PDF repository.enu.kz:8080

УДК 517.51

О ВЛОЖЕНИИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Байтуякова Ж.Ж., zhani_angel@mail.ru

Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева, Астана Научный руководитель – Н.А. Бокаев

Пусть f (x, y) непрерывная функция, 2 - периодическая по обеим переменным с

двойным синус рядом Фурье:



f (x, y) ~  ^a

mn

sin mx sin ny

(1)

m1 n1

l s

S

_ls

(x, y)   ^a

mn

sin mx sin ny

прямоугольные частичные суммы ряда (1).

m1 n1

Пусть  _mn монотонная последовательность положительных чисел, ₁ ,₂ и

p положительные числа, и r₁,r₂ неотрицательное целое число. Мы обозначим через .

обычную супремум норму.

12

Пусть f (x, y) непрерывная функция, 2- периодическая по каждой переменной,

f C

2 2

.

Для   0 частные модули непрерывности функций f определяются соотношениями :

 ( f , )   ( f , ) 

supmax

f ( x  u, y)  f ( x, y)

x 1, x

u x, y

и

y( f , )   ( f , ) 

supmax

f ( x, y  v)  f ( x, y)

1, y

v x, y

Говорят, что последовательность положительных чисел a 



a_mn



удовлетворяющая условию a

mn

 0 при m  n  принадлежит классу R^ BVS ², если выполняется

0

неравенство

 



^{ a}11 mn ^{ C  a} mn , для всех m, n  N

m ln  d



 ^{ a}10 mn  C  a _pn при каждом фиксированном n, p N

m  p



 ^{01amn  C  a}_mq при каждом фиксированном m, q N

n  q

где

 a

mn  a

mn a

m1,n a

m,n1 a

m1,n1

11

 a

mn  a

mn  a

m1,n , 

01a

mn  a

mn  a

m,n1 .

10

Такой класс последовательностей для одномерных рядов был введен в работе [1].

Говорят, что последовательность положительных чисел aa_mn почти возрастает, если для некоторой константы С и для всех натуральных m₂ ^m₁ , n₂ ^n₁ выполнено

неравенство

Ca_{m n} a

m n .

2 2 11

Через Lip(₁, ₂)

, где

^ 1 , ²

 0

обозначим

Lip( 

₁

, 

₂

)   ^{f C}

22

: 

_x

( f ,  )  O( 

^1

) и 

y

( f ,  )  O( 

^2

) 

.

Через W^{r1 ,r2 }Lip^{1 , 2} обозначим следующий класс непрерывных функций двух

s

переменных, являющихся суммой двойных синус рядов с коэффициентами из класса

R ^ BVS ²:

0

W

^{r1 ,r2 }

Lip

^{1 , 2}

s



^f : f ( x, y ) 







^r

f 1  Lip (





^x x



 m 

) 1

 

BVS 2

 a sin mx sin ny, a  R





mn mn 0

1 n  1 



r



и f 2  Lip ( ) 

y y 2



Сильная аппроксимация функций f определяется следующим образом:

13

 1 ^{m n} _p  ^{1 p} mn



^k1 ,k2

S

k1 ,k2 (x, y)  f (x, y) ^{ гдеmn v1 ,v2} и ее

hm n ( f , k1,k2 , p; x, y)  _ ^

 mn k₁ 0 k₂ 0 

v₁ 0 v₂ 0

супремум норму обозначим через h_mn ( f ,



_k,k p; x, y)  ( f ,



_k,k2, p; x, y)  sup h_mn ( f ,



_{k,k 2} , p; x, y) .

h

mn

1 2 1

( x, y )[0,2 ]^{2 1}

Введем класс функций

  1 1 1 1 

H(

k1 ,k2

,p,r 1 ,r

2 ,₁ ,₂ )  f : h_mn ( f ,^k1 ,k2 , p)  O  r  1     . n^{r  1}

   m ¹ 1 22  m n 

Теорема. Пусть p положительное число, r₁,r₂ неотрицательное четное целое число,   1и

( ) модуль непрерывности.Если последовательность   p ( r1 r2 )  1 1 

^mn mn   

  m n 

почти возрастает и 

2 mn

 K

mn

,

тогда имеет место вложение

W

^{r1 ,r2}

^{ Lip}

^{1 , 2}

^{ H ( }

, p, r , r , 

₁

, 

₂

⁾

_.

s k ,k

2

1 2

1

Для случая функций одной переменной, подобный результат доказан в работе [2].

Список использованных источников

1. Бокаев Н.А., Муканов Ж.Б. Об интегрируемости с весом двойных тригонометрических

рядов по мультипликативным системам с коэффициентами из класса заметки.,-2012.-Т91.- №4.-С.617-620.

2. Leindler L. Embedding results pertaining to strong approximation of Fourier series.III //Analysis Math.,-1997-№23.- С. 273-281.

R ^{0 } BVS ².//Мат.