Карчевского [1] приведены следующие схемы в способе выведения градиента функционала: I.Lqu= 0,−→ ∇J(p) =x∈Ω A(up, ψ)−→L∗pψ= 0 ↓ ↓ II.Λpv= 0x∈Ω−→ ∇J(ph h) =Ah(vp, ψh)−→Λ˜∗ψ= 0 III.Λpv = 0x∈Ω−→hΛ∗ϕ= 0−→∇J(ph) =B(v, ϕ) Напишем эти способы в отдельности

К.Т. Искаков, Ж.О. Оралбекова

Технология построения сопряжено-согласованных разностных схем для оптимизационного метода

(Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева, г. Астана, Казахстан )

В работе предложена методика построения сопряжено-согласованных разностных схем для оптимизационного метода.

При численном решении обратных задач оптимизационным методом, в результате построения градиента функционала и сопряженной задачи, возникает необходимость аппроксимации полученных формул на дифференциальном уровне. При прямой аппроксимации сопряженной задачи, тем или иным разностным методом, нарушается свойство консервативности разностной задачи в целом. В данной работе впервые найдена технология построения сопряженной разностной схемы обладающей свойством консервативности.

В работе А.Л. Карчевского [1] приведены следующие схемы в способе выведения градиента функционала:

I.L_qu= 0,−→ ∇J(p) =^x∈Ω A(u_p, ψ)−→L^∗_pψ= 0

↓ ↓

II.Λpv= 0^x∈Ω−→ ∇J(p^h _h) =A_h(vp, ψ_h)−→Λ˜^∗ψ= 0 III.Λ_pv = 0^x∈Ω−→^hΛ^∗ϕ= 0−→∇J(p_h) =B(v, ϕ) Напишем эти способы в отдельности.

I. Пусть L - дифференциальный оператор, q - неизвестный коэффициент. Примем в качестве p - приближенное решение обратной задачи. Поступая стандартным образом, придав приращение p + δp, затем вычислив приращение квадратичного функционала невязки, определим градиент функционала, как главную часть приращения функционала. Он имеет вид в операторной форме ∇J(p) = A(up, ψ) где ψ - есть решение соответствующей сопряженной задачи.

Вполне очевидно, что все формулы точны, в пространстве непрерывных функций, поскольку они строго математически получены.

II. Проводим конечно-разностную аппроксимацию. Имеем сеточную область Ω_h , тем или иным способом аппроксимируем операторL_q - разностным оператором. Далее тем или иным способом аппроксимируем оператор A, разностным оператором Ah , и соответствующей сопряженной задаче L^∗_pψ= 0 - заменяем разностным аналогом Λ˜^∗ψ_h = 0.

III. В этом случае все выкладки получения дискретного аналога градиента ей строго соответствующей разностной сопряженной задачи проводим на дискретном уровне в сеточном пространстве.

Из этой схемы расчетов получения аппроксимации сопряженной задачи, т.е. нет гарантии, что Λ˜^∗ совпадает с Λ^∗, в случае их не совпадения как следствие изменится и дискретный аналог градиента, т.е. B 6=A_h.

В связи с этим в работе мы отдаем предпочтение второму способу. В работах [2,3] по этой технологии получены дискретные формулы для вычисления градиента и соответствующей сопряженной задачи.

В настоящей работе мы попытаемся ответить на вопрос почему это происходит. Для этого мы получим градиент и соответствующей ей сопряженную задачу на дискретном уровне для ряда простейших задач и проведем соответствующий теоретический анализ. Результаты численных расчетов будут освещены в последующих работах.

§1. Постановка задачи. Оптимизационный метод

Для примера рассмотрим самую простейшую постановку прямой и обратной задачи.

Пусть задано:

x⁰+qx= 0, x(0) =x0. (1)

Обратная задача: Найти q из (1).

Рассмотрим функционал вида:

J(q) = Z T

0

(x−y)²dt. (2)

Зададим приращение δx, δq, тогда задача относительно приращения примет вид:

(x+δx)⁰+ (q+δq)(x+δx) = 0, δx(0) = 0, x⁰+ (δx)⁰+qx+xδq+qδx+δqδx= 0.

Проинтегрируем последнее выражение от 0 до T : Z T

0

[δx˙+xδq+qδx]ϕ dt.

Применяя формулу интегрирования по частям, имеем:

δx·ϕ

T 0 −

Z T 0

δxϕ dt˙ + Z T

0

[xδqϕ+qδx·ϕ]dt= 0.

δx(T)ϕ(T)−δx(0)ϕ(0)− Z T

0

δx(qϕ−ϕ)˙ dt+ Z T

0

δqx·ϕ dt= 0.

Введем вспомогательную задачу:

(−ϕ˙+qϕ=−2(x−y),

ϕ(T) = 0. (3)

Приращение функционала, равно:

Z T 0

2(x−y)dtδ= Z T

0

δqx(t)ϕ(t)dt.

Тогда градиент функционала имеет вид:

∇J(q) = Z T

0

x(t)ϕ(t)dt. (4)

§2. Формальная аппроксимация градиента

Приведем разностные выражения при формальной аппроксимации, т.е без вывода на конечноразностном уровне. Введем сеточную область ω_h ={t_i =iτ, i= 0, N , τ = T /N}. Аппроксимируем задачу (1) - неявной разностной схемой:







xⁱ⁺¹−xⁱ

τ +qxⁱ⁺¹ = 0, i= 0, . . . , N −1, x⁰ =x₀.

(1⁰) Аппроксимируем задачу (3) неявной разностной схемой:







ϕⁱ−ϕⁱ⁻¹

τ −qϕⁱ⁻¹= 2(xⁱ−yⁱ), i= 1, . . . , N, ϕ^N = 0.

(3⁰) Аппроксимируем градиент следующем образом:

§3. Дискретный аналог оптимизационного метода

Получим формулу вычисления градиента функционала на дискретном уровне. В сеточной области ω_h, рассмотрим разностную задачу:

xⁱ⁺¹−xⁱ

τ +pxⁱ⁺¹, i= 0, N −1, x⁰ =x0.

Пусть pi - приближенное решение. Зададим приращение pⁱ +δpⁱ, xⁱ + δxⁱ. Рассмотрим функционал вида:

∇_hJ(p) =τ

N−1

X

i=0

(xⁱ−yⁱ)². Для приращения δxⁱ, получим разностную задачу:

δxⁱ⁺¹−δxⁱ

τ +xⁱ⁺¹δpⁱ+pⁱδxⁱ⁺¹= 0, i= 0, N −1, δx⁰ = 0.

Умножим на ψⁱ и суммируем по всем i:

1 τ

N−1

X

i=0

4δxⁱ·ψⁱ+

N−1

X

i=0

xⁱ⁺¹δpⁱ·ψⁱ+

N−1

X

i=0

p_iδxⁱ⁺¹ψⁱ= 0.

−1

τ δxⁱ,∇ψⁱ + 1

τ ·ψ^N−1δx^N−ψ⁰δx⁰+

N−1

X

i=0

xⁱ⁺¹δpⁱψⁱ+

N−1

X

i=0

piδxⁱ⁺¹·ψⁱ

−

N−1

X

i=1

δxⁱ·ψⁱ−ψⁱ⁻¹

τ +

N−1

X

i=0

δpⁱxⁱ⁺¹·ψⁱ+

N−1

X

i=0

δxⁱ⁺¹·p_iψ_i = 0

−

N−1

X

i=1

δxⁱ·ψⁱ−ψⁱ⁻¹

τ +

N

X

i=1

δxⁱpi·ψⁱ⁻¹+

N−1

X

i=0

δpxⁱ⁺¹·ψi = 0

−

N−1

X

i=1

δxⁱ·ψⁱ−ψⁱ⁻¹

τ +

N−1

X

i=1

δxⁱp_i·ψⁱ⁻¹+δx^Np_Nψ^N−1+

N−1

X

i=0

δpxⁱ⁺¹·ψⁱ = 0

Введем вспомогательную задачу.

ψⁱ−ψⁱ⁻¹

τ − piψⁱ⁻¹ = 2(xⁱ−yⁱ), i=N −1, N −2, . . . ,1, ψ^M−1= 0. (3⁰⁰) Откуда формула для вычисления градиента имеет вид:

∇J˜_h(p) =τ

N−1

X

i=0

xⁱ⁺¹ψⁱ.

Приведем закон изменения индексов: Прямая задача

Сопряженная задача (1 подход) ϕ^N = 0

Сопряженная задача (2 подход)

§4. Сравнительный анализ двух подходов

Проверим, является ли разностный оператор (3’) вспомогательной задачи сопряженным к разностному оператору (1’), т.е.

L⁽¹⁾_h x= xⁱ⁺¹−xⁱ

τ +qxⁱ⁺¹, (5)

L⁽²⁾_h ϕ= ϕⁱ−ϕⁱ⁻¹

τ −qϕⁱ⁻¹, (6)

выполняется ли соотношение (Lhx, ϕ) = x,(Lhϕ) . Умножим (6) на функцию x и суммируем по i от 1 до N

1 τ

N

X

i=1

∇ϕⁱxⁱ−

N

X

i=1

qϕⁱ⁻¹xⁱ=−1

τ ϕⁱ,4xⁱ

+ϕ^Nx^N −ϕ⁰x¹ =

=

N−1

X

i=1

ϕⁱ

xⁱ⁺¹−xⁱ τ

+ϕ^Nx^N −ϕ⁰x¹−

N

X

i=1

qϕⁱ⁻¹xⁱ =

=

i⁰=i−1 −

N−1

X

i=1

ϕⁱxⁱ⁺¹−xⁱ τ

+ϕ^Nx^N −ϕ⁰x¹−

N−1

X

i=0

qϕⁱ⁰xⁱ⁰⁺¹.

Откуда видно, что оператор (6) не является сопряженным к (5). Пропало краевое условие x⁰.

Теперь проверяем является ли разностный оператор (3⁰⁰) сопряженным к оператору (1⁰).

L_hψ= ψⁱ−ψⁱ⁻¹

τ −piψⁱ⁻¹. (7)

Умножим (7) на (7) xⁱ и суммируем по i от 1 до N−1 1

τ

N−1

X

i=1

∇ψⁱxⁱ−

N−1

X

i=1

p_iψⁱ⁻¹xⁱ =−1

τ[ψⁱ,4xⁱ) +x^Nψ^N−1−x⁰ψ⁰−

N−1

X

i=1

p_iψⁱ⁻¹xⁱ =

=−1 τ

N−1

X

i=0

ψⁱ(xⁱ⁺¹−xⁱ) +x^Nψ^N−1−x⁰ψ⁰−

N−2

X

i=0

piψ^iTMx^iTM+1 =

=−1 τ

N−1

X

i=0

ψⁱ(xⁱ⁺¹−xⁱ) +x^Nψ^N−1−x⁰ψ⁰−

N−1

X

i⁰=0

p_iψ^iTMx^iTM+1+pψ^N−1x^N.

Так как имеет место, что ψ^N−1 = 0 , и краевое условие x⁰ присутствует, то в этом случае оператор (7) сопряжен к исходному оператору (1⁰).

Рассмотрим случай, если прямую задачу аппроксимируем явной схемой:

xⁱ⁺¹−xⁱ

ϕⁱ−ϕⁱ⁻¹

τ −qϕⁱ = 2(xⁱ−yⁱ), i= 1, N ϕ^N = 0

1 τ

N−1

X

i=1

∇ϕⁱyⁱ−

N

X

i=1

qϕⁱyⁱ =−1

τ(ϕⁱ,4y) +y^Mϕ^Mı−y¹ϕ⁰−

N

X

i=1

qϕⁱyⁱ=

= 1 τ

N−1

X

i=1

ϕⁱ4y+y^Nϕ^N −y¹ϕ⁰−

N

X

i=1

qϕⁱ⁻¹yⁱ= 1 τ

N−1

X

i=1

ϕⁱ4y−y¹ϕ⁰−

N

X

i=1

qϕⁱyⁱ−qϕ^Ny^N =

=

N−1

X

i=1

ϕⁱ 4y

τ −qyⁱ

−y¹ϕ⁰= yⁱ⁺¹−yⁱ

τ −qyⁱ = 2(xⁱ−yⁱ), i= 1, N −1.

Для этой задачи надо поставить краевое условие y¹ -?

При формальной аппроксимации мы автоматический берем условие в (.) x⁰ =α0 хотя надо брать в (.)x¹. Вычислим погрешность ошибки

x¹−x⁰ x¹−x⁰+τ qx⁰= 0.

x⁰=α₀−τ qα₀=α₀(1−τ q).

α₀−α₀(1−τ q) =α₀

1−1 +τ q

=α₀·τ q

Следовательно при формальной аппроксимации мы уже допустили ошибку в начальном условие порядка o(τ) . Это и приводит к непонятным действием градиента в граничных точках и медленной сходимости.

Вывод:

1. Если использовать формальную аппроксимацию готовых формул, то необходимо пересчитать начальное условие заданное в (.) x⁰, в точке x¹ (используя например разностную аппроксимацию в (.)x⁰ исходного уравнения). А также необходимо задать условие для соопряженной задачи в (.) tN−1, т.е.ψ^N−1. Так как попытка задать условие в (.) t_N - приводит к смешении начального условие исходной задачи на шаг.

2. Если использовать дискретную аппроксимацию, то в ней уже учтено, что для сопряженной задачи мы задаем условие в точке (.) t_N −1 , и сдвига индекса для исходной задачи в начальном условии не происходит.

3. Если мы аппроксимируем исходную задачу неявной схемой, то происходит сдвиг индексов у градиента (либо у исходной или соопряженной), этом не влияет на конечный результат градиента, (Было у многих мнение, что это главное, просто когда мы берем неявную схему происходит сдвиг индексов,а у явной схемы этого не происходит.)Вся проблема заключена в краевом условии,поэтому главное учесть правило описанное в пунктах 1, или 2.

Сравнительный анализ схемы действий при численом решении обратных задачи оптимизационным методом для параболических уравнений , исследованы в работах [2,3].

Результаты исследования данной статьи можно применить для дискретных обратных задач рассмотренные в работах [2,3].

ЛИТЕРАТУРА

1. А.Л.Карчевский. Схема действий при численном решении обратной задачи оптимизационным методом. // Сиб.электронные математические известия. - Т.5. - С.609-619.

2. К.Т.Искаков, Ж.О.Оралбекова. Дискретный аналог оптимизационного метода решения обратной задачи для параболического уравнения. // Вестник КарГУ, серия математика,

№2(58), 2010, С.56-59.

3. А.А.Ерденеева, Г.А.Тюлепбердинова. Дискретный аналог оптимизационного метода для обратной задачи электродинамики в квазистационарном приближении. // Вестник КарГУ,

№2(58), 2010, С.25-29.

Искаков К.Т., Оралбекова Ж.О.

Жақсартылған әдiс үшiн байланыса келiсiлген әр тектi сұлбаларды құру технологиясы

Жұмыста жақсартылған әдiс үшiн әр тектi сұлбалардың байланыса келiсiлген әдiстемесi ұсынылған. Функционал градиентiн және жанасу есебiн құру нәтижесiнде қайтымды есептердi жақсартылған әдiспен сандық шешу кезiнде диффренциалды деңгейде алынған формулалардың аппроксимация қажеттiлiгi туындайды. Жанасу есебiнiң тура аппроксимациясы кезiнде әр тектi тапсырманың консерванттылық қасиетi бұзылады. Бұл жұмыста ең алғаш консерванттылық қасиетi бар әр тектi жанасу сұлбасын құру технологиясы табылды.

Iskakov K. T., Oralbekova Zh. O.

Technology of the construction of interfaced - coordinated various schemes for an optimizing method In work the technique of construction is offered is interfaced - the coordinated various schemes for an optimizing method.

At the numerical solution of return tasks need of approximation of the received formulas at differential level arises an optimizing method, as a result of creation of a gradient of a functional and the interfaced task. At direct approximation of the interfaced task, this or that various method, breaks property of conservatism of a various task as a whole. The technology of the creation of the interfaced various scheme of conservatism possessing property for the first time is found in this work.

Поступила в редакцию 24.04.2012 Рекомендована к печати 30.05.2012