Об одной начально-краевой задаче для дифференциального уравнения дробного порядка с отклоняющимся аргументом

Б.Т. Торебек, Б.Х. Турметов

Об одной начально-краевой задаче для дифференциального уравнения дробного порядка с отклоняющимся аргументом

(Международный казахско-турецкий университет имени Х.А.Ясави, г.Туркестан, Казахстан)

В настоящей статье исследуется вопросы разрешимости одной начально-краевой задачи для дифференциального уравнения дробного порядка с отклоняющимся аргументом в прямоугольнике. Рассматриваемое уравнение обобщает известную уравнению теплопроводности. Спектральным методом доказывается теорема о единственности и существований исследуемой задачи.

Введение

Для произвольного положительного α оператором дробного интегрирования в смысле Римана-Лиувилля порядка α называется выражение [1]

I^α[u](t) = 1 Γ(α)

t

Z

0

(t−τ)^α−1u(τ)dτ, t >0

заданное на функциях u, определенных в интервале (0, `), ` < ∞. Так как I^α[u](t) → u(t) почти всюду при α→0, то по определению полагают I⁰[u](t) =u(t).

Оператор дробного дифференцирования естественным образом определяется как произведение оператора дробного интегрирования и оператора дифференцирования целого порядка. При этом в зависимости от последовательности умножения операторов изменяются их свойства. Наиболее известным оператором дробного дифференцирования является оператор Римана-Лиувилля [1]

RLD^α[u](t) = d

dtI^1−α[u](t), 0< α <1.

При другом порядке умножения получаем оператор дробного дифференцирования в смысле Капуто [1]

CD^α[u](t) =I^1−α d

dtu

(t), 0< α <1.

Пусть 0≤β ≤1,0< α≤1. Оператор

D^α,β[u](t) =I^β(1−α)d

dtI^{(1−β)(1−α)}[u](t)

называется оператором дробного дифференцирования порядка α и типа β (см.[2]). Этот оператор является непрерывной интерполяцией по параметру β ∈ [0,1] операторов Римана- Лиувилля D^α,0[u](t) =_RLD^α[u](t) и Капуто D^α,1[u](t) =_CD^α[u](t).

В дальнейшем D_t^α,β будет означать, что оператор D^α,β действует по переменной t.

В области Ω ={(x, t) :−π < x < π,0< t < T} рассмотрим уравнение

D^α,β_t u(x, t) =uxx(x, t)−εuxx(−x, t) (1) где 0 < α < 1, |ε| ≤ 1. Так как D_t^1,β = _∂t^∂, то при α = 1, ε = 0 уравнение (2) совпадает с классическим уравнением теплопроводности u_t−u_xx = 0. Известно, что уравнение теплопроводности также описывает процесс диффузии. Поэтому выражению (2) при ε= 0 с дробными производными по временной переменной называют уравнением субдиффузии и оно описывает медленную диффузию.

Постановка задачи

Обозначим δ = (1 − β)(1− α). Регулярным решением уравнения (2) будем называть функцию из класса гладкости u(x, t) ∈ C_x,t^2,0(Ω), D^α,βu(x, t) ∈ C_x,t^0,0(Ω), u(x, t) ∈

C_x,t^1,0 Ω∩(t >0)

, t^δu(x, t) ∈ C_x,t^0,0(Ω). Последнее обусловлено особенностями при t → 0, возникающими у решений уравнений с дробными производными.

В области Ω рассмотрим следующую задачу.

Задача D.Найти решение уравнения (2), удовлетворяющее начальному условию

t→0limt^δu(x, t) =ϕ(x), −π ≤x≤π (2) и краевым условиям

u(−π, t) = 0, u(π, t) = 0,0≤t≤T (3)

Краевые условия (3) называют условиями Дирихле. Поэтому задачу D можно называть задачой Дирихле.

Отметим, что аналогичные задачи при ε= 0 рассматривалась в работе [4], а для уравнения с дробной производной Капуто и Римана-Лиувилля при ε= 0 в работах [5,6]. Заметим также, что задача D при α= 1 изучалась в работе [7].

Решение задачи D будем искать в виде

u(x, t) =X(x)·T(t). (4)

Подставля (4) в уравнение (2) и краевому условию (3) для функции X(x) получаем следующую задачу

X⁰⁰(x)−εX⁰⁰(−x) +λX(x) = 0,

X(−π) =X(π) = 0. (5)

Задача (5) имеет две серии собственных значений (см.[7]) λ⁽¹⁾_k = (1 +ε)k², k= 1,2, ...

λ⁽²⁾_k = (1−ε) (k+1

2)², k= 0,1, ....

Собственные функции задачи (5) имеют вид

X_k⁽¹⁾ = sinkx, k= 1,2, ..., X_k⁽²⁾= cos

k+1

2

x, k= 0,1, ....

Действительно. Пусть

u(x) = X(x) +X(−x)

2 , v(x) = X(x)−X(−x)

2 .

Тогда X(x) =u(x) +v(x). Нетрудно показать, что u(−x) = X(−x) +X(x)

2 =u(x), v(−x) = X(−x)−X(x)

2 =−v(x). Отсюда

u⁰⁰(x) = X⁰⁰(x) +X⁰⁰(−x)

2 , v⁰⁰(x) = X⁰⁰(x)−X⁰⁰(−x) 2

u⁰⁰(−x) = X⁰⁰(x) +X⁰⁰(−x)

2 =u⁰⁰(x), v⁰⁰(−x) = X⁰⁰(x)−X⁰⁰(−x)

2 =−v⁰⁰(x).

Подставляя последние вычисления в (5), для функции u(x) и v(x) получим следующие задачи

(1−ε)u⁰⁰(x) +λu(x) = 0,

u(−π) =u(π) = 0. (6)

и

(1 +ε)v⁰⁰(x) +λv(x) = 0,

v(−π) =v(π) = 0. (7)

Задачи (6) и (7) являются простейшими задачами Штурма-Лиувилля, и их решения соответственно имеют вид

u(x) =A_kcos

k+1 2

x, k= 0,∞, v(x) =B_ksinkx, k= 1,∞.

где - A_k и B_k произвольные постоянные.

Исследование задачи D

Для исследование задачи D приведем некоторые известные утверждения доказанные в работе [7].

Лемма 1 Система функций

{sinkx}^∞_k=1,

cos

k+ 1 2

x

∞ k=0

(8) ортогональна и полна в L₂[−π, π].

Лемма 2 Если функция ϕ(x) ∈ C[−π, π], ϕ(−π) = 0, ϕ(π) = 0, ее производная ϕ⁰(x) существует и непрерывна всюду на [−π, π], за исключением конечного числа точек, в каждой из которых существуют конечные левая и правая производные, то тригонометрический ряд по системе функций (8) функции ϕ(x) сходится абсолютно на [−π, π] в раномерной метрике.

Основным результатом работы является следующее утверждение.

Теорема 1 Пусть ϕ(x) удовлетворяет условиям леммы 2. Тогда решение задачи D существует, единственно и представляется в виде ряда

u(x, t) = Γ(1−δ) t^δ

"_∞ X

k=1

a_kEα,1−δ −(1 +ε)k²t^α

sinkx+

+

∞

X

k=0

b_kE_α,1−δ

−(1−ε) (k+1 2)²t^α

cos (k+ 0.5)x

#

(9) где коэффициенты a_k и b_k определяются равенствами











ak= _π¹

π

R

−π

ϕ(x) sinkxdx, k= 1,∞ bk= _π¹

π

R

−π

ϕ(x) cos k+¹₂

xdx, k= 0,∞

, (10)

а функция E_α,β(z) =

∞

P

i=0 zⁱ

Γ(αi+β) , функция типа Миттаг-Леффлера [1].

Доказательство Пусть u(x, t) - решение задачи D. Тогда любое регулярное решение задачи D (из класса t^δu∈C_x,t^0,0(Ω) ) может быть при всех t представлено в виде ряда

u(x, t) =

∞

X

k=1

uk(t)X_k⁽¹⁾(x) +

∞

X

k=0

vk(t)X_k⁽²⁾ (11)

Используя утверждение леммы 2 представим функцию ϕ(x) в виде равномерно и абсолютно сходящегося ряда

ϕ(x) =

∞

X

k=1

akX_k⁽¹⁾(x) +

∞

X

k=0

bkX_k⁽²⁾(x), (12)

где ak и bk коэффициенты (10), причем

∞

P

k=1

|a_k|<∞,

∞

P

k=0

|b_k|<∞.

Рассмотрим функции

u_k(t) =

π

Z

−π

u(x, t) sinkxdx, k= 1,2, ..., (13) и

v_k(t) =

π

Z

−π

u(x, t) cos

k+1 2

xdx, k= 0,1, .... (14)

Применяя оператор D^α,β к функциям u_k(t) , v_k(t) и учитывая уравнение (2) получим D^α,β[u_k] (t) =

π

Z

−π

D_t^α,β[u] (x, t) sinkxdx=

π

Z

−π

(u_xx(x, t)−εu_xx(−x, t)) sinkxdx=

=−(1 +ε)k²

π

Z

−π

u(x, t) sinkxdx=−(1 +ε)k²u_k(t),

limt→0t^δuk(t) = lim

t→0t^δ

π

Z

−π

u(x, t) sinkxdx=

π

Z

−π

ϕ(x) sinkxdx=ak,

D^α,β[v_k] (t) =

π

Z

−π

D_t^α,β[u] (x, t) cos

k+1 2

xdx=

=

π

Z

−π

(u_xx(x, t)−εu_xx(−x, t)) cos

k+1 2

xdx=

=−(1−ε)

k+ 1 2

2 π

Z

−π

u(x, t) cos

k+1 2

xdx=−(1−ε) (k+1

2)²vk(t),

limt→0t^δv_k(t) = lim

t→0t^δ Zπ

−π

u(x, t) cos

k+1 2

xdx=

Zπ

−π

ϕ(x) cos

k+ 1 2

xdx=b_k. Тогда для неизвестных функций u_k(t) и v_k(t) получаем следующие задачи

( D^α,βuk(t) + (1 +ε)k²uk(t) = 0,0< t < T,

t→0limt^δu_k(t) =a_k, k= 1,2, ... . (15)

и (

D^α,βvk(t) + (1−ε) (k+¹₂)²vk(t) = 0,0< t < T,

limt→0t^δv_k(t) =b_k, k= 0,1, ... . (16) Известно (см.[?]), что решение задач (15) и (16) существуют, единственны и могут быть выписаны в явном виде

u_k(t) = ^a_tδ^kΓ(1−δ)Eα,1−δ −(1 +ε)k²t^α

v_k(t) = ^b_t^k_δΓ(1−δ)Eα,1−δ −(1−ε) (k+¹₂)²t^α (17) Подставляя u_k(t) и v_k(t) в (11), находим решение задачи D в виде (9).

Если в условий (2) предположим, что ϕ(x) = 0, то u_k(t)≡0, v_k(t)≡0. Значит, u(x, t)≡ 0. Отсюда вытекает единственность решение задачи D.

Известно (см.[?],стр.13), что при больших значениях |z|, argz =π для функции E_α,β(z) справедлива асимптотическая оценка

E_α,β(z) =O 1

|z|

. Поэтому для любого t≥t0 >0 имеет место

Eα,1−δ(−λ⁽¹⁾_k t^α) ≤ C

k²,

Eα,1−δ(−λ⁽²⁾_k t^α)

≤ C (k+¹₂)².

Следовательно, для функции (17) при всех t≥t₀ >0 получаем оценки

|u_k(t)|=

a_k

t^δΓ(1−δ)Eα,1−δ −(1 +ε)k²t^α ≤

a_k t^δ

Γ(1−δ)C k² ≤ C

k² |a_k|<∞, и

|v_k(t)|=

b_k

t^δΓ(1−δ)Eα,1−δ

−(1−ε) (k+1 2)²t^α

≤

≤

b_k t^δ

Γ(1−δ) C

(k+¹₂)² ≤ C

(k+ ¹₂)² |b_k|<∞.

Тогда для функций (9) справедливо оценка

|u(x, t)|=C

∞

X

k=1

|a_k| k² +C

∞

X

k=0

|b_k|

(k+¹₂)² <∞.

То есть в области Ω ряд (9), представляющий функцию u(x, t), сходится абсолютно и равномерно, и его сумма представляет собой непрерывную функцию в области Ω.

Далее, так как в области Ω справедливо

t^δu(x, t) =C

∞

X

k=1

|a_k|+C

∞

X

k=0

|b_k|<∞, то t^δ·u(x, t)∈C Ω

.

Аналогично при t≥t0 >0, 0≤x≤1 доказываются оценки

D_t^α,βu(x, t) ≤C

∞

X

k=1

|a_k|+C

∞

X

k=0

|b_k|<∞,

|u_xx(x, t)| ≤C

∞

X

k=1

|a_k|+C

∞

X

k=0

|b_k|<∞.

Таким образом, D^α,βu(x, t) ∈ C(Ω), uxx(x, t) ∈ C(Ω), u ∈ C_x,t^1,0 Ω∩(t >0)

. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск. Наука и Техника. 1987. -688с

2. R.Hilfer, Y.Luchko, Z.Tomovski. Operational method for the solution of fractional differen- tial equations with generalized Riemann-Liouville fractional derivatives. //Fractional Calculus and Applied Analysis.V.12, №3 (2009). P.299-318.

3. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск. Издательство "Артишок". 2008.

-512с.

4. Турметов Б.Х., Шиналиев К.М. О разрешимости некоторых начально-краевых задач для обобщенного уравнения теплопроводности. //Вестник ЕНУ. Серия естественно-технических наук. №6(85). С.8-16.

5. Турметов Б.Х., Кадиркулов Б.Д. Об одном обобщении уравнении теплопроводности.

//Узбекский математический журнал. Ташкент. "Фан". 2006, №3. С.40-45.

6. Нахушева З.А. Видоизмененная задача Самарского для нелокального диффузионного уравнения. //Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук.1997.т.2. №2.- C.36-41.

7. Линьков А.В. Обоснование метода Фурье для краевых задач с инволютным отклонением.

//Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 1999. Т.12. №2. С.60-66.

8. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.:Наука, 2005.-199с.

Төребек Б.Т., Тұрметов Б.Қ.

Ауытқып кеткен дәлелдерi бар бөлшектi реттiң дифференциалды теңдеуi үшiн бiр бастапқы - өлкелiгi есеп туралы

Бұл жұмыста тiктөртбұрышта берiлген ауытқулы аргументтi бөлшек реттi дифференциалдық теңдеу үшiн бiр бастапқы-шеттiк есептiң шешiлiмдiлiгi мәселелерi зерттеледi. Қарастырылатын теңдеу белгiлi жылу таралу теңдеуiн жалпылайды. Зерттелiнетiн есептiң шешiмiнiң жалғыздығы мен бар болуы теорема спектралды әдiс арқылы дәлелденедi.

Torebek B.T., Turmetov B.Kh.

An initial-value problem for the fractional order differential equation with deviating argument

In this paper we study the solvability of an initial-value problem for the fractional order differential equation with deviating arguments in the rectangle. This equation generalizes the famous heat equation. Theorem on the existence and uniqueness of the problem is proved by spectral methods.

Поступила в редакцию 12.09.12 Рекомендована к печати 30.10.12