Об интегрируемости с весом двойных тригонометрических рядов с коэффициентами из класса R+0 BV S2

Ж.Б. Муканов

Об интегрируемости с весом двойных тригонометрических рядов с коэффициентами из класса R⁺₀BV S²

(Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, г. Астана, Казахстан )

В работе рассмотрена следующая задача: найти необходимые и достаточные условия интегрируемости в p-той степени сумм двойных тригонометрических рядов с коэффициентами из класса R⁺₀BV S² с некоторым весом γ. В качестве решения наложены условия на коэффициенты {λn}, которые в зависимости от γ, являются достаточными или необходимыми.

В работе изучаются вопросы интегрируемости с весом рядов g(x, y) =

∞

X

j=1

∞

X

k=1

λjksinjxsinky (1)

и

f(x, y) =

∞

X

j=1

∞

X

k=1

λ_jkcosjxcosky (2)

Запишем следующее определение (см.[1]). Нуль-последовательность положительных чисел c := {c_n} принадлежит классу R⁺₀BV S, если неравенство P∞

n=m|c_n−c_n+1| ≤ K · c_m справедливо для всех натуральных m. Класс таких последовательностей был введен Л.Лейндлером в [1].

Через g(x) и f(x) обозначим суммы рядов

∞

P

n=1

λ_nsinnx и

∞

P

n=1

λ_ncosnx соответственно.

В работе [2] Тихонова рассмотрена следующая задача: найти необходимые и достаточные условия интегрируемости в p-той степени сумм синус- и косинус-рядов с весом γ. В качестве решения наложены условия на коэффициенты {λ_n}, которые, в зависимости от γ, являются достаточными или необходимыми. Эти результаты сформулируем в следующих двух теоремах.

Теорема A. Пусть {λ_n} ∈R⁺₀BV S и 1≤p <∞.

1) Если последовательность {γ_n} удовлетворяет условию: существует ε1>0 такое, что последовательность {γ_nn^−p−1+ε1} является почти убывающей, то условие

∞

X

n=1

γ_nn^p−2λ^p_n<∞ (3)

достаточно для выполнения условия

γ(x)|g(x)|^p ∈L(0, π). (4)

2) Если последовательность {γ_n} удовлетворяет условию: существует ε₂>0 такое, что последовательность {γ_nn^p−1−ε2} является почти возрастающей, то условие (3) необходимо для выполнения условия (4).

Теорема Б.Пусть {λ_n} ∈R⁺₀BV S и 1≤p <∞.

1) Если последовательность {γ_n} удовлетворяет условию: существует ε3>0 такое, что последовательность {γ_nn^−1+ε3} является почти убывающей, то условие

∞

X

n=1

γ_nn^p−2λ^p_n<∞ (5)

достаточно для выполнения условия

γ(x)|f(x)|^p∈L(0, π). (6)

2) Если последовательность {γ_n} удовлетворяет условию: существует ε4 >0 такое, что последовательность {γ_nn^p−1−ε4} является почти возрастающей, то условие (5) необходимо для выполнения условия (6).

Функция γ(x) определяется по последовательности {γ_n} следующим образом: γ(π/n) :=

γn, n∈N, и существуют положительные константы A и B такие, что Aγn≤γ(x)≤Bγn+1

для x ∈ (π/(n+ 1), π/n). Последовательность положительных чисел γ := {γ_n} называется почти возрастающей (почти убывающей), если неравенство Cγn ≥ γm (γn ≤ Cγm) справедливо для всех натуральных n≥m.

Здесь и в дальнейшем через C будем обозначать положительные постоянные, вообще говоря, разные в различных формулах.

Нашей целью является распространение этих результатов на случай двойных рядов вида (1) и (2). Для начала введем необходимые определения.

Определение 1. Говорят, что последовательность положительных чисел a := {a_jk}, удовлетворяющая условию a_jk → 0 при j +k → ∞ принадлежит классу R⁺₀BV S², если выполняются неравенства

∞

X

j=m

∞

X

k=n

|∆₁₁a_jk| ≤Ca_mn приm, n∈N

и ∞

X

j=m

|∆₁₀ajk| ≤Camk при каждом фиксированном k,

∞

X

k=n

|∆₀₁ajk| ≤Cajn при каждом фиксированномj, где

∆11ajk =ajk−aj+1,k−aj,k+1+aj+1,k+1,

∆10ajk =ajk−aj+1,k,

∆01ajk =ajk −aj,k+1.

Определение 2. Говорят, что последовательность положительных чисел γ := {γ_mn} почти возрастает (почти убывает), если для некоторой константы C и для всех натуральных m₂≥m₁, n₂≥n₁ выполнено неравенство

Cγm2n2 ≥γm1n1 (γm2n2 ≤Cγm1n1).

Определим функцию γ(x, y) по последовательности {γ_mn} следующим образом:

γπ m,π

n

=γ_mn ∀m, n∈N,

и существуют положительные константы A и B такие, что имеют место неравенства:

Aγ_mn≤γ(x, y)≤Bγ_m+1,n+1 ∀x∈ π

m+ 1, π m

, y∈

π n+ 1,π

n

Нами доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть g(x, y) - сумма ряда (1), {λ_jk} ∈ R⁺₀BV S², 1 ≤ p < ∞, и последовательность положительных чисел {γ_jk} удовлетворяет условию: существуют некоторые ε1, ε2 > 0 такие, что последовательность {γ_jk · j^−1+ε1} почти убывает при каждом фиксированном k, и последовательность {γ_jk ·k^−1+ε2} почти убывает при каждом фиксированном j. Тогда из условия

∞

X

j=1

∞

X

k=1

γjk(jk)^p−2·λ^p_jk <∞ (7)

следует, что

γ(x, y)|g(x, y)|^p ∈L(0, π)² (8)

Теорема 2. Если последовательность γmn удовлетворяет условию: существуют ε3, ε4 >

0 такие, что последовательности {γ_mn m^p−1−ε3} является почти возрастающей при фиксированном n, и последовательность {γ_mn n^p−1−ε4} является почти возрастающей при фиксированном m. То условие (7) необходимо для выполнения условия (8).

Теорема 3. Пусть f(x, y) - сумма ряда (2), {λ_jk} ∈ R⁺₀BV S², 1 ≤ p < ∞, и последовательность положительных чисел {γ_jk} удовлетворяет условию: существуют некоторые ε5, ε6 > 0 такие, что последовательность {γ_jk · j^−1+ε5} почти убывает при каждом фиксированном k, и последовательность {γ_jk ·k^−1+ε6} почти убывает при каждом фиксированном j. Тогда из условия

∞

X

j=1

∞

X

k=1

γ_jk(jk)^p−2·λ^p_jk <∞ (9) следует, что

γ(x, y)|f(x, y)|^p ∈L(0, π)² (10) Теорема 4. Если последовательность γmn удовлетворяет условию: существуют ε7, ε8 >

0 такие, что последовательности {γ_mn m^p−1−ε7} является почти возрастающей при фиксированном n, и последовательность {γ_mn n^p−1−ε8} является почти возрастающей при фиксированном m. То условие (9) необходимо для выполнения условия (10).

Для доказательства этих теорем нам понадобятся следующие три леммы.

Лемма А.[3] Пусть {a_n≥0}, {λ_n≥0}, p≥1. Тогда верны следующие неравенства

∞

X

n=1

λn n

X

ν=1

aν

!p

≤p^p

∞

X

n=1

λ^1−p_n a^p_n

∞

X

ν=n

λν

!p

(11)

∞

X

n=1

λn

∞

X

ν=n

aν

!p

≤p^p

∞

X

n=1

λ^1−p_n a^p_n

n

X

ν=1

λν

!p

. (12)

Эти неравенства называются неравенствами типа Харди-Литтльвуда.

Лемма 1. Пусть {λ_jk} ∈ R⁺₀BV S² и g(x, y) - сумма ряда (1). Тогда имеет место неравенство

|g(x, y)| ≤C

m

X

j=1 n

X

k=1

λjk. (13)

при x∈h

π m+1,_m^π

, y∈h

π n+1,^π_n

.

Лемма 2. Пусть {λ_jk} ∈ R⁺₀BV S² и f(x, y) - сумма ряда (2). Тогда имеет место неравенство

|f(x, y)| ≤C

m

X

j=1 n

X

k=1

λ_jk. (14)

при x∈h

π m+1,_m^π

, y∈h

π n+1,^π_n

.

Доказательство леммы 1. Пусть x ∈ h

π m+1,_m^π

, y ∈ h

π n+1,^π_n

. Представим сумму g(x, y) следующим образом

g(x, y) =

m−1

X

j=1 n−1

X

k=1

λ_jksinjxsinky+

∞

X

j=m n−1

X

k=1

λ_jksinjxsinky+

m−1

X

j=1

∞

X

k=n

λ_jksinjxsinky+

∞

X

j=m

∞

X

k=n

λ_jksinjxsinky=:S¹+S²+S³+S⁴.

Оценим каждое слагаемое отдельно. Для S¹ ясно, что

|S¹| ≤

m−1

X

j=1 n−1

X

k=1

λ_jk.

Для оценки S⁴ сначала применим к ней преобразование Абеля [4].

M

X

j=m N

X

k=n

λjksinjxsinky=

M−1

X

j=m N−1

X

k=n

Dej(x)Dek(y)∆11λjk+

+

M−1

X

j=m

Dej(x)De_N(y)∆10λ_jN −

M−1

X

j=m

Dej(x)Den(y)∆10λjn+

+

N−1

X

k=n

De_M(x)De_k(y)∆₀₁λ_{M k}−

N−1

X

k=n

De_m(x)De_k(y)∆₀₁λ_mk+

+λ_{M N}De_M(x)De_N(y)−λ_mNDe_m(x)De_N(y)−λ_{M n}De_M(x)De_n(y) +λ_mnDe_m(x)De_n(y),

где De_n(x) = Pn k=1

sinkx. Известно, что De_n(x)

≤ ^C_x при x∈[0, π). Учитывая это, имеем

M

X

j=m N

X

k=n

λjksinjxsinky

≤ C xy





M−1

X

j=m N−1

X

k=n

|∆₁₁λjk|+

+

M−1

X

j=m

|∆₁₀λjN|+

M−1

X

j=m

|∆₁₀λjn|+

N−1

X

k=n

|∆₀₁λM k|+

N−1

X

k=n

|∆₀₁λmk|+

+λM N+λmN +λM n+λmn)≤ C

xy (C2λmn+C2λmN +C2λmn+C2λM n+

+C2λmn+λM N +λmN +λM n+λmn) Переходя к пределу при M → ∞, N → ∞, получим

|S⁴| ≤ C₃

xyλ_mn≤C₄mnλ_mn≤C₅

m

X

j=1 n

X

k=1

λ_jk.

Здесь мы учли, что последовательность {λ_jk} почти убывает. Это следует из условия принадлежности к классу R⁺₀BV S².

Для оценки S³ сначала заметим, что

S³ ≤

m−1

X

j=1

∞

X

k=n

λjksinky .

Далее на основании преобразования Абеля имеем

N

X

k=n

λjksinky =

N−1

X

k=n

(∆01λjk)Dek(y) +λjNDeN(y)−λjnDen−1(y).

Следовательно, учитывая оценку |D_k(y)| ≤ ^C_y (k≥1,0< y < π) и условие {λ_jk} ∈R⁺₀BV S², при устремлении N → ∞ получаем

N

X

k=n

λ_jksinky

≤ C y

N−1

X

k=n

|∆₀₁λ_jk|+λ_jN −λjn

!

≤ C

y (C2λjn+λ_jN) Следовательно

∞

X

k=n

λ_jksinky

≤ C3

y λjn≤C4nλjn.

Поэтому, с учетом того, что λ_jn почти убывает по второму индексу, получаем S³

≤

m−1

X

j=1

C4·nλjn≤C4 m−1

X

j=1 n

X

k=1

λ_jk

Доказательство почти убывания: пусть n₂ > n₁ λ_jn2 =

∞

X

k=n2

(λ_jk −λ_j,k+1)≤

∞

X

k=n2

|λ_jk−λ_j,k+1| ≤

∞

X

k=n1

|λ_jk−λ_j,k+1| ≤Cλ_jn1

Аналогично оценивается

S² ≤C

m

X

j=1 n−1

X

k=1

λ_jk.

Объединяя все полученные оценки для Sⁱ (i = 1,2,3,4) окончательно получим требуемое неравенство леммы.

Доказательство теоремы 1.На основании условиий теоремы на γ(x) и леммы 1 имеем

π

Z

0 π

Z

0

γ(x, y)|g(x, y)|^pdxdy =

∞

X

m=1

∞

X

n=1

π

Zm

π m+1

π

Zn

π n+1

γ(x, y)|g(x, y)|^pdxdy≤

≤C

∞

X

m=1

∞

X

n=1

γmn

π

Zm

π m+1

π

Zn

π n+1

|g(x, y)|^pdxdy≤C2

∞

X

m=1

∞

X

n=1

γmn





m

X

j=0 n

X

k=0

λ_jk





p _m^π

Z

π m+1

π

Zn

π n+1

dxdy ≤

≤C₃

∞

X

m=1

∞

X

n=1

γ_mn





m

X

j=0 n

X

k=0

λ_jk





p

1

m²n² =C₃

∞

X

m=1

∞

X

n=1

γmn

m²n²





m

X

j=0 n

X

k=0

λ_jk





p

Далее дважды применим неравенство (11) из леммы А. Сначала применим указанное неравенство для внутреней суммы. Для этого введем обозначение A_mk=

Pm j=0

λ_jk. Тогда

∞

X

m=1

∞

X

n=1

γmn

m²n²





m

X

j=0 n

X

k=0

λ_jk





p

=

∞

X

m=1

1 m²

∞

X

n=1

γmn

n²

n

X

k=0

A_mk

!p

≤

≤C

∞

X

m=1

1 m²

∞

X

n=1

γ_mn n²

1−p

A^p_mn

∞

X

k=n

γ_mk k²

!p

=

=C

∞

X

m=1

1 m²

∞

X

n=1

γ_mn n²

1−p





m

X

j=0

λ_jn





p ∞

X

k=n

γ_mk k²

!p

Учитывая, что последовательность

γ_mnn^−1+ε2 почти убывает при каждом фиксированном m, получаем

∞

X

k=n

γ_mk k² =

∞

X

k=n

γ_mkk^−1+ε2 k^−1+ε2 · 1

k² ≤Cγ_mnn^−1+ε2

∞

X

k=n

1

k^1+ε2 ≤Cγ_mn·n^−1+ε2n^−ε2 = Cγ_mn n .

Далее снова используем неравенство (11) из леммы А.

∞

X

m=1

1 m²

∞

X

n=1

γmn

n² 1−p





m

X

j=0

λjn





p ∞

X

k=n

γmk

k² p

≤

≤C

∞

X

m=1

1 m²

∞

X

n=1

γmn

n² 1−p





m

X

j=0

λjn





p

γmn^p

n² =C

∞

X

m=1

1 m²

∞

X

n=1

γmn

n^2−p





m

X

j=0

λ_jk





p

=

=C

∞

X

n=1

1 n^2−p

∞

X

m=1

γ_mn m²





m

X

j=0

λ_jn





p

≤C₂

∞

X

n=1

1 n^2−p

∞

X

m=1

γ_mn m²

1−p

λ^p_mn





∞

X

j=m

γ_jn j²





p

≤

≤C₃

∞

X

n=1

1 n^2−p

∞

X

m=1

γ_mn m²

1−p

λ^p_mnγ_mn^p m^p =C₃

∞

X

n=1

∞

X

m=1

γ_mn

n^2−pm^2−p ·λ^p_mn = C₃

∞

X

m=1

∞

X

n=1

γ_mn·(mn)^p−2λ^p_mn Следовательно, γ(x, y)|f(x, y)|^p∈L(0, π)²

Доказательство теоремы 2.

Из условия (8) следует, что g(x)∈L(0, π)². Действительно, если p∈(1,∞), то применяя неравенство Гельдера, получим

I :=

π

Z

0 π

Z

0

|g(x, y)|dxdy ≤





π

Z

0 π

Z

0

|g(x, y)|^pγ(x, y)dxdy





1 p



π

Z

0 π

Z

0

(γ(x, y))^−p

0 pdxdy





1 p0

где p⁰ = _p−1^p .

π

Z

0 π

Z

0

(γ(x, y))^−p

0

pdxdy =

∞

X

m=1

∞

X

n=1

π

Zm

π m+1

π

Zn

π n+1

(γ(x, y))^−p−11 dxdy ≤

C

∞

X

m=1

∞

X

n=1

π

Zm

π m+1

π

Zn

π n+1

1 γ_mn

_p−1¹

dxdy≤C

∞

X

m=1

∞

X

n=1

1 γ_mn

_p−1¹

π

Zm

π m+1

π

Zn

π n+1

dxdy=

=C2

∞

X

m=1

∞

X

n=1

1 γ_mn

_p−1¹ 1

m²n² =C2

∞

X

m=1

∞

X

n=1

n^p−1−ε4 γ_mnn^p−1−ε4

_p−1¹ 1 m²n² ≤

≤C3

∞

X

m=1

∞

X

n=1

1 γ_m1

_p−1¹ n¹⁻

ε4 p1

m₂ =C3

∞

X

m=1

∞

X

n=1

m^p−1−ε3 γ_m1m^p−1−ε3

_p−1¹ n⁻¹⁻

ε4 p−1

m₂ <

< C4

1 γ₁₁

_p−1¹ ∞

X

m=1

∞

X

n=1

m⁻¹⁻

ε3 p−1n⁻¹⁻

ε4 p−1 ≤C.

Пусть p= 1. Тогда

π

Z

0 π

Z

0

|g(x, y)|dxdy =

∞

X

m=1

∞

X

n=1

π

Zm

π m+1

π

Zn

π n+1

|g(x, y)|dxdy ≤

C

∞

X

m=1

∞

X

n=1

π

Zm

π m+1

π

Zn

π n+1

|g(x, y)|γ(x, y)

γ(x, y) dxdy≤C

∞

X

m=1

∞

X

n=1

1 Aγ_mn

π

Zm

π m+1

π

Zn

π n+1

|g(x, y)|γ(x, y)dxdy ≤

≤ C₂ γ11

∞

X

m=1

∞

X

n=1

π m

Z

π m+1

π n

Z

π n+1

|g(x, y)|γ(x, y)dxdy= C₂ γ11

π

Z

0 π

Z

0

|g(x, y)|γ(x, y)dxdy < C₃

Интегрируя g(x, y) получим

F(x, y) =

x

Z

0 y

Z

0

g(s, t)dsdt=

x

Z

0 y

Z

0

∞

X

m=1

∞

X

n=1

λmnsinmssinntdsdt=

∞

X

m=1

∞

X

n=1 x

Z

0 y

Z

0

λmnsinmssinntdsdt=

∞

X

m=1

∞

X

n=1

λmn x

Z

0 y

Z

0

sinmssinntdsdt

∞

X

m=1

∞

X

n=1

λ_mn

mn(1−cosmx)(1−cosny) = 4

∞

X

m=1

∞

X

n=1

λ_mn

mn sin²mx

2 sin²ny 2 Следовательно,

F(π j,π

k) = 4

∞

X

m=1

∞

X

n=1

λmn

mn sin²mπ

2j sin² nπ 2k ≥4

j

X

m=[^j₂]

k

X

n=[^k2] λmn

mn sin² mπ

2j sin² nπ 2k

4

j

X

m=[^j₂]

k

X

n=[^k₂] λmn

mn m

j 2

n k

2

≥ 4C j²k²

j

X

m=[^j₂] mλ_mk

k

X

n=[^k₂]

n≥4Cλ_jk

Далее введем обозначение dµ,ν =

π µ

R

π µ+1

π µ

R

π ν+1

|g(x, y)|dxdy, µ, ν∈N Имеем

λ_jk ≤CF π

j,π k

≤C

π j

Z

0

π k

Z

0

g(s, t)dsdt≤C

π j

Z

0

π k

Z

0

|g(s, t)|dsdt=

C

∞

X

µ=j

∞

X

ν=k

π µ

Z

π µ+1

π

Zν

π ν+1

|g(s, t)|dsdt=C

∞

X

µ=j

∞

X

ν=k

d_µ,ν

Далее воспользуемся неравенством (12) и условием теоремы.

J :=

∞

X

j=1

∞

X

k=1

γ_jk(jk)^p−2λ^p_jk ≤C

∞

X

j=1

∞

X

k=1

γ_jk(jk)^p−2





∞

X

µ=j

∞

X

ν=k

d_µν





p

=

=C

∞

X

j=1

j^p−2

∞

X

k=1

γ_jk(k)^p−2





∞

X

ν=k

∞

X

µ=j

d_µν





p

≤

≤C

∞

X

j=1

j^p−2

∞

X

k=1

γjkk^p−21−p





∞

X

µ=j

dµk





p k

X

ν=1

γjνν^p−2

!p

≤

≤C2

∞

X

j=1

j^p−2

∞

X

k=1

γ_jkk^p−21−p





∞

X

µ=j

d_µk





p

γ_jk^p k^(p−1)p =

≤C₂

∞

X

j=1

j^p−2

∞

X

k=1

γ_jkk^2p−2





∞

X

µ=j

d_µk





p

=C₂

∞

X

k=1

k^2p−2

∞

X

j=1

j^p−2γ_jk





∞

X

µ=j

d_µk





p

≤

≤C₃

∞

X

k=1

k^2p−2

∞

X

j=1

j^p−2γ_jk1−p

d^p_jk





j

X

µ=1

µ^p−2γ_µk





p

≤

≤C₃

∞

X

k=1

k^2p−2

∞

X

j=1

j^p−2γ_jk1−p

d^p_jk γ_jkj^p−1p

=

=C₃

∞

X

k=1

k^2p−2

∞

X

j=1

j^2p−2γ_jkd^p_jk =C₃

∞

X

j=1

∞

X

k=1

j^2p−2k^2p−2d^p_jkγ_jk

Если p∈(1,∞), то применяя неравенство Гельдера, получим

p⁰ = _p−1^p

d^p_jk =







π j

Z

π j+1

π

Zk

π k+1

|g(x, y)|dxdy







p

≤







π j

Z

π j+1

π

Zk

π k+1

|g(x, y)|^pdxdy













π j

Z

π j+1

π

Zk

π k+1

1^p0dxdy







p p0

≤

≤C

π j

Z

π j+1

π

Zk

π k+1

|g(x, y)|^pdxdy 1

j²k^{2 p}

p0

=C

π j

Z

π j+1

π

Zk

π k+1

|g(x, y)|^pdxdy(jk)^2(1−p) =

=C(jk)^2(1−p)

π j

Z

π j+1

π k

Z

π k+1

|g(x, y)|^pdxdy

Следовательно,

J ≤C₄

∞

X

j=1

∞

X

k=1

j^2p−2k^2p−2γ_jk

π j

Z

π j+1

π k

Z

π k+1

|g(x, y)|^pdxdy(jk)^2(1−p)=

=C₄

π

Z

0 π

Z

0

γ(x, y)|g(x, y)|^pdxdy.

Теорема доказана. Теоремы 3 и 4 доказываются аналогично.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Leindler L. A new class of numerical sequences and its applications to sine and cosine series //Anal.Math. - 2002. - V.28, №4. - P.279-286.

2. Тихонов C.Ю. Об интегрируемости тригонометрических рядов //Мат.заметки. - 2005. - Т.78. - С.476-480.

3. Потапов М.К., Бериша М. Модули гладкости и коэффициенты Фурье периодических функций одного переменного //Publ. Inst. Math. (Beograd) (N.S.). - 1979. - Т.26(40). - С.215- 228.

4.Moricz F. On double cosine, sine, and walsh series with monotone coefficients //Proc.Amer.Math.Soc. - 1990. - V.109, №4. - P.417-425.

Мұқанов Ж.Б.

Коэффициенттерi R⁺₀BV S² класында жататың тригонометрия жүйесi бойынша екi еселi қатарлардың салмақпен интегралдануы

Жұмыста келесi есеп қарастырылған: коэффициенттерi R⁺₀BV S² класында жататың тригонометрия жүйесi бойынша екi еселi қатарлардың қосындыларының p-шi дәрежесi салмақпен интегралдануының қажеттi және жеткiлiктi шарттарын табу. Шешiмi ретiнде γ-ға байланысты қажеттi немесе жеткiлiктi болатын{λn} коэффициенттерiне шарртар қойылған.

Mukanov Zh.B.

On the integrability with power of double series by triginometric system with coefficients from R⁺₀BV S² class

In this work the following problem is considered: to find necessary and sufficient conditions of integrability in p-th degree of the sums of double series with factors from R⁺₀BV S² class by triginometric system with weight γ. As the decision conditions on factors {λn} which depending on γ are sufficient or necessary are imposed.

Поступила в редакцию 15.10.10 Рекомендована к печати 30.10.10