О неравенствах для преобразования Фурье функций из пространств Лоренца
А. Н. Копежанова, Е. Д. Нурсултанов, Л.-Е. Перссон 1. Пусть
𝑓(𝑡) =̂︀ 1
√2𝜋
∫︁∞
−∞
𝑓(𝑥)𝑒−𝑖𝑡𝑥𝑑𝑥, 𝑥∈R,
– преобразование Фурье функции𝑓∈𝐿1(R). Хорошо известны неравенства, связывающие интегральные свойства функций и ее преобразования Фурье.
Пусть1< 𝑝 <2,𝑝′=𝑝/(𝑝−1)и0< 𝑞6∞. Тогда имеют место неравенства
‖𝑓‖̂︀𝐿𝑝′(R)6𝑐1‖𝑓‖𝐿𝑝(R), (1)
‖𝑓‖̂︀𝐿𝑝′,𝑞(R)6𝑐2‖𝑓‖𝐿𝑝,𝑞(R), (2) где 𝐿𝑝,𝑞(R) – классическое пространство Лоренца. Эти неравенства называют неравен- ствами Хаусдорфа–Юнга и Харди–Литтлвуда–Стейна, соответственно [1]. Имеются ана- логичные неравенства для преобразования Фурье на торе[0,1], т.е. для𝑓̂︀={𝑓̂︀𝑛}, где𝑓̂︀𝑛 – коэффициенты Фурье по некоторой ортонормированной системе.
Пусть 𝜔 – неотрицательная функция на [0,∞]. Обобщенное пространство Лоренца Λ𝑞(𝜔,R)– это множество всех измеримых функций𝑓наRтаких, что:
∙ если0< 𝑞 <∞, то
‖𝑓‖Λ𝑞(𝜔,R)= (︂∫︁ ∞
0
(𝑓*(𝑡)𝜔(𝑡))𝑞𝑑𝑡 𝑡
)︂1/𝑞
<∞,
∙ если𝑞=∞, то
‖𝑓‖Λ∞(𝜔,R)= sup
𝑡>0
𝑓*(𝑡)𝜔(𝑡),
где𝑓*– невозрастающая перестановка функции𝑓.
В данной работе изучаются верхние и нижние оценки нормы преобразования Фурье в обобщенных пространствах Лоренца. Получены в некотором смысле обратные к (1) и (2) неравенства для преобразования Фурье наRи на торе[0,1].
Пусть 𝛿 > 0 и𝜔(𝑡) – неотрицательная функция на[0,∞). Классы функции𝐴𝛿 и 𝐵𝛿
определим следующим образом:
𝐴𝛿={𝜔(𝑡) :𝜔(𝑡)𝑡−1/2−𝛿 – возрастающая функция, 𝜔(𝑡)𝑡−(1−𝛿) – убывающая функция}, 𝐵𝛿={𝜔(𝑡) :𝜔(𝑡)𝑡−𝛿 – возрастающая функция, 𝜔(𝑡)𝑡−1+𝛿 – убывающая функция}.
Тогда классы𝐴и𝐵 определяются следующим образом:
𝐴= ⋃︁
𝛿>0
𝐴𝛿, 𝐵= ⋃︁
𝛿>0
𝐵𝛿.
Отметим, что класс𝐵 содержит в себе класс𝐴.
Верна следующая теорема.
Теорема 1. Пусть 0 < 𝑞 6 ∞ и 𝜔(𝑡) принадлежит классу 𝐴. Тогда имеют место следующие неравенства:
𝑐1‖𝑓‖Λ𝑞(𝜔,R)6‖𝑓̂︀‖Λ𝑞(𝜇,R)6𝑐2‖𝑓‖Λ𝑞(𝜔,R), (3) где 𝑓(𝑡) = (1/𝑡)|∫︀𝑡
0𝑓(𝑠)𝑑𝑠|,𝜇(𝑡) =𝑡𝜔(1/𝑡).
○c А. Н. Копежанова, Е. Д. Нурсултанов, Л.-Е. Перссон, 2011
785
