Для скачка g(0, X+) w(0, X+), учитывая непрерывность функции w в области D() и соотношения (12а), (12б), (13), (14), имеем:
w(0, X+) = w(0, X+) – a(0)w(0,X+) = w(0, t) – a(0)w(0, t) = 1 . Окончательно получаем:
h = exp
2 1
Х0
a(x) dx.
Таким образом, предложенный алгоритм позволил найти аналитическое проедставление функции u(t) управления в виде линейного оператора от фазового состояния системы. Именно такое представления представит в дальнейшем получить численной метод вычисления управления с помощью соответствующих компьютерных программ. Предполагается, что это проблема относится к тематике наших дальнейших исследований.
Список использованных источников
1. Нуртазина К.Б. Математические основы управляемости финансовых систем. – Астана: ЕНУ, 2004.
2. Rusell D.L. Controllability and Stabilizability Theory for Linear Partial Differential Equations // SIAM Review. – 1978. – Vol.20, No. 4. – P. 639-739.
3. Годунов С.К. Уравнения математической физики. – М: Наука, 1979.
УДК 51-76
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ФАРМАЦЕВТИЧЕСКОЙ НАУКЕ И ПРАКТИКЕ Гайдаров Ибрагим Айвазович, Иржанова Анель Хайдаровна
[email protected] , [email protected]
студенты группы М-32 специальности «5В060100-Математика», Астана, Казахстан
Научный руководитель – С.К.Рахимжанова
Первые разработки перспективных планов развития аптечного хозяйства проводились в Советском Союзе 1957г. В работах В.Д. Пономарева с соавторами описана большая группа методов, которые рекомендуется применять для решения целого ряда организационно- управленческих задач этой отрасли [1]-[4]. Среди этой группы наиболее разработанными считаются симплекс-метод, методы корреляционного и регрессионного анализа, теория массового обслуживания, теория распознавания образов: кластерный анализ, метод Байеса.
[5], [6].
Академик В.И. Вавилов предложил использовать следующие показатели эффективности работы аптеки:
товарооборачиваемость - отношение среднего товарного запаса к товарообороту;
эффективность наличия ассортимента - отношение фактического количества наименований лекарственных средств к нормативу;
показатель надежности - отношение номенклатурного норматива лекарственных средств к количеству отказов;
показатель услуг - отношение количества оказанных аптекой услуг к количеству несвоевременно оказанных услуг.
Системный подход к определению эффективности лекарственного снабжения потребовал применения соответствующих методов анализа. [7].
1. Применение теории массового обслуживания в фармацевтической науке и практике
Важную часть теории управления производством составляет теория массового обслуживания (ТМО). В терминах систем массового обслуживания (СМО) описываются многие реальные системы: аптеки, склады и базы, менеджмент продаж, ремонтные мастерские, вычислительные системы, узлы сетей связи, системы посадки самолетов, магазины, производственные участки - любые системы, где возможны очереди и/или отказы в обслуживании. Процессы приема и отпуска лекарственных средств, изготовление экстемпоральных лекарств, прием заявок от аптек представляют собой примеры массового обслуживания.
Можно нанять большое количество сотрудников, которые могут быстро обслуживать клиентов, и тогда очереди будут ликвидированы – но, возможно, придется оплачивать простой незанятого персонала. Можно сэкономить на количестве рабочих мест и, соответственно, на трудозатратах, но тогда клиент может покинуть предприятие, где приходится дожидаться в очередях, и уйти к конкурентам – снова потери выручки (прибыли)
Состав систем массового обслуживания и характеристика еѐ элементов Система массового обслуживания (СМО) состоит из следующих элементов:
входящий поток заявок;
каналы обслуживания;
очередь заявок, ожидающих обслуживания;
выходящий поток обслуженных заявок;
выходящий поток необслуженных заявок.
Входящий поток заявок – это требования, нуждающиеся в обслуживании.
Заявками могут быть больные в лечебных учреждениях, покупатели в аптеке, заказчики лекарственных форм, заявки на поставки лекарственных средств и оборудования и т.п.
Заявки (требования) на обслуживание поступают через постоянные или случайные интервалы времени. Как правило, поток заявок полагается пуассоновским (простейшим);
тогда интервалы времени между заявками считаются распределенными по показательному закону с плотностью λ.
Приборы служат для обслуживания этих заявок. Под обслуживанием в приведенных ситуациях можно понимать выполнение необходимых клиенту (заказчику) услуг, действий и процедур; предоставление товара покупателю. Все эти операции (действия) выполняют так называемые каналы обслуживания.
Если абстрагироваться от реального наполнения моделей СМО (мастерская, аптека, АТС, лифты в доме и т. д.), СМО можно описать, задавая следующие ее составляющие:
1. входящий поток требований;
2. дисциплину очереди;
3. механизм обслуживания;
4. выходящий поток требований.
Рис. 1. Модель теории массового обслуживания
Обслуживание длится некоторое время, постоянное или случайное. Обычно считается, что время обслуживания заявки случайно и подчиняется показательному закону
распределения с параметром μ. Примером может быть обращение посетителя к фармацевту аптеки.
Ввиду того, что заявки в систему поступают не регулярно, а стохастически, образуя простейший поток, каналы обслуживания иногда могут не справляться с их "обработкой", из-за чего могут образовываться очереди заявок, ожидающих обслуживания. Если в момент поступления заявки все приборы заняты, заявка помещается в ячейку буфера и ждет там начала обслуживания. Заявки, находящиеся в буфере, составляют очередь на обслуживание.
Заявка, ставшая в очередь, ожидает обслуживания в течение случайного времени, распределенного по показательному закону с параметром ν.
Классическим примером может явиться очередь в аптеке в «час пик».
Рассмотрим проблему очередей на примере сети аптек «Гиппократ», состоящую из центральной аптеки и 64 филиалов в г. Астане.
В центральной аптеке сети имеется пять каналов, которые обслуживают покупателей, приобретающих лекарственные средства на платной основе, и два канала, обслуживающих клиентов, получающих лекарственные средства бесплатно. Имеем две независимые СМО.
Рассмотрим вначале работу системы, состоящей из пяти каналов, где в среднем, согласно статистике, в день обслуживается в среднем 2000 человек.
... ... ...
2
k
( k 1 )
п
п
п
п
п
Рис. 2. Размеченный граф состояний системы с ожиданием
Вероятность того, что система находится в состоянии Хк, то есть, что в системе находится
к
заявок и, соответственнок
каналов заняты, вычисляем по формуле Эрланга [8] :
n m
n m
k
k
n n m P k
0
1
) (
!
!
!
, где
k 0 , 1 ,..., n
Вероятность того, что система находится в состоянии Хns, то есть, что в системе находится
n s
заявок и, соответственно, n каналов заняты и, кроме того,s
заявок стоят в очереди, тоже вычисляется по формуле Эрланга, [8]:
n
m
n m
n s
s n
n n m
n P n
0
1
) 1 (
!
!
!
, где 1
,..., 1 , 0
s
n k
Таким образом, в нашей задаче n5,1,5, среднее время обслуживания заявки tобс можно считать равным – 2.
Для расчета средней длины очереди и среднего времени пребывания заявки в очереди необходимо знать вероятность немедленного обслуживания заявки Pно
10 но
n
k
P
kP
.В нашем случае
2359 , 0 084 , 0 075 , 0 05 , 0 022 , 0 0049 ,
4 00
3 2 1
ноP0PP P P
P
Х0 Х1 Хk Хп Хn1 Хпs
Таблица 1. Параметры СМО
Параметр ы СМО
Q Мз Kз Kп mc R
t
очt
пребНазвание параметро в абсолютна я пропускна я способност ь среднее число занятых каналов коэффицие нт загрузки системы коэффицие нт простоя системы средняя длина очереди среднее число заявокв системе среднее время пребывани я заявки в очереди среднее время пребывани я заявки в системе,
Формулы вычислен ия параметр ов
Q= Мз=
п
п
1 1
1
п
Рно
з
c M
m
п tобс1 Рно
оч обс
t t
Значения параметр ов
1,5 4,5 0,9 0,1
6,9 11,4 3,05 4,25
Таким образом, вычислены вероятности нахождения системы в каждом состоянии.
Таблица 2. Вероятности состояний системы
Р0 Р1 Р2 Р3 Р4 Р5 Р6 Р7 Р8 Р9 Р10 Р11 Р12 0,0049 0,022 0,05 0,075 0,084 0,076 0,068 0,061 0,055 0,05 0,045 0,04 0,03
Исходя из расчетов, можно сделать вывод о том, что при 1,5 т.е., при повышении сезонного спроса на медикаменты (например, в период эпидемий) количество обслуживающих каналов (n=5) для данной аптеки является оптимальным. При меньшем значении среднее число занятых каналов уменьшается, поэтому руководство аптеки на этот период может сократить количество фармацевтов.
В филиалах сети аптек «Гиппократ» где число каналов обслуживания не более двух, 0,7, согласно расчетам, параметры системы для филиалов имеют следующие значения:
Таблица 3. Параметры СМО для филиалов сети аптек
Параметр ы СМО
Q Мз Kз Kп mc R
t
очt
пребЗначения параметр ов
0,7 1 0,5 0,5 0,34 1,34 0,68 2,68
2. Применение статистического анализа в фармацевтической науке и практике Рассмотрим задачу о продаже антибиотиков в среднестатистической аптеке. Пусть хi- количество проданных лекарств, относящихся к группе антибиотиков в определенный момент времени. В связи с тем, что мы не располагаем необходимыми статистическими данными, проведем разыгрывание рассматриваемой случайной величины методом Монте- Карло. Объем выборки равен 75. Для этого берем p=0,3, то есть полагаем, что в среднем три человека из десяти обращаются в аптеку именно за антибиотиками. Известно, что данная случайная величина распределена по закону Пуассона. [8]. Получим следующий закон распределения.
Таблица 4. Закон распределения количества проданных антибиотиков
хi 0 1 2 3 4 5 6 7 8
pi 0,057 0,19 0,296 0,25 0,136 0,0466 0,0049 0,00029 0,000007
7
Используя данную таблицу, разыграем случайную величину, используя следующее условие
i
k k i
k
k r p
p
0 1
0
,
где r – случайное число из датчика случайных чисел. Таким образом, получили следующий точечный вариационный ряд:
Таблица 5. Результаты разыгрывания случайной величины
хi 0 1 2 3 4 5 6 7 8
пi 4 14 22 18 11 5 1 0 0
Осталось провести проверку гипотезы о распределении случайной величины, по закону Пуассона используя критерий Пирсона.
Таблица 6. Проверка гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона.
№ п/п n(i) p(i) n(i)* n(i)- n(i)*
(n(i)- n(i)*)^2
((n(i)-
n(i)*)^2)/n(i)*
0 4 0,057 4,275 -0,275 0,075625 0,017690058
1 14 0,19 14,25 -0,25 0,0625 0,004385965
2 22 0,296 22,2 -0,2 0,04 0,001801802
3 18 0,25 18,75 -0,75 0,5625 0,03
4 11 0,136 10,2 0,8 0,64 0,062745098
5 5 0,0466 3,495 1,505 2,265025 0,648075823 6 1 0,0049 0,3675 0,6325 0,40005625 1,088588435
7 0 0,00029 0,02175 -
0,02175
0,000473063 0,02175 8 0 0,0000077 0,000578 -
0,00058
3,33506E-07 0,0005775
75 0,9807977 1,875614681
Так как значение хи-квадрат наблюдаемого (1,88) не превышает значения хи-квадрат критического (15,5) при уровне значимости равном 0,05, делаем вывод, что исследуемая случайная величина действительно распределена по закону Пуассона. Мы можем теперь использовать полученные результаты для прогнозирования уровня продаж препаратов данной группы.
Список использованных источников
1. Беллман Р. Математические методы в медицине: Пер. с англ.- М.: Мир, 1987. -200 с.
2. Клюев М.А. Основные направления развития аптечной системы//Фармация. -1975.
-Т.24.N1.-С.3-8.
3. Кобзарь Л.В., Дементьева З.С., Трунякова Р.В. Математическое моделирование потребления сульфаниламидных препаратов с целю прогнозирования потребности//Тез.докл.
Всесоюз.науч.конф. «Совершенствование организационных форм лекарственного обслуживания и экономики аптечного хозяйства ».-Новосибирск , 1973.-С126-127.
4. Миркин Б.Г. Группировки в социально-экономических системах: методы построения и анализа. – М.: Финансы и статистика, 1985.-256 с.
5. Климентьев А.А. Разработка количественных моделей задач управление в здравоохранении .-М.: Наука, 1985.-125 с.
6. Клиот И.А. Расширения аптечной сети и товарооборота аптекоуправлений союзных республик в 1938г.// Фармация и фармакология.-1938.-N4. –C.42-43.
7. Вавилов В.И., Князева Г.П., Четырева Н.И. О показателях оценки качества лекарственного обслуживания в аптеках//Тез.док. 1У Всерос.съезда фармацевтов. - Воронеж , 1981. –С.34-35.
8. Зубов Н.Н., Умаров С.З., Бунин С.А. Математические методы и модели в фармацевтической науке. Санкт-Петербург государственный политехнический университет, 2008 г.
УДК 536.25
РАСЧЕТ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ И ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ ВНЕШНИХ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ТЕПЛОВЫХ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ
Дейнеко Лидия Николаевна [email protected]
Студентка магистратуры механико-математического факультета Днепропетровского национального университета им. О.Гончара, Днепропетровск, Украина
Научный руководитель – А.В. Хаминич
На сегодняшний день интенсивность исследований свободной конвекции возрастает, что ведет к расширению понимания как механизмов, так и возможностей использования свободноконвективных течений. Конвективные движения, вызванные тепловыми потоками, являются неотъемлемыми элементами многих природных процессов, наблюдающихся в атмосфере и океанах Земли, а также течений, реализующихся в различных технологических устройствах. Важной проблемой в области гидродинамики, тепло- и массообмена является моделирование переноса тепловой энергии в различных течениях, в том числе с учетом конвективного теплообмена.
Данная работа посвящена именно разработке методики исследования задач о внутренней и внешней свободной конвекции, анализа результатов полученных при численном решении уравнений для выбранной математической модели процесса. При этом необходимо учитывать тесную связь между уравнениями, которые выражают законы сохранения количества движения и энергии. Это является существенным, поскольку конвективный теплообмен имеет место как в потоках со значительными перепадами температур, когда эти уравнения связаны с уравнением состояния, так и в потоках с малыми перепадами температур. Поэтому процессы передачи тепла и движения жидкости неразрывно связаны друг с другом, и нельзя определить один процесс независимо от другого.
В результате проведенной работы были рассмотрены три задачи внешних вертикальных тепловых конвективных течений с различными граничными условиями, на основе выбранных трех математических моделей: для течения, примыкающего к вертикальной изотермической поверхности, свободного теплового факела и пристеночного факела. Уравнения, описывающие процессы переноса в свободно конвективных тепловых течениях в общем случае могут быть описаны с помощью уравнений пограничного слоя, с граничными условиями, которые при определенных моделях течений могут меняться.
Для случая вертикального течения, примыкающего к изотермической поверхности, уравнения пограничного слоя имеют вид [1]:
0
y x u
, (1)
