PDF repository.enu.kz

Труди Математического института РАН 1992, том 194

УДК 517.51

В. И. БУРЕНКОВ

О ТОЧНОЙ ПОСТОЯННОЙ В НЕРАВЕНСТВЕ ХАРДИ

ПРИ 0<#<1 ДЛЯ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ

Для функций / одной переменной, измеримых на полуоси (0, оо), рас­

смотрим операторы Харди Я^х, и Н^2У определяемые для любых х > О равен­

ствами

X оо

(HJ) (х) :

= 4 -

^{J /} (у) dy, (HJ) (х) : = ± $ / (у) dy.

О X

Известные неравенства Харди имеют следующий вид: пусть 1 < ^ p < J если а < 1/р' (р' — показатель, сопряженный к р; 1/р + 1/р' = 1), то для любых измеримых на (0, со) функций /

Il х- (HJ) (x) | |v„ , в ) < a)'1 H aflf (x) | |Vo , (1>

а если ос 1/р', то для любых измеримых на (0, оо) функций /

У а« (Я2/) (x) | |1 р ( 0, те) < ( а i - ) "1 H (s) | | ьр ( 0, м ). (2) Постоянные (1/р' — а)"¹ в (1) и (а — 1/р')"¹ в (2) являются точными (наимень-

щими возможными) цри любых рассматриваемых а и р . Нетрудно проверить, что при 0 <^ p < ] 1 неравенства

Il a* (HJ) (x) H^{V 0}, < А^х H x*f (x) | Ц^{( 0}, « „ (3)

И tf* (HJ) (x) | Ц( 0, оо) < A2 a*/ (я) | Ьр( о . œ ) (4)

ни для каких а, А^х и А² не имеют места для любых измеримых на (0,оо) функций / (известно, что при соответствующих а, А^х, А² и / | > 0 справедли­

вы неравенства (3) и (4) со знаком > вместо В то же^время при дополни*

тельном предположении о монотонности функции / неравенство (3) при а < 1/р' и неравенство (4) при а > 1/р' имеют место. В этом нетрудно убе­

диться, если перейти от интегралов к суммам, учитывая, что для любых а при некоторых сь е² ^ > О

с^г 2 2^h<^{a + 1}> / ( 2* ) < ^ / ( z ) d z < c2 2 2*<^а+1>/(2*),

К'=—оо О JC=— со

для любых неотрицательных монотонных функций /, и воспользоваться не­

равенством Йенсена.

Целью настоящей статьи является нахождение точных постоянных в не­

равенствах (3) и (4) для монотонных функций цри 0 < р < 1^Х. Нам понадобятся следующие леммы.

1 Без доказательств приводимые ниже результаты сформулированы в [2]*

5 8

Л е м м а 1 . Пусть 0 < р < 1 , VA; e N щ > 0 и а^н > а^{к + 1}. Гогда

( S a * )^P< S ( *^P- ( * - 1 )^P) - (5)

Tt==l fc=l

З а м е ч а н и е 1. Если для некоторого-^,! m €= N а^г = . . . = а^т > О я ^{ßm + i == а}т + 2 = . . . = 0, то неравенство (5) обращается в равенство.

Неравенство (5) является усилением неравенства Йенсена для случая моно- тонно убывающих последовательностей (нетрудно проверить, что 2 ^а1 -

К-=1 . ( F - (k — 1 )^р ) < 7 aï); отметим, что к^р — (к — If ~ рк^¹ при к со.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Прежде всего если А > 0, то при 0 < ; t А

( i + if < i + ^ « л -¹ + i f - л - » ) (6)

(это неравенство следует из того, что функция Г^р ((1 + tf — 1) строго монотонно возрастает на (О, А]). Из (6) следует, что если 0 <; у <; Ах, то

(* + У? < + V^v {{А'¹ + if - А~^р). (7) Докажем теперь для m ЕЕ N по индукции неравенство

m m

7с=1 7î=i

При m = 1 оно очевидно (при m = 2 оно следует из (7)). Пусть оно спра­

ведливо для некоторого m ЕЕ N, тогда, учитывая, что в силу монотонности

m

a^{m + 1}< ; — у¹ получим согласно (7) и индуктивному предположению, что

( S *^{f c})^p = ( S e* + «r,,⁺i)^P < ( S a*)^p + <^{+ 1} ((m + if - m") <

ÏC=1 K=l Tc=l

< S a ? ( Ä^p- ( & - l ) * > ) . Наконец, переходя к пределу в (8), получим (5).

Л е м м а 2 . Если О < р < 1, — оо < a < ft < ; оо и функция f неотри­

цательна и монотонно убывает на (а, Ь), то ъ ъ

(J / (x) dxf < р 5 (я — а ) м /^р (or) ds. . (9) а а

З а м е ч а н и е 2 . Если для некоторого | е= (а, Ъ) на (a, | ) / (x) = 1 и на [£, Ь) / (а:) = 0, то неравенство (9) обращается в равенство. Неравен­

ство (9) является интегральным аналогом неравенства (5). Если а = О, b = оо и V i G N на (к — 1, Л] / (x) = a^k, то (9) переходит в (5).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Будем считать, что b < оо (случай fc = со получается из случая b < оо с помощью предельного перехода). Для любых m e N, fc e { 1 , . . м ™} и x s (a + (/с — 1)(Ь — а)/тл, а + /с (Ь — а ) / т ] положим /^т (я?) : = / (а + /с (Ь — (при к = m считаем, что / (fc) : = : = lim / (х)). Так как для x Œ (a, b — (Ь — а)/т) имеем f (x + (Ь — а)/яг)<

^ / т (з) < / (#)* ^T° i^за исключением, быть может, счетного множества на (a, fc), l i m /^{T O} (х) = / ( * ) . Согласно лемме 1

7П->00

5 9

Ill

< ( ^ ï £ ^f (^a+4<^è - ^{û )} ) ^{( F} -⁽ * - ^{1 ) P} ) -

7c=l

m а+к(Ь—a)/m

7C=1 a + ( f c - l ) ( b - a) / m

b b

= — e )^M/ m W Ä < p J (* — a ) « / (*) a Û

Отсюда, переходя к пределу при mоо, получим (9). ⁴

С л е д с т в и е , 2?&ш 0 < p < 1, —со <; а < Ь < оо и функция f не­

отрицательна и монотонно возрастает на (а, &), то

Ъ b

/ (x) dxf < р 5 (Ь — я)*-! f (а) da:. (10) а а

Для доказательства достаточно при а ] > —со выполнить замену пере­

менных у :== а + b — х, воспользоваться неравенством (9) и выполнить обратную замену переменных. Если для некоторого g е (а, Ь) на (а, у (х) = О и на (£, 6) / (а:) = 1, то неравенство (10) обращается в равенство.

Т е о р е м а . Пусть 0 < р < 1. 1. £Ъш —1/р <С а < 1/р', то для лю­

бых неотрицательных монотонно убывающих на (0, со) функций f

H tf* И |Ц

^{( 0}

, „) <

^(Л

а )

^{_ 1 / Р}

II а*/

(х) | |Ь р ( 0 > ( 1 1 } а < —1/р, яъо а/&я любых неотрицательных монотонно возрастающих:

на (0, со) функций f

||а;« (HJ) №^р( о , > ) < ( р В ( р , - а р ) )¹' » Il ^ / (x) | |^{L p ( 0}, о о ) , (12) где В (и, v) — бэта-функция Эйлера ¹.

2. а ^> 1/р', 77го для любых неотрицательных монотонно убываю­

щих на (0, оо) функций /

H x* (HJ) (x) | |^{L p ( 0}, ^то) < (рЯ (p, р (а — 1 - ) ) )^{1 / Р} II &i (х) | Ь^{р ( 0}, со). (13) Постоянные в неравенствах (11)—(13) точные при всех рассматриваемых

а и р\

З а м е ч а н и е 3 . Отметим частный случай неравенства (13): при 0 <

< p < 1 для любых неотрицательных монотонно убывающих на (0, о о ) функций / справедливо следующее неравенство с точной постоянной:

с о

X ^Р

Неравенство (14) следует из (13) при а = 0, так как согласно свойствам гамма-функции

рВ (p, -р/р') = рВ (p, 1 - р) = рГ (р)Г (1 — р) = лтр/sin яр.

Д о к а з а т е л ь с т в о . 1. Согласно (9) при а < 1/р' для неотрицатель­

ных монотонно убывающих функций /

СО X

II *

^{а Ш) (х) | | £р(0, о о ) =}

jj ^a«*-

¹

^{^ (}

J / (у) dyj dx <

v) : = a^{u г}( 1 — x )^r = р | ц ^ ^ (и, v > 0), где Г — гамма-фувкция Эйлера, о

6 0

W X ОО СЗО

< Р

jj ^X«*-DP (jj

j / p - i f (y) dj,) dx = p

J

y ' - i f ( j / )

( J

^{dx) dy =}

о о о ^y

oo

= ( - 1 a)~

^l

^r(y)dy, 0

откуда и следует (11). Ограничение а > —1/р в условии теоремы связано с тем, что при а < ; —1/р для любых рассматриваемых функций / (кроме / == 0) обе части неравенства (11) бесконечны и неравенство (11) тривиально.

Если для некоторого I > 0 на (0, | ) / (x) = 1, а на [£, оо) / (х) = 0, то при —1/р < а < 1/р'

I I№ / ) ( x ) l £^{p ( 0}, - ^{{ap +}

\

^HW

_

^a) . Ilx«/(x) | £^{p ( 0}, = J L p r и неравенство (11) обращается в равенство.

Пусть теперь а < —1/р, a функция / неотрицательна и монотонно воз­

растает, тогда согласно (10)

ОО .X

II Ш) (x) |Ê^{p (}o, оо) = 5 a*«-»" ( J / (У) d y )^P dx <

о о

о о х с о оо

< p

J

^{x(«-«f (}

J

^{(х —} f (у) dy) dfc = p^ fP (у)

(jj ^«(«-«P

(x — dx) dy =

0 0 о y

oo 1

= (

^{Z :}

= IT)

⁼

P S to) ^ • S

^z-a

"

^-1

V —

^z

)

^p_1

о 0 откуда и следует (12).

Если для некоторого I > 0 на (0, £) / (#) = 0, а на [£, со) / (x) = l^f то при ^{а <С} —1/р

со

\\x^(HJ)(x)\\lp(0)Co) = $ * < « - ^ - £ )^pd * = (г/:=4")

=

t i

= l^{a p + 1}

5 ^y~

^av

^~

^{2 (1 — y )p}

^dy

^{= (p + 1, — ap — 1),}

о

1 1 ^^а/ И 1 Ё^р( о ^ ) = ^^{+ 1}/ 1 « р + 1 |

и неравенство (12) обращается в равенство, так как согласно свойствам бэта функций В (p + 1, — a p — 1) = \ ^{а рР + ц} В ( р , — а р ) .

Отметим еще, что при а > —1/р неравенство (12) тривиально: обе его>

части бесконечны (при / ф 0).<

2. Согласно (9) при a > 1/р' для неотрицательных монотонно убывающих функций /

оо о о о о о о

| | * * ( Я , / ) ( * ) 1 1 Ер< о . - ) =

5x(«-»p(J/(j/)^)

^P

^<p Jj

^x(a_1)

" S^-

^X

)

^p_1

/

^P

(y)^ =

O X

0

^зс

о о у

= J> \ f {У) () *^а~^1)р (У - я)""¹ ^х) dj, = (z : = -у) = о о

оо 1

= P #^{а р}/^р (у) <ty • 5 ^{z ( a}~^{1 ) p} С^{1 — 2})^{р - 1 d z}>

о О откуда и следует (13).

6 1

Если снова для некоторого I > 0 на (0, £) / (х) = 1, а на [|, оо) / (x) = 0^t то при а ^> 1/р' неравенство (13) обращается в равенство, что устанавли­

вается так же, как и выше.

Отметим в заключение, что неравенства (11) и (13) ъ#огут оказаться полез­

ными при применении техники, связанной с использованием перестановок функций в убывающем порядке, например при доказательстве интерполя­

ционной теоремы Марцинкевича по схеме, изложенной в [1, с. 20; 2, с. 8 4 — 8 5 ] . Поступило в апреле 1989 г.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Берг Й . , Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир, 1980.

2. Буреиков В . Я . Функциональные пространства. Основные интегральные неравенства, связанные с пространствами L^p. M.: Изд-во УДН, 1989.