О разрешимости некоторых нелокальных задач для уравнения Лапласа с граничным оператором типа Адамаро-Маршо

Б.Х. Турметов, М.А. Муратбекова

О разрешимости некоторых нелокальных задач для уравнения Лапласа с граничным оператором типа Адамара-Маршо

( Международный казахско-турецкий университет имени Х.А.Ясави, г. Туркестан, Казахстан)

В классе гармонических функций изучаются свойства некоторых интегро-дифференциальных операторов, обобщающих операторы дробного дифференцирования в смысле Адамара и Адамара-Маршо. В качестве применения полученных свойств рассматриваются вопросы разрешимости нелокальных задач для уравнения Лапласа в шаре.

1.Определение и свойства операторов типа Адамара-Маршо

Пусть Ω ={x∈Rⁿ:|x|<1} - единичный шар, n≥2, ∂Ω ={x∈Rⁿ:|x|= 1} - единичная сфера. Пусть далее, u(x) - гармоническая функция в шаре Ω .

Для любых α >0 и µ >0 рассмотрим операторы

J_µ^α[u] (x) = 1 Γ (α)

1

Z

0

|lns|^α−1s^µ−1u(sx)ds, (1)

D_µ^α[u] (x) =







α Γ(1−α)

1

R

0

u(x)−u(sx)

s^1−µ|lns|^α+1ds+µ^αu(x),0< α <1 r_dr^d +µm

D^α−m_µ [u], m−α≤α < m+ 1, m= 1,2, ...,

(2)

где r=|x|, r_dr^d =

n

P

j=1

x_j∂x^∂

j .

При α = 0 положим J_µ⁰[u] (x) = D⁰_µ[u] (x) ≡ u(x). Если µ = 0, то соотношение (2) совпадает с дробным интегралом Адамара порядка α > 0, а (3) совпадает с дробным производным Адамара-Маршо (см. например [1]). Поэтому конструкцию (3) назовем дробным производным типа Адамара-Маршо.

Заметим также, что при целых значениях α = m оператор D_µ^α совпадает с оператором δ^m_µ = r_∂r^∂ +µm

рассмотренный в работе И.И.Баврина [2].

Приведем некоторые свойства операторов D^α_µ и J_µ^α изученных в работе [3].

Лемма 3 Пусть u(x) - гармоническая функция в шаре Ω . Тогда

1) функция D^α_µ[u] (x) также является гармонической в Ω и справедливо равенство D^α_µ[u] (0) =µ^αu(0)

2) функция J_µ^α[u] (x) также является гармонической в Ω.

Лемма 4 Пусть u(x) - гармоническая функция в шаре Ω . Тогда для любого x ∈ Ω справедливы равенства

J_µ^α

D_µ^α[u]

(x) =D^α_µ J_µ^α[u]

(x) =u(x). 2.Нелокальная задача первого типа

Теперь переходим к исследованию нелокальных задач, включающих значения оператора D^α_µ на границе области.

Пусть заданы последовательности чисел δ_k и a_k , k= 1,2, ... удовлетворяющие условиям:

0< δ_k< δ <1,

∞

X

k=1

|a_k|<∞.

Рассмотрим следующую задачу.

Задача 1.Найти функцию u(x)∈C²(Ω)∩C Ω

гармоническую в шаре Ω , для которой функция D^α_µ[u] (x) непрерывна в Ω и удовлетворяет условию

D^α_µ[u] (x)−

∞

X

k=1

a_ku(δ_kx) =f(x), x∈∂Ω. (3) Рассматриваемая задача является обобщением задачи Бицадзе-Самарского [4], на граничные операторы дробного порядка. Аналогичные задачи для эллиптических уравнений второго порядка изучались в работах [5,6,7], а для граничных операторов дробного порядка в смысле Римана-Лиувилля и Капуто в работах [8,9].

Для исследования разрешимости задачи 1 нам необходимо изучить следующую вспомогательную задачу.

Задача А. Найти функцию v(x) , гармоническую в шаре Ω , непрерывную в Ω и удовлетворяющую на сфере ∂Ω равенству

v(x)−

∞

X

k=1

a_kJ_µ^α[v] (δ_kx) =f(x), x∈∂Ω. (4) Отметим, что задача А при α= 0 изучена в работе [5].

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2 Пусть f(x)∈C(∂Ω) и

∞

X

k=1

|a_k| ≤µ^α (5)

Тогда

1) если выполняется условие

∞

X

k=1

ak6=µ^α (6)

то задача А однозначна разрешима.

2) если выполняется условие

∞

X

k=1

a_k≡µ^α, (7)

то для разрешимости задачи А необходимо и достаточно выполнение условия Z

∂Ω

f(y)dSy = 0. (8)

Если решение задачи существует, то оно единственно с точностью до постоянного слагаемого.

Доказательство.Единственность. Пусть v(x) - решение однородной задачи А т.е. f(x) = 0 . Покажем, что при выполнении условии (5) и (6) v(x)≡0 . Обозначим M = max

∂Ω |v(x)|=

|v(x0)|, x0 ∈ ∂Ω . Если v(x) 6= const , то в силу принципа максимума для гармонических функций |v(x)|< M для любого x∈Ω .

Далее, в силу граничного условия (4) и определения оператора J_µ^α в случае f(x) = 0 получаем

M =|

∞

X

k=1

a_kJ_µ^α[v] (δ_kx)| ≤

∞

X

k=1

|a_k| Γ (α)

1

Z

0

|lns|^α−1s^µ−1|v(sδ_kx₀)|ds.

По условию задачи 0 < δk < δ < 1. Тогда для всех k = 1,2, ... имеет место включение δ_kx0∈Ω. Так как s∈[0,1], то точки sδ_kx0 также являются внутренними точками Ω.

Поэтому для всех sδ_kx₀, k = 1,2, ... выполняется неравенства |v(sδ_kx₀)| < M и следовательно,

M ≤

∞

X

k=1

a_k

J_µ^α[v] (δ_kx₀) < M

∞

X

k=1

|a_k| 1 Γ (α)

1

Z

0

|lns|^α−1s^µ−1ds.

Так как

M < 1 Γ (α)

1

Z

0

|lns|^α−1s^µ−1dS=µ^−α,

то M < M ·µ^−α

∞

P

k=1

|a_k|.

Если, теперь

∞

P

k=1

|a_k| ≤µ^α , то получаем противоречие M < M.

Значит, если выполняется условие (5), то необходимо, чтобы v(x) =C≡const.

Подставляя в этом случае v(x) = C в условие (4), с учетом равенства J_µ^α[C] = C·µ^−α, имеем C−

∞

P

k=1

ak·C·µ^−α = 0.

Отсюда либо C= 0, либо

∞

P

k=1

a_k≡µ^α.

Таким образом, при выполнении условие (6), получаем v(x) ≡ 0. А если выполняется условие (7), то произвольная постоянная будет решением однородной задачи А

Теорема единственности доказана.

Существование. Обозначим g(x) = v(x)|_∂Ω - след неизвестной функции v(x) в ∂Ω.

Решение задачи А будем искать в виде интеграла Пуассона v(x) =

Z

∂Ω

P(x, y)g(y)dS_y, (9)

где P(x, y) = _ω¹

n

1−|x|²

|x−y|ⁿ - ядро Пуассона задачи Дирихле.

Подставляя (9) в граничное условие задачи А, относительно функции g(x) получаем интегральное уравнение

g(x)−

∞

X

k=1

a_k Z

∂Ω

P_α(δ_kx, y)g(y)dS_y =f(x), x∈∂Ω, (10)

где Pα(δkx, y) = _Γ(α)¹

1

R

0

s^µ−1|lns|^α−1P(sδkx, y)ds.

Обозначим

K(x, y) =−

∞

X

k=1

a_kP_α(δ_kx, y), x, y∈∂Ω.

Тогда, уравнение (10) представляется в виде

g(x) + Z

∂Ω

K(x, y)g(y)dSy =f(x), x∈∂Ω (11)

Если x, y∈∂Ω, то |sδ_kx−y|² =|sδ_kx−y|².

Значит, ядро K(x, y) является симметричным. Далее, в силу оценки

|sδ_kx−y|=|y−sδ_kx| ≥1−sδ_k|x| ≥1−δ_k≥1−δ >0

следует, что P(sδkx, y)− непрерывная функция в ∂Ω× ∂Ω. Из сходимости ряда

∞

P

k=1

|a_k| получаем равномерную сходимость ряда

∞

P

k=1

|a_k|P_α(δ_kx, y). Тогда K(x, y) непрерывная функция в ∂Ω×∂Ω.

Следовательно, к интегральному уравнению (11) применима альтернатива Фредгольма и отсюда легко вытекает утверждение теоремы.

Теорема доказана.

Теперь сформулируем основное утверждение относительно задачи 1.

Теорема 3 Пусть f(x)∈C(∂Ω) и выполняется условие (5). Тогда 1) если выполняется условие (6), то задача 1 однозначно разрешима.

2) если выполняется условие (7), то для разрешимости задачи 1 необходимо и достаточно выполнение условия (8), причем решение задачи единственно с точностью до постоянного слагаемого. Если решение задачи 1 существует, то оно представляется в виде

u(x) =J_µ^α[v] (x), где v(x) - решение задачи А.

Доказательство.Пусть u(x) является решением задачи 1. Применим к функции u(x) оператор D^α_µ и обозначим v(x) = D^α_µ[u] (x) . В силу леммы 1 функция v(x) является гармонической в Ω . Далее, в силу утверждение леммы 2 для любого x ∈ Ω справедливо равенство u(x) =J_µ^α

D^α_µ[u]

(x) . Тогда

u(δkx) = 1 Γ (α)

1

Z

0

|lns|^α−1s^µ−1D_µ^α[u] (sδkx)dS= 1 Γ (α)

1

Z

0

|lns|^α−1s^µ−1v(sδkx)dS=J_µ^α[v] (δkx)

Отсюда

v(x)−

∞

X

k=1

a_kJ_µ^α[v] (δ_kx) =D_µ^α[u] (x)−

∞

X

k=1

a_ku(δ_kx) =f(x), x∈∂Ω

Таким образом, если u(x) - решение задачи 1, то функция v(x) = D_µ^α[u] (x) является решением задачи А.

Пусть выполняется условия (5) и (6). Тогда по теореме 1 для любого f(x)∈C(∂Ω) решение задачи А существует, единственно и v(x)∈C Ω

.

Если применим оператор J_µ^α к равенству v(x) = D_µ^α[u] (x) , то в силу первого равенства леммы 2 для любого x∈Ω получим

J_µ^α[v] (x) =J_µ^α

D^α_µ[u]

(x) =u(x).

Гармоничность данной функций следует из второго утверждения леммы 1, а выполнение граничного условия (3) проверяется непосредственно

D^α_µ[u] (x)−

∞

X

k=1

a_ku(δ_kx) =v(x)−

∞

X

k=1

a_kJ_µ^α[v] (δ_kx) =f(x), x∈∂Ω Первая часть теоремы доказана.

Пусть теперь выполняется условие (7). Тогда из соотношения D^α_µ[u] (0) = µ^αu(0) для функции w(x) =D_µ^α[u] (x)−

∞

P

k=1

a_ku(δ_kx) получаем w(0) =D_µ^α[u] (0)−

∞

X

k=1

aku(0) =µ^αu(0)−

∞

X

k=1

aku(0) =u(0)

"

µ^α−

∞

X

k=1

ak

#

= 0.

Очевидно, что w(x) является решением задачи Дирихле:

∆w(x) = 0, x∈Ω, w(x)|_∂Ω =f.

Представляя функцию w(x) в виде интеграла Пуассона w(x) = R

∂Ω

P(x, y)f(y)dS_y имеем

0 =w(0) = 1 ωn

Z

∂Ω

f(y)dS_y

т.е. необходимо выполнения условия (8).

Покажем, что условие (8) является и достаточным для существования решения задачи 1 при выполнений условий (5) и (7).

По теоремы 1 при выполнении условий (5), (7) и (8) решение задачи А существует, единственно с точностью до постоянного слагаемого и v(x)∈C Ω

.

Тогда функция u(x) = C+J_µ^α[v] (x) удовлетворяет всем условиям теоремы.

Действительно, гармоничность данной функции следует из второго утверждения леммы 1.

Проверим выполнения граничного условия:

D_µ^α[u] (x)−

∞

X

k=1

aku(δkx) =D^α_µ

C+J_µ^α[v]

−

∞

X

k=1

ak

C+J_µ^α[v]

=Cµ^α+v(x)−

−C

∞

X

k=1

a_k−

∞

X

k=1

a_kJ_µ^α[v] =C

"

µ^α−

∞

X

k=1

a_k

#

−

"

v−

∞

X

k=1

a_kJ_µ^α[v]

#

=f(x), x∈∂Ω.

Теорема доказана.

3.Нелокальная задача второго типа

В этом пункте рассмотрим случай когда 0< δ_k<1, δ_k→1 при k→ ∞ . Задача 2. Пусть 0 < δk < 1, k = 1,2, ..., δk → 1 при k → ∞,

∞

P

k=1

|a_k| < ∞. Найти функцию u(x) ∈C²(Ω)∩C Ω

гармоническую в шаре Ω, для которой D^α_µ[u] (x)∈C Ω и удовлетворяет условию (3).

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 4 Пусть f(x)∈C(∂Ω) и

∞

X

k=1

|a_k|

(1−δ_k)ⁿ⁻¹ <∞ (12)

Тогда

1) если выполняются условия

∞

X

k=1

|a_k|< µ^α,

∞

X

k=1

a_k6=µ^α,

то задача 2 однозначно разрешима.

2) если выполняются условия

∞

X

k=1

|a_k| ≤µ^α,

∞

X

k=1

a_k≡µ^α,

то для разрешимости задачи 2 необходимо и достаточно выполнения условия (8), причем решение задачи единственно с точностью до постоянного слагаемого.

Если решение задачи 2 существует, то оно представляется в виде u(x) =J_µ^α[v] (x), где v(x) - решение задачи А.

Доказательство теоремы 3. Доказательство единственности решения проводится почти дословным повторением случая теоремы 2. Для доказательства существования решения как и в случае первой задачи 1 она сводится к задаче А. В этом случае ядро интегрального уравнения (11) может быть разрывным. Но в силу условия (12) K(x, y) - ядро интегрального уравнения (12) будет ограниченным. Поэтому и в этом случае к интегральному уравнению можно применить теорию Фредгольма.

Работа выполнена при финансовой поддержке МОН РК (грант №0713/ГФ ) программы фундаментальных исследований .

ЛИТЕРАТУРА

1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения . Минск . Наука и Техника. 1987. -688с

2. Баврин И.И.Операторы для гармонических функций и их приложения.

//Дифференциальные уравнения. 1985. т.21.№1.С.9-15.

3. Турметов Б.Х., Муратбекова М.А. О разрешимости одной краевой задачи с граничным оператором дробного порядка. //Математический журнал. 2012 , Т. 12, №1 (43). С. 71-82.

4. Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических задач. //Доклады АН СССР. 1969. т.185. №4. С.739-740.

5. Пулатов А.К. Об одной задаче Бицадзе-Самарского. //Дифференциальные уравнения . Минск 1989. т.25. №3. С.537-540.

6. Скубачевский А.Л. Неклассические краевые задачи. Часть I. Современная математика.

//Фундаментальные направления. Москва, 2007. Т.26.С.3-123.

7. Турметов Б.Х., Муратбекова М.А. О разрешимости одной нелокальной задачи c граничным оператором высокого порядка. // Вестник КарГУ 2011. №4. С. 80-85

8. Карачик В.В., Турметов Б.Х., Торебек Б.Т. О некоторых интегро-дифференциальных операторах в классе гармонических функций и их применении. // Математические труды, 2011.Т.14. №1. C.99-125.

9.Турметов Б.Х.Торебек Б.Т О разрешимости некоторых задач для уравнения Лапласа.//

Математический журнал, 2010.Том 10,№1(35). С.93-103.

Б.Х.Турметов, М.А.Муратбекова

Лаплас теңдеуi үшiн Адамар-Маршо түрiндегi шекаралық операторлы кейбiр бейлокал есептердiң шешiлiмдiлiгi туралы

Гармониялық функциялар класында Адамар және Адамар-Маршо мағынасындағы бөлшек реттi дифференциалдау операторларының жалпыламасы болатын кейбiр интегро-дифференциальнық операторлардың қасиеттерi зерттелiдi.

Алынған қасиеттерiң қолданылуы ретiнде Лаплас теңдеуi үшiн шарда бейлокал есептердiң шешiлiмдiлiгi мәселесi қарастырылады.

Turmetov B.Kh., Muratbekova M.A.

On solvability of some nonlocal problems for Laplace operator with boundary type Hadamard-Marshaud In the harmonic function class, we study the properties of some integro-differential operators generalization of fractional operators differentiation as the sense of Hadamard and Hadamard-Marshaud. Using applications of the properties, there are considered the solvability of nonlocal problems for the Laplace equation in a ball.

Поступила в редакцию 12.09.12 Рекомендована к печати 30.10.12