PDF repository.enu.kz

1142 УДК 517.962.24

КРИТЕРИЙ ОСЦИЛЛЯТОРНОСТИ ПОЛУЛИНЕЙНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ЗНАКОНЕПОСТОЯННЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Аскап Сыиболады E-mail:as_bo@mail.ru

Магистрант2 курса механико-математического факультета ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, Нур-Султан, Казахстан

Научный руководитель – Алдай М.

Рассмотрим полулинейное разностное уравнение второго порядка

 

1 ^{0, 1,}

2 1 1

2   



_k x_k ^p x_k _k x_k ^p x_k k (1) где x_k x_k1x_k, 1 p, _k,_k1, k1 - действительные числа, причем _k 0, k1.

Последовательность действительных чисел x x_{k k1} называется решением уравнения (1), если она удовлетворяет уравнению (1) при всех k1.

Пусть X^_m множество всех последовательностей действительных чисел x x_{k k1} таких, что существует целое ⁿⁿ ^x ^m и x_k 0 при 1km и kn. Из вариационного принципа для уравнения (1) вытекает следующие утверждение:

Теорема А.(i).Для того чтобы уравнение (1) было неосцилляторным необходимо и достаточно существование m1 такой, что

 

^m

m k

p k k p k

k x x x X

 









^ 

   ₁ ₁ 0, (2)

(ii). Для того чтобы уравнение (1) было осцилляторным необходимо и достаточно для любого m1 существовал ненулевые x Xm

 

~ такое, что



^~  1^~ 1



^0.



^

  

m k

p k k p k

k x  x



Различные признаки осцилляторности, неосцилляторности уравнения (1) в основном установлены (см. например, [1, 2, 3]), когда _k 0, _k 0, k1.

Мы здесь рассматриваем случай, когда коэффициент _k может быть знаконепостоянным.

Пусть k^^max

 

^0,k ^, _k^^max



^0,k



^. Тогда _k _k^_k^ и неравенство (2) может быть записано в виде



1



1 ^, m^.

p k m k

k m

k

p k k p k

k x x x x X

 





 ^ _



 



 





^{   (3)}

Далее, положим

, 1 , inf

1 1

1 1 























 





 











 

^{t n p t}

t i

p i n

t

t i n i

t  



, 2 ,

inf

1 1

1 1 1

1

1 























 







 

















 

^{s p s}

n s i

p i s

n s i s i

s n  



1

1143

 

sup ,













  







t t

s i

i s

t

s i

i

t s

t B









1.

 

 p p p

(3) [4]

1. lim

 

1



 Bt

t , (1) , ^lim   ^{2(2 1),}



  ^p

t Bt

(1) .

1. Dosly O., Rehak P. Half-linear differential equations, North-Holland, Math. Studies, – 2002, 2005, 517p.

2. . ., .

// . . – ,

2007. . 7. - № 1 (25). – . 15 – 24.

3. ., .

// , - 2008, № 1. – .

37 – 46.

4. ., . .

// . . –1991. . 50. – . 54 – 60.

517.5

azhar_18@inbox.ru

- . . . ,

- ,

– . .

 

ⁿ

loc

R L

f 

₁ .

I

_{ [1]:}



_

 

^

 _n

R n

y x

dy y x f

f

I_ ( ) _ , 0 n.

 p

1 ,  

w

0,.

w

LM

p_, , . .

 

 B r 

L

f 

_p

0 ,

, r0

 

^

^{ }

^{  }_{  }



, , 0

, 0

,  

 LM R L B r L

LM_{p w} f _{p w} ⁿ wr f _p

f .

 p

1 ,  .





0,

w

_{, , ,} t0

 

r _{L  t,} ^

w  .

, , LMp_,w

, .

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

2