Полное к(в)п исследование задачи дискретизации решения задачи коши для уравнения теплопроводности с начальными условиями из класса cоболева

(1)

УДК 519.63

ПОЛНОЕ К(В)П ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С НАЧАЛЬНЫМИ

УСЛОВИЯМИ ИЗ КЛАССА CОБОЛЕВА W₂^r

Оразқҧлова Балнур Мамыржанқызы [email protected]

Магистрант, СНС 2-го курса ЕНУ им. Л.Н.Гумилева, Астана, Казахстан Научный руководитель – Н.Ж. Наурызбаев

1. Введение

Задача восстановления по точной и по неточной информации ставится в различных постановках (см., напр., [1-5] и имеющуюся в них библ.). Исходным в каждой из них является следующее определение

 



 



 

,

( ; ) ( ; ; ; ) inf ; ^N, ,

N N N Y N N N Y lN N DN N N N Y

D T F D l

    _    

 

 

 

где

 

^{ }

 

 



⁽¹⁾  ⁽¹⁾ ⁽ ⁾  ⁽ ⁾



( )1 =1,....,

; ^N, sup ,..., ^N ^N ; .

N N N Y f F N N N N N N N Y

N N

l Tf l f l f

 

       





     

Здесь Y есть нормированное пространство числовых функций (илиY C, если оператор Tf числовой ), определенных на множестве _Y, Fкласс функций, оператор Tf действует из F в Y.

 

_N -неотрицательная последовательность, в случае _N 0 речь будет идти о задаче восстановления по точной информации и, в противном случае, по неточной информации.

В соответствии с общим взглядом на данную проблематику «В традиционных областях математическими моделями служат функции, производные, интегралы, дифференциальные уравнения. Для использования компьютеров эти исходные модели надо приближенно заменить такими, которые описываются конечными наборами чисел с указанием конечных последовательностей действий (конечных алгоритмов) для их обработки» (см. [6, стр. 5-6]) в качестве Tf рассматриваются математические модели



 f

Tf модель «Функция», Tf  f^^¹^,...,^^s^ «Производная», 

  





dx x f

Tf «Интеграл»,

 

^

u y f

Tf , «Решения уравнений в частных производных с теми или иными начальными и (или) граничными условиями

f

».

Далее, ^{ }



N⁽¹⁾^,..., N⁽^N⁾



N l l

l  -набор функционалов (не обязательно линейных), заданных на функциональном классе ^F.

Алгоритм переработки информации есть, по определению, функция (N1)-й переменной

N,_N(z₁,...,z_N;):C^N_Y C , которая при всяком фиксированном

( z

₁

,..., z

_N

)  C

^N как функция от () есть элемент нормированного пространства Y , причем _N



0,...,0;



0 (что означает «по нулевой информации - нулевой алгоритм»). Включение _N Y будет означать, что _N удовлетворяет всем перечисленным условиям, через

 

_N _Y обозначим множество, составленное из всех_N Y .

Тем самым, алгоритм переработки информации столь же широк, сколь и понятие функции (см. статью «Функция» Н.Н.Лузина в [7]).

Вычислительные агрегаты

  

^{ } ^{ } N



N N N N

N l l

l⁽ ⁾,



 ¹,..., ;



, определяемые по паре

l

⁽^N⁾ и _N, рассматриваются в двух видах: по точной информации - N



^lN⁽¹⁾⁽^f^),...,^lN⁽^N⁾⁽^f^);^



и по неточной информации –

(2)



( ) ,..., ( ) ;



, ^{ } , 1



=1,....,



, :

)

; ,...,

(z₁ z_N _N l_N⁽¹⁾ f _N⁽¹⁾ _N l_N⁽^N⁾ f _N⁽^N⁾ _N l_N z_j _N _N⁽ ⁾ N

N        

      ^   ^ 

где __N - показатель неточности информации, числовой набор (конечная последовательность)

 

zj ^N_j

1 есть информационный шум (noisy information). Через

 

^{ }

   

^{ } N

 

FY N

N

N l

l ,  , _, обозначим множество, составленное из всех возможных вычислительных агрегатов, состоящих из функционалов (не обязательно линейных) l_N^{ }¹,...,l_N^{ }^N , определенных на функциональном классе F(в случае линейности lна линейной оболочке F ) и алгоритмов

N из Y .

Пусть D_N D_N

 

F _Y  данный набор комплексов

  

^{ } N



N N N N

N l l

l⁽¹⁾,..., ⁽ ⁾;  , .

Записи AB иAB соответственно означают _A__cB и одновременное выполнение AB и BA. В целях сокращения речи будем говорить «Вычислительный агрегат



^l^{ }^N^,^^N



^^D^N

поддерживает оценку снизу NN



^{0; ; ;}T F DN



Y», если выполнены неравенства



 





^0; ^N ^,



N N N

Y

 l   .

При заданных^F^,^Y^,^T^,^D_N(фиксированных всюду по последующему контексту) в рамках приведенных обозначений и определений, проблема оптимального восстановления по неточной информации, оформленная под названием «Компьютерный (вычислительный) поперечник» (в сокращении – К(В)П), заключается, в собирательном смысле, в последовательном решении трех задач:

К(В)П-1: Находится порядок N



^0;DN



Y N



^{0; ; ;}T F DN



Y, –информативная мощность набора вычислительных агрегатовDN DN

 

F Y^;

К(В)П-2: Производится построение вычислительного агрегата



^l^{ }^N ^,^^N



^из ^D^N ^^D^N

 

^F ^Y^,

поддерживающего порядокN0;DN_Y, для которого исследуется задача существования и нахождения последовательности ^^N ^^^N



^D^N^;



^l⁽^N⁾^,^^N

 Y– К(В)П-2 – предельной погрешности (соответствующей вычислительному агрегату l(N),N) такой, что, во-первых,

⁰^;  ^~ ^; ^, ^sup



  1⁽ ⁾^,..., ⁽ ⁾^; ^: ^,   ⁽ ⁾  ¹^,..., 



^,

)

( Tf z f z f f F l f z f N

l

D _N

N Y N

Y N N N Y N

N

N         



 



 



 



    





  _ _

во-вторых,

: ) ,

0

(   ₁ 







_N _N _N_ _N N^lim ^N



^N ^N^;



⁽^N⁾^, ^N

 Y N(0; N Y) =

l D

    

 .

К(В)П-3: Устанавливается массивность предельной погрешности ^^N



^D^N^;



^l⁽^N⁾^,^^N

 

_Y: находится как можно большое множество



N



N N l

D ⁽ ⁾, (обычно связанных со структурой исходного



^l⁽^N⁾^,^^N



⁾ вычислительных агрегатов



^,



⁽1⁽ ^),..., ⁽ ^);⁾ )

(  l f l f 

l ^N _N _N _N , построенных по всевозможным (не обязательно линейным) функционалам l₁,...,l_N, таких, что для каждого из них выполнено соотношение

(0 1, ) :

N N N N

   _ 

       _N^lim_^{  }^N



^N ^N^;



^l^{( )}^N ^,^^N

 

_Y ^^N^(0;^D^{N Y}^{) =}^^.

Сравнительный анализ известных результатов в задаче восстановления с задачей К(В)П проведен в [1].

Данная статья посвящена следующей конкретизации сформулированной общей задачи К(В)П: Tf u



x,t,f



решения задачи Коши для уравнениятеплопроводности:

(3)

xs

u x

u t

u

2 2 2

1 2

... 



 

 



 0t,xR^s, s1,2,... (1)

 

x f

 

x F x R^s

u ,0   ,  (2)

  

0,1 1,2,...; 1



2  

W s r

F ^r ^s класс Соболева состоящего, по определению, множества всех суммируемых 1-периодических по каждой переменной функций f(x) f(x₁,...,x_s), тригонометрические коэффициенты Фурье-Лебега которых удовлетворяют условию

²2_{ }01 ^ˆ ²



¹² ²



¹^, ¹















r m

...

m (m) f f

s

Z m

r s r

, s

Wr (3) где Z^s- множество всех векторов m(m₁,...,m_s) с целочисленными компонентами и



j s



m

m_j max{1; _j} 1,.., .

     

  















 











 







 ^ ^: ⁰^,¹ ⁰^, ^: ^: ²^,^sup_^vrai



^, ²^.²^,

1

1 , 0

2 0

, 2

t l L s

s

dx t x f f

f R f

L

Y ,

функция измерима в смысле Лебега.

Тогда

   



 ^ ^ ^  

 

^{ } ^ ^



  

  

 



 u xt f z z f W^r ^s и f m z

N L Z N

m L m

N N N

N s N

1 ˆ , 0 :

)

; ,..., ( ,

, sup inf

)

;

( ₁ ₂

; ,...,

, 1 2

, 2

  

_{ } _{ }

  



^, ^,

 

^ˆ

 

^{ } ^,..., ^ˆ

 

^{ } ^;



^.

sup inf

1,....,

=

, 2 )

( 2

1

) ( )

1 ( 1

, ....

1,

= 1

1 ,

; 0

,...,     _





 

L N

s N r

s

N N

N N N N

N N

N W Z f

m

N  N m u x t f  f m   f m  











В изучаемом здесь случае задача (1)-(2) имеет явное решение в виде суммы абсолютно сходящегося кратного функционального ряда, который полностью определяется наборами

 

m m Zs

fˆ } _

{ тригонометрических коэффициентов Фурье. Поэтому возникает проблема приближения решения (объекта бесконечного) по конечной числовой информации заданного объема N, полученной от функцииf, математическая формулировка которой содержится в общей задаче восстановления.

Во всех случаях в этой статье восстановление производится по информации, полученной от тригонометрических коэффициентов Фурье с произвольным конечным спектром, с дальнейшей переработкой по произвольным алгоритмам _N:

   

N

s N s

N N

N

N l f f m l f f m m Z m Z

D  = ₁( )= ˆ( ⁽¹⁾),..., ( )= ˆ( ⁽ ⁾): ⁽¹⁾ ,..., ⁽ ⁾   , где ^f

 

^m ^f

 

^x ^e ⁱ^^m^x^^dx

s

, 2 ]

1 , 0 [

ˆ ^



^^ ^{, и} ^^N ^^^N⁽^z¹^,^z²^,...,^z^N^;^x⁾ в случае восстановления функций, )

,

; ,..., ,

(z₁ z₂ z_N x t

N

N 

  в случае дискретизации решений уравнения теплопроводности Полный ответ на эту задачу дают: в К(В)П-1-2 последовательности _{ } ^s^r

N L

N s N

 )2₀_,₁  

;

 (0 и

2 1

~  ^^s^

r

N N

 ,произвольные вычислительные агрегаты вида N



^fˆ

 

^m^{ }¹ ,..., ^fˆ

 

^m^{ }^N ;^x,^t



в К(В)П-3.

2. Основной результат и комментарии к нему. Теорема 1. Пусть даны целое положительное число s



s1,2,...



и неотрицательные числа r такие, что

1 2s

r  . Тогда справедливы следующие утверждения

r

(4)

К(В)П-2: Длячастичной суммы

  

^ ^ ^ ^



 





 



 

s j n m

Z m m m

x m i t m m N

j

s s

e e

m f t

x f S

,..., 1

, ,...,

, 2 , 4

1

) 2

ˆ( ,

; ^ ^ ,

ns

N  величина ²

1

~  ^^s^

r

N N

 является предельной погрешностью:

во-первых,

    _{ }

 

    _s^r

L x m i t m m

s j n m

Z m m m

m

s j n m

Z m m m

N z m f

W L f

N N L N

N

N S f x t u x t f z e e N

j

s s

j

s s

s r N m

s r s

s

 



 



 









 









  

, 2 2

1

2 2 1

2 2

, 2 , 4

,..., 1

, ,...,

,..., 1

, ,..., ˆ ~

) 1 , 0 1 (

, 0 1

,

0 (~ ; , , ) sup , ,

)

;

(0 ^ ^





во-вторых, для всякой возрастающей к положительной последовательности

 

_N ^_N₌₁ имеет место равенство

 

. ) =

; (0

) ,

;

; lim (

, 2

, 2 2

1

  









N L N

N L s r N N N

t x f S N







К(В)П-3: Всякий вычислительный агрегат ^^N



^{f m}^ˆ

 

^{ }¹ ^,...,^{f m}^ˆ

 

^{ }^N ^;^x



, построенный по тригонометрическим коэффициентам Фурье с произвольным спектром из N гармоник, не может иметь предельную погрешность большую (по порядку) предельной погрешности



f ;x,t



:

S_N для всякой возрастающей к

 

положительной последовательности имеет место равенство



⁰^;



⁼ ^.

; lim

, 2

2 1

 











 









N L N

L N s r N N

N







Тем самым, в случае, когда гладкость функций определяется принадлежностью к многомерным классическим пространствам Соболева, а информация снимается с тригонометрических коэффициентов Фурье – одного из основных функционалов, задача дискретизации уравнения в частных производных решена в полном объеме. Именно, выписаны правильные порядки N



0;N



_L2, N^^s^rдискретизации производных в случае, когда используются точные значения функционалов. Величины N



^0;N



Yназываем информативной мощностью данного класса функционалов, в изучаемом здесь случае – тригонометрических коэффициентов Фурье. Найдена величина погрешности вычисления тригонометрических коэффициентов Фурье ²

~  ^^s^1 r

N N

 , сохраняющая порядок погрешности при дискретизации по точной информации, которую можно понимать как идеализированный показатель, но с определяющим ее дополнительным условием: сколь угодно медленное бесконечное увеличение этой погрешности ведет к потере этого порядка. Затем показано, что с лучшей предельной погрешностью вычислительных агрегатов по тригонометрическим коэффициентам Фурье не существует.

Список использованных источников

1. Темиргалиев Н. , Шерниязов К. Е. , Берикханова М. Е. Точные порядки компьютерных (вычислительных) поперечников в задачах восстановления функций и дискретизации решений уравнения Клейна–Гордона по коэффициентам Фурье //

Современные проблемы математики / Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

(5)

(МИАН). – М.: МИАН, 2013. Вып. 17: Математика и информатика. 2, К 75-летию со дня рождения Анатолия Алексеевича Карацубы, С. 179–207.

2. Темиргалиев Н., Абикенова Ш.К., Жубанышева А.Ж., Таугынбаева Г.Е. Задачи дискретизации решений волнового уравнения, численного дифференцирования и восстановления функций в контексте компьютерного (вычислительного) поперечника //

Изв.ВУЗов. Математика, 2013, № 8, С. 86–93.

3. Темиргалиев Н. Компьютерный (вычислительный) поперечник как синтез известного и нового в численном анализе // Вестник ЕНУ им. Л.Н.Гумилева, 2014, №4 (101) часть I, С. 16-33.

4. L. Plaskota. Noisy information and computational complexity, Cambridge University Press, 1996, P. 1-308.

5. Шерниязов К. Приближенное восстановление функций и решений уравнения теплопроводности с функциями распределения начальных температур из классов Е, SW и В, Кандидатская диссертация. Алматы, 1998.

6. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику: Учеб. Пособие. – 2-е изд., исправл. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000, 296 с.

7. Лузин Н.Н. Собрание сочинений: В 3-х т. — М.: Изд-во АН СССР, С. 1953–1959.

УДК. 517.5

ЖАЛПЫЛАНҒАН ЛОРЕНЦ КЕҢІСТІКТЕРІНДЕГІ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ ФУРЬЕ ТҤРЛЕНДІРУЛЕРІ ҤШІН ТЕҢСІЗДІКТЕР

Сабит Баймен [email protected]

Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университеті, Астана Қазақстан Ғылыми жетекшісі – А. Кӛпежанова

Бұл жұмыста _(,R) жалпыланған Лоренц кеңістігіндегі функциялардың нормаларының жоғарғы бағалауы алынған.

Айталық

R x dx e x π f t

f ( ) ^itx , ∈

2

= 1 )

( ^∞

∫

∞

– _f ∈_L₁( )_R функциясының Фурье түрлендіруі.

Айталық 1< p<2, ,

= 1

  p

p p және 0<q, онда келесі теңсіздіктер орынды

) 1 (

) (

ˆ

p R R L

Lp c f

f 



) 2 (

)

( ^,

' ,

ˆ

R R L

L_p_q c f ^p^q

f  (1)

мұндағы L_p_,_q(R) - классикалық Лоренц кеңістігі. Бұл теңсіздіктерді сәйкесінше Хаусдорф- Юнг және Харди-Литтлвуда-Стейн теңсіздіктері деп атайды [1].

[2] жұмыста (қосымша [3] жұмысты караңыз) келесідей нәтиже алынған.

Айталық 1< p<, 0<q. Онда

₂ ₍ ₎

,' ,

ˆ

R N_p_q L^p^q

f c

f  (2) Бұл жердегі N_p_`,_q - торлы кеңістіктер, нормасы