Ж.С. Туленбаев, А.Ж. Туленбаева
Математическое моделирование и оптимальное управление производством строительной керамики
(Таразский государственный университет им. М.Х. Дулати, г.Тараз, Казахстан)
Приведена методика построения математической модели производства строительной керамики на основе метода группового учета аргументов, по результатам численных экспериментов по разработанной программе предложенного алгоритма определены оптимальные параметры: критерий селекции, способ разбиения экспериментальных данных, вид частного описания.
Для построения математической модели производства строительной керамики в данной работе в место традиционного регрессионного анализа используется Метод группового учета аргументов, МГУА (Group Method of Data Handling, GMDH) Метод группового учета аргументов, МГУА - метод порождения и выбора регрессионных моделей оптимальной сложности. Под сложностью модели в МГУА понимается число параметров.
Эффективность метода многократно подтверждалась решением множества конкретных задач из областей экологии, экономики, гидрометеорологии и т.д. Формализованное определение алгоритма МГУА, охватывающий максимально широкий класс имеющихся, а также гипотетических алгоритмов МГУА, дается в [1]. Рассмотрим матрицу Gr, которую назовем матрицей частных описаний r-го ряда
G= (z1...z2...zq)
Соответствующую задаче восстановления зависимости по таблице входных переменных:
X= (x1...x2...xm)
и выходной величине У. Здесь Zi, i= 1,2,...,Q; N - мерный вектор. Причем Q≥M .
Дать определение многорядного алгоритма МГУА это значит: а) определить G0; б) определить оператор R, осуществляющий отображение R:Gr →Gr+1 ; в) определить правило останова; г) определить значение fr , свободу выбора на r-ом шаге селекции, которая в общем случае может быть величиной переменной от ряда к ряду.
В качестве G0 выбирается матрица вида:
G0= (0...0...δx1...xm), где δ - либо нулевой, либо единичный N-мерный вектор.
Частным описанием r-го ряда, в общем случае, назовем N-мерный вектор Z, если он равен:
а) либо 0; б) либо 1; в) либо k-я компонента его выражается формулой:
Z(k)(r)=f(zi(k)(r−1), z(r−1)j(k) , ...),
где нижний индекс, указанный в скобке, означает номер компонента в векторе; е - единичный вектор. Возможности а) и б) могут отсутствовать.
Наиболее распространенными частными описаниями являются функции следующего вида:
1) линейные частные описания f(zi, zj) =A0+A1zi+A2zj
2) квадратичные частные описания
f(zi, zj) =A0+A1zi+A2zj+A3Zizj+A4zi2+A5zj2 3) частные описания, содержащие ковариацию
f(zi, zj) =A0+A1zi+A2zj+A3zizj
где индексы i и j изменяются в следующих пределах: i=1,2,..., Q-1; j= i+1, i+2,. . . ,Q.
Введем понятие структуры частного описания S, как совокупность индексов, соответствующих данному частному описанию.
Пусть критерием селекции выбран критерии СR, которому соответствует некоторая матрица D канонической формы, т.е. симметрическая положительно полуопределенная матрица, позволяющая записать величину критерия в виде:
CR=yτDY
В этом случае матрица D при заданной функции f зависит от матрицы Gr−1 и от набора индексов i,j,. . . , соответствующих частному описанию r-го ряда, т.е. от структуры частного описания S. Следовательно, можно записать:
Dr=D−r(S, Gr−1)
Член Gr−1 общий для всех матриц критерия r-го ряда, поэтому запишем Dr=Dr(S)
Очевидно, что матрицы канонической формы, соответствующие одной и той же структуре S, и вычисленные на разных рядах селекции r, вообще говоря, не совпадают.
Пусть теперь P
r - множество всех допускаемых частных описаний r-го ряда. Пронумеруем эти структуры так, чтобы выполнялись неравенства:
yτD(S1(r))y ≤D(S2(r))≤...≤yτD(Sk(r))≤...
Можно определить оператор R как оператор, осуществляющий следующее отображение:
матрице Gr−1 ставится в соответствие матрица Gr, столбцами которой с первого по f- ой являются частные описания, соответствующие структурам S1(r), S2(r), ..., Sf(r), а столбцы с (F+1)-го по Q-й совпадают с матрицей Gr .
Останов многорядного алгоритма МГУА осуществляется при выполнении условия:
yτDr(S1(r+1))y≤Dr+1(S2(r+1))
Для реализации алгоритма МГУА необходимо, исходя из особенностей поставленной задачи идентификации моделируемых процессов, определить параметры алгоритма МГУА:
тип частного описания;
вид критерия селекции;
способ разбиения множества точек.
С целью определения параметров алгоритма МГУА был проведен литературный обзор и поставлен ряд численных экспериментов на ЭВМ.
Многорядные алгоритмы МГУА, применяемые для структурной и параметрической идентификации, используют три вида частных описаний.
При применении алгоритмов с ковариациями и квадратичными частными описаниями сложность модели увеличивается от ряда к ряду селекции как по числу учитываемых аргументов, так и по степени. Причем степень полного описания быстро растет: на первом ряду - квадратичные описания, на втором - четвертой степени, на третьем - восьмой и т.д. В связи с этим минимум критерия селекции находится при сравнительно малом числе рядов селекции, но не совсем точно. Кроме того, имеется опасность потери существенного аргумента, особенно на первых рядах селекции. Математическая модель объекта в данном случае получается в виде "полиномов от полиномов", т.е. системы уравнений в каноническом виде, что приводит к потере наглядности решения. Пересчет вручную к исходному базису аргументов после 4-5 рядов селекции - трудоемкий процесс и практически невыполнимый.
Алгоритм PRECESION [1] избавлен от ошибки многорядности, пересчет к исходному базису аргументов выполняется ЭВМ с использованием номеров Геделя. Вместе с тем алгоритм
PRECESION обладает рядом недостатков эксплуатационного характера: необходимость большого объема памяти и большое время счета. Использование линейных частных описаний вида значительно упрощает структуру алгоритмов МГУА. Программная реализация автоматизированного пересчета по исходному базису переменных не вызывает затруднения.
Занимаемый объем памяти и время счета значительно снижаются по сравнению с алгоритмом PRECESION. Недостатком алгоритмов, использующих линейные частные описания, является невозможность достижения необходимой точности получаемых математических моделей для ряда объектов производства строительных материалов в указанном классе аппроксимирующих функций.
При выборе вида частного описания необходимо учитывать, что предлагаемый метод построения математических моделей может быть применен как для создания моделей отдельных аппаратов, так и для создания математической модели всего производства. В первом случае, чаще всего, вид полинома определяется условием достижения необходимой точности и для описания процессов как объектов управления в практически любых подсистемах химико- технологического профиля достаточна форма полинома второй степени.
Во втором случае создаваемая математическая модель всего производства, являющегося сложной системой, используется в данной работе для оперативной оптимизации. В этом случае значительную роль при выборе вида частного описания играет наряду с точностью описания простота структуры конечных уравнений математической модели. Очевидно, что наиболее удобным является линейная форма математической модели. Поэтому исследовались возможности построения математических моделей линейной формы и в виде полиномов второй степени.
Авторами метода рассмотрено большое число различных критериев выбора моделей.
Значительная часть этих критериев опубликована на сайте http://www.gmdh.net. В работе [2] рассматривается метод оптимального разбиения исходных данных на основании анализа функций распределения критерия селекции. Строгого доказательства преимущества того или иного метода не существует. Следовательно, проведение численных экспериментов, для каждого конкретного класса задач, решаемых МГУА, является наиболее общим и наиболее убедительным методом решения данного вопроса. Для определения этих параметров были проведены численные эксперименты с использованием программы SELEC 0.1 являющейся обновленной версией ранее опубликованной программы SELEC 0.0. Основное меню довольно простое и методика применения его очевиден из самого интерфейса (рисунки 1 и 2).
Для оценки эффективности алгоритмов, подобных алгоритму SELEC0.1, необходимо исследовать сходимость многорядного процесса решения, причем алгоритмы МГУА отличается от алгоритмов параметрической идентификации и поэтому требуют определения понятий сходимости.
Рисунок 1- Интерфейс программы SELEC0.1
Рисунок 2- Ввод исходных данных программы SELEC 0.1
В настоящее время отсутствует строгое аналитическое доказательство сходимости того или иного типа для всех практически используемых алгоритмов МГУА. Основным методом исследований сходимости алгоритмов является численный эксперимент.
Для анализа работоспособности и типа сходимости реализованного алгоритма МГУА SELЕС0.1 был поставлен численный эксперимент.
Наиболее помехоустойчивым является последовательное применение критерия минимума смещенности и среднеквадратичной ошибки на экзаменационной последовательности ∆(Nc) при использовании частных описаний второго и выше порядка.
Как уже отмечалось, для описания подсистем практически любых систем химической технологии и, в том числе производства строительных материалов достаточна форма полинома второй степени.
Для построения математических моделей в виде полиномов второй степени был выбран линейный вид частного описания с расширенным исходным базисом переменных, за счет переобозначения членов второй степени. Если вектор входных переменных X = (X1, X2, ..., XM), то в селекции, в этом случае, участвует расширенный базис, формируемый по выражению XV+K=Xi·Xj
Размерность входного вектора возрастает
X= (X1, X−2, ...XM, XM+1, ...XM+K)
где K =PM i=1i .
Для определения наиболее эффективного режима работы алгоритма SELEC0.1 в данной модификации был поставлен ряд численных экспериментов, результаты которых приведены на рисунке 3.
1 - для кирпича; 2 - для плитки.
Рисунок 3- Влияние режимных параметров алгоритма
В качестве объекта моделирования взята печь обжига. Из рисунке 3, а видно, что характер влияния cпособa разбиения на глубину минимума критерия в области NA/(NA+NB) ≈ 0,5 носит случайный характер. Значительное уменьшение этого соотношения приводит к менее эффективным решениям. Увеличение свободы выбора F , как видно из рисунка 3, б не приводит к ощутимым изменениям глубины минимума критерия селекции. В связи с этим необходимо определять свободу выбора исходя из времени счета. Малое значение F приводит к значительному увеличение числа рядов селекции (рисунок 3, в), что в свою очередь приводит к увеличению времени счета. Значительное повышение значения F уменьшает число шагов селекции, но увеличивает время счета при переборе пар на каждом шагу селекции. Наиболее оптимальным является значение F = 10-20. На рисунке 3, г представлен график изменения минимума критерия селекции при выбранных наиболее эффективных параметрах режима работы алгоритма:
KEY = 2;NA= 0,4·N;NB= 0,4N;F = 15.
Используя полученные параметры, построены математические модели технологической линии.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ивахненко А.Г., Юрачковский Ю.П. Моделирование сложных систем по экспериментальным данным. - М.: Радио и связь, 1987. - 120 с.
2. Mueler J.A., Lemke F. Sel-organising Data Mining: An Intelligent Approach To Extract Knowl- edge From Data. - Berlin: Dresden, 1999. - 225 p.
Туленбаев Ж.С., Туленбаева А.Ж.
Құрылыс керамикасының өндiрiсiн оңтайлы басқару және математикалық модельдеу
Тиiмдi параметрлер анықталған ұсынылған алгоритмнiң өңделген бағдарламасы бойынша аталған тәжiрибелердiң нәтижелерi бойынша аргументтердi топтық есептеудiң әдiсiнiң негiзiнде құрылыс керамикасының өндiрiсiнiң математикалық моделiн құрудың әдiстемесi келтiрiлген:селекция белгiсi, тәжiрибелiк деректердi бөлу әдiсi, бөлшектеп сипаттаудың түрi.
Tulenbaev J. S., Tulenbaeva A. J.
Mathematical modeling and optimal control of the production of building ceramics.
The technique of constructing a mathematical model of the production of construction ceramics based on the group method of data handling, the results of numerical experiments on the developed program of the proposed algorithm to find the optimal parameters: the criterion of selection, the method of dividing the experimental data, view private descriptions.
