В. Т. БАЗЫЛЕВ, К. И. ДУНИЧЕЗ, В. П. ИВАНИЦКАЯ
Г Е О М Е Т Р И Я
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ I КУРСА
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФАКУЛЬТЕТОВ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИНСТИТУТОВ
513 Б 17
Допущено Министерством просвещения СССР в начестве учебного пособия для студентов физино-математичесних факультетов педаго
ги чесни х институтов
Базылев В. Т. и др.
Б17 Геометрия. Учеб. пособие для студентов I курса физ.-мат.
фак-тов пед. ип.-тов. М., «Просвещение», 1974.
351 с. с. ил.
Перед загл. авт.: В. Т. Базылев, К . И. Дуинчев, 13. П. Иваницкая
В нерпой части изложены: элементы векторной алгебры; геометрия на плос
кости; прямые линии, плоскости и квадрики и евклидовых и аффинных простран
ствах.
60602—555 ОІЗ
Б 103 (03) — 74 20-74
© Издательство «Просвещение», 1974 г.
П Р Е Д И С Л О В И Е
Настоящий курс геометрии, издаваемый в двух книгах, составлен па осно
вании лекций, прочитанных авторами на математическом факультете Москов
ского областного педагогического института им. II. К. Крупской. Он соответствует новой программе, принятой в педагогических институтах в 1970 г. Изложение этого курса полностью согласовано с новой программой по алгебре и теории чисел.
Курс построен так, что такие важнейшие понятия современной математики, как понятия множества, векторного пространства, отображения, преобразова
ния, математической структуры, составляют рабочий инструмент при изучении геометрии.
Аксиоматический метод начинает применяться лишь в главе об «-мерных аффинных и евклидовых пространствах. До этого материал излагается на базе тех геометрических представлений, которые сложились у слушателей при изучении школьного курса геометрии. Аксиоматику школьного курса геометрии и ее связи с другими аксиоматиками геометрии рассматриваем в разделе оснований геомет
рии (во второй части предлагаемого курса).
Считаем, что идейное содержание курса геометрии в педагогическом институ
те должно быть достаточно богатым, чтобы дать возможность будущему учителю математики взглянуть на школьный курс геометрии с более общей точки зрения.
Мы старались в доступной для студентов форме изложить соответствующие разде
лы в таком виде, как они представлены в науке в наше время. При этом следует заметить, что методика изложения того или иного раздела подчинена требованию единства всего курса.
Задачи и теоремы, предлагаемые в конце каждой главы, дополняют изложен
ную теорию и указывают на некоторые ее приложения.
Мы берем на себя смелость утверждать, что студент, овладевший предлага
емым курсом, сможет в дальнейшем, будучи учителем, грамотно преподавать гео
метрию в средней школе по повои программен вести факультативные занятия по геометрии (векторная алгебра и ее приложения, геометрические построения, метод координат, геометрические преобразования, элементы основании геометрии и не
евклидовы геометрии н т. д.).
Все термины, вводимые здесь, широко применяются в работах современных геометров (см. РЖМат., раздел-«Геометрия»). Но водном случае нами допущена некоторая «вольность речи». Дело в том, что в алгебре различают структуру аф
финного пространства над полем К и структуру аффинного пространства над век
торным пространством V над полем Қ [10]. В первом случае аффинное пространство
выступает как алгебра, а по втором—как более сложная структура, в которой век
торы являются операторами. Для геометрии это различие несущественно (всякое аффинное пространство над полем К можно превратить в аффинное пространство над его пространством переносов [10]).
Здесь мы не различаем эти структуры, и аффинное пространство над векторным пространством V над полем К называем просто аффинным пространством над по
лем Қ. Это уже не оригинально. Так сделано и в трактате II. Бурбаки (сравните в [4] сказанное на стр. 307 с началом п° 2 на стр. 308).
Учитывая, что переход средней школы на новые программы по мате
матике еще не завершен, мы старались сделать доступным изложение как для тех, кто обучался по старым программам, так и для тех, кто изучает мате
матику по новым школьным учебникам.
Работа над этой книгой проходила одновременно с работой авторского коллектива над школьными учебниками геометрии для V I—V III классов под редакцией А. Н. Колмогорова. Однако мы стремились но возможности вы
держать принятые в этих учебниках обозначения и определения основных понятий.
При составлении настоящего курса мы встретились с немалыми трудностями, которые хорошо известны каждому преподавателю геометрии в педагогическом институте. И конечно, наш труд не лишен недостатков. Мы с благодарностью примем все замечания и предложения по устранению этих недостатков.
В заключение считаем приятным долгом высказать нашу глубокую призна
тельность коллективу преподавателей кафедры геометрии Ярославского педагоги
ческого гнстптута им. К- Д. Ушинского (зап. кафедрой профессор 3. А. Скопец), а также профессору М. Я. Бакельману и доценту А. К. Окуневу за их весьма цен
ные замечания по рукописи этой книги, которые во многом способствовали ее улуч
шению.
Авторы
Раздел 1
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.
ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Г л а в а I
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Обозначения и определения
1. Условимся обозначать точки большими буквами латинского алфавита: А, В , С, ...; прямые— малыми буквами того же алфави
та: а, Ь, с, плоскости — большими буквами греческого алфа
вита: Q, П, 2, ... .
Для сокращения записи будем применять различные знаки:
£, С , П 11 т- Д-
Приведем список некоторых обозначений.
х £ X — элемент а* принадлежит множеству X , или ,v— эле
мент множества X (£ — знак принадлежности). Например, /1 £ а — точка Л принадлежит (или лежит на) прямой а, или прямая а проходит через точку А.
X d Y — множество X есть часть (подмножество) множества Y, или Y содержит X (с: — знак включения). Например, a d II — прямая а лежит в (или на) плоскости II; плоскость ІІ проходит через прямую а.
X — Y — множества X и У равны; эго значит, что X cz Y и Y с X, т. е. X и Y — это одно и то же множество. Например, а = b — прямые а и b совпадают (это одна и та же прямая, но по- разному обозначенная).
Ф , (jr , ф — знаки, обозначающие отрицание указанных выше отношений. Например, А (£ а — точка А не лежит на прямой а, или прямая а не проходит через точку А.
{а', у, ..., v} — конечное множество пз элементов а, у, ..., и.
Пишут: /1 = В вместо {/1} — {5} — точки А и В совпадают (это одна точка, но по-разиому обозначенная); А ^ В — точки А и В различные.
(а'|... } — множество элементов д\ таких, что ... (после знака | указывают свойство, каким обладают элементы этого множества).
X П Y — {'v I х £ а и х £ Y) — пересечение множеств X и Y. Например, а П ^ — И } или а [} b = А — прямые а и Ь пере
секаются в точке А.
X U Ү — {.v I x £ X или x £ У} — объединение множеств X и У.
а=$> р— если есть а, то есть и [5; короче: из а следует (5 (4 > — знак логического следствия); (3 — необходимое условие существова
ния а, а а — достаточное условие существования р.
а <==> р — для того чтобы иметь а, необходимо и достаточно иметь р; или: а существует тогда и только тогда, когда существует р (<==> — знак логической эквивалентности: справедливо как утверждение а =Ф> р, так и ему обратное Р а).
0 — пустое множество (множество, не содержащее ни одного элемента). Например, a f) Ь — 0 — прямые а и b не пересекаются.
Вообще, если X (] Y = 0 t то говорят, что множества X и У не пе
ресекаются.
У \ X = {.V | х £ У, х /Ү} —дополнение множества X до множества У, его обозначают также через СуХ или, короче, СХ (У подразумевается). Например, а \ А — прямая а без точки А, или прямая а, проколотая в точке /1.
Зх £ X | ... — существует элемент х множества X такой, что ...
(знак 3 — квантор существования).
\fx £ X — для любого элемента л* множества X (знак V — кван
тор общности).
■ — знак, который условимся ставить в начале н в конце дока
зательства какого-либо предложения.
Другие обозначения будут пояснены в последующем изложении.
2. Если А и В — две различные точки, то существует един
ственная прямая а, проходящая через каждую пз этих точек. Эту прямую обозначают также через (АВ). Значит, (АВ) — а.
Если А , В, С — три точки, не лежащие па одной прямой, то существует единственная плоскость И, проходящая через каждую пз этих точек. Эту плоскость обозначают также через (ABC).
П усть/1 и В — две различные точки. Отрезком [А В ] называют множество, состоящее пз точек /1 и В и всех точек прямой (А В ), лежащих между точками А и В. Об отрезке [А В ] говорят, что он соединяет точки А и В (концы отрезка). Длина отрезка [А В ] на
зывается также расстоянием между точками А и В.
З а м е ч а н и е. Во всех случаях, когда речь идет о длинах от
резков, будем предполагать, что единица измерения длин раз и навсегда выбрана.
Пусть A G Возьмем другую точку В £ а. Лучом (или полу
прямой) [АВ) с началом в точке А называется множество, состоящее из всех точек отрезка [/1/3] и всех точек М, таких, что точка В лежит между А и М. О луче \АВ) говорят, что он является продолжением отрезка [/1/3] за точку В и что он выходит пз точки А.
Если точка С £ а такая, что /1 лежит между В н С, то прямая (АВ) является объединением лучей [АВ) и I/1C), имеющих только одну общую точку /1. В этом случае о каждом из лучей [АВ) и [/1C) говорят, что сп является продолжением другого за точку А.
Pl!C. I. Рис. 2.
Две различные прямые а и Ь называются параллельными (пишут:
а | Ь), если они лежат в одной плоскости и не пересекаются:
[а ф Ь , а !! Ь) <=-> (ЗГІ | a cz П, Ь а П и a f) b = 0 ).
О всякой прямой а говорят, что она параллельна самой себе.
Отрезки [А В ] и [CD] (пли лучи [АВ) и ICD)) называются парал
лельными, если параллельны прямые (АВ) и (CD), па которых лежат эти отрезки (соответственно эти лучи). В частности, два отрезка (или два луча) одной прямой параллельны.
Две различные плоскости П и 2 называются параллельными (пишут: П І' 2) <=:±> когда П f) 2 = 0
.
О всякой плоскости говорят, что она параллельна самой себе (11 ЯП).
Прямая а и плоскость П называются параллельными [а Я ГІ) <==>
когда (яГ)П — 0 или a d П).
Говорят, что отрезок [А В ] параллелен прямой а (или плос
кости П), если (Л В) Я ci (соответственно (ЛВ) J| П).
3. Возьмем в пространстве конечное множество точек А 1У Л 2, Лц (п 2), занумерованных в указанном порядке, и та
ких, что никакие три соседние точки не лежат на одной прямой.
Объединение отрезков [АгА 2] (J [Л2Л 3] U ••• U [An-iA n] называ
ется ломаной линией или просто ломаной, соединяющей точки Л * и А,, (которые называются концами этой ломаной). Если данные точки Л 1? Л 2, ..., А п принадлежат одной плоскости, то получим плоскую ломаную.
Напомним, что Фигурой называется всякое множество точек.
Пусть любые две точки фигуры Ғг можно соединить содержа
щейся в ней ломаной и Ғ г d 1\. Рассмотрим фигуру Ғ ' = Ғ1\ Ғ 2 (дополнение фигуры Ғ.2 до фигуры Ғг). Возможны два случая:
1. Существует пара точек А, В £ Ғ ', которые нельзя соеди
нить ломаной, принадлежащей фигуре Ғ х и не пересекающей фи- гуру Ғ2 (рис. 1).
2. Любые две точки Л, В £ Ғ' можно соединить ломаной, принадлежащей фигуре Ғх пне пересекающей фигуру Г« (рнс. 2).
Говорят, что в первом случае фигура /\, разделяет фигуру Ғ ' па части, а во втором случае — не разделяет. Например,
точка А £ а разделяет фигуру я \ {/1} на две части, каждая пз которых вместе с Рис. 3. точкой /1 образует луч (рис. 3).
3. Прямая a cz П разделяет фигуру П \ я на две части. Каждая из этих частей вместе с прямой а называется полуплоскостью с границей а и обозначается через [я, М), если полуплоскость содержит точку М £ а (рис. 4).
Если при этом точки М, N <£ «и лежат в разных полуплоскостях, то отрезок [ЛШ ] пересекает прямую а. В этом случае гово
рят, что точки М п N лежат по разные сто
роны от прямой а.
Если же точки Л7, L а и лежат в одной полуплоскости, то отрезок [M L ] не пере
секает прямую а. Тогда говорят, что точки Л'1 и L лежат по одну сторону от прямой а.
Возьмем иа плоскости П два различных луча 1/1 В) и 1/1 С) с общим началом А рис 5 (рис. 5). И здесь мы можем сказать, что
фигура F — \АВ) U \АС) разделяет фигу
ру Ғ ' = П \ F па две части F\ и Ғ о.
£___________ Каждая из этих частей вместе с фигурой Ғ, т. е. каждая из фигур F x = F\ U Ғ н Ғ 2—
Л __________ = Ғо U Ғ, называется углом, лучи [АВ) и [/1C) — его сторонами, точка А — вершиной.
Фигура Ғі называется внутренней областью Рис. 6. угла Ғ { (і — 1, 2). Если М £ Ғі, то гово
рят, что точка М лежит внутри угла F t.
Таким образом, лучи [/15) и [/1C) с об- В С В Щ1Ш началом А определяют не один угол, а
— -- *— два угла. Каждый из них определяется за
данием лучей [АВ) и \АС) и точки, лежащей внутри угла. Обычно па чертеже помечают дугой тот из этих углов, который желают рассматривать; его называют углом ВА С и
g пишут: Z. ВАС.
_ — , —--- 4. Пусть даны непустые множества
Х ъ Х 2, ..., Х п. Построим новее множество ____________ £ Х г X Х 2х ••• X Х п (прямое пли декартово рис 8 произведение данных множеств X t), каж
дый элемент Л' = (,гх, л'2, ..., которого является упорядоченным множеством п 3 2) с элементов xt £ X t (i — 1, 2, ..., п). Пи
шут: ,vz = nptx (i-я — проекция элемен- Рнс. 7.
Рис. 9. та х).
Всякое непустое множество Д с Х г X Х 2 х ... X Х п называ
ется /i-арным отношением. Говорят, что элементы xlt а2, хп (х і £ ХІ) находятся в отношении А, если (а*,, а2, а'л) £ Д.
Важен случай бинарного отношения (и = 2): G
с
X х У.Если (л', у) £ G (а' и ?/ находятся в отношении С), то говорят, что элементу х £ X соответствует элемент у £ Y относительно G.
5. Если Х г = Х 2 = ... = Х п — X, то прямое пропзведепне Х г X х 2 х ... X Х п обозначают через X " (я-я декартова степень множества X) и говорят, что п-арное отношение A cz Х п определено в множестве X.
В случае бинарного отношения A cz X 2 вместо (а, у) £ А (а' н у находятся в отношении А) пишут: аДу.
Бинарное отношение А, заданное в множестве X, называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно (а'Да, V а £ X), симметрично (a'jAa'o ==> л'2Дл',) и транзитивно ((л^Ал'л н а2Да3) ->
Ф а'хДа'з).
Если на множестве X задано отношение эквивалентности А, то, как известно пз алгебры, мы можем разбить множество X на непере- секающиеся классы: Х = K a{ J K b U •••* объединяя в один класс все эквивалентные между собой элементы. Множество Х/'А всех этих классов называется фактормножеством X по отношению эквивалент
ности А. Эго понятие играет важную роль в геометрии.
6. Два луча [А В) и [C D ) называются одинаково направленными, если выполнены два условия:
а) эти лучи параллельны;
б) существует прямая а, не содержащая ни одного из лучей [АВ) и IC D ), пересекающая прямые (АВ), (CD) и такая, что эти лучи лежат в одной полуплоскости, граница которой — прямая а.
На рисунках 6 и 7 лучи [АВ) и [C D ) одинаково направлены.
Если же два луча [АВ) и [C D ) удовлетворяют условию (а) и не удовлетворяют условию (б), то эти лучи называются противопо
ложно направленными (рис. 8 и 9).
Пусть L — множество всех лучей (на прямой, на плоскости или в пространстве). Мы скажем, что два луча [А В) и [C D ) находятся в отношении о), и запишем: [АВ) со IC D ), если эти лучи одинаково направлены.
Легко заметить, что отношение со обладает следующими тремя свойствами:
1) [АВ) со [АВ), V [АВ) £ L (свойство рефлексивности);
2) [AEi) со IC D ) —>• [C D ) со [АВ) (свойство симметричности);
3) ([АВ) со [C D ) и [C D ) со IEF)) => [АВ) со If/ 7) (свойство тран
зитивности).
Следовательно, со — отношение эквивалентности, определенное на множестве L.
Возьмем фактормножество L ! со. Каждый его элемент представ
ляет собой множество всех одинаково направленных лучей пз L и называется направлением (соответственно на прямой, на плоскости или в пространстве). На прямой существуют два направления,
У
§ 2. Направленные отрезки
1, Отрезок [А В ] называется направленным, если принимается во внимание тот порядок, в котором заданы его концы. Если сперва задана точка Л, а затем точка В, то точка А называется началом, а точка В — концом направленного отрезка А В ( А В — обозначе
ние направленного отрезка).
На рисунке направленный отрезок отмечают стрелкой, постав
ленной у его конца. Так, на рисунке 10 изображены направленные отрезки А В и CD. Длиной \АВ\ направленного отрезка А В назы
вается длина отрезка [А В).
Если рассматривать обычные (ненаправленные) отрезки, то [А В ] и [ВА ] — это один и тот же отрезок (одно и то же множество точек), п поэтому можно писать: [А В ] — [ВА ]. Если же берем от
резки направленные, то А В и В А — разные отрезки, и знак равенст
ва между ними ставить нельзя. Итак, А В = CD <==» когда А = С и В — D, т. е. когда А В и CD — это один и тот же направленный отрезок, но по-разному обозначенный.
Каждый пз направленных отрезков А В и В А называется противо
положным другому.
2. Отрезки Л В и CD называются одинаково (противоположно) направленными, если одинаково (соответственно: противоположно) направлены лучи [АВ) и [CD).
Удобно рассматривать каждую точку А как частный случай направленного отрезка (начало и конец которого совпадают), его обозначают АА п называют нулевым направленным отрезком. Длина этого отрезка считается равной нулю.
Ненулевой направленный отрезок А В определяет направление, а именно то направление, которому принадлежит луч 1ЛВ), Нулевой отрезок А А не определяет направления.
§ 3. Векторы
1. Два направленных отрезка А В и CD называются эквиполент- ными, если они одинаково направлены н имеют равные длины (т, е.
если выполняются условия А В со CD и | А В \ = | CD|). Тогда пи-
а шут: А В CD.
Отношение эквнполентностн удовлетво
ряет с очевидностью трем условиям:
1) А В = А В для любого направленно
го отрезка АВ\
2) A B l CD =Ф> CD ~ АВ\
3) (А В “ CD и CD t EF) =?> А В 1 E F ю
Рис. 11.
и, следовательно, является отношением эквивалентности в мно
жестве W всех направленных отрезков пространства.
Элементы фактормножества V — U7/“ называются свободными секторами или просто векторами. Вектор обозначается одной буквой, над которой ставится стрелка: а, Ь, ..., А, В, ..., или одной буквой жирного шрифта: а, Ь, ... .
Таким образом, вектор а — это класс эквивалентности направ
ленных отрезков по отношению = , т. е. множество всех эквипо- лентных между собой направленных отрезков. Если А В — пред
ставитель этого класса: А В £ а, то направленный отрезок А В вполне определяет весь класс эквиполентпых ему направленных отрез
ков — вектор а. Поэтому если А В £ а, то вектор а часто обозна
чают также через А В.
Следовательно, символ А В обозначает вектор, которому принад
лежит направленный отрезок А В. Длиной | А В \ вектора А В на
зывается длина отрезка [Л£].
Все нулевые направленные отрезки АА, В В , ... считаются экви- полептными. Их множество называется нулевым вектором и обозна
чается через 0 (или просто 0). Длина нулевого вектора равна пулю.
Все направленные отрезки, принадлежащие данному ненулевому
—>-
вектору А В, определяют одно и то же направление. Говорят, что это направление определено вектором А В .__—У-
2. Возьмем направленный отрезок А В (ненулевой) и произволь
ную точку О. Если 0 $ (А В ), то, построив параллелограмм ОАВС, получим: О С Ч А В (рис. 11). Если же О £ (АВ), то возьмем точку Oi ft (АВ) и, построив параллелограммы OvA BC x и ООуСуС, получим:
(ОСІІ 0LClt ОхС\ “ АВ)=Ь ОС 1 А В (рис. 12). Говорят, что от точки О отложен отрезок ОС, эквиполентиый данному отрезку А В.
Итак, от любой точки О можно отложить отрезок ОС £ А В, где А В — данный вектор.
3. Говорят, что векторы а и Ь одинаково (противоположно) на
правлены, если одинаково (соответственно: противоположно) на
правленными являются нх представители: А В £ а и CD £ Ь.
Рис. 12.
Пусть А В £ а. Направленный отрезок В А (противоположный
_______ -V
отрезку А В) определяет вектор, который обозначается через — а и называется вектором, противоположным вектору а. Так как от
резком, противоположным В А, будет отрезок А В ,л о — (— а) — а.
-у -> -г
Заметим, что равенство двух векторов: Ь — с означает, что b и с — это один и тот же вектор, по по-разному обозначенный.
Говорят, что вектор а параллелен прямой d (или плоскости П), если его представитель А В £ а параллелен этой прямой (этой плос
кости). Пишут: а || d (ci |! П). „
Два вектора, параллельные одной прямой, называются колли- псарными. Два ненулевых коллинеарных вектора либо одинаково, либо противоположно направлены. Нулевой вектор считается кол- лннеарпым любому вектору.
§ 4. Сложение и вычитание векторов
1. Возьмем два вектора а и Ь. Пусть M N £ а, £/•' £ Ъ. От произвольной точки А отложим отрезок А В M N и от точки В отложим отрезок В С1ІЕ Ғ . Очевидно, А В £ а, ВС £ Ь. Направ
ленный отрезок АС определяет некоторый вектор с: АС £ с. Если вместо точки А взять другую точку А х (рис. 13), то, учитывая, что АуВу^ВА и В^СХСВ — параллелограммы, заключаем, что н А хСгСА — параллелограмм и, значит, А^С\ = АС => А гСх £ с.
К аналогичному выводу придем п в случае А г £ (АВ) или /1, £ (ЛС). Таким образом, вектор с определяется с помощью векто
ров а п Ь указанным построением однозначно, независимо от выбора точки А , от которой откладывается отрезок А В £ а.
-► -► —У
Полученный вектор с называется суммой данных векторов а и Ь.
Пишут:
а -|- b = с. (*)
Так как А В £ я, ВС £ Ь, АС £ с, то по сказанному в п° 1 § 3
-V -у -у — >- — У- — >-
обозначим векторы а, b, с соответственно через АВ, ВС, АС и запи
шем равенство (*) так:
АВ -|- ВС = АС. (**)
Итак, для любых трех точек А, В и С имеет место векторное ра
венство (**). В частности, А В -|- В А = 0 или а -Ь (— а) = 0 для любого вектора а, Далее, очевидно: а 0 == а и 0 -{- а — а.
12
Т е о р е м а 1. Сложение векторов ас
социативно:
(а + Ь) -1-е = а -1- (b-\- с).
Ш Откладываем направленные отрезки А В £ а, ВС £ Ь, CD £ с. Находим:
АС £ а -\- Ь -> л о £ (а -г Ь) + с,
££>£ 2 -}- с =Ф> AD £ л -Һ (& + с) (рис. 14).
->• -► ->■ Мы получили, что векторы (а -{- Ь) -Һ:
- у - г -►
и а -г (Ь -\- с) определяются одним и тем же направленным отрезком AD. Но каж
дый направленный отрезок принадлежит только одному вектору. Следовательно,
(a -f b) -\-с = я + Ф + с). в Пусть дано конечное множество н > 3 векторов аи а2, ..., ап- 1, ап. Их сум
мой называется вектор
ах -I- «2 -г • • • Н- an-i + ап =
= (я, + а2 -f • • • + о,,.,) -|- а„.
Нетрудно убедиться, что при отыскании этой суммы можно ставить скобки в любом порядке.
Т е о р е м а 2. Сложение секторов ком
мутативно: а + Ъ — Ь Н- а.
И Утверждение очевидно, если хотя бы один из данных векторов нулевой. Поэтому будем предполагать, что векторы аи b не
нулевые. Надо рассмотреть два случая.
1) а и Ь иеколлинеарны. Тогда их пред
ставители (рис. 15) А В £ а, ВС £ b не
параллельны. Достроим треугольник A BC до параллелограмма A BCD. Имеем:
Т в + ВС = AC, AD + DC = лЬ=ь.
=$> А В -I- ВС = AD + DC. (*) Но AD 1 ВС, DC 1 А В =з> AD £ Ъ, DC £ а и равенство (■:•=) примет вид:
a -j- b — b + а.
N
2) а и b коллинеарны. Если А В £ а, ВС £ Ь, то три точки Л у В, С лежат на одной прямой. Возьмем точку D £ (АВ) (рис. 16).
Имеем:
~АВ -!- ВС - АС,
АС = AD + DC — DC + AD (по случаю 1), DC = D B -I- ВС = ВС -}- DB,
- V — • - V - V (2)
AD = A B -I- BD = BD -I- AB.
(1), (2) =$> AC = (BC + DB) -!- (BD + AB) =*
- B C -!- (DB BD) -\-AB = BC -j- AB. (3) (1), (3)=>я + b = b -h а. в
3 a m e ч а п п e. Как видим, сумму двух неколлпнеарных век
торов а и b можно, строить «по правилу параллелограмма». На отрез
ках А В £ a, AD £ Ь строим параллелограмм A BCD, его диагональ /1C £ а + b и определяет искомый вектор а -{- Ь.
2. Разностью двух векторов а и b называется вектор
а | b + х = а.
-V -V -> -*
Найдем вектор д:, удовлетворяющий условию Ь + х — а. При
бавим к обеим частям этого равенства вектор — Ь:
( - Ь) + Ф + х) = ( - &) -Ь а =» ( ( - Ь) + ?) + х = 2 + ( - К)
=ф-А' = Я + ( — 6). (4)
-V ->■ -V
Итак, вектор а* (разность векторов а и Ь) всегда существует и определяется формулой (4) однозначно.
—V - v —у «-V
Разность векторов а п Ь обозначают через а — b и записывают формулу (4) в виде:
х — а — b — a -J- (— Ь).
Последнюю формулу читают так: чтобы пз вектора а вычесть век-V тор Ь, надо к а прибавить вектор, противоположный вектору Ь.
-У -V -у
Заметим, что b а = а ==> х = а — Ь.
§ 5. Умножение вектора на число (скаляр)
Скалярами называют вещественные числа. Множество вещест
венных чисел обозначают через R.
Произведением а А В (или АВа) направленного отрезка А В на
число а называется направленный отрезок CD, который удовлетво
ряет двум условиям:
а) | CD | = | a j -1 А В (, где | а ]— абсолютная величина числа а,
| А В | и | СО | — длины отрезков А В и CD соответственно.
б) при а Ф 0 и А Ф В отрезки CD и А В направлены: одинаково, если а > 0; противоположно, если а <С 0.
Из условия а) следует, что направленный отрезок CD будет ну
левым, если а = 0 или если А В — нулевой отрезок.
Из условия б) следует, что направленные отрезки А В и аА В па
раллельны.
Направленные отрезки, эквнполентные отрезку А В, составляют вектор А В. Умножая каждый пз них на одно и то же число а, полу,—V
—>- —>- чим класс эквиполентных отрезков, т. е. вектор CD. Вектор CD = Ъ называется произведением вектора А В — а на число а и обозпа-
-V -У -* -У
чается: b = а а (пли b = аа).
Из определения следует, что
- * - у -> -V
1 • а — а, (— 1) • а — — а.
—у —у —у
Очевидно, векторы а и b = а а коллинеарны, причем эти векторы
-У -У
направлены одинаково, если а ф 0, а > 0, и направлены протпво-
-у
положно, если а Ф 0, а < 0.
- ► *-> —у —у
Отметим также, что а « 0 = 0 н 0 • а — 0.
“ У ” у •*> — у
' Т е о р е м а 1. Если векторы а и Ь коллинсариы и а ф 0, то
-у
существует единственное число а £ R, такое, что Ь = аа. Короче}
—у —> —У —У —V —>■
(а и Ь коллинеарны, а Ф 0) => З а £ R | Ь = аа.
Возьмем направленные отрезки А В £ а и CD £ Ь. Отрезок
А В — ненулевой (так как а Ф 0). I
Если С = D (точки С и D совпадают) и, значит, отрезок CD пу
левой, то возьмем а = 0.
Если же С Ф D (точки С п D различны), то возможны два случая!
ч Т Б г^Тл |CZ> |
а) А В и CD одинаково направлены; положим а =
__ _ \ЛВ |
б) А В и CD противоположно направлены,- тогда положим а =л
= \ С Р \
| АВ | *
Легко видеть, что для определенного по указанному правилу числа а мы действительно получим: CD — а А В ==> Ъ = аа.
-У ->• -У -У -У -У
Если Ь = аа и Ь = аха, то а а — а }а. Отсюда следует: если а — 0, то и ах — 0. Если же а Ф 0, то | а | = 1 aL | н числа с-:, ах одного знака, Следовательно, а — av О
Т е о р е м а 2. Ь — аа =$> fib = (pa) a (a, р £ R ).
■ Утверждение очевидно, если ар — 0, или а — 0.
Пусть ар ф 0, а Ф 0. Возьмем направленные отрезки А А Х £ а, А В £ fib, АС £ (Ра) а. Имеем:
| A B | = | P M * V l P H « l - M = I P M « H M I . (1)
|ЛС| = |Р а ( • |а| = |Р| • |а| • |а| = |Р| • |а | • | АА1\. (2) Далее возможны два случая: ар > 0 и ар <! 0. Рассмотрим п ер- в ы й с л у ч а й.
Здесь АС и А А Х одинаково направлены. Так как А В = р (а/М х), а числа а и р одного знака, то и отрезки А В и А А Х одинаково на
правлены. Следовательно, отрезки А В и АС одинаково направлены.
Аналогично убеждаемся, что и в с л у ч а е ар <С 0 эти отрезки одинаково направлены.
Учитывая равенства (1), (2), заключаем, что отрезки А В и АС эквиполентиы, а потому определяют один и тот же вектор:
fib — фа) а. Я
Т е о р е м а 3. Умножение оеиторов на скаляры и сложение век
торов связаны двумя формами закона дистрибутивности:
1) а (а -{- b) — а а + a b (дистрибутивность умножения на ска
ляр относительно сложения векторов);
—* —V —>
2) (а -Ь р) а — аа -{- Ра (дистрибутивность относительно сло
жения скаляров).
■ 1. Утверждение очевидно, если a = 0 или хотя бы один из векторов а, b, а -1- b нулевой. Пусть а Ф 0, а Ф 0, b Ф 0, а -г b ~<£=0.
Возьмем направленные отрезки А В £ а, ВС £ Ь. Тогда АС £ а , Рассмотрим два возможных случая.
А. В е к т о р ы а и b и е к о л л и н е а р н ы. а) a > 0, Построим направленные отрезки:
АС' — а АС £ а (а -{- Ь), АВ' = а/1 В £ а а.
Тогда Л А В 'С ' со Д A BC с коэффициентом подобия а и В 'С ' =
= аВ С £ а b (рис. 17). Так как АС' — А В ' + В 'С \ то a (a b) = a a ab.
6) a •< 0. Построим треугольник A B "C ", симметричный относи
тельно точки А треугольнику..АВС^ (рис. 17). Имеем:
Так как А С " = (— 1) АС, А В " = (— 1) А В, В " С " = (— 1) ВС, то равенство (*) примет вид:
( - 1) (а + ?) = ( - 1) а + ( - 1) 6. (**) Умножив обе части этого равенства на положительное число | а | и учитывая доказанное в гі°а), а также равенство j а | (— 1) = а, получим:
а (а -|- 6) =• аа -\- ab.
-> — >'
Б. В е к т о р ы а и b к о л л и и е а р н ы, поэтому точки А, В н С лежат на одной прямой.
а) а > 0. Возьмем точку D $ (АВ) и построим треугольник A D 'B ', подобный треугольнику A D B с коэффициентом подобия а (рис. 18). Проведем (D 'C ) |j (DC). Тогда:
A A D 'C ' с о AA D C , )
A D ’B'C ' с о A D B C J C коэФФициентом подобия a.
Следовательно,
AC' = aAC, A B' = a AB, W C' = a BC.
Поэтому
AC' = aAC = a (a -j- b), A B' = aa, ^ С ' = ab л равенство /1C' — Л В ' -|- 5 'C ' примет вид:
a (a -j - b) ~ aa + ab.
б) a <Z 0. Строим точки В ", С", симметричные точкам В и С относительно точки А (рис. 19). Получим равенство (*) н, следова
тельно, равенство (**). Отсюда, как и в п° А, б), найдем:
а (а b) = аа -j- ab.
2. Надо доказать, что
—> —у —V
(а -(- р) а = a a -j- pa.
Пусть а Ф 0 и оф (а -г Р)=7^0. Возьмем направленный отрезок А А х £ а. Рассмот
рим возможные здесь случаи.
"д А. а и р — ч и с л а о д н о г о з н а - к а. Возьмем А В = а А А х £ аа, ВС =*
у/ 0 = рД/І, £ ра (рис. 20_ для_случаяа > О, р 19 Р>0). Отрезки А В, ВС и АС направлены
одинаково, и так как | а + Р | = | а | +
А А1 В С + I (Н то АС = (а “Ь € (а + Р) а- р 90 Равенство АС — А В Л- ~ВС принимает вид:
(а р) а = с'« -г Ра.
Б. а п Р — ч и с л а р а з н ы х з и а к о в.
1) а > 0, р < 0, 1 а | > | р | или 2) а < 0, р > 0, | а | < | Р |.
В первом случае числа а ~г р и — р одного знака и, значит, по доказанному в псА:
(a -j- В) а + (— Р) а — (а + Р — Р) cl — аа ==> (а р) а = аа -(- В а.
Второй случай сводится к первому, если обозначить а через р н р через а.
б) а -г Р < 0 => (— а) -г (— Р) > 0 и по доказанному в п°а), имеем:
((— а) -!- (— Р)) а = (— а) а -|- (— р) а.
Умножив обе части этого равенства на — 1, получим:
-► -У -У
{а + р) а = а а + ря. е
З а м е ч а н и е 1. В § 4 и 5 показано, что в множестве V =1Г//~ векторов определены операции сложения векторов (внут
ренний закон композиции на множестве V) и умножения векторов на числа из R (внешний закон композиции с областью операторов R), так, что выполняются условия:
-> - у -у -у - у -у
1) (а -!- Ь) -!- с — а -!- (b -1- с) (ассоциативность сложения);
2) а -г b — b -'г а (коммутативность сложения);
-► —у — У —У —У
3) 30 £ V | 0 + а — а + 0 = а для V а £ V (существование нейтрального элемента 0);
4) для Va £ V 3 (— а) £ V | а -г (•— а) — (— о) -|- а = 0 (су
ществование противоположного элемента);
-> -у
5) а (Р«) = (ар)а (ассоциативность относительно скаляров);
6) 1 • а = а\
7) а (а + b) — аа + аЬ (дистрибутивность умножения на ска
ляр относительно сложения векторов);
-У -У -У
8) (а -Ь Р) а — аа -г $а (дистрибутивность относительно сложе
ния скаляров).
Всякое множество М ф 0 (М — непустое множество), па кото
ром определены две операции: а) сложение элементов пз М\ б) умно
жение элементов пз М на вещественные числа, удовлетворяющие условиям 1—8, называют векторным пространством (веществен
ным), а его элементы — векторами.
Мы теперь можем сказать, что множество V=W /% свободных векторов пространства, которое мы изучаем здесь, является (вещест
венным) векторным пространством.
З а м е ч а н и е 2. В математике и ее приложениях (механике, физике п т. д.), кроме свободных векторов, используют и так назы
ваемые скользящие и связанные (или приложенные) векторы.
Скользящий вектор — это множество одинаково направленных отрезков одной прямой, имеющих равные длины. Таким вектором можно представить силу, приложенную к абсолютно твердому телу.
Связанный вектор — это просто направленный отрезок. Если
—>~ —>- —■>■ —У-
А В п CD — связанные векторы, то А В — CD <==> А — С и В = D, Связанным вектором представляют, например, вектор скорости частиц жидкости, движущейся с завихрениями; здесь каждая части
ца имеет свой вектор скорости, который не является вектором ско
рости для соседней частицы.
В нашем курсе будут применяться свободные векторы, которые мы будем называть просто векторами.
§ б. Линейная зависимость векторов Возьмем конечную систему векторов
І , а2, . . . , ап (1)
и п чисел
а 1} а 2, , . , , ап £ R ,
-*• -V -> -►
Вектор b = а хах + а2а2 + апап называется линейной ком-
-У -У ->■
бинацией данных векторов alt а2, ..., ап.
Векторы (1) называются линейно зависимыми, если существуют числа а1( а2... ап, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, и такие, что
а хах + а2а2 + . . . + а пап = 0. (2) Если же равенство (2) справедливо только при а х — а2 — а3 —
= • • • — а п = 0, то векторы ( 1) называются линейно независимыми.
Легко заметить, что если хоть один из векторов (1) нулевой, то векторы линейно зависимы. В самом деле, пусть для определенности
