Критерий единственности решения первой задачи Дарбу с отходом от характеристики для вырождающегося многомерного гиперболического уравнения

Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰҮ Хабаршы - Вестник ЕНУ им.Л.Н. Гумилеваґ, 2010, №4

С.А. Алдашев, Р.Б. Сеилханова

Критерий единственности решения первой задачи Дарбу с отходом от характеристики для вырождающегося многомерного гиперболического уравнения

(Актюбинский университет им. С.Баишева, г. Актобе)

B монографии А.В.Бицадзе (1981г) для уравнения колебания струны изучалась задача Дарбу с отходом от харак- теристики, где обращено внимание на изучение таких задач для гиперболических уравнений. Трехмерный аналог этой задачи для волнового уравнения был предложен американским математиком, профессором М.Н.Проттером, в работе которого доказывалась единственность решения задачи. Однако в этой работе была допущена ошибка.

В данной работе получен критерий единственности решения первой задачи Дарбу с отходом от характеристики для вырождающегося многомерного гиперболического уравнения.

B [1], для уравнения колебания струны изучалась задача Дарбу с отходом от характе- ристики, где обращено внимание на изучение таких задач для гиперболических уравнений.

Трехмерный аналог этой задачи для волнового уравнения предложен в [2], где доказывалась единственность решения задачи. Однако в этой работе была допущена ошибка.

В данной работе получен критерий единственности решения первой задачи Дарбу с отходом от характеристики для вырождающегося многомерного гиперболического уравнения.

Пусть Dβ - конечная область евклидова пространства Em+1 точек(x1, ..., xm, t) , ограни- ченная коноидами

β|x|= _2+p² t^(2+p)/2,|x|= 1−_2+p² t^(2+p)/2

и плоскостьюt= 0, где|x|- длина вектораx= (x1, ..., xm), а 0> β=const≤1,p=const >0.

Части этих поверхностей, образующих границу∂D_β области D_β , обозначим через S_β,S¹ и S соответственно.

В областиD_β рассмотрим вырождающееся многомерное гиперболическое уравнение

L_pu≡t^p∆_xu−u_tt, (1)

где∆x - оператор Лапласа по переменнымx1, ..., xm,m≥2.

В качестве многомерного аналога задачи Дарбу с отходом от характеристики для уравне- ния (1) рассмотрим следующую

Задача 1.Найти в области D_β решение уравнения (1) из класса C(D_β)∩C²(D_β), удовлетво- ряющее краевым условиям

u|_S= 0, u|_Sβ= 0. (2)

В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат x₁, ..., x_m, t к сферическим r, θ₁, ..., θm−1,t,r≥0,0≤θ₁ <2π,0≤θ₁ < π,i= 2,3, ..., m−1.

Пусть

Y_n,m^k (θ) - система линейно независимых сферических функций порядка n,1≤k≤ kn,(m−2)!n!kn= (n+m−3)!(2n+m−2),θ= (θ1, ..., θm−1) .

Тогда справедлив следующий критерий

Теорема. Решение задачи 1u(x, t)≡0 ⇔β <1.

Отметим, что эта теорема при p= 0 получена в [3].

Доказательство теоремы. Пусть ⇔ β < 1. В сферических координатах уравнение (1) имеет вид ([4])

t^p(urr+m−1

r ur− 1

r²δu)−utt = 0 (3)

δ=−

m−1

X

i=1

1 g_jsin^m−j−1θ_j

∂

∂θ_j(sin^m−j−1θj

∂

∂θ_j), 136

С.А. Алдашев, Р.Б. Сеилханова

g₁ = 1,g_j = (sinθ₁...sinθj−1)²,j >1.

Так как искомое решение задачи принадлежит классуC(D_β)∩C²(D_β), то его можно искать в виде

u(r, θ, t) =

∞

X

n=0 kn

X

k=1

u^k_n(r, t)Y_n,m^k (θ), (4)

где u^k_n(r, t)- функции, подлежащие определению. Подставляя (4) в (3), используя ортогональ- ность сферических функций Y_n,m^k ([4]), получим

t^pu^k_nrr+m−1

r t^pu^k_nr−u^k_ntt−λ_n

r²t^pu^k_n= 0, λ_n=n(n+m−2), (5) k= 1, kn,n= 0,1, ....

Произведя в (5) замену переменныхu^k_n(r, t) =r^1−m2 u^k_n(r, t)и положив затемr=r,x0= _2+p² t^2+p2 , получим уравнение

L_αu^k_α,n ≡u^k_0,nrr−u^k_α,nx0x0− α x0

u^k_α,nx0 +(m−1)(3−m)−4λ_n

4r² u^k_α,n, (6)

u^k_α,n(r, x₀) =u^k_n[r,(^2+p₂ x₀)^2+p2 ],0< α= _2+p^p <1.

При этом краевое условие (2) запишется в виде

u^k_α,n(r,0) = 0, u^k_α,n(r, βr) = 0, k= 1, k_n, n= 0,1, .... (7) Наряду с уравнением (6), рассмотрим уравнение

L0u0, n^k≡u^k_0,nrr−u0,nx0x0+(m−1)(3−m)−4λn

4r² u^k_0,n. (8)

Как доказано в [5] (см. также [6]), существует следующая функциональная связь между решениями задачи Коши для уравнений (6) и (8).

Утверждение. Если u^k,1_0,n(r, x0) - решение задачи Коши для уравнения (8), удовлетворяющее условию

u^k,1_0,n(r,0) = (1−α)(3−α)...(2q+1−α)^vnk(r) ,_∂x^∂

0u^k,1_0,n(r,0) = 0, то при0< α <1функция

u^k,1_0,n(r, x₀) =γ2−α+2q( 1 x₀

∂

∂x₀)^q[x^1−α+2q₀ Z ₁

0

u^k,1_0,n(r, ξx₀)(1−ξ²)^q−α2 dξ]≡ (9)

≡γ2−α+2q2^q−1Γ(q−α

2 + 1)D

α 2−1

0x²₀ [u^k,1_0,n(r, x0) x₀ ]

является решением уравнения (6) с начальными данными u^k,1_0,n(r,0) = 0, lim

x0→0x^α₀ ∂

∂x₀u^k_α,n=ν_n^k(r) где√

πΓ(^α₂)γ_α= 2Γ(^1+α₂ ),Γ(z) - гамма-функция,D^α_0t- оператор Римана-Лиувилля ([7]), аq ≥0 - наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству 2−α+ 2q≥m−1.

Теперь будем решать задачу (6),(7).

Учитывая формулу (9), а также обратимость оператора ([7]), задача (6),(7) сводится к краевой задаче для (8) с данными

137

Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰҮ Хабаршы - Вестник ЕНУ им.Л.Н. Гумилеваґ, 2010, №4

∂

∂x0u^k,1_0,n(r,0) = 0,u^k,1_0,n(r, βr) = 0, которая имеет нулевое решение ([3]).

Далее, учитывая утверждение, устанавливается, что задача (6),(7) также имеет тривиаль- ное решение.

Таким образом, решение задачи 1u(x, t)≡0.

Первая часть теоремы доказана.

Пусть теперь решение задачи 1 u(x, t)≡0.

Покажем, чтоβ <1. Предположим противное, т.е.β = 1. В этом случае в [8] доказано, что задача 1 имеет бесчисленное множество нетривиальных решений. Это приводит к противоре- чию нашего предположения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. - М.: Наука, 1981.-448 с.

2. Protter М.H. New boundary value problems for the wave equation and equations of mixed type.

//J. Rational Mech and Analysis. 1954.Vol.3, №4. C.435-446.

3. Алдашев С.А. Критерий однозначной разрешимости задачи Дарбу с отходом от характе- ристики для многомерного волнового уравнения. //Известия НАН РК, сер. физ-мат. наук., 2007, №3, C.3-7.

4. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения.- М.: Физ- матгиз, 1962.- 254 с.

5. Алдашев С.А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений.

- Алматы: Гылым, 1994.- 170 с.

6. Терсенов С.А Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. - Новосибирск:

НГУ, 1973.- 143 c.

7. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии.-М.: Высшая школа, 1985.- 301 с.

8. Нуржанов Ш.Т. Задачи Дарбу-Проттера для вырождающихся многомерных гиперболиче- ских уравнений: Дис. канд. физ-мат. наук - Алматы, 2000.- 67с.

С.А.Алдашев, Р.Б.Сеилханова

Азғындалған көп өлшемдi гиперболалық теңдеуге сипаттамадан ауытқыған бiрiншi Дарбу есебiнiң шешiмiнiң жалғыздық критериясы

А.В. Бицадзе монографиясында (1981ж) толқын теңдеуiне сипаттамадан ауытқыған Дарбу есебiн зерттеген және осындай есептердi гиперболалық теңдеулерге қарастыру керектiгiне көңiл аударған. Осы есептiң үш өлшемдiк түрi толқын теңдеуiне американдық математик, профессор М.Н. Проттер (1954 ж) ұсынды. Сол жұмыста есептiң шешiмi жалғыздық теоремасы дәлелдендi, бiрақ ол қате болып шықты.

Жұмыста азғындалған көп өлшемдi гиперболалық теңдеуге сипаттамадан ауытқыған бiрiншi Дарбу есебiнiң шешi- мiнiң жалғыздық критериясы алынған.

C.A. Aldashev, R.B. Seilhanova

Criterion of uniqueness of the decision of the first problem of Darbu with a withdrawal from the characteristic for the degenerating multidimensional hyperbolic equation

A.V.Bitsadze’s monographies (1981г) for the equation of fluctuation of a string the problem of Darbu with a withdrawal from the characteristic where the attention to studying of such problems for the hyperbolic equations is paid was studied.

The three-dimensional analogue of this problem for the wave equation has been offered by the American mathematician, the professor M.N.Protter in which work uniqueness of the decision of a problem was proved. However in this work the error has been admitted.

In the given work the criterion of uniqueness of the decision of the first problem of Darbu with a withdrawal from the characteristic for the degenerating multidimensional hyperbolic equation is received.

Поступила в редакцию 12.03.10 Рекомендована к печати 27.05.10

138