[15] и [16]) следуют неравенства

f(x)−

N

X

k=1

fˆ_χ(k)χ_k(x) L^q

<< ω_q 1

N;f

<<

<<

∞

X

n=N+1

n^qp−2ω_p^q 1

n;f !¹_q

<<

∞

X

n=N+1

n^qp−2ω^q 1

n !¹_q

≡eε_N.

Пусть теперь

fˆχ(k)−zk

≤eεN.

Тогда для всякой функцииf(x)∈H_p^ω имеем

f(x)−

N

X

k=1

z_k·χ_k(x) L^q

≤

≤

f(x)−

N

X

k=1

fˆ_χ(k)·χ_k(x) L^q

+

N

X

k=1

fˆ_χ(k)−z_k χ_k(x)

L^q

<< (6)

<<eεN +

N

X

k=1

fˆχ(k)−zk

χk(x)

L^q

.

Далее (см.[17, стр. 74]),

N

X

k=1

fˆχ(k)−z_k

χ_k(x)

q

L^q

=

N

X

k=1

fˆχ(k)−z_k

q·2⁻

1 q−¹₂

qk <<eε^q_N. (7)

Таким образом, из (6) и (7) следует

δN DN, T f =f, H_p^ω,εeN

L^q <<εeN. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Темиргалиев Н. "О задаче восстановления по неточной информации",//Вестник Евразий- ского национального университета, 1(2004),C.202-209.

2. Темиргалиев Н. "Предельная нечувствительность операторов восстановления по неточной информации",Тезисы докладов 10-ой Межвузовской конференции по математике и механи- ке,Алматы, ЭВЕРО, т.29(2004),C.252-253.

3. Темиргалиев Н. "Компьютерные (вычислительные) поперечники",//Тезисы докладов 11-ой Межвузовской конференции по математике и механике, посвященной 10-летию ЕНУ им.

Л.Н.Гумилева, Астана (25-26 мая 2006), C.48.

4.Темиргалиев Н. "Компьютерный (вычислительный) поперечник. Алгебраическая теория чисел и гармонический анализ в задачах восстановления (метод квази-Монте Карло). Теория вложений и приближений. Ряды Фурье.",// Вест.ЕНУ им. Л.Н.Гумилева, (2010), Спец.

выпуск, посвященный научным достижениям математиков ЕНУ им. Л.Н.Гумилева, 194 с.

5. Ажгалиев Ш.У., Темиргалиев Н."Об информативной мощности линейных функциона- лов",//Матем. заметки, 3:6(2003),C.803-812.

6. Ажгалиев Ш.У.,Темиргалиев Н. "Информативная мощность всех линейных функционалов при восстановлении функций из классовH_p^ω ", Матем. сб., 198:11(2007), 3-20.

7. Ибатулин И.,Темиргалиев Н."Об информативной мощности всех возможных линейных функционалов при дискретизации решений уравнения Клейна-Гордона в метрике L^2,∞

",//Дифф. уравн.,44:4(2008), C.491-506.

8.Ажгалиев Ш.У. "О дискретизации решений уравнений теплопроводности",//Матем. замет- ки, 82:2(2007),C.177-182.

9. Абикенова Ш.К.,Темиргалиев Н."О точном порядке информативной мощности всех возмож- ных линейных функционалов при дискретизации решений волнового уравнения ", //Дифф.

уравн.46:8(2010).

10.Темиргалиев Н.Математика: Избранное. Наука,ред. Б. С. Кашин. - Астана: ЕНУ им. Л.Н.

Гумилева, 2009,- 613 с.

11.Бабенко К.И. Основы численного анализа, М.:Наука,1986.

12. Кудрявцев С.Н. "Наилучшая точность восстановления функций конечной гладкости по их значением в заданном числе точек", //Изв.РАН.Сер.матем., 62:1(1998), C.21-58.

13.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М.Численные методы, М.:Наука,1987.

14. Темиргалиев Н., Кудайбергенов С. С. , Шоманова А. А. “Применение тензорных произ- ведений функционалов в задачах численного интегрирования”, // Изв. РАН.Сер. матем. 73:2 (2009),C. 183-224.

15. Ульянов П.Л. "Вложение некоторых классов функции H_p^ω",// Изв.АН СССР, Cер.матем.,32(1968),C.649-686.

16. Ульянов П.Л."О рядах по системе Хаара", //Матем.сб., 63(105):3 (1964),C.356-391.

17. Кашин Б.С.,Саакян А.А. Ортогональные ряды, Издание второе, дополнен- ное.М.:Издательство АФЦ,1999.

Темиргалиев Н., Ажгалиев Ш.У., Таугынбаева Г.

Функцияларды оптимальдi қалыптастырудағы нақты емес ақпараттардың ектiк қателiгi туралы.

W_p^r(0,1)Соболев класстары шкаласында нақты емес ақпараттар бойынша функцияларды қалыптастырудың шектiк дәл теоремалары алынды.

Temirgaliev N., Azhgaiev Sh.U., Tauginbaeva G.

To the problem of maximal deviation of the unexact information in optimal recovery of functions

In a scale of SobolevW_p^r(0,1) classes the are obtained maximal deviation recovery theorems of functions of the unexact information

Поступила в редакцию 12.05.10 Рекомендована к печати 31.05.10

Н. Темиргалиев, К. Е. Шерниязов, М. Н. Темиргалиев

Анализ эффективности параметра Бахвалова равномерной распределенности сеток Коробова

(Институт теоретической математики и научных вычислений ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, г. Астана) (Казахский национальный университет им. аль-Фараби, г. Алматы)

В статье исследуется эффективность параметра Бахвалова равномерной распределенности сеток Коробова.

Пусть дано числоs(s= 1,2, ...)и [0,1]^s- естьs– мерный единичный куб.

Конечное множество {ξ_k}^N_k=1 из [0,1]^s называют сеткой, а величину D_s(ξ₁, ξ₂..., ξ_N) = sup







1 N

N

X

k=1

χ_J(ξ_k)−

s

Y

j=1

(b_j −a_j)

: J =

s

Y

j=1

[a_j, b_j]⊂[0,1]^s





 ,

где χ_B(x)- характеристическая функция множества B, -дискрепансом этой сетки.

Для данногоR≥1множество(mj = max{1;|m_j|})

R={m= (m1, . . . , ms)∈Z^s;m1. . . mshR}

называют гиперболическим крестом(как будем называть "с показателем R").

Для данногоr >1класс КоробоваE_s^rсостоит, по определению, из всех 1-периодических по каждой переменной функций f(x) =f(x1, ..., xs),тригонометрические коэффициенты Фурье которых при всехm∈Z^s удовлетворяют неравенству

fˆ(m)

≤(m1. . . ms)^−r.

Также определим сетки Коробова ((a₁, ..., a_s)∈Z^s, {. . . }-дробная часть):

ξk= k

pa1

, . . . ,

k pas

(k= 1, ..., p). Имеет место (см. [1] )

Теорема А (Об эквивалентных условиях равномерной распределенности сеток Коробова). Пусть дано целое положительное число s.Пусть дана достаточно плотная по- следовательность целых чисел p и целых чисел a1(p), ..., as(p),взаимно простых с p.

Тогда следующие условия эквивалентны (с точностью до констант)

1) Для некоторого r >1,положительных чисел c₁(r, s) иβ₁(r, s) выполнено неравенство (a= (a1, ..., as))

∆p,a(E_s^r) = sup

f∈E^r_s

Z

[0,1]^s

f(x)dx− 1 p

p

X

k=1

f k

pa1

, ...,

k pas

≤c1(r, s)log^β1(r,s)p

p^r . (1)

2) Для некоторых положительных чисел c₂(s)и β₂(s) выполнено неравенство Ds

k pa1

, ...,

k pas

p k=1

≤c2(s)log^β2(s)p

p . (2)

3) Для некоторых c3(s)>0и β3(s)>0 выполнено X∗

m=(m1,...,ms)∈Z^s:|m_j|≤p−1

δ_(p)(a₁m₁+...+a_sm_s)

m₁...m_s ≤c3(s)log^β3(s)p

p , (3)

гдеδ_(p)(n) равно1или0в зависимости от того делит не делитpцелоеn,а знак * означает, что из рассмотрения исключается точка 0.

4) Для некоторых c4(s) и β4(s) выполнено условие: для всякого ненулевого решения m = (m₁, ..., m_s),|m_j| ≤p−1 сравнения

a₁m₁+...+a_sm_s≡0 (modp) (4) выполняется неравенство

m₁· · ·m_s> p

c4(s) ln^β4(s)p. (5)

5) Для некоторого r >1,положительных чисел c₅(r, s) иβ₅(r, s) выполнено неравенство (a= (a₁, ..., a_s))

1 p

p

X

k=1

br

k pa1

, ...,

k pas

−1

≤c5(r, s)log^β5(r,s)p p^r ,

b_r(x) = X

m=(m1,...,ms)∈Z^s

(m₁...m_s)^−re^{2πi(m1x1+...+msxs)},

∆_p,a(E_s^r) = 1 p

p

X

k=1

b_r k

pa₁

, ..., k

pa_s

−1

. (6)

Отметим, что в случае целых положительных r > 1 функция br(x) есть 1-периодический алгебраический многочлен Бернулли, например, приr = 10

b10(x) =

s

Y

j=1

1 +(2π)¹⁰ 10!

5 66−3

2x²_j + 5x⁴_j −7x⁶_j +15

2 x⁸_j −5x⁹_j +x¹⁰_j

.

Эта теорема есть синтез результатов Н. М. Коробова [2, 3], Н.С. Бахвалова [4] и М. Сихова, Н. Темиргалиева [5].

Н.С. Бахвалов [4] ввел в рассмотрение величину (параметр равномерной распределенности) q,

q= min{R ≥1 : Γ^∗_R∩ {(m₁, ..., m_s)∈Z^s:a₁m₁+...+a_sm_s≡0 (modp)} 6=∅},

т. е. величину “показателя” R наименьшего гиперболического креста, имеющего ненулевое пе- ресечение с решеткой решений (4) и показал, что для всякогоr >1 имеет место неравенство

∆_p,a(E_s^r)≤4r 3r²

r−1 s

(1 + lnq)^s−1

q^r ≡∆⁽¹⁾(s, r, q) (r >1). (7) Заметим, что в этой Теореме А типа критерия содержательную часть составляют оценки дискрепанса (2) и оценки погрешности численного интегрирования (1), в то время как осталь- ные три условия обеспечивают выполнение первых двух.

Данная заметка посвящена условию (4)–(5), которое означает, что если решетка (4) не имеет общих ненулевых точек (m1, ..., ms) с гиперболическим крестом Γ_R(p), где R(p) = _c ^p

4ln^β4p, то для (a₁, ..., a_s) ∈ Z^s из (4) выполнены все остальные условия, в частности, неравенство (3), т.

е. последовательность целых чиселa1 =a1(p), ..., as=as(p)есть оптимальные коэффициенты по модулюp и индексаβ = 2β₄+ 2s−1.

Теперь выпишем

Алгоритм оценок сверху параметра Бахвалова при заданном объеме сетки Ко- робова.

Дано простое число l=s+ 1≥3.

1-шаг.Выписываются в порядке возрастания все простые числаp, p≡1 (modl).

2-шаг. Последовательно выбираются p,для каждого из которых находится целое поло- жительное число b=b(p, s) такое, чтоb^p−1l 6 ≡1 (modp).

3-шаг (с подшагами 3₁, . . . , 3_s−1 из [6]):

подшаг 3₁.Находится целое a₂ : 0≤a₂ < p, a^p−1l =A₂p+a₂, A₂ ∈Z;

подшаг 3₂. Находится целое a₃ : 0≤a₃< p, a₂a₂ =A₃p+a₃, A₃ ∈Z, и тогда (

b^{p−1l 2}

p k

)

= a3

pk

.

подшаг 3₃.Находится целое a₄ : 0≤a₄ < p, a₃a₂ =A₄p+a₄, A₄ ∈Z, и тогда (b^{p−1l 3}

p k

)

= a₄

pk

.

. . . .

подшаг 3s−1. Находится целое a_s: 0≤a_s< p, as−1a₂=A_sp+a_s, A_s∈Z, и тогда (b^{p−1l (s−1)}

p k

)

= as

p k

.

Отметим, что не уменьшая общности можем считать, чтоp > a2> ... > as≥1.

Действительно, еслиt(j) есть взаимно однозначное отображение множества{1; 2;...;s}на себя, то неравенство (3) можно переписать в виде

c₃(s)log^β3(s)p

p ≥ X∗

m=(m1,...,ms)∈Z^s:|m_j|≤p−1

δ_(p)(a1m1+...+asms) m1...ms

=

= X∗

m=(^mt(1),...,m_t(s))^∈Zs:|m_t(j)|^≤p−1

δ_(p) a_t(1)m_t(1)+...+a_t(s)m_t(s) m_t(1)...m_t(s) =

= X∗

m=(m1,...,ms)∈Z^s:|m_j|≤p−1

δ_(p) a_t(1)m₁+...+a_t(s)m_s

m₁...m_s .

4-шаг.Выписывается матрица(см. [7])

d=













p 0 0 ... 0

−a₂ 1 0 ... 0

−a₃ 0 1 ... 0 ... ... ... ... ...

−a_s 0 0 ... 1











 ,

где e1 = (p,−a₂, ...,−a_s), e2 = (0,1,0, ...,0), . . . , es = (0, ...,0, 1) есть базис решетки (4).

5-шаг.Решетка(4) есть Zd,

Zd={u₁e1+...+uses}={(u₁p−u2a2−...−usas, u2, ..., us)∈Z^s: (u1, ..., us)∈Z^s}.

6-шаг.Выписывается параметр Бахвалова q,

q = min

u₁p−u₂a₂−...−u_sa_s·u₂·...·u_s: (u₁, ..., u_s)∈Z^s, u²₁+...+u²_s >0 . Теперь, выпишем некоторые оценки величиныq (параметра Бахвалова), затем продолжим обсуждение эффективности этого параметра.

1^◦. Справедливо неравенство (напомним, что p > a2 > ... > as≥1) 1≤q ≤min{a_ν :ν = 2, ..., s}=a_s< p.

Действительно, при us= 1 и u²₁+...+u²_s = 1, имеем

q ≤u₁p−u₂a₂−...−u_sa_s·u₂·...·u_s=−a_s=a_s< p.

2^◦. Справедливо неравенство q≤min

u₁p−u₂a₂−...−u_sa_s: u_j = 0,1,−1 (j= 1, ..., s), u²₂+...+u²_s >0 . В частности,p≡a₁

q≤min{|a_i−aj|:i, j = 1, ..., s, i6=j}, или, более общо

q ≤min

(a_j1 +...+a_jk)− a_jk+1+...+a_jt

(t≤s, j_i 6=j_n (i6=n)).

Поскольку параметр Бахвалова q естькосвенный показатель равномерной распределенно- сти сетки

ξ_k= k

p, k

pa₂

, ..., k

pa_s

(k= 1, ..., p),

то его практическое применение ограничивается, в зависимости от близости q к p, решением вопроса: “Для данных p≡1 (modl) и соответствующего b^p−1l 6= 1 (modp) будет ли оправдано вычисление (6)?”

Как показывают таблицы оптимальных коэффициентов с оценками соответствующих по- грешностей квадратурных формул (см. [8] и [6]), при большой разнице междуpиq, оценка (7) может оказаться очень грубой по сравнению с (1).

Приведем примеры.

Пример 1. В [8] приs= 6, r = 4, p= 8192получена оценка∆_p,a≤4.0·10⁻³, а оптимальные коэффициенты сутьa2 = 3897, a3 = 2281, a4 = 2097, a5 = 1235, a6 = 15.

Поэтомуs= 6, r= 4, q≤15 =a6, имеем (см. (7))

∆⁽¹⁾(s, r, q)≡4r 3r²

r−1 s

(1 + lnq)^s−1

q^r ≥16·16⁶(1 + ln 15)⁵

15⁴ ≥16⁷(1 + 2.7)⁵ 15⁴ >

> 16⁷·3⁵

5⁴·3⁴ = 16⁷·3 5⁴ =

16 5

4

·16³·3>104·4096·3 = 1277952.

Таким образом, при p= 8192и q ≤15 выполнено ∆_p,a ≤4.0·10⁻³, в время как ∆⁽¹⁾(s, r, q) >

1277952.

При тех же показателях s = 6, r = 4 из [6] при p = 6469 имеем ∆p,a ≤ 9.6 ·10⁻⁴, а оптимальные коэффициенты суть a₂ = 3506, a₃ = 2478, a₄ = 1833, a₅ = 1403, a₆ = 936, откудаq ≤a6= 936.

Однако, параметр Бахваловаqможно оценить точнее: q≤a4−a5= 430.

Опять же оценим снизу величину

∆⁽¹⁾(6,4, q)≥167 (1+ln 430)⁵

430⁴ ≥ ^167(1+6.06)₄₃₀₄ ⁵ > ¹⁶_{434 16}³_·7⁵

10⁴ ≥19·4.096·1.6807 = 130.7.

Таким образом, в этом случае∆p,a≤9.6·10⁻⁴, в то время как ∆⁽¹⁾(6,4, q)≥130.7.

Пример 2.В [8] при s= 12, r= 4p= 524288получена оценка ∆_p,a≤3.0, а оптимальные коэффициенты суть a₂ = 259393, a₃ = 236333, a₄ = 229391, a₅ = 210895, a₆ = 160129, a₇ = 134207, a8 = 110143, a9 = 81567, a10= 53447, a11= 8177, a12= 5911.Опять же,q можно оценить точнее: q≤a11−a12= 2266.

Поэтомуs= 12, r= 4, q ≤2266имеем

∆⁽¹⁾(12,4, q)≥16¹³(1 + ln 2266)¹¹

2266⁴ >16¹³(1 + 7.7)¹¹

2266⁴ > 16¹³·8¹¹ 2266⁴ =

16·8 2266

4

·16⁹·8⁷=·10⁻⁵·16⁹·9⁷ =

=

16·9 10

5

·16⁴·9² = 3.2·10¹²

Таким образом, в этом случае ∆_p,a≤3.0, в то время как∆⁽¹⁾(12,4, q)>3.2·10¹²

При тех же показателях s = 12, r = 4 из [6] при p = 232961 имеем ∆p,a ≤ 5·10⁻¹, а оптимальные коэффициенты есть a₂= 189142, a₃ = 171101, a₄ = 168035, a₅ = 148535, a₆ = 142‘105, a₇ = 134770, a₈ = 111175, a₉ = 103107, a₁₀ = 72662, a₁₁= 42214, a₁₂ = 40199, откуда q ≤a12= 40199.

Однако, параметр Бахваловаqможно оценить точнее: q ≤a₁₁−a₁₂= 2015.

Опять же, оценим снизу величину

∆⁽¹⁾(12,4, q)≥16¹³(1 + ln 2015)¹¹

2015⁴ ≥16¹³(1 + 7.6)¹¹

2015⁴ > 16¹³·8¹¹