Электромагнитное поле точечного электрического диполей в одноосной анизотропный среде

И. А. Канымгазиева

Электромагнитное поле точечного электрического диполя в одноосной анизотропной среде

(Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, г. Астана, Казахстан)

Получены асимптотические решения из нового точного решения уравнений Максвелла для одноосных анизотропных сред при произвольных токах, точечный электрический диполь которого направлен параллельно и перпендикулярно оси кристалла в дальней зоне.

Введение

Исследование распространения электромагнитных полей в одноосных анизотропных средах, порождаемых различными излучателями, имеет большое значение для решения теоретических и прикладных задач. В настоящее время распространение электромагнитных волн в анизотропных средах исследовано намного меньше, чем изучение процессов распространения электромагнитных волн в изотропных средах как от сосредоточенных, так и распределенных источников излучения [4], [5], [9]. Изучение распространение электромагнитных волн в анизотропных средах актуально также в радиоастрономии и в физике плазмы.

В классических учебниках традиционно приводится анализ с помощью плоских волн, тог- да как разложение искомого поля по плоским волнам также является непростой задачей.

Поэтому для решения таких задач в последнее время принято использовать численные или получисленные методы, после чего физическая картина процесса становится не более четким.

Следовательно, необходим строгий аналитический метод для решения уравнений Максвелла для анизотропных сред.

Матрица Грина уравнений Максвелла (УМ) для изотропных ЭМ-сред для нестационарных и стационарных колебательных процессов известна [1]. Она позволяет строить решения уравнений Максвелла при любых токах, в том числе из класса сингулярных обобщенных функций. На основе обобщенных функций построены аналитические решения УМ при произвольных токах в сверточном виде [3]. Построены диаграммы направленности излучателя Герца в анизотропных кристаллах при слабой и сильной анизотропии среды.

1. Постановка задачи

Электромагнитное поле в каждой точке в каждый момент времени определяется векторными величинами: векторами E и D, характеризующими напряженность электрического поля, и векторами H и D, характеризующими напряженность магнитного поля [2].

Требуются определить составляющих напряженности электромагнитного поля в одноосном анизотропном кристалле, электрический диполь, которых направлены параллельно оси кристалла и перпендикулярно оси кристалла в дальней зоне. В работе [3] получены точные решения в виде суммы двух независимых решений:

( E=E₁+E₂,

H=H1+H2, (1)

Первые слагаемые из (1):







E1=− 1 εε0

(∇∇+k²₀)(Ψ^ε₁p₀), H₁ =iω[∇,(Ψ^ε₁p₀)],

(2) где Ψ^ε₁ функция Грина и радиус-вектор для анизотропной среды:

Ψ^ε₁=− 1 4π

r ε ε₁

exp (ik_nr⁰)

r⁰ r⁰ = r ε

ε₁x²+y²+z² (3) Волновое число для изотропной и анизотропной сред, соответственно:

k₀² =ω²εε₀µµ₀, k_n= rε₁

εk₀.

При анализе структуры электромагнитного поля точечного диполя Герца пространство вок- руг вибратора рассмотрим дальнюю (k₀r >>1) зону. Величина зависит от соотношения между расстоянием от точечного диполя до точки, в которой вычисляется поле, и длиной волны. Так как k₀ = 2π/λ, то условие k₀r >> 1 определяющее дальнюю зону, эквивалентно условию 2πr >> λ [4], [5].

2. Решение задачи точечного диполя Герца, расположенного параллельно оси одноосного кристалла

Чтобы найти напряженности электромагнитного поля точечного диполя Герца в дальней зоне, рассмотрим связь декартовой системы координат с сферической системы координат.

Так как, ось кристалла направлена по оси x, то сферическая система координат связаны с декартовыми координатами следующим образом:

x=rcosθ, y=rsinθcosφ, z=rsinθsinφ. (4) Используя (4) в (3), получим:

r⁰ =r r ε

ε₁cos²θ+ sin²θ. (5)

Продифференцируем (2) и получим составляющих напряженности электромагнитного поля:



















E1x =− 1 ε0ε

exp(i(knr⁰−ωt))k²₀px

4π

r ε ε1

( ε ε1

x² r⁰³ − 1

r⁰), E_1y =− 1

ε0ε

exp(i(k_nr⁰−ωt))k₀²p_x 4π

r ε ε1

xy r⁰³, E1z=− 1

ε₀ε

exp(i(knr⁰−ωt))k₀²px

4π

r ε ε₁

xz r⁰³,

(6)











H1y = r ε

ε₁

knωexp(i(knr⁰−ωt))pxz 4πr⁰² , H1z =−

r ε ε₁

knωexp(i(knr⁰−ωt))pxy 4πr⁰² .

(7)

Переход с декартовой системы координат в сферическую систему координат осуществляет- ся следующим образом:







E_r=E_xcosθ+E_ysinθcosφ+E_zsinθsinφ, E_θ =−E_xsinθ+E_ycosθcosφ+E_zcosθsinφ, E_φ=−E_ysinφ+Ezcosφ.

(8)

Учитывая (4) и используя (8) в (6) и (7), получим асимптотические решения точного решения уравнений Максвелла (2), электрический диполь который направлен по оси кристалла x (рис.1):

E1r=E_1φ=H1r=H_1θ, (9)

E_1θ =−exp (i(knr⁰−ωt)) ε0ε

k₀²p0

4π s

ε ε1

sinθ

ra^3/2, (10)

H_1φ=− s

ε ε₁

ωk_np₀exp (i(k_nr⁰−ωt))sinθ

4πra , (11)

где

p_r=p₀cosθ, p_θ =−p₀sinθ.

Получены асимптотические решения (9)-(11), которые соответствуют решениям [6].

Рисунок 1. -Диаграммы направленности точечного диполя Герца, направленного параллельно оси одноосного кристалла ε1ε= 7, φ=π,0

3. Решение задачи точечного диполя Герца, направленного перпендикулярно оси кристалла

Теперь можно рассматривать вторые слагаемые (1), которые выражены через перпендикулярные составляющие точечного электрического диполя p_⊥ и функциями Ψ₀, Ψ^ε₁ и Ψ^ε₂:

E2 =−(εε₀)⁻¹ k²₀(p_⊥Ψ0+grad_⊥div(p_⊥Ψ^ε₂)) +graddiv(p_⊥Ψ^ε₁)

, (12)

H2=iωrot p_⊥Ψ0−ex

∂

∂x

!

div(p_⊥Ψ^ε₂)

!

, (13)

где grad_⊥=grad−e_x ∂

∂x, Ψ₀ =− 1 4π

exp(ik0r)

r , r=p

x²+y²+z², Ψ^ε₂ ≡ ε1

ε −1

!

Ψ₀∗Ψ^ε₁. Вычислив свёртку, выразим функцию Ψ^ε₂ через специальные функции:

Ψ^ε₂= 1

i·8πk₀[exp(ik₀x)(Ci(k₀(r−x)) +i·si(k₀(r−x))) + exp(−ik₀x)×

×(Ci(k₀(r+x)) +i·si(k0(r+x)))−exp(ik0x)(Ci(knr⁰−k0x) +i·si(knr⁰−k0x))−

−exp(−ik₀x)(Ci(k_nr⁰+k₀x) +i·si(k_nr⁰+k₀x))]. (14) где интегральные косинус и синус определяются как [7]:

Ci(z) =γ+ln(z) + Z _z

0

cost−1

t dt, si(z) = Z _z

0

sint t dt−π

2, (15)

γ = 0,5772 – число Эйлера.

Асимптотическое решение при z → ∞ функции Ψ^ε₂ (14) можно записать в следующем виде:

Ψ^ε₂ ≈ 1 i·k²₀(r²−x²)















Ψ0r i·r+ r²+x² k0(r²−x²)

!

−Ψ^ε₁·r⁰













 i·r⁰+

ε₁

εr⁰²+x²

!s ε₁

ε k₀(r²−x²) ε1

ε

!2





























, (16)

где при z→ ∞ (15)[8]:

si(z)≈ −1

z cos(z) +sin(z) z

!

, Ci(z)≈ 1

z sin(z)−cos(z) z

!

. (17)

Можно пренебречь вторыми слагаемыми функций Ψ₀ и Ψ^ε₁, так как их значения незначительны. Тогда выражение (16) при z→ ∞ имеет вид (рис.2):

Ψ^ε₁ ≈ 1

k²₀(y²+z²) Ψ0r²−Ψ^ε₁·r⁰²

. (18)

Рисунок 2. -График точного и асимптотического решения функции Ψ^ε₂ в одноосном кристалле

Используя (18) в (12) и (13), продифференцируем:

E2x= xz ε0ε

k_n²p_z ar²

ε ε1

Ψ^ε₁, (19)

E_2y = yzpz

ε₀ε k²_nΨ^ε₁ 1

ar²− 1 y²+z²

!

+ k₀²Ψ0

y²+z²

!

, (20)

E_2z = z²pz

ε₀ε k_n²Ψ^ε₁ 1

ar²− 1 y²+z²

!

+k²₀Ψ₀ 1

y²+z²− 1 z²

!!

, (21)

H_2x=−ωk0Ψ0ypz

r , (22)

H2y =−xω r

k_np_zz²Ψ^ε₁

√a(y²+z²)+ Ψ0k0 1− z² y²+z²

!!

, (23)

H2z=−ωk₀xyzp_z r(y²+z²)

Ψ^ε₁

√a−Ψ0

!

, (24)

Теперь используя (4) в (19)-(24), получим:

E_2x= sinθcosθsinφ ε0ε

k_n²pz

a ε ε1

Ψ^ε₁, (25)

E2y = p_zcosφsinφ

ε0ε k²_nΨ^ε₁ sin²θ ar² −1

!

+k₀²Ψ0

!

, (26)

E2z = p_z

ε₀ε k²_nΨ^ε₁sin²φ sin²θ a −1

!

−k₀²Ψ0cos²φ

!

, (27)

H_2x=−p_zωk₀Ψ₀sinθcosφ, (28)

H2y =−ωp_zcosθ k_nsin²φΨ^ε₁

√a + Ψ0k0cos²φ

!

, (29)

H_2z =−ωp_zcosθcosφsinφ knΨ^ε₁

√a −k₀Ψ₀

!

, (30)

a) б)

в) г)

Рисунок 3. - Диаграммы направленности точечного диполя Герца, направленного перпендикулярно оси одноосного кристалла ε1ε= 7, φ=π,0, а) и б) r= 10, в) и г) r= 10

Применяя (8) в (25)-(30), можно получить асимптотические решения точного решения в одноосном кристалле, электрический диполь, который направлен перпендикулярно оси крис- талла, т.е. по z:

E_2r=H_2r = 0, (31)

E2θ= p_zk²₀ 4πεε0

s ε ε1

sinφcosθ r

√

a³ exp(i(knr⁰−ω·t)), (32) E_2φ= pzk²₀

4πεε0

cosφ

r exp(i(k₀r⁰−ω·t)), (33) H_2θ=−ωp_zk₀

4π cosφ

r exp(i(k0r⁰−ω·t)), (34)

H_2φ= ωpzkn

4π s

ε ε1

cosθsinφ

ra exp(i(k_nr⁰−ω·t)), (35) Поле системы токов в дальней зоне имеет поперечный характер, составляющие поля в направлении распространения отсутствует. Векторы поля напряженности электромагнитного поля в общем случае имеют по две компоненты: E_θ, E_φ и H_θ, E_φ. Так как, E_θ, E_φ сдвинуты друг относительно друга по фазе, то вектор напряженности электрического поля (а также и вектор напряженности магнитного поля) не будет вектором постоянного (во времени) направления; конец его перемещается в пространстве, описывая некоторую замкнутую кривую (эллипс) за время, равное периоду колебаний, т.е. поле имеет эллиптическую поляризацию [9].

Заключение

В данной работе, обобщающая результаты научных работ авторов, посвящена исследованию углового распределения излучаемой мощности электрического диполя в одноосных кристаллах. Получены асимптотические решения из точного решения уравнений Максвелла для точечного диполя Герца в одноосной анизотропной среде при действии токов, как распределенных, так и сосредоточенных, описываемых сингулярными функциями. Построены диаграммы направленности для излучателя Герца при параллельном и перпендикулярном направлений оси излучателя к оси анизотропии среды. Построен график сравнения точного и асимптотического решений сложной функции, полученной с помощью интегрального синуса и косинуса в зависимости от расстояния.

Результаты настоящей работы могут быть использованы для составления интегральных уравнений краевых задач, применены для исследования процессов распространения электромагнитных волн в анизотропных средах и волноводах.

ЛИТЕРАТУРА

1. Саутбеков С.С., Алексеева Л.А. Фундаментальные решения уравнений Максвелла //

Дифференциальные уравнения. - 1999. - №1. - Т. 35. - С. 125-127.

2. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. - М.: Наука, 1979. - 384 с.

3. Sautbekov S., Kanymgaziyeva I., Frangos P. The generalized solutions of Maxwell equations for the uniaxial crystal // Jоurnal of Applied Electromagnetism. - Creece, 2008. - No. 2. - Vol. 10. - Р. 43-55.

4. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. - М.: Радио и связь, 1988. - 440 с.

5. Нефедов Е.И. Техническая электродинамика. - М.: Академия, 2008. -416 с.

6. Потехин А.И. Излучение и распространение электромагнитных волн в анизотропной среде. - М.: Наука, 1971. - 76 с.

7. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - М.: Наука, 1981. - 720 с.

8. Справочник по специальным функциям // Под редакцией М. Абрамовица, И.Стиган - М.: Наука, 1979. - 832 с.

9. Фельд Я.Н., Бененсон Л.С. Основы теории антенн. - М.: Дрофа, 2007. - 491 с.

Қанымғазиева И. А.

Бiр өстi анизотроптық ортадағы нүктелiк электр диполiнiң электромагниттiк өрiсi

Алыс зонадағы кристалл өсiне параллель және перпендикуляр бағытталған нүктелiк электр диполi кез-келген тогы бар бiр өстi анизотропты орта үшiн Максвелл теңдеулерiнiң жаңа нақты шешiмiнiң асимптотикалық шешiмi алынды.

Kanymgaziyeva I. A.

Electromagnetic field of point electric dipole in uniaxial anisotropic crystal

Author had received asymptotic decisions from new exact decision of the equations Maxwell for electric dipole in uniaxial anisotropic crystal, which located parallel and perpendicular axis of the crystal in Fraunghofer region.