КОДИРОВАНИЕ В СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ ФОРМЕ ЛИНЕЙНЫХ ЦИКЛИЧЕСКИХ КОДОВ

// Материалы Международной научно- технической конференции «Вторые ержановские чтения». – Актобе. – 2007. – С.473-477

УДК 681.3.07

А.А. Садыков, Н.Н. Ташатов

КОДИРОВАНИЕ В СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ ФОРМЕ ЛИНЕЙНЫХ ЦИКЛИЧЕСКИХ КОДОВ

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, г. Астана Кодирование в систематической форме.

Используем некоторые алгебраические свойства циклического кода для развития процедуры систематического кодирования, которая была рассмотрена в [4]. В этой статье было введено понятие систематическая форма и рассмотрено уменьшение сложности, которое делает эту форму кодирования более привлекательной.

Запишем вектор сообщения в форме многочлена степени k – 1 следующим образом:

1 1 2

2 1

)

0

( X m m X m X  m

_k

X

^k

m

. (1)

Символы сообщения в систематической форме используются как часть кодового слова.

Сдвинем символы сообщения в k крайних правых разряда кодового слова, а затем прибавим биты четности, разместив их в крайние левые п – k разряды. Такой сдвиг не вызывает переполнения п–разрядного регистра сдвига. Таким образом, осуществляем алгебраическую манипуляцию многочлена сообщения, и он оказывается сдвинутым вправо на п - k позиций. Умножив m(X) на

X

^{n k}, получаем сдвинутый вправо многочлен сообщения:

1 1 1

1

)

0

(

^{n k n k} _k ⁿ

k

n

X m X m X m X

X m 

. (2)

Регистр сдвига

0 n-1 0 … 0 0 _m0 m₁ m₂ … m_{k 1}

Вектор сообщения

Рисунок 1 – Сдвиг многочлена в регистре сдвига с обратными связями длины п на p = п – k позиций

Разделив уравнение (2) на g(X), получим:

) ( ) ( ) ( )

( X X X X

X

^{n k}

m q g p

. (3) Остаток р(Х) записывается следующим образом:

1 1

2 2 1

)

0

( X p p X p X  p

_{n k}

X

^{n k}

p

, (4)

или

) ( )

( X X

^{n k}

m X

p

по модулю

g ( X )

. (5) Прибавим р(Х) к обеим частям уравнения (3) и используя сложение по модулю 2, получим:

) ( ) ( ) ( ) ( )

( X X

^{n k}

m X q X g X U X

p

. (6)

Из (6) вытекает алгоритм кодирования систематического циклического (n, k) – кода:

1. Вектор сообщения в форме многочлена m(X), степени k – 1, умножается на

X

^{n k}; 2. Находится остаток р(Х) от деления

X

^{n k}

m ( X )

на g(X);

3. Многочлен р(Х) заносится в п – k левых разрядов регистра сдвигов (см. рис. 1) Левая часть уравнения (6) является действительным многочленом кодового слова, так как это многочлен степени не превышающая п - 1, который при делении на g(X) дает нулевой остаток. Это кодовое слово будет выглядеть следующим образом:

1 1

2 2 1

)

0

( )

( X X

^{n k}

m X p p X p X  p

_{n k}

X

^{n k}

p

1 1 1

1

0 n

k k

n k

n

m X m X

X

m 

. (7)

Многочлен кодового слова соответствует вектору кода





 





 

 





 





 

 

сообщения бит

1 2

1 0 четности

бит

1 2

1

0

, , , , , , ,

k

k k

n

k

n

m m m m

p p p p

U

. (8)

Циклический код в систематической форме.

Пусть дан вектор сообщения m = 1 0 0 1 1. Из набора кодовых слов (7, 4) с помощью порождающего многочлена g(X) = 1 + X + X³ надо получить систематическое кодовое слово.

3 ,

4 ,

7 ,

1 )

( X X

²

X

³

n k n k

m

. (9)

6 5 3 3

2

3

( 1 )

)

( X X X X X X X

X

^{n k}

m

. (10)

Разделим

X

^{n k}

m ( X )

на g(X), получим:





 









 





 



) остаток ( )

генератор ( 3 )

( частное

3 2 6

5

3

1 1 1

X X X

X X X

X X X

X X

p g

q

. (11)

Используя уравнение (6), получаем следующее:

6 5 3

3

( ) 1

) ( )

( X p X X m X X X X

U

. (12)







 





сообщения биты

четности биты

1 1 0 1 0

0 1

U

. (13)

Логическая схема для реализации деления многочленов.

Важнейшее преимущество циклических кодов по сравнению с другими методами кодирования заключается в простоте их технической реализации. Использование в схемах кодеров и декодеров регистров сдвига с обратными связями, позволяет просто и достаточно эффективно защищать от ошибок информационные массивы большой длины. Процедура деления многочленов является основной в кодерах и декодерах циклических кодов. Пусть даны два многочлена V(X) и g(X), где

m m

X v X

v X v v

X )

_{0 1 2} ²

 (

V

. (14)

p p

X g X

g X g g

X )

_{0 1 2} ²

 (

g

. (15)

причем т > р. Схема деления, приведенная на рисунке 2, выполняет деление многочлена V(X) на g(X), определяя частное и остаток от деления

) (

) ) (

) ( (

) (

X X X

X X

g q p

g

V

. (16)

Рисунок 2 – Логическая схема для реализации деления многочленов

Разряды регистра в исходном состоянии содержат нули. Коэффициенты V(X) поступают и продвигаются по регистру сдвига по одному за такт, начиная с коэффициентов более высокого порядка. Частное после р-го сдвига на выходе равно

g

_p¹

v

_m. Получаем слагаемое наивысшего порядка в частном. Затем из делимого для каждого коэффициента частного q_i вычитаем многочлен

q

_i

g ( X )

. Это вычитание обеспечивает обратная связь, показанная на рисунке 2. Разность крайних слева р слагаемых остается в де- лимом, а слагаемое обратной связи

g

_p¹

v

_m формируется при каждом сдвиге схемы и отображается в виде содержимого регистра. При каждом сдвиге регистра разность смещается на один разряд. Слагаемое наивысшего порядка, которое по построению схемы равно нулю, удаляется, в то время как следующий значащий коэффициент в V(X) перемещается на его место. После всех m + 1 сдвигов регистра, на выход последовательно

выдается частное, а остаток остается в регистре.

Рассмотрим схему деления многочленов, используя рисунок 2. Пусть

6 5

)

3

( X X X X

V

, т.е. V = 0001011, и

g ( X ) 1 X X

³. Разделим V(X) на g(X).

Схема деления должна выполнить следующее действие

3 3

6 5 3

1

) ) (

1 ( X X

X X X

X

X X

X p

q

. (17) Необходимый регистр сдвига с обратной связью показан на рисунке 3.

Рисунок 3 – Схема деления для примера

Пусть первоначально регистр содержит нули. Схема выполнит следующие шаги.

Входная очередь

Номер сдвига Содержимое регистра

Выход и

обратная связь

0001011 0 000 -

000101 1 100 0

00010 2 110 0

0001 3 011 0

000 4 011 1

00 5 111 1

0 6 101 1

- 7 100 1

После четвертого сдвига коэффициенты частного

q

_i , которые последовательно поступали с выхода, равны 1111. Тогда многочлен частного имеет следующий вид

3

1

2

)

( X X X X

q

. Коэффициенты остатка

p

_i имеют вид 100, т.е. многочлен остатка имеет вид p(X) = 1. Схема выполнила следующее вычисления

3 3

2 3

6 5 3

1 1 1

1 X X X X X

X X

X X

X

. (18)

Прямое деление многочленов дает тот же результат.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. Изд. 2- е, испр.: Пер. с англ. – Издательский дом «Вильямс», 2004. – 1104 с. ил.

2. Вернер М. Основы кодирования. Москва: Техносфера, 2004. – 288 с.

3. Березюк Н.Т., Андрущенко А.Г., Мощицкий С.С. Кодирование информации (двоичные коды). Харьков, издательское объединение «Вища школа», 1978, 252 с.

4. Ташатов Н.Н. Систематические линейные блочные коды с контролем четности. //

Вестник ПГУ им. С.М. Торайгырова. – 2007. – № (в печати).