И. А. Канымгазиева, У. М. Оразбаева, А. С. Темирбаева
Электромагнитное поле электрического и магнитного диполей в одноосном кристалле
(Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, г. Астана, Казахстан)
Настоящая работа, обобщающая результаты научных работ авторов, посвящена исследованию углового распределения излучаемой мощности электрического и магнитного диполей в одноосных электрических и магнитных кристаллах. В данной работе получены асимптотические решения напряжённости электромагнитного поля (ЭМП) из точного решения уравнений Максвелла для электрического и магнитного диполей в одноосных кристаллах, расположенных вдоль оси кристалла. С помощью полученных результатов построены диаграммы направленности, а также исследованы направление векторов электромагнитного поля.
Введение
Оптическая анизотропия среды характеризуется различной по разным направлениям способностью реагировать на действие падающего света. Реакция эта состоит в смещении электрических зарядов под действием поля световой волны. В анизотропных средах величина смещения заряда в поле данной напряженности зависит от ее направления. Это приводит к тому, что диэлектрическая проницаемость, а,значит, и показатель преломления среды различны для разных направлений электрического вектора световой волны.
К анизотропным материалам относятся: кристаллы и монокристаллы, заготовки сплавов и сталей (прокат, штамповки и др.), волокнистые и плёночные материалы, армированные пластики, пьезокварц, графит и др. [10]
Применение анизотропных материалов с определённым образом ориентированной неоднородностью свойств позволяет сократить расход материалов и улучшить качество изделий.
С целью изучения распространения излучемой мощности магнитного диполя в анизотропной среде выполнены теоретические исследования рядом отечественных и иностранных ученых. Среди них Потехин А. И. [8], Фельд И. А., Бененсон Л. С. [11], Саутбеков С. С., [1], Савченко А. О., Савченко О. Я. [9], Федоров Ф. И. [10] и мн. др.
1. Электромагнитное поле точечного электрического диполя в одноосном кристалле
Постановка задачи
Процесс передачи электромагнитного поля от источника в окружающее его пространство называется излучением электромагнитных волн [6, c.7]. Электромагнитное поле определяется векторами E и H, характеризующими электрическое поле, и векторами D и B , характеризующими магнитное поле [3, c.11].
Рассмотрим системы уравнений Максвелла для одноосной анизотропной среды:
rotH +iωD =j,
rotE −iωB = 0, (1)
где Е, H – напряженности электромагнитного поля, D – вектор электрической индукции, ε0 = 8,85·10−12 Ф/м – электрическая постоянная, bε – тензор диэлектрической проницаемости, j – вектор плотности тока.
Е =
Ex
Ey Ez
,H =
Hx
Hy Hz
,εb=
ε1 0 0 0 ε 0 0 0 ε
.
В анизотропной диэлектрической среде линейная связь между индукцией и напряжённос- тью электрического поля имеет вид [2]:
D =ε0bεE, (2)
вектор магнитной индукции:
B =µ0µH, (3)
Если выбрать систему координат, совпадающую с главными осями тензора диэлектрической проницаемости, материальное уравнение (2) имеет вид:
Dx=ε0ε1Ex, Dy =ε0εEy, Dz =ε0εEz.
В данной работе элементы тензора диэлектрической проницаемости bε соответствует одноосному кристаллу. Ось кристалла направлена по оси x [6].
Напряженности электромагнитного поля Е и H представленны в виде суммы двух независимых решений:
E =E1+E2, H =H1+H2. (4) Первая из слагаемых (4) рассматривают напряженности электромагнитного поля, вектор момента электрического диполя, который направлен вдоль оси кристалла. Вторые слагаемые рассматривают вектора момента точечного электрического диполя, направленного перпендикулярно оси кристалла и его асимптотическое решение выходит за рамки данной статьи.
Требуется определить асимптотическое решение точного решения векторов напряженности электромагнитного поля для диполя Герца, расположенного вдоль оси одноосного кристалла анизотропной среды.
Решение задачи Для того, чтобы решить поставленную задачу, рассматриваем первые составляющие из точного решения (4), которые определяются одной функцией Грина Ψε1 и вектор момента электрического диполя p , действующих вдоль оси кристалла [1]:
E1 =− 1 εε0
(graddiv+k20)(Ψε1p), H1=iωrot(Ψε1p).
(5)
где p=
px
0 0
– вектор момента электрического диполя, k – волновое число для изотропной среды:
k20 =ω2εε0µµ0. Волновой потенциал Ψ1 для одноосного кристалла [7]:
Ψε1 =− s
ε ε1
1 4π
exp(iknr0)
r0 , (6)
и радиус-вектор для одноосного кристалла:
r0= s
ε
ε1x2+y2+z2, волновое число для анизотропной среды:
kn=k0
s ε1
ε.
Для того, чтобы получить из точного решения (5) асимптотическое решение, нужно перейти от прямоугольных координат к сферической системе координат. Так как [8]:
x=r·cosθ, y=r·sinθcosϕ, z=r·sinθsinϕ, (7)
то в сферической системе координат радиус-вектора для одноосного кристалла можно преобразовать:
r0 =r rε
ε1
cos2θ+sin2θ, и применить к (6):
Ψε1=− s
ε ε1
1 4π
exp
iknr s
ε ε1
cos2θ+sin2θ
r qε
ε1cos2θ+sin2θ
. (8)
Переход из декартовой системы координат в сферическую осуществляется с помощью выражений, приведенных ниже:
i =ercosθ−eθsinθ,
j =ersinθ·cosϕ+eθcosθ·cosϕ−eϕsinϕ, k =ersinθ·sinϕ+eθcosθ·cosϕ+eϕcosϕ.
Так как в данном разделе статьи рассматривается электрический диполь, расположенный вдоль оси кристалла x, то его составляющие в сферической системе координат равны:
pr=p·cosθ, pθ =−p·sinθ. (9)
Асимптотическое решение напряженности ЭМП из точного решения (5) получится с помощью (8), (9). В ходе решений задачи определили составляющие напряженности электрического и магнитного полей для элементарного электрического диполя в дальней зоне:
Er=Eϕ = 0, (10)
Eθ =−p s
ε
ε1sinθ·k02· exp
iknr s
ε ε1
cos2θ+sin2θ
4πr·εε0 sin2θ+ ε ε1cos2θ
!3/2, (11)
Hr=Hθ= 0, (12)
Hϕ=−pωk0·sinθ exp
iknr s
ε
ε1cos2θ+sin2θ
4πr· sin2θ+ ε ε1
cos2θ
! . (13)
Направленность излучения антенны характеризуют так называемыми диаграммами направленности. Диаграмма направленности (ДН) передающей(приемной) антенны характеризует интенсивность излучения (приема) антенной в различных направлениях. Для передающей антенны используют ДН по напряженности поля в электрической составляющей электромагнитного поля или по уровню его мощности [5].
С помощью полученных решений (10)-(13) построены сечения диаграммы направленности точечного электрического диполя в дальней зоне.
На рисунках 1-2 показаны взаимное расположение составляющих векторов напряженности электромагнитного поля Eθ, Hϕ и вектора Пойнтинга П в дальней зоне. Вектор Пойнтинга, показывающий направление распространения волн в рассматриваемой точке, так же направлен вдоль оси радиуса r.
Рисунок1.-Пространственная ДН и взаимное расположение векторов поля в дальней зоне электрического диполяр, расположенный вдоль оси одноосного кристалла (ε1/ε= 5)
Рисунок 2.-Пространственная ДН и взаимное расположение векторов поля в дальней зоне электрического диполяр, расположенный вдоль оси одноосного кристалла (ε1/ε= 9)
Для достоверности полученных асимптотических решений использовали предельный переход ε1 → ε. При предельном переходе из решений (10)-(13) получится известное асимптотическое решение для электрического диполя в дальней зоне изотропной среды.
Er =Eϕ = 0, Eθ=p·sinθ·k02·exp(ik0r)
4πrεε0
, (14)
Hr =Eθ= 0, Hϕ=−p·ωk0·exp(ik0r)
4πr . (15)
Полученные решения (14)-(15) соответствуют асимптотическому решению электромагнитного поля диполя, направленного вдоль оси х в дальней зоне. Асимптотическое решение, полученное из точного решения уравнений Максвелла, совпадают с решением, полученным в [8, c.73].
Рисунок 3.- Диаграмма направленности электрического диполя для изотропной среды
2. Точечный магнитный диполь в одноосном магнитном кристалле
Постановка задачи. Элементарный магнитный вибратор отличает от элементарного электрического только тем, что в проводах с шарами на конце вместо плотности стороннего электрического тока je существует плотность стороннего магнитного тока jm . Поле,
создаваемое магнитным вибратором, определяют так же, как и в случае электрического вибратора [10, с. 270].
В данном разделе статьи рассматривается точные решения уравнений Максвелла для одноосного магнитного кристалла, точечный магнитный диполь которого направлен параллельно оси кристалла [2]:
E1 = kn2 ·pz
i·εε0·ω·rot(ezΨµ1), H1 =p·Ψµ1 +p µ
µ1−1
!∂2Ψµ1
∂z2 −pz·µ1
µ ·grad∂Ψµ1
∂z .
(16)
где p=(0,0, pz) - вектор момента магнитного диполя, µ0 = 4π·10−7 Гн/м – магнитная постоянная, bµ – тензор магнитной проницаемости, который соответствует одноосному магнитному кристаллу. Ось кристалла направлена по оси z [1].
µb=
µ 0 0 0 µ 0 0 0 µ1
.
Требуется определить асимптотическое решение из обобщенного решения векторов напряженности электромагнитного поля для точечного магнитного диполя, расположенного параллельно оси магнитного кристалла z. Здесь ось кристалла направлена по оси z [2].
Решение задачи.Рассмотрим составляющих вектора напряженности ЭМП (16):
Ex=− 1 εε0
·k20·pz·∂Ψµ1
∂y , Ey = 1
εε0·k02·pz·∂Ψµ1
∂x , Ez = 0.
(17)
Hx = ∂B
∂x, Hy = ∂B
∂y, Hz =pz·∆0Ψµ1.
(18)
где
∆0= ∂2
∂x2+ ∂2
∂y2, B =pz ∂
∂z(∆Ψµ2 + Ψ0), ∆ = ∂2
∂x2+ ∂2
∂y2+ ∂2
∂z2, µ1
µΨµ1 = Ψ0+ ∂2
∂x2+ ∂2
∂y2
!
Ψµ2, Ψ0 = Ψµ1 + ∂2
∂z2+k20
!
Ψµ2. (19) Напряженность магнитного поля для точечного магнитного диполя с учетом (19) в (18):
Hx=−µ1 µ ·pz
∂2Ψµ1
∂x∂z, Hy =−µ1
µ ·pz
∂2Ψµ1
∂y∂z, Hz=−pz·∆0Ψµ1.
(20)
Для того, чтобы получить из точного решения (17), (20) асимптотическое решение, нужно перейти от прямоугольных координат к сферической системе координат. Так как
x=r·cosϕ·sinθ, y=r·sinθ·sinϕ, z=r·sinθ, (21)
то в сферической системе координат радиус-вектор для одноосного кристалла можно преобразовать:
r0 =r s
µ
µ1cos2θ+sin2θ, и применить к Ψµ1:
Ψµ1 =− s
µ µ1
· 1 4π
exp
iknr s
µ µ1
cos2θ+sin2θ
r s
µ µ1
cos2θ+sin2θ .
Используя (21) в выражения (17) и (20) в декартовой системе координат:
Ex =−ik2np
εε0ω·sinθ·sinϕ·k02·exp(iknr0) 1
r2·a3/2− ikn
r·a
! , Ey = ik2np
εε0ω·sinθ·cosϕ·k02·exp(iknr0) 1
r2·a3/2− ikn
r·a
! , Ez = 0.
(22)
Hx=p·sinθ·cosϕ·cosθ·exp(iknr0) 3iknr0
r2·a2− ikn
r·a3/2− 3 r3·a5/2
! , Hy =p·sinθ·sinϕ·cosθ·exp(iknr0) 3iknr0
r2·a2− ikn
r·a3/2− 3 r3·a5/2
! , Hz =p·exp(iknr0) 2
r3·a3/2− 3sin2θ
r3·a5/2− 2ikn
r2·a+3iknsin2θ
r2·a2 −iknsin2θ r·a3/2
! ,
(23)
где
a= µ µ1
cos2θ+sin2θ.
Переход из декартовой системы координат в сферическую осуществляется с помощью выражений, приведенных ниже [8, с.71 ]:
Er=Excosϕsinθ+Eysinϕsinθ+Ezcosθ, Eϕ =Exsinϕ+Eycosϕ, Eθ =Excosϕcosθ+Eysinϕcosθ−Ezsinθ,
(24)
Поскольку в этом разделе рассматривается магнитный диполь, расположенный вдоль оси кристалла z, соответственно, его составляющие в сферической системе координат равны:
pϕ =p·cosθ, pθ=−p·sinθ. (25)
Используя (24) получим решение составляющих векторов напряженности ЭМП для точечного магнитного диполя в дальней зоне:
Er=Eθ= 0, Eϕ= pk20
εε0ω
sinθ·exp(iknr0) 4πr sin2θ+ µ
µ1
cos2θ
!, (26)
Hr=Hϕ = 0, Hθ =−p·ik0
s µ µ1
sinθ·exp(iknr0) 4πr sin2θ+ µ
µ1
cos2θ
!3/2. (27)
Выше было приведено асимптотическое решение задачи о поле диполя, направленного параллельно оси z. Полученные выражения можно рассматривать как функцию Грина для соответствующих задач. Вычислением можно показать, что в дальней зоне вектор Пойнтинга направлен радиально, как и в случае изотропной среды. Полученные асимптотические решения совпадают с решениями в [8, с. 73].
С помощью полученных решений построены пространственные диаграммы направленности магнитного диполя в одноосном магнитном кристалле. На рисунке 4 показаны ДН и взаимное расположение составляющих векторов напряженностей электромагнитного поля Eϕ, Hθ и вектора Пойнтинга П в дальней зоне.
Рисунок - 4ДН и взаимное расположение векторов ЭМП поля точечного магнитного диполяр, расположенный вдоль оси одноосного магнитного кристалла в дальней зоне
Из всех рисунков можно увидеть, что вдоль оси магнитного диполя излучение отсутствует.
Максимальное излучение происходит в экваториальной плоскости диполя.
Рисунок - 5График точного и асимптотического решения составляющего напряженности магнитного поля Eϕ для магнитного диполя в дальней зоне
Рисунок - 6График точного и асимптотического решения составляющего напряженности электрического поля Hθ
для магнитного диполя в дальней зоне
На рисунках (5) и (6) построены графики сравнения точного и асимптотического решения составляющих векторов напряженности электромагнитного поля в одноосных анизотропных средах.
Из графиков видно, что отличие между точным и асимптотическим решениями составляю- щих векторов напряженности электромагнитного поля в одноосных анизотропноых средах отличается очень мало.
Заключение
В данной работе получены из точного решения уравнений Максвелла асимптотические решения напряженности ЭМП в одноосных электрических и магнитных кристаллах.
С помощью асимптотических решений можно изучить физические процессы в данных кристаллах. Построены диаграммы направленности точечного электрического и магнитного диполей в дальней зоне анизотропной среды. Из рисунков видно, что в дальней зоне вектор Пойнтинга направлен радиально, как и в случае изотропной среды.
Сравнивая полученные асимптотические выражения для ЭМП в дальней зоне, создаваемого электрическим и магнитным диполями, замечаем, что поля излучения их будут сдвинуты между собой по фазе на 900. Построен график сравнения точного и асимптотического решений составляющих векторов напряженности ЭМП магнитного диполя в одноосных анизотропных средах. Из графиков видно, что отличие между точными и асимптотическими решениями составляющих векторов напряженности ЭМП в одноосных анизотропных средах, незначительное. Достоверность полученных асимптотических решений проверена путем предельного перехода из анизотропной среды в изотропную среду, а также результаты сравнивались с результатами других ученых.
Особенностью работы является ее прикладная направленность, позволяющая использовать полученные теоретические результаты для решения конкретных задач и изучения физических процессов.
ЛИТЕРАТУРА
1. S. S. Sautbekov, Radiation of Electric and Magnetic Dipole Antennas in Magnetically Anisotropic Media
2. S. S. Sautbekov, I. A. Kanymgaziyeva, P. Frangos // Electronics and electrical engineering. - No. 1 (97). - 2010. - P. 23-27.
3. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. - М.: Радио и связь, 1988. - 440 с.
4. Драбкин А. Л., Зузенко В. Л., Кислов А. Г. Антенно-фидерные устройства. - М.:
Советское радио, 1974. - 270 с.
5. Драбкин А. Л., Коренберг Е. Б. Антенны. - М.: Радио и связь, 1992. - 144 с.
6. Канымгазиева И. А. Диаграммы направленности магнитного диполя в анизотропных средах // Математический журнал. - 2009. - №2 (32). - Т. 9. - с. 71-77.
7. Канымгазиева И. А., Саутбеков С. С. Диаграммы направленности излучателя Герца в одноосном кристалле // - Севастополь, Крым, Украина, 2007. - С. 837-838.
8. Потехин А. И. Излучение и распространение электромагнитных волн в анизотропной среде. - М.: Наука, 1971. - 76 с.
9. Савченко А. О., Савченко О. Я., Электромагнитное поле диполя в анизотропной среде // Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 10. - С.118-120.
10. Федоров Ф. И. Оптика анизотропных сред. - М.: УРСС, 2004. - 380 с.
11. Фельд Я. Н., Бененсон Л. С. Антенны сантиметровых и дециметровых волн. - М.:
"Дрофа", 1955. - 206 с.
И. А. Қанымғазиева, Ү. М. Оразбаева, А. С. Темiрбаева
Бiр өстi кристаллдардағы нүктелiк электрлiк және магниттiк дипольдердiң электромагниттiк өрiсi
Максвелл теңдеулерiнiң нақты шешiмiнен нүктелiк электрлiк және магниттiк дипольдер үшiн электромагниттiк өрiс кернеулiктерiнiң алыс зонадағы асимптотикалық шешiмдерi алынды және олардың бағытталу диаграммалары келтiрiлген, сонымен қатар, электромагниттiк өрiстiң векторларының бағыты зерттелiндi
I. A. Kanymgaziyeva , U. M. Orazbayeva, A. S. Temirbayeva
Research of the electromagnetic field point electric and magnetic dipoles in uniaxial crystal
In this paper authors had received asymptotic decisions tension electromagnetic-field (EIF) from exact decision of the equations of Maxwell for electric and magnetic dipoles in uniaxial crystal, which located parallel axis of the crystal. Results of research show their radiation pattern and direction of electromagnetic-field vector.
Поступила в редакцию 30.04.2012 Рекомендована к печати 30.05.2012
