PDF МАТЕМАТИКА - repository.enu.kz:8080

Т.Б. Ахажанов, Н.А. Бокаев

Классы функций двух переменных ограниченной p-флуктуации и приближение функций полиномами по системе Уолша

(Евразийский национальный университет им.Л.Н. Гумилева, г. Астана, Казахстан)

В работе доказываются прямые и обратные теоремы приближения функций двух переменных ограниченной p- флуктуации полиномами Уолша по норме рассматриваемого пространства и теорема об абсолютной сходимости двойных рядов, составленных из коэффициентов Фурье-Уолша.

Пусть 1 ≤ p < ∞ и функция f(x, y) определена на [0,1)² и для любого интервала I обозначим через I_j⁽ⁿ_1,j^1,n₂ ²⁾ двоичный интервал

j1−1 2ⁿ¹ , j1

2ⁿ¹

×

j2−1 2ⁿ² , j2

2ⁿ²

. Через osc

f,[a, b)²

обозначим

sup

(x,y),(x⁰,y⁰)∈I

f(x, y)−f(x⁰, y⁰) , По определению

κp(f, n1, n2) :=





2ⁿ¹

X

j1=1 2ⁿ²

X

j2=1

osc

f, I_j⁽ⁿ_1,j^1,n₂ ²⁾ p





1/p

. Тогда, если

V_p(f) := sup

n1∈P n2∈P

κ_p(f, n₁, n₂)<∞,

то f(x, y) называется функцией ограниченной p-флуктуации. Введем дискретный модуль непрерывности

Vp(f)n1,n2 = sup

k1≥n1 k2≥n1

κp(f, k1, k2).

В одномерном случае это понятие было введено Волосивецом [1]. Множества функций f(x, y), для которых V_p(f) <∞, обозначается через F V_p[0,1)² (1≤p <∞), а множества функций f(x, y), для которых

V_p(f)_n1,n2 →0

при n1, n2→ ∞-через F Cp[0,1)² (1< p <∞). Далее эти пространства рассматриваются при указанных ограничениях с нормой

kfk_p,F =max(Vp(f),kfk_∞),

относительно которой они полны. Пусть теперь r0(x) равна 1 на 0,¹₂

и -1 на ₁

2,1 . Продолжим ее периодически с периодом 1 на всю ось. Тогда функциями Радамахера r_k(x) называются функции r₀ 2^k

, k = 1,2, .... Введем еще один дискретный групповой модуль непрерывности, связанный с пространством F Cp[0,1)² (1< p <∞), формулой

Vp(f)^∗_n1,n2 = sup

0≤h1< 1 2n1 0≤h2< 1

2n2

kf(x1⊕h1, x2⊕h2)−f(x1, x2)k_p,F.

Функции Уолша в нумерации Пэли определяются следующим образом (см. [2]). Положим w₀(x)≡1. При n∈N рассмотрим двоичную запись n:

n=

k(n)

X

i=0

_i2ⁱ, где _k(n)= 1; _i = 0 или _i= 1, 0≤i < k(n). Тогда

w_n(x) =

k(n)

Y

i=0

(r_i(x))ⁱ

n-я фунция Уолша.

Для x ∈ [0,1), y ∈ [0,1) имеют место представления x = P∞ k=1

xk

2^k , y = P∞ k=1

yk

2^k где xk= 0 или 1,yk= 0 или 1.

Сумма x ⊕ y определяются равенством x ⊕ y = P∞ k=1

(xk+yk)(mod2)

2^k . Система Уолша {w_i(x)w_j(y)}^∞_i,j=0 также ортонормирована и полна в L[0,1)², что позволяет определить для f ∈ L[0,1)² коэффициенты Фурье fb(i, j) = R1

0

R1

0 f(x, y)wi(x)wj(y)dxdy, i, j ∈ Z+. Пространство L^p[0,1)² снабжено нормой kfk_p =

R1 0

R1

0 |f(x, y)|^pdxdy _p¹

. Для f ∈L^p[0,1)², 1≤p <∞, также верно, что

lim

(h,k)→(0,0)kf(x⊕h, y⊕k)−f(x, y)k_p = 0 .

Лемма 1. Пусть 1 ≤ p < ∞, ϕ x1, x2, y₁⁰, y₂⁰

∈ F Vp[0,1)² при всех y⁰₁, y₂⁰

∈ [0,1)². Тогда верно неравенство

Z 1 0

Z 1 0

ϕ(x1, x2, y1, y2)dy1dy2

p,F

≤ Z 1

0

Z 1 0

kϕ(x1, x2, y1, y2)k_p,Fdy1dy2. (1) Доказательство. Пусть

h(x1, x2) = Z 1

0

Z 1 0

ϕ(x1, x2, y1, y2)dy1dy2.

Рассмотрим сумму κ_p(h, n₁, n₂) как L_p-норму функции F(x₁, x₂, t₁, t₂) равной osc

h, I_j^(n1,n2)

1,j2

×2^(n1+n2)1p на I_j^(n1,n2)

1,j2 ×[0,1)². По определению

κ_p(h, n₁, n₂) =













2ⁿ¹

X

j1=1 2ⁿ²

X

j2=1













sup

(x1,x2)∈I(n1,n2) j1,j2 (x0

1,x0

2)∈I(n1,n2) j1,j2

h(x₁, x₂, y₁, y₂)−h(x⁰₁, x⁰₂, y⁰₁, y₂⁰)













p











1 p

.

Значит

kFk_L

p= Z 1

0

Z 1 0

|F(x₁, x₂, t₁, t₂)|^pdx₁dx₂ ¹_p

=

=





2ⁿ¹

X

j1=1 2ⁿ²

X

j2=1

Z

I_j⁽ⁿ¹⁾

1

Z

I_j⁽ⁿ²⁾

2

osc

h, I_j⁽ⁿ_1,j^1,n₂ ²⁾

2^(n1+n2)1p

p

dx1dx2





1 p

=

=





2ⁿ¹

X

j1=1 2ⁿ²

X

j2=1

osc

h, I_j⁽ⁿ_1,j^1,n₂ ²⁾

p





1 p

2^(n1+n2) Z

I_j⁽ⁿ¹⁾

1

Z

I_j⁽ⁿ²⁾

2

dx1dx2=

=





2ⁿ¹

X

j1=1 2ⁿ²

X

j2=1

osc

h, I_j⁽ⁿ_1,j^1,n₂ ²⁾

p





1 p

=κp(h, n1, n2).

В итоге

kFk_L

p =κp(h, n1, n2).

Согласно определению,

Z 1 0

Z 1 0

ϕ(x₁, x₂, y₁, y₂)dy₁dy₂ p,F

=max(V_p(h),khk_∞). Далее, применяя обобщенное неравенство Минковского для L_p, имеем

V_p(h) = sup

n∈P

κ_p(h, n) = sup

n∈P





2ⁿ¹

X

j1=1 2ⁿ²

X

j2=1

sup

x,x⁰∈I⁽ⁿ⁾

j

Z 1 0

Z 1 0

ϕ(x, y)−ϕ x⁰, y⁰ dy

p



1 p

=

= sup

n∈P



 sup

x,x⁰∈I⁽ⁿ⁾

j

2ⁿ¹

X

j1=1 2ⁿ²

X

j2=1

Z ₁

0

Z ₁

0

ϕ(x, y)−ϕ x⁰, y⁰ dy

p



1 p

≤

≤sup

n∈P

sup

x,x⁰∈I⁽ⁿ⁾

j

Z 1 0

Z 1 0





2ⁿ¹

X

j1=1 2ⁿ²

X

j2=1

ϕ(x, y)−ϕ x⁰, y⁰

p





1 p

dy≤

≤ Z 1

0

Z 1 0





sup

n∈P





2ⁿ¹

X

j1=1 2ⁿ²

X

j2=1

sup

x,x⁰∈I⁽ⁿ⁾

j

ϕ(x, y)−ϕ x⁰, y⁰

p





1 p





dy=

= Z 1

0

Z 1 0

kϕ(x₁, x₂, y₁, y₂)k_p,Fdy₁dy₂. Кроме того,

sup

x,y∈[0,1]²

Z 1 0

Z 1 0

ϕ(x, y)dy

≤ Z 1

0

Z 1 0

sup

x,y∈[0,1]²

ϕ(x, y)

! dy.

A₁ < B₁, A₂ < B₂ ⇒max(A₁, A₂)≤max(B₁, B₂). Лемма 1 доказана.

Теорема 1. Пусть 1< p <∞, n, m∈N, f ∈F Vp[0,1)². Тогда имеет место неравенство:

1

2Vp(f)^∗_m,n ≤E2^m,2ⁿ(f)_p,F ≤Vp(f)^∗_m,n. (2)

Доказательство.

S₂^m_,2ⁿ(f, x, y) = 2^m+n Z ¹

2m

0

Z ¹

2n

0

f(x⊕u, y⊕v)dudv.

E₂^m_,2ⁿ(f)_p,F ≤ kf(x, y)−S₂^m_,2ⁿ(f, x, y)k_p,F =

=

f(x, y)−2^m+n Z ¹

2m

0

Z ¹

2n

0

f(x⊕u, y⊕v)dudv p,F

=

=

2^m+n Z ¹

2m

0

Z ¹

2n

0

(f(x, y)−f(x⊕u, y⊕v))dudv p,F

=

=max V_p 2^m+n Z ¹

2m

0

Z ¹

2n

0

(f(x, y)−f(x⊕u, y⊕v))dudv

! ,

2^m+n Z ¹

2m

0

Z ¹

2n

0

(f(x, y)−f(x⊕u, y⊕v))dudv _∞

!

Далее, применяя определение Vp(g) и лемму 1, имеем V_p 2^m+n

Z ₂¹_m

0

Z ₂¹_n

0

(f(x, y)−f(x⊕u, y⊕v))dudv

!

=

= 2^m+n sup

(k1,k2)∈P²













2^k1

X

j1=1 2^k2

X

j2=1

sup

(x,y)∈I(k1,k2) j1,j2

(x0,y0)∈I(k1,k2) j1,j2

Z ¹

2m

0

Z ¹

2n

0

|f(x, y)−f(x⊕u, y⊕v)−

− f(x⁰, y⁰)−f(x⁰⊕u, y⁰⊕v)

dudvp¹_p

≤

≤2^m+n Z ¹

2m

0

Z ¹

2n

0











 sup

(k1,k2)∈P² 2^k1

X

j1=1 2^k2

X

j2=1













sup

(x,y)∈I(k1,k2) j1,j2 (x0,y0)∈I(k1,k2)

j1,j2

|f(x, y)−f(x⊕u, y⊕v)−

− f(x⁰, y⁰)−f(x⁰⊕u, y⁰⊕v)

p¹_p

dudv ≤

≤2^m+n sup

u∈[^0,₂¹m)

v∈[^0,₂¹n)

sup

(k1,k2)∈P²













2^k1

X

j1=1 2^k2

X

j2=1













sup

(x,y)∈I(k1,k2) j1,j2

(x0,y0)∈I(k1,k2) j1,j2

|f(x, y)−f(x⊕u, y⊕v)−

− f(x⁰, y⁰)−f(x⁰⊕u, y⁰⊕v)

p_p¹ Z ¹

2m

0

Z ¹

2n

0

dudv=V(f)^∗_m,n Кроме того, имеем

k1inf≤2m k2≤2n

sup

(x,y)∈[0,1)²

|f(x, y)−P_k(x, y)| ≤ sup

(x,y)∈[0,1)²

|f(x, y)−S2^m,2ⁿ(x, y)|=

sup

(x,y)∈[0,1)²

f(x, y)−2^m+n Z ¹

2m

0

Z ¹

2n

0

f(x⊕u, y⊕v)dudv

=

= sup

(x,y)∈[0,1)²

2^m+n Z ¹

2m

0

Z ¹

2n

0

(f(x, y)−f(x⊕u, y⊕v))dudv

≤

≤ sup

(x,y)∈[0,1)²

sup

(u,v)∈[^0,₂¹m)^×[^0,₂¹n)

|(f(x, y)−f(x⊕u, y⊕v))| ≤

≤ sup

(u,v)∈[^0,₂¹m)^×[^0,₂¹n) sup

(x,y)∈[0,1)²

|(f(x, y)−f(u, y⊕v))| ≤V(f)^∗_m,n. Значит,

E₂^m_,2ⁿ(f)_p,F ≤V(f)^∗_m,n.

Теперь докажем левое неравенство из теоремы. Для этого сначала отметим, что из свойств систем Уолша следует, что

0≤h₁ ≤ 1

2^m,0≤h₂ ≤ 1 2ⁿ и при всех

k₁= 0,1, ...,2^m−1, k₂= 0,1, ...,2ⁿ−1 имеем

w_k1,k2(x⊕h₁, y⊕h₂) =w_k1(x)w_k2(y).

Пусть

Q₂^m_,2ⁿ(f, x, y) =

2^m−1

X

k1=0 2ⁿ−1

X

k2=0

a_k1,k2w_k1(x)w_k2(y)

полином, осуществляющий наилучшее приближение функции f в метрике p, F E₂^m_,2ⁿ(f)_p,F =kf−Q₂^m_,2ⁿk_p,F.

Из вышесказанного следует, что

Q2^m,2ⁿ(f, x, y) =Q2^m,2ⁿ(f, x⊕h1, y⊕h2).

Поэтому для любых 0≤h₁≤ ₂¹_m,0≤h₂ ≤ ₂¹_n мы имеем

kf(x, y)−f(x⊕h1, y⊕h2)k_p,F =

kf(x, y)−Q2^m,2ⁿ(f, x, y) +Q2^m,2ⁿ(f, x⊕h1, y⊕h2)−f(x⊕h1, y⊕h2)k_p,F ≤ kf(x, y)−Q₂^m_,2ⁿ(f, x, y)k_p,F +kQ₂^m_,2ⁿ(f, x⊕h₁, y⊕h₂)−f(x⊕h₁, y⊕h₂)k_p,F =

=E2^m,2ⁿ(f)p,F +E2^m,2ⁿ(f)p,F = 2E2^m,2ⁿ(f)p,F. Следовательно,

sup

0≤h1≤ 1 2m 0≤h2≤1

2n

kf(x, y)−f(x⊕h1, y⊕h2)k_p,F ≤2E2^m,2ⁿ(f)p,F.

Итак,

V(f)^∗_m,n≤2E2^m,2ⁿ(f)p,F. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть 1< p <∞, n, m∈N, f ∈F V_p[0,1)². Тогда имеет место неравенство

Vp(f)m,n ≤E2^m,2ⁿ(f)_p,F. (3)

Доказательство. Для доказательства левого неравенства (3) отметим, что всякий полином Q2^m,2ⁿ ∈ W2^m,2ⁿ постоянен на любом прямоугольнике I_j^(k1)

1 ×I_j^(k2)

2 , j1 = 1,2, ...,2^k1, j2 = 1,2, ...,2^k2, k1 ≥m, k2 ≥n поэтому

osc

f, I_j^(k_1,j^1,k₂²⁾

=osc

f−Q2^m,2ⁿ, I_j^(k_1,j^1,k₂²⁾

и при k1 ≥ m, k2 ≥ n соответствующие суммы κp(f−Q2^m,2ⁿ, k1, k2) и κp(f, k1, k2) совпадают. Поскольку

E₂^m_,2ⁿ(f)_p,F ≥sup

Q

kf−Q₂^m_,2ⁿk_p,F =

=max

Vp(f −Q2^m,2ⁿ),kf−Q2^m,2ⁿk_p,F

≥Vp(f−Q2^m,2ⁿ), то

E₂^m_,2ⁿ(f)_p,F ≥V_p(f)_m,n. Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть f ∈F C_p[0,1)², 1< β <2. Тогда при 1< p <2 для сходимости ряда

∞

X

m=0

∞

X

n=0

fb(m, n)

β

(4) достаточно выполнения одного из двух условий

∞

X

m=0

∞

X

n=0

(κ_p(f, m, n))^β 2^m+n1−β

<∞, (5)

∞

X

m=1

∞

X

n=1

E_m,n^β (f)p(mn)^−β <∞ (6)

Если 2≤p <∞, то любое из двух условий

∞

X

m=0

∞

X

n=0

2^m+n1−^β_p−^β₂

V_p^β(f)m,n <∞, (7)

∞

X

m=1

∞

X

n=1

E_m,n^β (f)_p(mn)⁻

β p−^β

2 <∞ (8)

также влечет сходимость ряда (4).

Доказательство.Согласно равенству

w_k1,k2(x1⊕t1, x2⊕t2) =w_k1(x1)w_k1(t1)w_k2(x2)w_k2(t2) и равенству Парсеваля для cистемы Уолша имеем

f

x1⊕ 1

2^m+1, x2⊕ 1 2^m+1

−f(x1, x2)

2 L2

=

=

∞

X

k1=0

∞

X

k2=0

fb ¹

2m+1, ¹

2m+1 (k1, k2)−f(kb 1, k2)

2

=

=

∞

X

k1=0

∞

X

k2=0

Z 1 0

Z 1 0

f

x₁⊕ 1

2^m+1, x₂⊕ 1 2^m+1

w_k1(x₁)w_k2(x₂)dx₁dx₂−

− Z 1

0

Z 1 0

f(x1, x2)w_k1(x1)w_k2dx1dx2

2

=

=

∞

X

k1=0

∞

X

k2=0

Z 1 0

Z 1 0

f(x1, x2)wk1,k2

x1⊕ 1

2^m+1, x2⊕ 1 2^m+1

dx1dx2−

− Z ₁

0

Z ₁

0

f(x₁, x₂)w_k1(x₁)w_k2dx₁dx₂

2

=

=

∞

X

k1=0

∞

X

k2=0

fb(k₁, k₂)

w_k1,k2 1

2^m+1, 1 2^m+1

−1

2

. При 2^m ≤k <2^m+1 w_{k 2}m+1¹

=−1, k <2^m w_{k 2}¹m

= 1 поэтому wk1,k2

1 2^m+1, 1

2^m+1

=−1

при 2^m ≤k1<2^m+1,0≤k2 <2^m и 0≤k1<2^m, 2^m≤k2 <2^m+1. Поэтому

∞

X

k1=0

∞

X

k2=0

fb(k1, k2)

w_k1,k2 1

2^m+1, 1 2^m+1

−1

2

≥

≥4





2^m+1

X

k1=2^m 2^m−1

X

k2=0

fb(k₁, k₂)

2

+

2^m−1

X

k1=0

2^m+1−1

X

k2=2^m

fb(k₁, k₂)

2



.

f

x1⊕ 1

2^m+1, x2⊕ 1 2^m+1

−f

x1⊕ 1 2^m+1, x2

−

−f

x₁, x₂⊕ 1 2^m+1

+f(x₁, x₂)

2 L2

=

=

∞

X

k1=0

∞

X

k2=0

fb ¹

2m+1, ¹

2m+1 (k₁, k₂)−fb ¹

2m+1,0(k₁, k₂)−fb_0, ¹

2m+1 (k₁, k₂) +fb(k₁, k₂)

2

=

∞

X

k1=0

∞

X

k2=0

f(kb 1, k2)

w_k 1

2^m+1

w_k 1

2^m+1

−w_k 1

2^m+1

−w_k 1

2^m+1

+ 1

2

≥

≥16

2^m+1

X

k1=2^m 2^m+1−1

X

k2=2^m

fb(k1, k2)

2

. Следовательно,

f

x₁⊕ 1

2^m+1, x₂⊕ 1 2^m+1

−f(x₁, x₂)

2 L2

=

= Z 1

0

Z 1 0

f

x1⊕ 1

2^m+1, x2⊕ 1 2^m+1

−f(x1, x2)

2

dx1dx2 =

=

2^m

X

i=1 2^m

X

j=1

Z Z

I_i,j^(m,m)

f

x₁⊕ 1

2^m+1, x₂⊕ 1 2^m+1

−f(x₁, x₂)

2

dx₁dx₂≤

≤

2^m

X

i=1 2^m

X

j=1

1 2^m

osc

f, I_i,j^(m,m)2

.

f

x₁⊕ 1

2^m+1, x₂⊕ 1 2^m+1

−f

x₁⊕ 1 2^m+1, x₂

−

−f

x1, x2⊕ 1 2^m+1

+f(x1, x2)

2 L2

≤

f

x1⊕ 1

2^m+1, x2⊕ 1 2^m+1

−f

x1⊕ 1 2^m+1, x2

−

−f

x₁, x₂⊕ 1 2^m+1

+f(x₁, x₂)

2 L2

≤

≤4

2^m

X

i=1 2^m

X

j=1

1 2^m

osc

f, I_i,j^(m,m)2

. Рассмотрим P₁ =fb(0,0),P₂ =

(i, j), i <2², j <2² ...P_m={(i, j), i <2^m, j <2^m} X

(k1,k2)∈Pm+1\Pm

fb(k1, k2)

2 ≤ 1 4

f

x1⊕ 1

2^m+1, x2⊕ 1 2^m+1

−f(x1, x2)

2 L2

+

+1 8

f

x1⊕ 1

2^m+1, x2⊕ 1 2^m+1

−f

x1⊕ 1 2^m+1, x2

2 L2

+

+

f(x1, x2)−f

x1, x2⊕ 1 2^m+1

2 L2

!

≤

≤ C 2^2m

2^m

X

i=1 2^m

X

j=1

osc

f, I_i,j^(m,m)2

.

Теперь стандартным образом, применяя неравенство |a+b|^p ≤ |a|+|b| при 1 < p < 2 и неравенство Гельдера при 2≤p <∞, получаем

2^m

X

i=1 2^m

X

j=1

osc

f, I_i,j^(m,m) 2

≤





2^m

X

i=1 2^m

X

j=1

osc

f, I_i,j^(m,m) p





2 p



2^m

X

i=1 2^m

X

j=1

1





1−²

p

=

=Cpκ²_p(f, m, m) 1 2^2m. При 1< p <2 и имеем

X

(k1,k2)∈Pm+1\Pm

fb(k1, k2)

2 ≤ C

2^2mV_p²(f)m,m2^2(m+1)

1−²_p

. При p≥2, полагая β <2, применяя неравенство Гельдера получим

X

(k1,k2)∈P_m+1\P_m

fb(k₁, k₂)

β ≤





X

(k1,k2)∈P_m+1 Pm

fb(k₁, k₂)

2





p 2

3^1−β2 2^2m1−^β₂

. В том случае, когда 1< p <2, получаем

X

(k1,k2)∈Pm+1\Pm

fb(k1, k2)

β ≤

∞

X

m=0

∞

X

m=0

C

2^2mκ²_p(f, m, m) ^β

2

2^2m1−^β

2 =

=

∞

X

m=0

∞

X

m=0

κ^β_p(f, m, m) 2^2m1−β

, а при β ≥2

X

(k1,k2)∈Pm+1\Pm

fb(k₁, k₂)

β

=O

∞

X

m=0

∞

X

m=0

2^2m1−^β₂−^β_p

V_p^β(f)_m,m

! .

Остальные формилуровки следует из неравенства κp(f, m, m)≤Vp(f)m,m, теоремы 2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Волосивец С.С. Приближение функций ограниченной p-вариации полиномами по системам Хаара и Уолша. // Математические заметки. 1993. Т.53.№6. С. 11-21.

2. Б.И. Голубов, А.В. Ефимов, В.А. Скворцов Ряды и преобразования Уолша: теория и применения . // - М.:Наука, 1987.-С.1-344.

3. Волосивец С.С. Приближение функций ограниченной p-флуктуации полиномами по мультипликативным системам. // Anal. Math. 1995. - №21.-C. 61-77.

Ахажанов Т.Б. Бокаев Н.А.

p-шектелген флуктуациясы бар екi айнымалы функциялар классы және функциялардың Уолш жүйесiнiң көпмүшелiктерiмен жуыктау

Бұл жұмыста p-шектелген флуктуациясы бар екi айнымалы функциялардың жуықталуы туралы тура және керi теоремалары жәнеде Фурье-Уолш коэфициенттерiнен құралған қатарлардың абсолюттiк жинақталу теоремасы дәлелденген.

Аkhachanov T.B, Bokayev N.A.

Classes of functions of two variables of bounded p-fluctuations and approximation of functions by Walsh In this paper,we prove direct and inverse theorems of approximation of functions of two variables of bounded p-fluctuations Walsh polynomials in the norm of the space and the theorem on absolute convergence of double series, consisting of Fourier-Walsh coefficients.

Поступила в редакцию 29.04.11 Рекомендована к печати 27.05.11