Дикий автоморфизм свободной алгебры Новикова [A wild automorphism of a free Novikov algebra]

(1)

Math-Net.Ru

All Russian mathematical portal

B. A. Duisengaliyeva, U. U. Umirbaev, Duisengaliyeva, B.A., Umirbaev, U.U., A wild automorphism of a free Novikov algebra, Sib. ` Elektron. Mat. Izv. , 2018, Volume 15, 1671–1679

DOI: https://doi.org/10.33048/semi.2018.15.138

Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use

http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:

IP: 89.40.193.73

June 24, 2020, 17:52:53

(2)

S e ⃝ MR

ISSN 1813-3304

СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ

Siberian Electronic Mathematical Reports

http://semr.math.nsc.ru

Том 15, стр. 1671–1679 (2018) УДК 512.5

DOI 10.33048/semi.2018.15.138 MSC 17A36

ДИКИЙ АВТОМОРФИЗМ СВОБОДНОЙ АЛГЕБРЫ НОВИКОВА

Б.А. ДУЙСЕНГАЛИЕВА, У.У. УМИРБАЕВ

Abstract.An example of a non-triangulable locally nilpotent derivation and an example of a wild exponential automorphism of the free Novikov algebraN⟨x, y, z⟩in three variables x, y, zover a ﬁeld of characteristic zero are constructed.

Keywords: diﬀerential polynomial algebra, free Novikov algebra, derivation, automorphism.

1. Введение

Хорошо известно [1, 2, 3, 4], что автоморфизмы алгебры многочленовk[x, y]

и свободной ассоциативной алгебрыk⟨x, y⟩от двух переменных над произволь- ным полем k являются ручными. Известно также, что автоморфизмы двупо- рожденных свободных алгебр Пуассона над полями нулевой характеристики [5] и автоморфизмы двупорожденных свободных правосимметричных алгебр над произвольными полями [6] являются ручными. П. Кон [7] доказал, что автоморфизмы свободных алгебр Ли конечного ранга являются ручными.

Алгебры многочленов [8] и свободные ассоциативные алгебры [9] от трех переменных над полями нулевой характеристики имеют дикие автоморфизмы.

Р. Ренчлер [10] доказал, что локально-нильпотентные дифференцирования алгебры многочленов от двух переменных над полями нулевой характеристи- ки являются триангулируемыми. Рассмотрим дифференцирование ∂ алгебры многочленов k[x, y, z] от трех переменных x, y, z над полем k характеристики

Duisengaliyeva, B.A., Umirbaev, U.U., A wild automorphism of a free Novikov algebra.

⃝c 2018 Дуйсенгалиева Б.А., Умирбаев У.У.

Работа поддержана МОН РК (грант AP 05133009).

Поступила 21 сентября 2018 г., опубликована 18 декабря 2018 г.

1671

(3)

1672 Б.А. ДУЙСЕНГАЛИЕВА, У.У. УМИРБАЕВ

0, определенное правилом

∂:x7−→2y, y7−→z, z7−→0.

Тогда w=y²−xz принадлежит ядру дифференцирования ∂ и дифференци- рование

D=w∂

(1)

является локально-нильпотентным. Х. Басс [11] показал не триангулируемость дифференцированияD=w∂.

Известный автоморфизм Нагаты φ алгебры многочленов k[x, y, z] от трех переменных x, y, z над полем k характеристики 0 является [12] экспонентой дифференцированияD=w∂, т.е.

φ= expD= Id +D+D² 2! +D³

3! +. . . . Имеем

φ(x) =x+ 2yw+zw², φ(y) =y+zw, φ(z) =z.

(2)

Хорошо известно [8], что автоморфизм Нагаты алгебры многочленовk[x, y, z]

является диким в случае нулевой характеристики.

Неассоциативная алгебраA= (A,◦)называется(левой) алгеброй Новикова, еслиAудовлетворяет следующим тождествам:

(a◦b)◦c−a◦(b◦c) = (b◦a)◦c−b◦(a◦c), (a◦b)◦c= (a◦c)◦b,

для любогоa, b, c∈A.

С.И. Гельфанд и И.Я. Дорфман в работе [13] показали, что дифференци- альная коммутативная ассоциативная алгебра с дифференцированиемθотно- сительно умножения a◦b = a(θb) становится алгеброй Новикова. В работах [14, 15] построены базисы свободных алгебр Новикова. Теорема о свободе для алгебр Новикова доказана в [16].

В работе [15] свободные алгебры Новикова представлены через обыкновен- ные алгебры дифференциальных многочленов с помощью умножения a◦b= a(θb). В работе [17] доказано, что такое представление имеет место и для несво- бодных алгебр Новикова.

Рассмотрим дифференциальные алгебры с множеством коммутирующих дифференцирований ∆ = {δ₁, δ₂, . . . , δ_m}. Дифференциальные алгебры назы- ваются обыкновенными, еслиm = 1, и частными, если m≥2. Дифференци- рование D и автоморфизм Нагаты φ непосредственно дают примеры не три- ангулируемого дифференцирования и дикого автоморфизма алгебры диффе- ренциальных многочленовk{x, y, z}. Более того, частные дифференциальные алгебры многочленов k{x, y} от двух переменных также имеют дикие авто- морфизмы [18]. Вопрос о ручных и диких автоморфизмах остается открытым для обыкновенной дифференциальной алгебры многочленов k{x, y} от двух переменных.

В настоящей работе, используя указанные связи между алгебрами многочле- нов, дифференциальными алгебрами и алгебрами Новикова, построен пример не триангулируемого дифференцирования и дикого автоморфизма свободной алгебры Новикова от трех переменных над полями характеристики ноль. Эти

(4)

примеры являются аналогами дифференцирования D и автоморфизма Нага- тыφдля алгебр Новикова. Для свободных двупорожденных алгебр Новикова вопрос о ручных и диких автоморфизмах остается также открытым.

Статья организована следующим образом. В разделе 2 приведены опреде- ления и некоторые понятия алгебры дифференциальных многочленов. Раздел 3 посвящен описанию базисных элементов свободных алгебр Новикова в диф- ференциальных алгебрах. В разделе 4 построен пример не триангулируемого дифференцирования свободной алгебры Новикова от трех переменных и в раз- деле 5 построен пример дикого автоморфизма свободной алгебры Новикова от трех переменных.

2. Алгебра дифференциальных многочленов

ПустьR– произвольное коммутативное кольцо с единицей. Отображениеd: R →R называетсядифференцированием, если для всех s, t∈R выполняются условия

d(s+t) =d(s) +d(t), d(st) =d(s)t+sd(t).

Пусть∆ ={δ1, . . . , δm} – основное множество дифференциальных операто- ров.

Кольцо R называется дифференциальным кольцом или ∆-кольцом, если δ₁, . . . , δ_m являются коммутирующими дифференцированиями кольца R, т.е.

δ_i:R→R– дифференцирования и δ_iδ_j=δ_jδ_i для всехi, j.

Пусть Θ – свободный коммутативный моноид на множестве дифференци- альных операторов∆ ={δ1, . . . , δm}. Элементы

θ=δ₁ⁱ¹. . . δ_mⁱ^m

моноида Θ называются производными операторами. Порядком θ называется число |θ| = i1+. . .+im. Положим также γ(θ) = (i1, . . . , im) ∈ Z^m+, где Z+ – множество всех неотрицательных целых чисел.

ПустьR– произвольное дифференциальное кольцо и пустьX ={x1, . . . , xn} – множество символов. Рассмотрим множество символов X^Θ = {x^θ_i|1 ≤ i ≤ n, θ∈Θ}и алгебру многочленов R[X^Θ]на множестве символовX^Θ. Полагая

δ_i(x^θ_j) =x^θδ_j ⁱ

для всех1≤i≤m,1≤j≤n, θ∈Θ, превратим алгебруR[X^Θ]в дифференци- альную алгебру. Дифференциальная алгебраR[X^Θ]обозначается черезR{X} и называется алгеброй дифференциальных многочленов над R от множества переменныхX [19].

ПустьM – свободный коммутативный моноид от множества переменныхx^θ_i, где 1 ≤i ≤n и θ ∈Θ. Элементы M назовем также дифференциальными мо- номами в алфавите X. Дифференциальные мономы образуют базис алгебры R{x₁, x₂, . . . , x_n}, т.е. любой элемент a∈R{x₁, x₂, . . . , x_n}однозначно записы- вается в виде

a= ∑

u∈M

r_uu

с конечным числом ненулевыхr_u∈R.

(5)

Для любогоx^θ_i ∈X^Θположим

deg(x^θ_i) = 1, d(x^θ_i) =|θ|.

где1≤i≤n. Еслиu=a₁. . . a_s∈M, где a₁, . . . , a_s∈X^Θ, то положим deg(u) = deg(a₁) +. . .+ deg(a_s), d(u) =d(a₁) +. . .+d(a_s),

т.е. черезdeg(u)обозначим стандартную функцию степени мономаuпо пере- меннымx1, . . . , xn, а черезd(u)обозначим дифференциальную степень монома uпо дифференцированиямδ1, . . . , δm.

3. Базис свободных алгебр Новикова

Пусть k{x1, . . . , xn} – алгебра дифференциальных многочленов над полем kхарактеристики0от переменныхx1, . . . , xn с одним дифференцированиемδ.

Для удобства записи производныеa^δ, a^δ², a^δ^s обозначим черезa^′, a^′′, a^(s), соот- ветственно. ПоложимX ={x1, . . . , xn} и черезX^δ обозначим множество всех символов вида x^(r)_i , где 1 ≤ i ≤n, r ∈Z+. Для любого x^(r)_i , x^(s)_j ∈X^δ будем считать, что x^(r)_i > x^(s)_j , еслиi > j или если i =j, r > s. Множество M всех дифференциальных мономов вида

u=x^(s_i ¹⁾

1 x^(s_i ²⁾

2 . . . x^(s_i ^t⁾

t , где t≥0, x^(s_i ^j⁾

j ∈X^δ для всех1 ≤j ≤t и x^(s_i ¹⁾

1 ≥x^(s_i ²⁾

2 ≥. . . ≥x^(s_i ^t⁾

t , образует линейный базис алгебрыk{x1, . . . , xn}.

На дифференциальной алгебре введем новую операцию◦полагая f◦g=f g^′, f, g∈k{x₁, . . . , x_n}.

Легко проверить, что алгебра дифференциальных многочленов k{x1, . . . , xn} с новой операцией ◦становится алгеброй Новикова. Через N0⟨x1, . . . , xn⟩обо- значим подалгебру этой алгебры порожденную элементами x₁, . . . , x_n. В [15]

доказано, что в случае полей нулевой характеристикиN₀⟨x₁, . . . , x_n⟩является свободной алгеброй Новикова от переменныхx₁, . . . , x_n без единицы.

Опишем структуру пространства N₀⟨x₁, . . . , x_n⟩ в терминах дифференци- альных мономов.

Предложение 1. Множество всех дифференциальных мономов u ∈ M с условием deg(u)−d(u) = 1 представляет базис свободной алгебры Новикова N0⟨x1, . . . , xn⟩.

Доказательство. ПустьL– множество всех дифференциальных мономовu∈ M с условием deg(u)−d(u) = 1 и V – линейная оболочка L. Если u, v ∈ L, то, очевидно,u◦v=uv^′ является линейной комбинацией дифференциальных мономов w ∈ L. Следовательно, V является подалгеброй алгебры Новикова

⟨k{x1, . . . , xn},◦⟩. Напомним, что N0⟨x1, . . . , xn⟩ подалгебра ⟨k{x1, . . . , xn},◦⟩

порожденная элементами x1, x2, . . . , xn. Так как x1, x2, . . . , xn ∈ L ⊆ V, то отсюда непосредственно следует, чтоN0⟨x1, . . . , xn⟩ ⊆V.

Теперь покажем, чтоN0⟨x1, . . . , xn⟩ ⊇V. Для этого достаточно проверить, что любое u∈ L принадлежит N0⟨x1, . . . , xn⟩. Если deg(u) = 1, то u =xi ∈ N₀⟨x₁, . . . , x_n⟩. Предположим, что любой дифференциальный моном v ∈ L с условиемdeg(v)< s, гдеs≥2, принадлежитN₀⟨x₁, . . . , x_n⟩.

(6)

Пустьu∈Lиdeg(u) =s. Сначала рассмотрим случай, когда найдетсяiта- кое, чтоx^′_i|u, т.е.u=u1·x^′_i. Тогдаu1, xi∈L. По индуктивному предположению имеемu1, xi∈N0⟨x1, . . . , xn⟩. Так какu=u1·x^′_i=u1◦xi, тоu∈N0⟨x1, . . . , xn⟩. Допустим, что u не делится ни на какое x^′_i. Так как deg(u)−d(u) = 1, то найдутся u₀, v₀, где v₀ = x_i₁x_i₂. . . x_i_k₋₁x^(k)_i

k , такие, что u = u₀v₀. Тогда deg(u0) = deg(u)−k,d(u0) =d(u)−k. Следовательно,

deg(u0)−d(u0) = deg(u)−k−(d(u)−k) = deg(u)−d(u) = 1, т.е.u0∈Lи по индуктивному предположениюu0∈N0⟨x1, . . . , xn⟩.

Имеем

u0◦(xi₁xi₂. . . xi_k−1x^(k_i ⁻¹⁾

k ) =u0(xi₁xi₂. . . xi_k−1x^(k_i ⁻¹⁾

k )^′

=u₀(

k−1

∑

j=1

x_i₁x_i₂. . . x^′_i

j. . . x_i_k−1x^(k_i ⁻¹⁾

k +v₀) =

k−1

∑

j=1

u₀x_i₁x_i₂. . . x^′_i

j. . . x_i_k−1x^(k_i ⁻¹⁾

k +u.

Так как u₀x_i₁x_i₂. . . x^′_i

j. . . x_i_k₋₁x^(k_i ⁻¹⁾

k делится на x^′_i

j, то как было до- казано выше, u₀x_i₁x_i₂. . . x^′_i

j. . . x_i_k₋₁x^(k_i ⁻¹⁾

k ∈ N₀⟨x₁, . . . , x_n⟩. Так как u₀ ◦ (x_i₁x_i₂. . . x_i_k−1x^(k_i ⁻¹⁾

s ) ∈ N₀⟨x₁, . . . , x_n⟩, то отсюда следует, что u ∈

N0⟨x1, . . . , xn⟩.

ЧерезN⟨x1, . . . , xn⟩=k⊕N0⟨x1, . . . , xn⟩=N0⟨x1, . . . , xn⟩^# обозначим ал- гебру полученную отN0⟨x1, . . . , xn⟩с формальным присоединением единицы.

Тогда N⟨x1, . . . , xn⟩ является свободной алгеброй Новикова от переменных x1, . . . , xn с единицей. Ниже всюду используется данное представление сво- бодной алгебрыN⟨x1, . . . , xn⟩.

4. Пример не триангулируемого дифференцирования

Дифференцирование d алгебры Новикова N⟨x, y, z⟩ называется локально- нильпотентным, если для каждогоf ∈N⟨x, y, z⟩существуетn∈Nтакое, что dⁿ(f) = 0. Если d– локально-нильпотентное дифференцирование, то отобра- жение

expd:N⟨x, y, z⟩ →N⟨x, y, z⟩

является автоморфизмом и называетсяэкспоненциальным автоморфизмом.

Напомним, что дифференцированиеdалгебры НовиковаN⟨x, y, z⟩вида d=a₁(y, z)∂_x+a₂(z)∂_y+a₃∂_z,

т.е.

d(x) =a1(y, z), d(y) =a2(z), d(z) =a3,

где a1(y, z)∈N⟨y, z⟩,a2(z)∈N⟨z⟩и a3 ∈k, называется треугольным. Хоро- шо известно, что любое треугольное дифференцирование является локально- нильпотентным.

Дифференцированиеdалгебры НовиковаN⟨x, y, z⟩называетсятриангули- руемым, если существует автоморфизм алгебры Новикова ϕтакой, чтоϕ⁻¹dϕ является треугольным.

(7)

Пустьk{x, y, z} – алгебра дифференциальных многочленов над полемkха- рактеристики 0 от трех переменных x, y, z с одним дифференцированием δ.

Рассмотрим дифференцирование∂1алгебрыk{x, y, z}, определенное правилом

∂1:x7−→2y, y7−→z, z7−→0.

Положимw=y²−xz. Тогда∂1(w) = 0. Следовательно,∂1(w^′′) = (∂1(w))^′′= 0. Заметим, что w^′′= 2(y^′)²+ 2yy^′′−x^′′z−2x^′z^′−xz^′′.

Теперь рассмотрим дифференцирование D1= 1

2w^′′∂1= (yw^′′)∂x+ (1

2zw^′′

)

∂y

алгебры дифференциальных многочленовk{x, y, z}. Имеем D1(w) =

(1 2w^′′∂1

)

(y²−xz) = 2y (1

2w^′′z )

−(w^′′y)z= 0, и следовательно,D1(w^′′) = (D1(w))^′′= 0.

Используя эти равенства, прямым вычислением получаем D1(x) =

(1 2w^′′∂1

)

(x) =yw^′′, D₁²(x) = (1

2w^′′∂1

)

(yw^′′) =1

2z(w^′′)²,

D₁³(x) = (1

2w^′′∂1

) (1 2z(w^′′)²

)

= 0.

D1(y) = (1

2w^′′∂1

) (y) =1

2zw^′′, D²₁(y) = (1

2w^′′∂1

) (1 2zw^′′

)

= 0.

D₁(z) = (1

2w^′′∂₁ )

(z) = 0.

Следовательно, дифференцированиеD1является локально-нильпотентным дифференцированием алгебры дифференциальных многочленовk{x, y, z}.

Рассмотрим алгебру Новикова⟨k{x, y, z},◦⟩, гдеf◦g=f g^′ для всех f, g∈ k{x, y, z}. ПустьN⟨x, y, z⟩=k⊕N₀⟨x, y, z⟩, гдеN₀⟨x, y, z⟩– подалгебра алгеб- ры Новикова⟨k{x, y, z},◦⟩, порожденная элементамиx, y, z.

Используя операцию◦запишем дифференцированиеD₁в терминах элемен- тов свободной алгебры НовиковаN⟨x, y, z⟩:

D₁= (yw^′′)∂_x+ (1

2zw^′′

)

∂_y= (2y◦(y◦y)−y◦(x◦z)−y◦(z◦x))∂_x

+1

2(2z◦(y◦y)−z◦(x◦z)−z◦(z◦x))∂y= (2y◦w0)∂x+ (z◦w0)∂y, гдеw₀= ¹₂(2y◦y−x◦z−z◦x). Следовательно, дифференцированиеD₁также является дифференцированием свободной алгебры НовиковаN⟨x, y, z⟩. Теорема 1. Дифференцирование

D1= (2y◦w0)∂x+ (z◦w0)∂y,

гдеw0= ¹₂(2y◦y−x◦z−z◦x), свободной алгебры НовиковаN⟨x, y, z⟩от трех переменных x, y, z над полемk характеристики 0 не является триангулиру- емым.

(8)

Доказательство. Рассмотрим гомоморфизм θ:N⟨x, y, z⟩ →k[x, y, z],

определенный правиломθ(x) =x,θ(y) =y,θ(z) =z. Ядро этого гомоморфизма является идеалом, порожденным всеми коммутаторами и ассоциаторами, т.е.

идеалом, порожденным элементами a◦b−b◦a и (a◦b)◦c−a◦(b◦c), где a, b, c∈N⟨x, y, z⟩.

Заметим, что

θ(w₀) =w.

(3)

Используя (3), легко вычислить, что дифференцированиеD1индуцирует диф- ференцирование

θ(2y◦w0)∂x+θ(z◦w0)∂y= 2yw∂x+zw∂y=D.

Таким образом,D₁индуцирует дифференцированиеDалгебры многочленов k[x, y, z], определенное в (1). Известно, что дифференцированиеDне является триангулируемым [11]. Отсюда следует, чтоD1 также не является триангули-

руемым.

5. Автоморфизмы свободной алгебры Новикова Автоморфизмы алгебры НовиковаN⟨x1, . . . , xn⟩вида

σ(i, α, f) = (x₁, . . . , x_i₋₁, αx_i+f, x_i+1, . . . , x_n),

где 0 ̸=α∈k, f ∈N⟨x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn⟩, называютсяэлементарными.

Подгруппа группы автоморфизмов алгебры Новикова N⟨x1, . . . , xn⟩, порож- денная всеми элементарными автоморфизмами, называется подгруппой руч- ных автоморфизмов. Элементы этой подгруппы называются ручными авто- морфизмами. Не ручные автоморфизмы называютсядикими.

Рассмотрим экспоненциалψ= expD1дифференцированияD1из теоремы 1.

Имеем

D₁(w₀) = (z◦w₀)◦y+y◦(z◦w₀)−(y◦w₀)◦z−z◦(y◦w₀)

= (z◦y)◦w₀+y◦(z◦w₀)−(y◦z)◦w₀−z◦(y◦w₀) = 0.

Непосредственные вычисления дают

ψ(x) =x+ 2y◦w0+ (z◦w0)◦w0, ψ(y) =y+z◦w0, ψ(z) =z.

Теорема 2. Автоморфизм

ψ= expD1= (x+ 2y◦w0+ (z◦w0)◦w0, y+z◦w0, z)

свободной алгебры Новикова N⟨x, y, z⟩ от трех переменных x, y, z над полем k характеристики0 является диким.

Доказательство. Рассмотрим гомоморфизм θ:N⟨x, y, z⟩ →k[x, y, z],

приведенный в доказательстве теоремы 1. Непосредственные вычисления с ис- пользованием (3) дают

θ(ψ(x)) =x+ 2yw+zw², θ(ψ(y)) =y+zw, θ(ψ(z)) =z.

(9)

Таким образом,ψ индуцирует автоморфизм (x+ 2yw+zw², y+zw, z),

т.е. ψ индуцирует автоморфизм Нагаты алгебры многочленовk[x, y, z], опре- деленный в (2). Хорошо известно [8], что автоморфизм Нагаты алгебры мно- гочленовk[x, y, z]является диким. Отсюда следует, что автоморфизмψтакже

является диким.

References

[1] H.W.E. Jung,Uber ganze birationale Transformationen der Ebene, J. Reine Angew. Math., 184(1942), 161–174. MR0008915

[2] W. van der Kulk,On polynomial rings in two variables, Nieuw Arch. Wiskunde, (3),1(1953), 33–41. MR0054574

[3] A.G. Czerniakiewicz,Automorphisms of a free associative algebra of rank 2, I, II, Trans. Amer.

Math. Soc.,160(1971), 393–401;171(1972), 309–315. MR0280549; MR0310021

[4] L. Makar-Limanov, The automorphisms of the free algebra of two generators, Funksional.

Anal. i Prilozhen., 4:3 (1970), 107–108; English translation: in Functional Anal. Appl., 4 (1970), 262–263. MR0271161

[5] L. Makar-Limanov, U. Turusbekova, U. Umirbaev,Automorphisms and derivations of free Poisson algebras in two variables, J. Algebra,322:9 (2009), 3318–3330. MR2567422

[6] D. Kozybaev, L. Makar-Limanov, U. Umirbaev,The Freiheitssatz and the automorphisms of free right-symmetric algebras, Asian-European J. Math.,1:2 (2008), 243–254. MR2431177 [7] P.M. Cohn,Subalgebras of free associative algebras, Proc. London Math. Soc. (3),14(1964),

618–632. MR0167504

[8] U.U. Umirbaev, I.P. Shestakov, Subalgebras and automorphisms of polynomial rings, Dokl.

Akad. Nauk,386:6 (2002), 745–748. MR2004473

[9] U.U. Umirbaev,Deﬁning relations of the tame automorphism group of polynomial algebras and the wild automorphism of free associative algebras, Dokl. RAN,407:3 (2006), 319–324.

MR2348694

[10] R. Rentschler,Operations du groupe additif sur le plan, C. R. Acad. Sci. Paris,267(1968), 384–387. MR0232770

[11] H. Bass,A non-triangular action of Ga onA³, J. of Pure and Appl. Algebra,33:1 (1984), 1–5. MR0750225

[12] M. Nagata,On the automorphism group of k[x, y], Kinokuniya, Tokyo: Kyoto Univ. (Lect.

in Math.), 1972. MR0337962

[13] I.M. Gel’fand, I.Ya. Dorfman,Hamiltonian operators and algebraic structures related to them, Functional Analysis and Its Application,13:4 (1979), 248–262. MR0554407

[14] A.S. Dzhumadil’daev,Codimension growth and non-koszulity of Novikov operad, Commun.

Alg.,39(2011), 2943–2952. MR2834140

[15] A.S. Dzhumadil’daev, C. Lofwall,Trees, free right-simmetric algebras, free Novikov algebras and identities, Homology, Homotopy and Applications,4:2 (2002), 165–190. MR1918188 [16] L. Makar-Limanov, U. Umirbaev, The Freiheitssatz for Novikov algebras, TWMS J. Pure

Appl. Math.,2(2011), 228–235. MR2884985

[17] L.A. Bokut, Y. Chen, Z. Zhang, Grobner-Shirshov bases method for Gelfand-Dorfman- Novikov algebras, J. Algebra Appl.,16:1 (2017), 1750001-1 – 1750001-22. MR3590862 [18] B.A. Duisengaliyeva, A.S. Naurazbekova, U.U. Umirbaev,Tame and wild automorphisms of

diﬀerential polynomial algebras of rank 2(accepted).

[19] E.R. Kolchin,Diﬀerential Algebra and Algebraic Groups. Pure and Applied Mathematics, New York-London: Academic Press, 1973. MR0568864

Bibinur Duisengaliyeva

L.N. Gumilyov Eurasian National University, Satpayev street, 2,

010000, Astana, Kazakhstan E-mail address:[email protected]

(10)

Ualbai Umirbaev Wayne State University, 656 W. Kirby,

Detroit, MI 48202, USA

Institute of mathematics and mathematical modeling, Pushkin street, 125,

050000, Almaty, Kazakhstan

E-mail address:[email protected]