О новом классе систем функций типа Фабера–Шаудера

Математические заметки

Том 82 выпуск 5 ноябрь 2007

УДК 517.51

О новом классе систем функций типа Фабера–Шаудера

Т. У. Аубакиров, Н. А. Бокаев

В работе вводится новый класс систем функций, обобщающий классическую систему Фабера–Шаудера. При ограниченности образующей последовательно- сти показана базисность систем данного класса в пространстве непрерывных функций и доказаны некоторые свойства разложений функций в ряд по этим системам.

Библиография: 11 названий.

В 1910 г. Фабер [1] построил систему функций, которая в 1927 г. была переоткрыта Шаудером [2] и в современной литературе носит название “система Фабера–Шауде- ра” (см. также [3]). Эта система, состоящая из непрерывных, кусочно-линейных функций, является одним из простейших базисов в пространстве функций, непре- рывных на [0,1]. В последствии ряд авторов [4]–[9] изучали различные свойства разложений функций в ряд по этой системе.

В данной работе вводится новый класс Φ систем функций Φ{pn}, содержащий систему Фабера–Шаудера.

Пусть задана последовательность {p_n} натуральных чисел таких, что p₀ = 1, а pn >2,n= 1,2, . . ..

Положим mn =p0p1· · ·pn, n= 0,1,2, . . .. Тогда для любой точки x∈[0,1]\Q, где

Q= l

mn

, 06l6mn, n>0, l∈Z, существует единственное разложение

x=

∞

X

k=1

αk(x) mk

,

06αk(x)6pk−1, αk(x)– целые.

Любое целое числоk>2 единственным образом представляется в виде k=mn+r(pn+ 1−1) +s,

n= 0,1,2, . . . , r= 0,1, . . . , mn−1, s= 1,2, . . . , pn+1−1.

(1)

⃝c Т. У. Аубакиров, Н. А. Бокаев, 2007

643

Определим систему функцийΦ{pn}={ϕk(x)}^∞_k=0,x∈[0,1], в которойϕ₀(x) = 1, ϕ1(x) =x,x∈[0,1],

ϕk(x) =ϕ^(s)_n,r(x)

=



















(mn+1x−pn+1r−αn+1(x)) exp2πisαn+1(x) pn+1

+1−exp(2πisαn+1(x)/pn+1)

1−exp(2πis/pn+1) , x∈ r

mn

,r+ 1 mn

\Q,

0, x∈¯

r m_n,r+ 1

m_n

,

(2)

где k>2,n,r,sиз (1).

Пользуясь тем, что множество[0,1]\Qвсюду плотно на[0,1], продолжим функ- циюϕ^(s)n,r(x)по непрерывности на отрезок[r/mn,(r+ 1)/mn].

Таким образом, системаΦ{p_n}полностью определена и состоит из непрерывных, кусочно-линейных функций. При pn = 2, n = 1,2, . . ., система функций Φ{pn} совпадает с системой Фабера–Шаудера.

Рассмотрим ряд по системе Φ{p_n}

∞

X

k=0

akϕk(x) =a0ϕ0(x) +a1ϕ1(x) +

∞

X

n=1 m_n−1

X

r=0 p_n+1−1

X

s=1

a^(s)_n,rϕ^(s)_n,r(x) (3) и предположим, что он сходится в каждой точке отрезка[0,1]к некоторой функции f(x). Тогда коэффициентыa_k однозначно определяются функциейf(x).

Действительно, из (2) следует, что a0=a0ϕ0(0) =

∞

X

k=0

akϕk(0) =f(0),

a₀+a₁=a₀ϕ₀(1) +a₁ϕ₁(1) =

∞

X

k=0

a_kϕ_k(1) =f(1), (4) так как ϕk(0) = 0 для всехk>1и ϕk(1) = 0для всех k>2. Отсюда

a1=f(1)−f(0).

Если же k>2, тоak ≡a^(s)n,r (см. (1)) и дляkтаких, что

mn+r(pn+1−1)< k6mn+ (r+ 1)(pn+1−1) справедлива система линейных уравнений

pn+1−1

X

s=1

a^(s)_n,r

R

X

l=0

exp2πisl pn+1

=

∞

X

k=mn+1

akϕk

r mn

+R+ 1 mn+1

=f r

mn

+R+ 1 mn+1

−Sm_n

r mn

+R+ 1 mn+1

=f r

mn

+R+ 1 mn+1

− 1 pn+1

(p_n+1−R−1)f r

mn

+ (R+ 1)f r+ 1

mn

, (5) где R= 0,1, . . . , pn+1−2.

Элементарными преобразованиями система линейных уравнений (5) сводится к следующей системе уравнений:

p_n+1−1

X

s=1

a^(s)_n,rexp2πisR pn+1

=f r

mn

+R+ 1 mn+1

−f r

mn

+ R

mn+1

+ 1 p_n+1

f

r m_n

−f r+ 1

m_n

,

(6)

где R= 0,1, . . . , p_n+1−2.

Определитель системы (6) является определителем Вандермонда и равен следу- ющему выражению:

Y

16k<l6p_n+1−1

exp 2πil pn+1

−exp2πik pn+1

, которое отлично от нуля.

Таким образом, при фиксированныхnиrкоэффициентыa^(s)n,r,s= 1,2, . . . , pn+1−1, однозначно определяются из системы уравнений (6).

Teopeма 1. Пустьf(x)∈C[0,1]и разлагается в ряд по системе Φ{pn},т.е.

f(x) =

∞

X

k=0

ak(f)ϕk(x).

Тогда для коэффициентов ak(f)≡a^(s)n,r(f) (см. (1))справедлива оценка

|a^(s)_n,r(f)|6 2ω(1/mn+1, f)

(sinπ/p_n+1)^pn+1−2. (7) Здесь ω(δ, f)– модуль непрерывности функции f ∈C[0,1].

Доказательство. Пусть n и r фиксированы, n = 1,2, . . ., r = 0,1, . . . , mn−1, а p_n+1=k+ 1,k>1. Обозначим

λ= exp 2πi

k+ 1, xs=a^(s)_n,r(f), s= 1,2, . . . , k, bR=f

r

m_n + R m_n+1

−f r

m_n +R−1 m_n+1

+ 1

k+ 1

f r

m_n

−f r+ 1

m_n

, где R = 1,2, . . . , k. Тогда в новых обозначениях система уравнений (6) примет следующий вид:



















x1+x2+· · ·+xk =b1, λx1+λ²x2+· · ·+λ^kxk =b2, λ²x1+λ⁴x2+· · ·+λ^2kxk=b3, . . . .

λ^k−1x₁+λ^2(k−1)x₂+· · ·+λ^k(k−1)x_k =b_k.

Определитель данной системы является определителем Вандермонда (см. [10])

∆ =

1 1 . . . 1

λ λ² . . . λ^k

λ² λ⁴ . . . λ^2k ... ... ... ... λ^k−1 λ^2(k−1) . . . λ^k(k−1)

= Y

16i<l6k

(λ^l−λⁱ)

и, очевидно, в нашем случае, отличен от нуля. Следовательно, данная система ли- нейных уравнений имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера.

Пусть определитель∆_jполучен из определителя∆заменойj-го столбца на стол- бец из свободных членов. Разложив определитель ∆j по элементам j-го столбца, имеем

∆_j=

k

X

i=1

b_iA_ij,

где Aij – алгебраические дополнения элементов определителя∆.

Рассмотрим эти алгебраические дополнения:

Aij = (−1)^i+j

1 1 . . . 1 1 . . . 1

λ λ² . . . λ^j−1 λ^j+1 . . . λ^k

λ² λ⁴ . . . λ^2(j−1) λ^2(j+1) . . . λ^2k ... ... ... ... ... ... ... λⁱ⁻² λ²⁽ⁱ⁻²⁾ . . . λ^{(j−1)(i−2)} λ^(j+1)(i−2) . . . λ^k(i−2)

λⁱ λ²ⁱ . . . λ^(j−1)i λ^(j+1)i . . . λ^ki ... ... ... ... ... ... ... λ^k−1 λ^2(k−1) . . . λ^{(j−1)(k−1)} λ^(j+1)(k−1) . . . λ^k(k−1)

= (−1)^i+jσ_k−i Y

16s<l6k, s̸=j, l̸=j

(λ^l−λ^s),

гдеσ_k−i означает сумму всевозможных произведений чиселλ, λ², . . . , λ^j−1, λ^j+1, . . . , λ^k, взятых поk−i(см. [11; с. 40]). Так как|λ|= 1, каждое слагаемое в суммеσ_k−i по модулю равно единице. Число слагаемых в суммеσk−iравноC_k−1^k−i,i= 1,2, . . . , k.

Следовательно,

|σ_k−i|6C_k−1^k−i. (8)

Теперь рассмотрим отношения Q

16s<l6k, s̸=j, l̸=j(λ^l−λ^s) Q

16s<l6k(λ^l−λ^s) , j= 1,2, . . . , k.

После сокращения в знаменателе остаются произведения сомножителей видаλ^l−λ^j, l= 1,2, . . . , j−1, j+ 1, . . . , k. Оценим|λ^l−λ^j|снизу:

|λ^l−λ^j|=

exp 2πil

k+ 1 −exp 2πij k+ 1

=

exp2πi(l−j) k+ 1 −1

=

cos2π(l−j)

k+ 1 −1 +isin2π(l−j) k+ 1

= 2

sinπ(l−j) k+ 1

>2 sin π k+ 1.

Отсюда при любомj= 1,2, . . . , kимеем Q

16s<l6k, s̸=j, l̸=j(λ^l−λ^s) Q

16s<l6k(λ^l−λ^s) 6 1

(2 sinπ/(k+ 1))^k−1. (9) Для величинbi непосредственно из определения следуют оценки

|bi|62ω 1

m_n+1, f

, i= 1,2, . . . , k. (10) Из (8) вытекает, что

k

X

i=1

|σ_k−i|6

k

X

i=1

C_k−1^k−i= 2^k−1. (11)

Далее, из (9)–(11) получаем, что

|xj|=

∆j

∆

62^k ω(1/mn+1, f)

(2 sinπ/(k+ 1))^k−1 = 2ω(1/mn+1, f) (sinπ/(k+ 1))^k−1. Возвращаясь к исходным обозначениям, имеем (7). Теорема1 доказана.

Обозначим ω2(δ, f)модуль гладкости функцииf ∈C[0,1]:

ω2(δ, f) = sup

0<h<δ

max

x∈[0,1]|f(x+h) +f(x−h)−2f(x)|, где h6x61−h,0< δ <1.

Teopeма 2. Система Φ{pn} с pn 6 N, n = 1,2, . . ., является базисом в про- странстве C[0,1]. При этом,если f(x) =P∞

k=0a_kϕ_k,f(x)∈C[0,1],то справедли- вы следующие оценки:

|ak(f)|=|a^(s)_n,r(f)|6Cω 1

m_n+1, f

, k= 0,1,2, . . . , (12)

f(x)−

l

X

k=0

ak(f)ϕk(x)

_C[0,1]6ω2

1 mn

, f

, l=mn+r(pn+1−1). (13)

Доказательство. Из (4), (5) следует, что равенство

l

X

m=1

amϕm(x)≡0

на[0,1]приl= 1,2, . . . выполняется только приan = 0, т.е. функции системыΦ{pn} линейно независимы. Из определения функций системы ϕ_m(x), m= 0,1, . . ., и их линейной независимости вытекает, что при

l=mn+r(pn+1−1), n= 0,1, . . . , r= 0,1, . . . , mn−1,

имеют место следующие свойства:

а) пространствоG_l(Φ)полиномов по системеΦ{pn}видаp_n(x) =Pl

m=0a_mϕ_m(x) имеет размерностьl+ 1и совпадает с пространствомL_l, определяемым сле- дующим образом:

L1={f ∈C[0,1] :f^′′(x) = 0приx∈(0,1)}, Ll=

f ∈C[0,1] :f^′′(x) = 0приx∈

^rpn+1−1 [

k=0

δn+1,k

∪

^mn−1

[

k=r+1

δn,k

, гдеδn,k = (k/mn,(k+ 1)/mn);

б) частные суммы

S_l(f, x) =

l

X

m=0

a_m(f)ϕ_m(x) удовлетворяют соотношению

Sl(f, x) =f(x) приx∈π_l, где

π1={0,1}, πl= k

mn+1

rpn+1

k=0

∪ k

mn

mn

k=r+1

.

Теперь из (4), (5), а) и б) следует, что для произвольной функции f(x) ∈ C[0,1]

существует единственный рядP∞

m=0am(f)ϕm(x), у которого частные суммыSl(f, x) равномерно сходятся кf(x)по последовательности значений

l=m_n+r(p_n+1−1), n= 0,1,2, . . . , r= 0,1, . . . , m_n−1.

Поэтому достаточно установить, что существует такая постоянная M, для которой справедливы неравенства

k

X

s=1

a^(s)_n,r(f)ϕ^(s)_n,r(x) C(0,1)

6M

p_n+1−1

X

s=1

a^(s)_n,r(f)ϕ^(s)_n,r(x) C(0,1)

(14) для всехk= 1,2, . . . , pn+1−1. Но при ограниченной образующей последовательности {pn}ограничена в совокупности, так как из (2) следует оценка

∥ϕ^(s)_n,r(x)∥C(0,1)6pn+1−1, (15)

а из теоремы 1непосредственно вытекает оценка (12). Теперь из (12) и (15) следу- ет (14); тем самым установлена базисность данной системы в C[0,1].

Перейдем к доказательству оценки (13). Пусть дана функция f(x) ∈ C(0,1) и отрезок I= [α, β]⊂[0,1]. Рассмотрим на отрезкеIфункцию

u(x) =f(x)−

f(α) +f(β)−f(α) β−α (x−α)

.

Ясно, чтоu(α) =u(β) = 0. Еслиu(x)̸= 0на[α, β], то найдем такую точкуx₀∈[α, β], что

|u(x0)|= max

x∈(α,β)|u(x)|.

Не ограничивая общности, будем считать, что

|α−x0|6|β−x0|.

Тогда точкаx1=α+ 2|α−x0| ∈I. Составляя вторую разность, имеем

|2u(x0)−u(α)−u(x1)|=|2u(x0)−u(x1)|=|u(x0) + (u(x0)−u(x1))|>|u(x0)|. (16) В силу линейности функции

f(α) +f(β)−f(α) β−α (x−α) из (16) имеем

|u(x0)|6|2u(x0)−u(α)−u(x1)|=|2f(x0)−f(α)−f(x1)|6ω2

β−α 2 , f

. (17) Так как (см. пункты а) и б)) функция

Sl(f, x) =

l

X

k=0

ak(f)ϕk(x)

приl=mn+r(pn+1−1)есть ломаная линия с вершинами в точках πl=

k mn+1

rpn+1 k=0

∪ k

mn

mn

k=r+1

и удовлетворяет условию

Sl(f, x) =f(x) дляx∈πl, то из (17) имеем

f(x)−

l

X

k=0

a_k(f)ϕ_k(x) 6max

max

06k6rp_n+1

x∈δmax_n+1,k

f(x)−

l

X

k=0

a_k(f)ϕ_k(x)

,

max

r+16k6m_n−1

x∈δmax_n,k

f(x)−

l

X

k=0

ak(f)ϕk(x)

6max

ω₂ 1

2m_n+1, f

, ω₂ 1

2m_n, f

6ω₂ 1

2m_n, f

. Таким образом, оценка (13) доказана.

Teopeма 3. Для того,чтобы ряд (3)сsuppn =N <∞ являлся разложением функции f(x) ∈ Lipα, 0 < α < 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение

|ak|6ck^−α, k= 1,2, . . . . (18) Доказательство. Еслиf(x)∈Lipα, то из оценки (12) вытекает, что

|ak|6ck^−α, k= 1,2, . . . .

Пусть задан ряд вида (3), для коэффициентов которого выполняются (18). Тогда этот ряд сходится абсолютно и равномерно, так как приn= 0,1,2, . . .

mn+1

X

k=m_n+1

|akϕ_k(x)|6N² max

m_n<k6m_n+1|ak|6N²c m^α_n

и, следовательно, f(x)является суммой своего разложения по системеΦ{pn}. При этом для x, y∈[0,1]

|f(x)−f(y)|6

∞

X

k=0

|αk||ϕk(x)−ϕk(y)|

=|a1||x−y|+

∞

X

k=0 m_n−1

X

r=0

pn+1−1

X

s=1

|a^(s)_n,r||ϕ^(s)_n,r(x)−ϕ^(s)_n,r(y)|.

Выберем число n0 так, чтобы N/mn₀+1 < |x−y| 6 N/mn₀ и воспользуемся тем, что для всех n = 1,2, . . ., r = 0,1, . . . , mn−1, s = 1,2, . . . , pn+ 1−1 и x, y∈ [0,1]

справедливо неравенство

|ϕ^(s)_n,r(x)−ϕ^(s)_n,r(y)|6min{pn+1, mn+1|x−y|}, а количество ненулевых слагаемых в сумме

mn−1

X

r=0 pn+1−1

X

s=1

|a^(s)_n,r||ϕ^(s)_n,r(x)−ϕ^(s)_n,r(y)|

не больше, чем 2(pn+1−1)для всех x, y∈[0,1].

Далее имеем

|f(x)−f(y)|6|a1||x−y|+

∞

X

n=1

2(p_n+1−1) max

r,s |a^(s)_n,r|min{pn+1, m_n+1|x−y|}

6|a₁||x−y|+ 2N²c

n₀

X

n=1

1

m^α_n(p_n+1−1)m_n+1|x−y|

+ 2N³c

∞

X

n=n₀+1

(pn+1−1) m^α_n 6|a1||x−y|+C1|x−y|

n₀

X

n=1

m^1−α_n +C2

∞

X

n=n0+1

1

m^α_n 6K|x−y|^α. Теорема3 доказана.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] G. Faber, “ ¨Uber die orthogonalfuctionen des Herrn Harr”,Jahresber.Deutsch.Math.-Ve- rein.,19(1910), 104–112.

[2] J. Schauder, “Zur theorie stetiger abbildungen in functionalr¨aumen”, Math. Z., 26:1 (1927), 47–65.

[3] Б. С. Кашин, А. А. Саакян,Ортогональные ряды, Наука, М., 1984.

[4] П. Л. Ульянов, “О некоторых свойствах рядов по системе Шаудера”,Матем.замет- ки,7:4 (1970), 431–442.

[5] Z. Ciesielski, “Some properties of Schauder basis of spaceC⟨0,1⟩”,Bull.Acad.Polon.Sci.

S´er.Sci.Math.Astronom.Phys.,8(1960), 141–144.

[6] В. А. Матвеев, “О рядах по системе Шаудера”,Матем.заметки,2:3 (1967), 267–278.

[7] С. В. Бочкарев, “О рядах по системе Шаудера”,Матем.заметки,4:4 (1968), 453–460.

[8] Т. Н. Сабурова, “О некоторых свойствах коэффициентов Фурье по системе Фабе- ра–Шаудера”,Сообщ.АН ГССР,82:2 (1976), 297–300.

[9] А. П. Горячев, “О коэффициентах Фурье по системе Фабера–Шаудера”,Матем.за- метки,15:2 (1974), 341–352.

[10] А. Г. Курош,Курс высшей алгебры, Физматлит, М., 1963.

[11] Д. К. Фадеев, И. С. Соминский,Сборник задач по высшей алгебре, ГИТТЛ, М., 1956.

Т. У. Аубакиров

Карагандинский государственный университет им. Е. А. Букетова

Н. А. Бокаев

Карагандинский государственный университет им. Е. А. Букетова

E-mail:bokaev@kargu.krg.kz

Поступило 02.06.2005 Исправленный вариант 01.04.2007