180
ТУСУПОВА С. А.
ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ СПЕКТРОВ ЧАСТОТ, КОЛЕБАНИЙ ОТСЕКОВ ОТ ПРОИЗВОЛЬНЫХ НАГРУЗОК
В работе решается задача расчета тонкой цилиндрической сетчатой оболочки под действием произвольных нагрузок.
Проблема сводится к необходимости построения ее функции динамической податливости. Решение получено для случая, когда известны шесть ее основных элементов, представляющих собой функции динамической податливости от раздельного действия на оболочку единичных усилий: нормального, осевого и окружного, а также крутящих и изгибающих моментов.
Проблема расчета тонкой цилиндрической сетчатой оболочки под действием произвольных нагрузок сводится к необходимости построения ее функции динамической податливости. Нужно отметить, что матрица функции динамической податливости сетчатой цилиндрической оболочки в целом может быть определена в том случае, если известны шесть ее основных элементов, представляющих собой функции динамической податливости от раздельного действия на оболочку единичных усилий: нормального, осевого и окружного, а также крутящих и изгибающих моментов.
Выберем систему координат, связанную со срединной поверхностью оболочки таким образом, чтобы ось
совпадала с ее образующей, ось
была перпендикулярно срединной поверхности оболочки, а ось
совпадала с направлением касательной к линии направляющего круга.Теперь, определим функции динамической податливости оболочки (в дальнейшем – «функция») от каждой единичной гармонической силы в отдельности.
Для функции, представляющей собой перемещение точки срединной поверхности оболочки под действием единичной силы, введем обозначение Gij
( ,
s,
2)
. Первый индекс указывает на направление смещения в декартовой системе координат, а второй – направление силы, линию действия которой во всех случаях будем считать совпадающей с одной из осей
,
,
. Таким образом, наша задача сводится к определению функций:
) , , (
) , , (
) , , (
2 2 2
s G
s G
s G
) , , (
) , , (
) , , (
2 2 2
s G
s G
s G
(1)
Функцию оболочки Gij
( ,
s,
2)
можно представить в виде суммы амплитудных перемещений стержней.Определение частот колебаний сетчатых оболочек с учетом осевых составляющих усилий.
Пусть оболочка нагружена единичной гармонической силой по направлению оси
.Компоненты функций динамической податливости цилиндрической сетчатой оболочки, относительно системы криволинейных координат
,
,
, определяются следующими выражениями:Для i-го стержня:
1 2 66 1
1 1 22 1
11 1
2 11 1 1 2 22 1
1 1 22
1 11 1
1 22
1 2 11 1
cos
cos 2 2 sin 2 1
2 sin sin 1
cos cos
cos 2 2 sin 2 1
2 sin cos 1
2 2 sin cos 1
v G
v v
v v
G
v v
v v
G
i i i
(2)
Для j-го стержня:
1 2 66 1
1 1 22
1 11 1
2 11 1 1 2 22 1
1 1 22
1 11 1
1 22
1 11 1
cos
cos 2 2 sin sin 1
2 sin 1
cos cos
cos 2 2 sin 2 1
2 sin cos 1
2 2 sin cos 1
v G
v v
v v
G
v v
v v
G
j j j
(2.а)
181 Из условий совместности деформации
j
i G
G1 1, Gi1
Gj1, Gi1
Gj1 (3)Основными элементами матрицами функции динамической податливости стержней будут амплитудные значения полученных перемещений для цилиндрических сетчатых оболочек имеем [1]:
; cos sin )
, , (
cos sin
) , , ( cos
sin )
, , (
cos sin )
, , ( sin
) , , (
cos )
, , ( cos
cos )
, , (
cos sin
] sin cos
)[
, , (
cos cos )
, , (
sin ] sin cos
)[
, , (
cos cos
cos )
, , (
cos sin
] cos sin
)[
, , (
cos ] sin cos
)[
, , ( cos
) , , (
1 1 k
1
6 2 n 22
1 1 k
1
2 2 n 22 1
1 k
1
1 2 n 22
1 1 k
1
6 2 n 11 1
k 1
2 2 n 11
1 k 2
1
1 2 n 11 1
2 1 k
1
6 2 n 22
1 1 k
1
1 1
1 2
2 n 22
1 2 1 k
1
6 2 n 22
1 k
1
1 2
1 1
2 n 11
1 1 2 1 k
1
6 2 n 22
1 1 k
1
1 2
1 1
2 n 22
1 k 2
1
1 2
1 1
2 n 11 1
2 2 n 11
2 R 1 s
v
2 2 R 1 s
v 2 2
R 1 s
v
2 R 1 s
v 2 2
R 1 s
v
R s
2 v R 1 s
v
2 2 2 1 R 2 R s
v
2 R 1 s
v
2 2 2 1 R 2 R s
v
2 R 1 s
s v
2 2 2 1 R
2 R s
v
2 R 2 R s
v s
v
(4)
k
n k
n
k
n k
m
n
R s
s v R
s s v
R s
s v R
s s v
1
2 1 6 2 22
2
1
2 1 6
2 22
2
1
2 1 6 2 22
2
1
2 1 6
2 22
2
cos sin ) , , ( cos
cos )
, , (
cos sin ) , , ( cos
cos )
, , (
Подстановка элементов матрицы Гij и перемещений [1] в (4) приводит к системе уравнений относительно R1
,
R2,
R6.182
; sin cos cos
sin ) (
sin cos sin
sin ) ( cos
sin cos
*
* cos
sin ) ( sin
cos cos
sin ) (
sin cos sin
sin ) ( cos
sin sin
) (
cos cos cos
cos sin
) (
cos sin
] sin cos
[ sin sin
) (
sin cos ] sin cos
[ sin sin
) (
cos cos
cos sin
) (
sin cos ] cos sin
[ sin sin
) (
cos ] sin cos
[ sin sin
) ( cos
) , , (
1 1 6
k 1p 1
n 2
m
1 1
k 1
2 1
p
n 2
m 1
1 1
1 k m
1n 1
n 2
m 1
1 6
k m 1p 1
2 m
1 1 k
1
2 1
p
m n
1 m 1
k 2 1
1 1
n
n 1
m
1 2 1 6
1 k m
1n 1 2 m
1 1 1
1 1 2
k m 1n 1
n 2
m
1 1 1 2
1 1
k 1n 1
n 2
m
1 1 k 2
1
6 1
n
n 1
m
1 1 1
2 1 1
k m 1n 1
m 1
m
1 2 1 m 2 1 1
k 1n 1
m 1
m 1
2 2 n 11
2 R 1 l ps l
a p l
n
2 2 R 1 l ps l
a p
l R ns l
a n l R
ps l
a p l
n
l R ps l
a p l R
ns l
a n
2 R 1 l
n l
a n l
n
2 2 2 1 R 2 l R
ns l
a n l
n
2 R 2 l R
ns l
a n
2 R 1 l ns l
a n l
n
2 2 2 1 R 2 l R
ns l
a n
2 R
2 l R
ns l
a n s
v
1 1 6 k
1
n 1
m 2 m 1
1 2
1 1
k 1
n 1
m 2 m 1
2 1 6 k
1
n 1
m 2 m
1 2 1 2
1 1
k 1
n 1
m 2 m
1 2 1 6
k 1
n 1
m 2 m 1
1 2
1 1
1 2
k 1
n 1
m 2 m 1
1 2 2 n 22
l R m s l
a m l
2 m 2 2 1 R
2 R
l m s l
a m l R
m s l
a m l
m
2 R 2 l R
m s l
a m
l R m s l
a m l
m
2 R 2 l R
m s l
a m s
v
cos sin cos
sin ) ( sin
] cos sin
[
*
* sin
sin ) ( cos
sin cos
sin ) (
sin ] sin cos
[ sin sin
) (
cos cos cos
sin ) ( cos
cos
*
* ] sin cos
[ sin sin
) ( cos
cos ) , , (
* cos
sin ) ( cos
cos sin
sin ) (
sin cos cos ] sin cos
[ sin sin
) (
6 k
1
n 1
p 2 m 1
1 2 2 k
1
n 1
p 2 m
1 1 1 1 2
1 1
k 1
n 1
p 1 m
l R ps l
a p l
R p l ps l
a p
2 R 2 l R
ps l
a p
; cos sin cos sin
sin ) (
cos sin cos
sin ) ( sin
*
* sin sin
) ( sin
sin sin
) ( cos
cos
*
1 1 1 1 k
1
n 1
p 1 m
1 2 1 6 k
1
n 1
p 2 m 1
2
k 1
n 1
p 1 m 1
2 1 k
1
n 1
p 2 m 1
2 1
l R ps l
a p
l R ps l
a p l
2 p 2 R 1
l ps l
a p l R
ps l
a p
(5)
183
0 cos
sin cos
cos ) (
cos cos cos
cos ) (
cos sin cos
cos ) (
cos cos cos
cos ) (
1 2 1 6
1 1
2 2
1 2 1 6
1 1
2 2
1 2 1 6
1 1
2 2 2 2
1 2 1 6
1 1
2 2 2 2
l R p l
a p l
p
l R ps l
a p l
p
l R ms l
a m l
m
l R ms l
a m l
m
k
n p
m k
n p
m k
n m
m k
n m
m
Подставим координаты точек стержней i и j: n k
l
n 1
;
1
k
s l и умножим левую и правую части этой системы на
sin 1
k
n r
. Затем, просуммируем по n от 1 до k. После этого умножим третье уравнение на
cos 1
k
n r
, принимая во внимание, что
p r
p r k k
p k
n
k r
n
0
1 cos 1
cos 1
1
2
(6) И после несложных преобразований получим систему трех алгебраических уравнений относительно неизвестных реакций R1, R2, R6.
; cos
)]
( )
cos sin cos
sin (
) ( )
cos cos cos
sin
cos [(cos
sin )]
( )
sin cos
sin
cos sin
( ) ( )
cos cos
sin sin cos
cos [(cos
sin )]
( )
cos (sin
) ( )
sin
sin cos cos
cos [(sin
cos cos
) , , ( sin
6 k
1 2 m 1
2 1 1
2 1
2 m 1
2 1 1
2 1
1 1 2 2
k 1 1 m 1
1 1 2
1 1
2 m 1
1 2 1 2 1 1
1 2 1
1 k
1 1 m 1
1 2 2
m 1
2
1 2 1 1
1 2 1 1
1 2 2 n 22 k
1 n
1R k a r
2 1 k 2
1 2
1
2 a 1 k
l R n 1 k a r
2 1 2 k
2 2 1
2 1
2 2 2
a 1 2
1 2 k
2
1R k a r
2 1 2 k
2 2 1 2 a
1 k
2 2
s 1v
k n r
(7)
1 1 1 1
m 1
1 1
1 1 1
2 1
1 k
1 2 m 1
1 1 1
1 2 1 1 1
1 m 1
2 1 1
2 1 2 1 1
2 2 n
11 k
1 n
2 1 a
1 2 k
2 2 2 1
1R k
n a r
2 1 k 2
2 1 2
2 a 1 k 2
2 1 2
s 1v
k n r
sin cos (sin
) ( )
sin cos cos
sin cos cos
[(sin
sin )]
( )
cos sin cos cos
sin sin
cos (cos
) ( )
cos cos
sin cos
[(cos cos
) , , ( sin
2 1 1
k 1 2 m 1
1 1
1
1 2
2 1 l R n 1 k
n a r
2 1 2 k
2 2
2 1
sin [( cos sin
)]
( )
cos sin
cos sin
cos
184
; cos
*
* )]
( )
cos sin
cos sin sin
( ) ( )
sin
6 k
1
2 m 1
1 1
2 1 1
2 m 1
1R k
r
2 a 1 2 k
2 1 2
2 1 2 a 1
2 1 2 k
2 1
1 0 cos ) ( ) cos (sin
cos ) 1 (
cos 1 ) ( ) 1 )(
cos sin cos
cos (
1
6 3
1 1
1 2 2
1
6 2
1 2 1 1
2 2 1
2 2
k
m
k m
k R a r
l k p
k R a r
l k m
Проблема отыскания частот собственных колебаний цилиндрических сетчатых оболочек из системы (7), в принципе, не вызывает затруднений. Для ее решения приравниваем определитель к нулю.
Из условия нетривиальности решения, имеем:
0 0
0
3323 22 21
13 12 11
A A A AA A A
(8) где через Aij обозначены следующие выражения:
2 ; )] 1 ( 2 )
cos
cos 2 2 sin 1 2
2 ( cos 2 sin ) ( 2 )
cos 2 cos sin
) 2 cos 1 [((
2 1
1 1 1
1 1
1 1 2 1 2 1 11
a ka A
m
m
2 ; )] 1 ( )) cos
cos 2 (cos 2 2 sin
2 ( sin ) ( 2 )
cos 2
cos 2 (cos sin
2 [sin
2 1
1 1 1
1 2 2
1 1
1 1
2 1 12
a ka A
m
m
2 ; )] 1 ( ) cos 2 cos 2
sin ( ) ( ) 2 sin cos
2 sin
[( 1 1 1 2 1 1 1 2
13
k
l a p l
a p l
m l
A m
m
m
2 ; )] 1 ( ) 2 cos
2 ) cos 2
2 ((sin 2 sin ) ( )) 2 cos 1 ( sin cos
cos 2 [(sin
1 1
1 1
1 2
1 1
2 1 1 2 1 21
a k
a A
m
m
(9)
2 ; )] 1 ( ) 1
cos 2 sin 2
(cos 2 2sin ) 1 ( ) sin 2 sin ) 1 2 (cos cos [(cos
1
1 1 1
1 2
1 2 1 1
1 1 2 22
a k
a A
m
m
l p a k
l a m A k
m
m
2 )] 1 (* ) cos cos cos
[(sin )]
( ) cos sin cos
cos 2 2 [(
1
2
1 2 1 1
2 1 2
1 2 1 1
2 1 23
;
) ( ) cos (sin
cos ) 1 ( )
( ) cos (sin
cos ) 1
(
2 2 1 1 1 32 2 3
1 1
1 2 2
2 2
33
m
m k a
l a p
l k
A
m
; здесь
185
s s
s k m m
l F
s k h EI n
a a
2 4
4 2
) 1 ( 2 , 2
2
[ 2 ( 1 ) ]
1
;
s s
m m
l
s k EF h
a a
2 2
2 1 2
1 [ 2( 1) ]
1
. (10)Бесконечный числовой ряд в этих выражениях может быть просуммирован при помощи теории вычетов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тусупова С.А. Математическое моделирование колебаний оболочек тетрагональной структуры. // Хабаршы-Вестник ЕНУ № 6, 2009г
2. Вейнгартен, Свободные колебания тонких цилиндрических оболочек //Ракетная техника и космонавтика, 1964. 2.- №4.- С. 167-173.
3. Вейнгартен, Свободные колебания тонкостенной цилиндрической оболочки, находящейся под действием изгибающего момента // Ракетная техника и космонавтика 1965.- 3- № 1.- С.
171 – 176.
Бөліктің кез келген жүктемелерден тербелу жиілігінің спектрлерінің ерекшеліктерін зерттеу
Мақалада, цилиндрлік тор кӛзді жұқа қабыршыққа кез келген жүктемелердің әсері есептелген. Мәселе, қабыршықтың динамикалық икемділігі функциясын құрудың қажеттігіне әкеп саяды. Бұл есептің шешімі бірлік күштердің алты негізгі элементтері, атап айтқанда: тік (нормаль), остік және айналма бағыттағы, сонымен қатар бұрау және ию моменттері жеке- жеке әсер еткендегі динамикалық икемділігі функциясы белгілі болған жағдай үшін алынған.
Research of the features of the spectra of vibration frequencies of the compartments (?) with arbitrary loads Tusupova S.
The problem of calculating of the thin cylindrical reticulated shell under the action of random loads has been solved. The problem is to build the function of a dynamic compliance. The solution is obtained for the case when the six of its basic elements, which are functions of the dynamic susceptibility of the separation of the shell of unit forces: the normal, axial and circumferential and twisting and bending moments.
