Ж.Б. Муканов, Е.Т. Оразгалиев
Об интегрируемости косинус преобразования функций двух переменных
(Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, г. Астана, Казахстан )
В работе приводится достаточное условие интегрируемости двойного косинус-преобразования Фурье и справедливости формулы обращения.
Для функции одной переменной f(x) известно, что если f ∈ L1[0,∞) и ее косинус- преобразование
fˆc(x) =
∞
Z
0
f(t) cosxtdt
также принадлежит L1[0,∞), то имеет место формула обращения f(t) = 2
π
∞
Z
0
fˆc(x) cosxtdx.
Но косинус-преобразование может быть неинтегрируемой функцией. Например, косинус- преобразование характеристической функции отрезка [0,1] не является интегрируемой.
Известна следующая теорема, доказанная Dang Vu Gians и Ferenc Moricz [1].
Теорема A. Пусть f абсолютно непрерывная функция, определенная на [0,∞),
t→∞lim f(t) = 0, и пусть для некоторого p >1 выполняется условие
Fp≡
∞
Z
0
1 u
2u
Z
u
f0(t)
p
dt
1 p
du <∞ (1)
Тогда fˆc∈L1[0,∞) и имеет место формула обращения
f(t) = 2 π
∞
Z
0
fˆc(x) costxdx (2)
для дюбого t >0.
В той же работе доказано, что из этой теоремы в качестве следствия можно получить следующие утверждения для одномерных косинус-рядов.
Следствие A.Пусть коэффициенты ряда 1
2a0+
∞
X
k=1
akcoskt, (3)
где lim
k→∞ak= 0, удовлетворяют при некотором p >1 условию
|∆a0|+
∞
X
m=0
2m 2−m
2m−1
X
m=0
|∆ak|p
!1p
<∞, где ∆ak =ak−ak+1, k= 0,1,2, ....
Тогда сумма f(t) ряда (3) принадлежит L1[0, π) и ряд (3) является рядом Фурье функции f(t). Следствие А ранее было доказано Г.А.Фоминым другим методом.
Кратный аналог теоремы Фомина для рядов по тригонометричекой системе доказан А.Кузнецовой, для рядов Уолша - Морицем и Шиппом (1991г). Такие же вопросы для рядов по мультипликативной системе Прайса рассматривались Н.Сыздыковой.
Нашей целью является доказательство двумерного аналога теоремы А. Справедлива Теорема 1. Пусть f(x, y) абсолютно непрерывная по каждой переменной функция на [0,∞)2, lim
max(x,y)→∞f(x, y) = 0 и для некоторого p >1 Fp≡
∞
Z
0
∞
Z
0
1 u1u2
2u1
Z
u1
2u2
Z
u2
ft001t2(t1, t2)
p
dt1dt2
1 p
du1du2 <∞
Тогда fˆc ∈L1[0,∞)2 и имеет место формула обращения
f(t1, t2) = 2
π 2 ∞
Z
0
∞
Z
0
fˆc(x1x2) cosx1t1cosx2t2dx1dx2
для каждого t1>0, t2 >0.
При доказательстве теоремы А использовано следующее вспомогательное утверждение.
Лемма А.([1],стр.338). Пусть f локально Lp-интегрируемая функция на [0,∞) при некотором p∈(1,2]. Тогда для любого u >0 имеет место неравенство:
∞
Z
0
1 u
2u
Z
u
f(t)sinxt x dt
dx≤Cp
1 u
2u
Z
u
|f(t)|pdt
1 p
(4) Для полноты изложения приведем краткое доказательство леммы А.
Доказательство леммы А. Разобьем интеграл, стоящий в левой части равенства следующим образом
1
Zu
0
+
∞
Z
1 u
1 u
2u
Z
u
f(t)sinxt x dt
dx=:J1+J2. (5)
Для оценки J1 мы используем элементарное неравенство sinxt
ux ≤2 при 0< x≤ 1u и u≤t≤2u.
Из него и неравенства Гельдера следует
J1≤2
1
Zu
0 2u
Z
u
|f(t)|dtdx= 2 u
2u
Z
u
|f(t)|dt≤2
1 u
2u
Z
u
|f(t)|pdt
1 p
(6) Для оценки J2 мы будем использовать неравенство Гельдера.
J2 ≤ 1 u
∞
Z
1 u
dx xp
1 p
∞
Z
1 u
2u
Z
u
f(t) sinxtdt
q
dx
1 q
≤Cp
1 u
2u
Z
u
|f(t)|pdt
1 p
. (7)
Из неравенств (5)-(7) следует (4). Лемма доказана.
Теперь рассмотрим двумерный аналог леммы А.
Лемма 1. Пусть f локально Lp[0,∞)2-интегрируемая функция. Тогда для любых u1 и u2 имеет место неравенство
J ≡
∞
Z
0
∞
Z
0
1 u1u2
2u1
Z
u1
2u2
Z
u2
f(t1, t2)sinx1t1
x1
sinx2t2
x2 dt1dt2
dx1dx2 ≤Cp
1 u1u2
2u1
Z
u1
2u2
Z
u2
|f(t1, t2)|pdt1dt2
1 p
.
Доказательство.На основании леммы А имеет место оценка
∞
Z
0
1 u2
2u2
Z
u2
f(t1, t2)sinx2t2
x2
dt2
dx2≤Cp
1 u2
2u2
Z
u2
|f(t1, t2)|pdt2
1 p
при любом u2 >0 и фиксированном t1>0.
Следовательно, применяя лемму А еще раз, получим
J =
∞
Z
0
1 u1
2u1
Z
u1
∞
Z
0
1 u2
2u2
Z
u2
f(t1, t2)sinx2t2
x2
dt2dx2
sinx1t1
x1
dt1dx1≤
≤Cp
∞
Z
0
1 u1
2u1
Z
u1
1 u2
2u2
Z
u2
|f(t1, t2)|pdt2
1 p
sinx1t1
x1 dt1dx1≤
≤Cp
1 u1
2u1
Z
u1
1 u2
2u2
Z
u2
|f(t1, t2)|pdt2
1 p
p
dt1
1 p
=
=Cp
1 u1u2
2u1
Z
u1
2u2
Z
u2
|f(t1, t2)|pdt2dt1
1 p
.
Отсюда следует требуемая оценка. Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть f ∈L1[0,∞)2. Тогда для любого x >0 имеет место неравенство
∞
Z
0
∞
Z
0
f(t1, t2) sinx1t1sinx2t2dt1dt2 =
= 1
(ln 2)2
∞
Z
0
∞
Z
0
1 u1u2
2u1
Z
u1
2u2
Z
u2
f(t1, t2) sinx1t1sinx2t2dt1dt2du1du2.
Доказательство. На основании теоремы Фубини, меняя пределы интегрирования, получим
∞
Z
0
∞
Z
0
1 u1u2
2u1
Z
u1
2u2
Z
u2
f(t1, t2) sinx1t1sinx2t2dt1dt2du1du2=
=
∞
Z
0
∞
Z
0
f(t1, t2) sinx1t1sinx2t2dt1dt2
t1
Z
t1 2
1 u1du1
t2
Z
t2 2
1 u2du2
=
= (ln 2)2
∞
Z
0
∞
Z
0
f(t1, t2) sinx1t1sinx2t2dt1dt2. Отсюда следует условие леммы 2.
Доказательство теоремы 1. Докажем, что fˆc(x1, x2) ∈ L1[0,∞)2. Для этого проинтегрируем внутренний интеграл.
fˆc(x1, x2)≡
∞
Z
0
∞
Z
0
f(t1, t2) cosx1t1cosx2t2dt1dt2 =
=
∞
Z
0
cosx2t2dt2
1
x1f(t1, t2) sinx1t1|∞0 − 1 x1
∞
Z
0
sinx1t1·ft01(t1, t2)dt1
=
=
∞
Z
0
cosx2t2
− 1 x1
∞
Z
0
ft01(t1, t2) sinx1t1dt1
dt2=I.
Далее, интегрируя по частям интеграл I, получим
I =−1 x1
∞
Z
0
ft01(t1, t2) sinx1t1dt1
1
x2 sinx2t2|∞0 − 1 x2
∞
Z
0
∞
Z
0
ft01(t1, t2) sinx1t1dt1
1
x2sinx2t2dt2
.
Учитывая, что первое слагаемое в I обращается в нуль, имеем fˆc(x1, x2) = 1
x1x2
∞
Z
0
∞
Z
0
ft001t2(t1, t2) sinx1t1sinx2t2dt1dt2.
Далее, проинтегрировав это равенство, на основании лемм 1 и 2 получим
∞
Z
0
∞
Z
0
fˆc(x1, x2)
dx1dx2 =
=
∞
Z
0
∞
Z
0
1 x1x2(ln 2)2
∞
Z
0
∞
Z
0
1 u1u2
∞
Z
0
∞
Z
0
ft001t2(t1, t2) sinx1t1sinx2t2du1du2dt1dt2
dx1dx2≤
≤ 1 (ln 2)2
∞
Z
0
∞
Z
0
1 x1x2
∞
Z
0
∞
Z
0
1 u1u2
2u1
Z
u1
2u2
Z
u2
ft001t2(t1, t2) sinx1t1sinx2t2dt1dt2
dx1dx2du1du2≤
≤ 1 (ln 2)2
∞
Z
0
∞
Z
0
1 u1u2
2u1
Z
u1
2u2
Z
u2
ft001t2(t1, t2)
p
dt1dt2
1 p
du1du2<∞.
Следовательно, fˆc(x1, x2)∈L1[0,∞)2. Теорема 1 доказана.
В следующей теореме ответим на вопрос Lp-интегрируемости с весом косинус- преобразования монотонно убывающей функции.
Теорема 2.Пусть f(x)>0 - четная, монотонно убывающая функция, 1< p <2, α >−1. Тогда, если
∞
Z
0
f(x)xp−α−2dx <∞.
то
xαpfˆc(x)∈Lp([0,∞)).
Для доказательства данной теоремы нам понадобится следующая
Лемма Б.(Неравенство Харди [2]). Пусть q ≤0, r >0 и g-неотрицательная функция, определенная на (0,∞). Тогда
∞
Z
0
t
Z
0
g(u)du
q
t−r−1
1 q
≤ q r
∞
Z
0
[ug(u)]qt−r−1du
1 q
.
Доказательство теоремы 2. Так как f(x) не возрастает и f(∞) = 0, то интеграл fˆc(x) =
r2 π
∞
Z
0
f(y) cosxydy
сходится для любого x >0. Разобьем данный интеграл на две части следующим образом
fˆc(x) = r2
π
1
Zx
0
f(y) cosxydy+ r2
π
∞
Z
1 x
f(y) cosxydy =:I1(x) +I2(x).
По второй теореме о среднем значении
I2(x) = r2
πf 1
x Zξ
1 x
cosxydy= r2
πf 1
x
sinxξ−sin 1
x .
Поэтому
|I2(x)| ≤2 r2
π 1 xf
1 x
и
∞
Z
0
|I2(x)|pdx < A
∞
Z
0
1 xf
1 x
p
dx=A
∞
Z
0
[f(t)]ptp−2dt.
Далее, так как f(x) не возрастает и f(∞) = 0, то интеграл
∞
Z
0
xα(Fα(x))pdx=C
∞
Z
0
xα 1
xf 1
x p
dx=:I
Выполним замену в интеграле I : x1 =t, dx=−t12dt. Тогда последний интеграл запишется в виде
I =C
∞
Z
0
1
tα[tf(t)]p1
t2dt=C
∞
Z
0
[f(t)]ptp−α−2dt.
Теперь проверим, что
C
∞
Z
0
xα(Fα(x))pdx <∞.
Для доказательства последнего неравенства выполним замену в интеграле 1x =t, dx=−t12dt и применим к преобразованному интегралу лемму Б.
∞
Z
0
1 tα
t
Z
0
f(y)dy
p
dt t2 =
∞
Z
0
t−α−2
t
Z
0
f(y)dy
p
dt=
∞
Z
0
[uf(u)]pu(−α−1)−1du=
∞
Z
0
[f(u)]pup−α−2du <∞.
Теорема доказана.
Отметим, что при α= 0 из теоремы 2 вытекает соответствующая теорема из ([3] стр. 150).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Dang Vu Giang, Moricz F. Lebesgue integrability of Fourier transforms //Acta Sci. Math. - 1995. - V.60, №1-2. - P. 329-343.
2. Харди Г.Г., Литлвуд Дж.И., Полиа Г. Неравенства.-М.:Издательство ЛКИ, 2008.-456с.
3. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье.-М.:Гостехиздат, 1948.-479с.
Мұқанов Ж.Б., Оразғалиев Е.Т.
Екi айнымалы функциялардың косинус түрлендiруiнiң интегралдануы туралы
Жұмыста екi еселi Фурье косинус түрлендiруiнiң интегралдануының және айналдыру формуласының орындалатындығының жеткiлiктi шарты келтiрiлген.
Mukanov Zh.B., Orazgaliev E.T.
On the integrability of cosine transformation of functions of two variables
In work the sufficient condition of integrability of double Fourier cosine transformation and recovery of the formula of the reference is resulted.
Поступила в редакцию 15.01.11 Рекомендована к печати 29.01.11
