О.В. Разина, К.А. Жусупбеков
Космологическая динамика модифицированной F(R) гравитации в Эйнштеновском приближении
( Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, г. Астана, Казахстан)
В данной статье мы исследуем и анализируем динамику космологической Вселенной, с эффектом модифицированной F(R) гравитации в космологических масштабах. Выбирая приближение Эйнштейна как физическое приближение полагаем, что фазовые приближения это поздний вариант F(R) гравитационной модели.
В результате это дает нам ускоренное фазовое расширение, которое позволит нам объяснить ускоренное расширение Вселенной на современном этапе.
1. Введение
На сегодняшний день, одной из важнейших проблем космологии является проблема ускоренного расширения Вселенной. К счастью, благодаря наблюдениям мы можем получить различные сведения о параметрах Вселенной.
Почти каждый космолог полагает, что Вселенная должна управляться некой таинственной областью, так называемой темной энергией, способствующей ускоренному расширению Вселенной. Альтернативное объяснение, разрешающее данную проблему, меняет теорию гравитации Эйнштейна (Общую теорию относительности, или ОТО) до ускоренного расширения. Кэрролл предложил модифицированную модель гравитационного ускорения, добавив обратную силу скаляра Ричи в действие Эйнштейна-Гильберта. Результатом этого стали отклонения от ОТО по небольшому искривлению в космологическом масштабе, в котором, согласно наблюдениям, происходит ускоренное расширение Вселенной. Модель, расширяющейся Вселенной с ускорением, дает нам пространство решений де Ситтера и анти де Ситтера в вакуумном положении. По этой причине данная модель хорошо согласуется с текущими данными астрономических наблюдений. Стандартные вариационные принципы приближают эту модель, то есть действие различно только относительно метрики.
Результатом этого является дифференциальное уравнение четвертого порядка. К сожалению, модель претерпевала проблему неустойчивости, отчего и была исключена вследствие эксперимента Солнечной системы по связанному гравитационному состоянию, несмотря на ее эквивалентность теории скалярного тензора. Казалось, проблема была решена после того, как Воллик применил вариационный подход Палатини, в котором арифметическая и аффинная связности рассматривались как независимые переменные для получения уравнения поля, являющегося дифференциальным уравнением второго порядка. Позже, Ножири и Одинцов [11]
разрешили ту же проблему путем использования метрических формализмов, где R2 добавлена в действие модели 1/R. Однако отмечается, что эта модель сама по себе противоречива, т.к. не действует в микромире. Также было указано, что метод, рассмотренный в ссылке [12], является не физической, а обычной математической эквивалентностью. В конце концов, интерес к этой модели подкрепляется тем, что она может быть получена из М-теории. Некоторые ученые работали над различными аспектами данной модели и расширили ее. Тем не менее, почти во всех этих работах использовались модели для поиска измененных версий уравнения Фридмана, но они либо соответствовали, либо были ограничены данными наблюдений, такими как SN a, T ypeIa, анизотропия реликтового излучения. Только в нескольких работах были проведены наблюдения или анализ динамической системы этой модели. Также были рассмотрены фазовые приближения H˙ относительно H (временная производная параметра Хаббла и сам параметр) в приближении Джордана и приняты во внимание фазовые портреты R˙ относительно R (производная по времени скаляра Риччи и сам скаляр).
Рассмотрим космологическую динамику модифицированной гравитации с идентичными переменными, за исключением метрического формализма колебания в фазовом приближении Эйнштейна. В нашем случае, приближение Эйнштейна - это физическое приближение, которое дает нам собственную гравитацию эффективного потенциала скалярного поля V(φ) (т.е. φ в приближении Эйнштейна является моделью искривления Риччи в приближении Джордана).
2. Подход конформного преобразования к Эйнштейновскому приближению и уравнению Фридмана
В этом разделе рассмотрим конформный метод преобразования для стандартного вывода формулы. Действия f(R) гравитации в приближении Джордана с полем материи может быть записано следующим образом:[2]
Sj[gab] = 1 2k2
Z
f(R)√
−gd4x+SM, (1) где k2 = 8πG и SM является действием поля материи. Скаляр Риччи определяется как R= gabRab, Rab=Rcacb, а тензор кривизны имеет вид
Rdabc=∂cΓdab−∂bΓdac+ ΓeabΓdce−ΓeacΓdbe. (2) Варьируя это действие относительно метрического тензора gab, получим
δSj
δgab =f(R)0Rab−1
2gabf(R)− ∇a∇bf0(R) +gab∇c∇cf0(R) =k2Tab, (3) где f0(R) ≡ df(R)dR и Tab ≡ δSM
δgab является тензором энергии-импульса. Отметим, что уравнение поля, полученное из (1) в приближении Джордана дает нам дифференциальное уравнение четвертого порядка, которое является слишком сложным для решения.
Маньяно и Соколовский [26] оспаривали f(R) теории вакуумного случая. Наличие приближения Эйнштейна (определение дается ниже) связано по минимуму с метрикой физического приближения. Подробно исследовав Вселенную за последний отрезок времени, мы предполагаем, что она представляет собой вакуум. Поэтому считаем приближение Эйнштейна физическим приближением. Метрические формализмы, возможно, эквивалентны формализмам Палатини, т.е. gab совместимы с ∇a, поэтому аффинная связность непременно совпадет с символом (обозначением) Кристоффеля в общей теории относительности (f(R) = R). Но оба вариационных метода ясно различаются в нелинейной функции скаляра Риччи (f(R) - высший член, который метрические формализмы приводят к уравнениям четвертого порядка, а формализмы Палатини - к уравнениям второго порядка), вследствие чего получаем конформное преобразование между двумя приближениями, такими как
Egab =eφgab, (4)
где мы ввели φ в качестве нового скалярного поля, определяющегося как φ ≡ lnf0(R). Перепишем действие (1), которое динамически эквивалентно действию Джордана-Гельмгольца без материально поля,
SJ H = 1 2k2
Z
(f(σ) +χ(R−σ))√
−gd4x, (5)
где χ и σ вспомогательные поля. После вариации (5) относительно χ, получаем
σ=R, (6)
и после вариации (5) по σ,
χ=f0(σ) (7)
χ устраняется с помощью (7), следовательно, SJ H = 1
2k2 Z
(f(σ) +f0(σ)(R−σ))√
−gd4x. (8) Заметим, что (8) представлено в форме скалярно-тензорного гравитационного действия на f(R) гравитацию (1) в приближении Джордана. Мы можем переписать действие (1) в
приближении Эйнштейна путем применения конформного преобразования (4), (т.е. Egab → eφgab)
SE[Egab] = 1 2k2
Z
ER−3 2
Egab∇˜aφ∇˜bφ−V(φ)
p−Egd4x, (9) где ∇˜a ковариантная производная совместима с Egab и V(φ) является эффективным потенциалом, который зависит от выбора f(R) моделей. Эффективный потенциал определяется
V = Rf0(R)−f(R)
f0(R)2 . (10)
Варьируя действие (9) по отношению к Egab δSE
δEgab = 1 2k2
Z
p−EgδER−3 2
p−Eg∇˜aφ∇˜bφδEgab+ (ER−3 2
Egab∇˜aφ∇˜bφ−V(φ))δp
−Eg
d4x=
= 1 2k2
Z p−Eg
δEgab
ERab−3 2
∇˜aφ∇˜bφ−1 2
ER−3 2
Egab∇˜aφ∇˜bφ−V(φ)
Egab
+EgabδERab
d4x=
= 1 2k2
Z
ERab−3
2∇˜aφ∇˜bφ−1 2
EREgab+3 4
EgabEgab∇˜aφ∇˜bφ+1
2V(φ)Egab
d4x получим
ERab− 1 2
EgabER= 3
2∇˜aφ∇˜bφ−1 2
Egab
3 2
Egab∇˜aφ∇˜bφ+V(φ)
, (11)
вспомогательные формулы
δER=δ(Egab ERab) =δEgabERab+EgabδERab (12)
δg=−EgEgabδEgab (13)
δp
−Eg=− 1 2pE
gδ(Eg) =−1 2
pEg Egab δEgab (14) а варьируя относительно φ
δSE δφ = 1
2k2δ Z
−3 2
Egabp
Egδ∇˜aφ∇˜bφ−p
EgδV(φ)
d4x=
= 1 2k2
p−Eg δ Z
−3( ˜∇aφ δφ)∇˜a−3 ˜∇a∇˜aφδφ−Vφδφ
d4x= (15)
= 1 2k2
p−Eg δ Z
3 ˜∇a∇˜aφ+Vφ δφd4x
получим
∇˜a∇˜aφ+Vφ
3 = 0. (16)
Вспомогательные формулы
δV(φ) =Vφδφ, (17)
Egab Egac =δcb =
δ= 1, если b=c
δ= 0, если b6=c (18)
aδb˙= (aδb)t−aδb,˙ (19)
где Vφ = dVdφ . В настоящее время Вселенная рассматривается на основе метрики Фридмана - Робертсона - Уокера (ФРУ), которая в пространственном отношении имеет следующий вид.
ds2 =−dt2+a2(t)(dx2+dy2+dz2), (20) где a(t) является масштабным фактором Вселенной.
Теперь вычислим модифицированное уравнение Фридмана в приближении Эйнштейна для линейного элемента (20) и (0,0) компонентов уравнения поля (11).
Используемая нами пространственно-временная метрика равна
g00=−1, g11=g22=g33=a2, (21) g00=−1, g11=g22=g33=a−2. (22) где g00 - временная компонента и g11=g22=g33 - пространственные компоненты.
Найдем символы Кристоффеля, являющиеся коэффициентами дифференциально- геометрической связанности системы криволинейных координат или показателем многообразия в римановской геометрии. Символы Кристофеля определяются формулой
Γikl= 1 2gim
∂gmk
∂xl +∂gml
∂xk − ∂gkl
∂xm
. (23)
Γ011=aa,˙
Γ022=aa,˙ (24)
Γ033=aa,˙
Γ101= Γ110= a˙ a, Γ202= Γ220= a˙
a, (25)
Γ303= Γ330= a˙ a.
Далее используем тензор Римана, или тензор кривизны, который выступает в роли локальной характеристики кривизны в римановской геометрии
Rik = ∂Γlik
∂xl −∂Γlil
∂xk + ΓlikΓmlm−ΓmilΓlkm. (26) Тензор Римана для временной компоненты равен
R00=−3¨a
a, (27)
а для пространственных компонент
R11=R22=R33= 2 ˙a2+a¨a. (28) Скалярная кривизна пространства в общем виде определяется формулой
R=R00+R11+R22+R33 =R00 g00+R11g11+R22 g22+R33 g33, (29) где
R00 =R0i gi0 =R00 g00+R01 g10+R02 g20+R03 g30. (30)
Для нашей метрики (20) она имеет вид R= 6
¨a a+a˙2
a2
. (31)
Подставляя (21), (22), (27), (31) в (11) получим
ER00− 1 2
Eg00ER= 3
2∇˜0φ∇˜0φ−1 2
Eg00
3 2
Eg00∇˜0φ∇˜0φ+V(φ)
,
−3¨a a + 3
¨a a+a˙2
a2
= 3 2
∇˜0φ∇˜0φ+1 2
−3 2
∇˜0φ∇˜0φ+V(φ)
,
3 a˙
a 2
= 3
2∇˜20φ2− 3
4∇˜20φ2+1 2V(φ), a˙
a 2
= 1
2∇˜20φ2−1
4∇˜20φ2+1 6V(φ).
Следовательно уравнение Фридмана для (00) компоненты выглядит следующим образом H2 = 1
4
φ˙2+V(φ)
6 , (32)
где H ≡ aa˙ является параметром Хаббла, a˙ ≡ dadt и (32) используется для получения (33). Также сразу получаем уравнение движения скалярного поля φ из (16) в метрическом приближении Эйнштейна, а именно
φ¨+ 3Hφ˙+Vφ
3 = 0. (33)
Вспомогательная формула: дифференциальный операторы для некоторого скаляра φ имеет вид
∇˜µ∇˜νφ=gµν∇˜µ∇˜νφ= 1
√−g
∂
∂xµ √
−ggµν ∂φ
∂xν
,
∇˜0∇˜0φ=g00∇˜0∇˜0φ= 1
√−g
∂
∂x0 √
−gg00 ∂φ
∂x0
=
= −1 a3
∂
∂x0
−a3φ˙ +Vφ
3 = −1 a3
−3a2a˙φ˙−a3φ¨ +Vφ
3 = 3Hφ˙+ ¨φ+ Vφ 3 . Для компонент (11),(22),(33) получим по Egab
2 ˙H+H2+1
2V(φ) = 0. (34)
Далее рассмотрим космологическую динамику.
3. Космологическая динамика f(R) гравитации
Рассмотрим космологическое развитие фазовых портретов приближения Эйнштейна с самогравитирующим скалярным полем, проведем исследования и анализы по фазе ускорения некоторых типов гравитационных моделей f(R).
В [13,14] был показан механизм начала / конца инфляции (раздувания Вселенной) и начало ускорения через потенциал развития искривления. Таким образом, можем представить этот механизм, продемонстрировав доминирование скалярного поля во Вселенной за последний отрезок времени в приближении Эйнштейна (уровень кривизны невысокий). Ускорение
может произойти, если в последнее время движение поля очень медленное (то есть процесс снижения уровня кривизны очень медленный). Таким образом, можем использовать медленное приближение в этой фазе, т. е. φ¨ ≈ 0 и φ˙2 << V . Используем медленное приближение для того, чтобы найти самую последнюю траекторию в фазовом пространстве, следовательно, уравнение Фридмана и уравнение движения скалярного поля таковы
H2' V
6, (35)
3Hφ˙' −Vφ
3 . (36)
Применяя условие медленного приближения как к уравнению Фридмана в (35), так и к уравнению движения скалярного поля в (36), непосредственно получаем самую последнюю траекторию в портрете фазового пространства
φ˙' Vφ 3√
6V. (37)
Теперь используем ускоренное расширение Вселенной в гравитационной модели f(R). Условие ускоренного расширения Вселенной таковы
¨ a
a = ˙H+H2 >0, (38)
откуда следует, что
−H˙
H2 <1. (39)
получили H˙ непосредственно путем дифференцирования H2 в (35), и используя (36), получим H˙ =− 1
18 Vφ2
V . (40)
Используя (35) и (40) заменяя (39), получаем Vφ V
2
<3. (41)
Эти уравнения являются ускоренными режимами расширения. Выше мы вывели уравнение Фридмана из приближения Эйнштейна. Получим динамические уравнения φ и φ˙. Получаем новое значение H˙ и медленное приближение с помощью (32) и (33)
H˙ =−3
4 φ˙2. (42)
Введем новые переменные
X =φ, Y = ˙φ. (43)
Подставляя новые переменные (43) в (42) и (33), получим независимую систему H(X, Y˙ ) =−3
4Y2, X˙ =Y Y˙ =−3H(X, Y)Y −1
3
dV(X)
dX . (44)
Функция H(X,Y) задается
H(X, Y) = r1
4Y2+ 1
6V(X). (45)
Эти уравнения будут использованы для анализа фазового портрета модифицированной гравитации f(R). Далее, мы планируем исследовать и анализировать портреты фазового пространства некоторых типов эффективного потенциала V(φ), которые зависят от выбора гравитационной модели f(R). Используя независимую систему уравнений (44), мы также демонстрируем ускоренный режим кривизны, который делит зоны ускорения и неускорения в портерах фазового пространства.
4. Нахождение масштабного фактора и параметра состояния
Условие ускоренного расширения Вселенной
¨ a
a =H+ ˙H2>0, (46)
отсюда с учетом (35) и (36) имеем a= ¨a
H˙ +H2 = ¨a
−181 V
2 φ
V +V6
= ¨a
−V
2 φ+3V2
18V
= ¨a18V
Vφ2+ 3V2, (47)
¨ a
a =−Vφ2+ 3V2
18V . (48)
Согласно определению параметра Хаббла записывается в виде H= a˙
a. (49)
Найдем производную по времени от (49)
H˙ = ¨aa−a˙2
a2 . (50)
Из (35) и (36)
Vφ= 3
√
6Vφ˙= 3
√ 6V −
r4
3H.˙ (51)
Подставим в (48) выражение (51)
¨ a
a = 936V(43H) + 3(˙ 32¨aa−2)
108(32¨aa−2) = 4aa¨ −a˙2 a2 +3
2
¨ a
a−2, (52)
9 2
¨ a a−4 ˙a2
a2 −2 = 0. (53)
Частным решением данного дифференциального уравнения является
a(t) =e2tc. (54)
Рисунок 1.-Масштабный фактор a(t)
˙
a(t) = 2e2tc. (55)
¨
a(t) = 4e2tc. (56)
H = 2, (57)
H˙ = 0. (58)
Уравнение состояния имеет вид
p=ωρ. (59)
Тогда параметр состояния равен
ω= p
ρ. (60)
Уравнения Фридмана для метрики ФРУ имют вид
3H2−ρ= 0, (61)
2 ˙H+ 3H2+p= 0 (62)
или
ρ= 3H2 = 12, (63)
p=−(3H2+ 2 ˙H) =−12. (64)
Подставим уравнения Фридмана (63) и (64) в уравнение для параметра состояния (60) ω =−1 + 2 ˙H
3H2 =−1. (65)
Последние наблюдательные данные обеспечили убедительные доказательства ускоренного расширения Вселенной в настоящее время [17,18]. Это ускоренное расширение Вселенной приписано доминированию компоненты с отрицательным давлением, названной темной энергией. Пока, природа темной энергии остается тайной. В литературе предложено много кандидатов на темную энергию. Среди них квинтэссенция (ω > −1), фантом (ω < −1), k - эссенция (ω > −1) или (ω < −1), и т.д. Ускоренное расширение Вселенной может также быть получено в соответствии с модифицированной теорией гравитации. Как известно, самая простая модель темной энергии - космологическая константа с плотностью энергии, являющейся около вакуумной энергии, меняющейся в зависимости от времени. Одна из интересных моделей темной энергии - k - эссенция [19]-[22].
В нашей работе ω = −1 значит полученное решение для a(t) удовлетворяет модели k - эссенции. Таким образом, можно сделать выводы, что решение модели (1) для поля материи SM (20) может описывать ускоренное расширение Вселенной.
5. Заключение
В данной работе была исследована модель модифицированной f(R)-гравитации, которая является новой модифицированной теорией гравитации, способной объяснить существующее ускоренное расширение современной Вселенной. В частности был найден масштабный фактор, также изучено поведение масштабного фактора относительно времени. Был найден параметр состояния для случая скалярного поля.
ЛИТЕРАТУРА
1. Эйнштейн А. Собрание научных трудов.// - М.: Наука, 1965, т. I. - 604 с.
2. Daris Samart. Cosmological Dynamics from Modified f(R) Gravity in Einstein Frame.//
[arXiv:astro-ph/0606612v2].
3. Р. Структура пространства-времени.// - М.: Мир, 1972. - 300 с.
4. Станюкович К.Т. Гравитационное поле и элементарные частицы.// - М.: Наука, 1965. - 310 с.
5. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Строение и эволюция Вселенной.// - М.: Наука, 1975. - 736 с.
6. Гинзбург В.Л., Киржниц Д.А., Любушин А.А. //ЖЭТФ, 1971, 60. - с. 451-459.
7. Сахаров А.Д. ДАН СССР,// 1967, т.177, №1, с. 70-71.
8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика.// - М.: Наука, 1988, - 216 с.
9. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля.// - М.: Наука, 1988, - 512 с.
10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля.// - М.: Наука, 1973, - 386 с.
11. S. Nojiri and S. D. Odintsov, Phys. Rev. D68, 123512 (2003)// [hep-th/0307288].
12. E. E. Flanagan, Phys. Rev. Lett. 92, 071101,// (2004)[astro-ph/0308111].
13. G. Magnano, L. M. Sokolowski, Phys. Rev. D50,// 5039 (1994) [gr-qc/9312008].
14. B. Gumjudpai, Gen. Rel. Grav.// 36, 747 (2004) [gr-qc/0308046].
15. Perlmutter S. et al. Measurements of omega and lambda from 42 high-redshift supernovae // Astrophys J. - 1999. - V.517. - P.565-586. [astro-ph/9812133].
16. Riess et al. Observational evidence from supernovae for an accelerating universe and a cos- mological onstant // Astrophys J. - 1998. - V.116. - P.1009-1038. [astro-ph/9805021].
17. Armendariz-Picon C., Damour T., Mukhanov V.F. k-inflation // Phys. Lett. B. - 1999. - V.458. - P.209-218. [het-th/9904075].
18. Armendariz-Picon C., Mukhanov V.F., Steinhardt P.J. Essentials of k-essence // Phys. Rev.
D. - 2001. - V.63. - P.103510. [astro-ph/0006373].
19. Armendariz-Picon C., Mukhanov V.F., Steinhardt P.J. A dynamical solution to the problem of a small cosmological constant and late-time cosmic acceleration // Phys. Rev. Left. - 2000. - V.85.
- P.4438-4441. [astro-ph/0004134] .
20. De. Putter R., Linder E.V. Kinetic k-essence and Quintessence // Astropart. Phys. - 2007. - V.28 - P.263-272. [arXiv:0705.0400].
21. Научный журнал Вестник. Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилёва
№6(79) 2010г.// - 271 с Цыба П.Ю..
22. Научный журнал Вестник. Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилёва
№2 (81) 2011г.// - 311 с. Разина О.В..
23. Материалы 7-ой международной научной конференции "Хаос и структуры в нелинейных системах. Теория и эксперимент".// КарГУ 2010г. - 396 с. Ержанов К.К..
24. А.Д. Линде. Физика элементарных частиц и инфляционная космология.// М., Наука, 1988.
25. A. Linde. Inflation, Quantum Cosmology and the Anthropic Principle,// hep-th/0211048.
Разина О.В., Жусупбеков К.А.
Эйнштейннiң жақындауында өзгертiлген F(R) гравитацияның ғарыштық өзгерiс әсерiгi
Осы мақалада ғарыш әлемдегi ғарыштық гравитация көлемiндегi F(R) өзгерiс әсерiктедегi қозғалысты талдаймыз.
Бiз Эйнштейннiң жақындауын физиқалық жақындау ретiнде таңдаймыз және F(R) гравитациялық моделдегi ең соңғы фазалық жақындауды қарастырамыз. Бiздiң Әлемдегi қараңғы энергиясын фазалық жетiлдiру шешiмiн енгiзусiз үстемдiктiң нәтижесiн бередi.
Razina O.V., Shussupbekov K.A.
Cosmological Dynamics from Modified f(R) Gravity in Einstein Frame
In this paper, we investigate and analyze the cosmological dynamics of the universe, with an effect of modified f(R) gravity emerging at cosmological scale. We choose the Einstein frame as a physical frame. We consider phase portraits of the universe at the late time from modified f(R) gravity model. This result gives our universe an acceleration phase expansion without introducing existence of dark energy dominating our universe.
Поступила в редакцию 15.10.12 Рекомендована к печати 30.10.12
