Коэффициенты затухания и скорости тепловых и упругих волн в анизотропной среде ромбической сингонии

Н.А. Испулов, А.К. Сейтханова

Коэффициенты затухания и скорости тепловых и упругих волн в анизотропной среде ромбической сингонии

(Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова, г.Павлодар, Казахстан )

Актуальность исследования закономерностей волновых процессов в упругих средах с термомеханическим эффектом связана с необходимостью решения теоретических и прикладных задач геофизики, сейсмологии, механики композитных материалов и т.д. Связанные уравнения движения и уравнения теплопроводности отличаются сложностью и обилием физико-механических параметров. В связи с этим интенсивно развивается раздел механики деформируемого твердого тела, - термоупругость. В рамках этого направления, опираясь на использование определенных физико-механических свойств анизотропных средах, изучаются связанные тепловые и механические поля. В данной работе, на основе метода матрицанта, определены виды зависимостей скоростей и коэффициентов затухания, связанных термоупругих волн от частоты; построены качественные графические зависимости скоростей и коэффициентов затухания упругих и тепловых волн от частоты, при изменении параметров среды (термомеханического параметра, температуры и коэффициента теплопроводности).

Матрица коэффициентов B (если параметры среды постоянны) в случае распространения одномерной термоупругой волны в анизотропной среде ромбической сингонии имеет вид [1]:

B₀ =









0 b12 b17 0

b21 0 0 0

0 0 0 b₇₈ 0 −iωb₁₇ b87 0









(1)

здесь, коэффициенты bij равны:

b₁₂= 1 c33

;b₁₇= β₃₃ c33

;b₂₁=−ω²ρ;b₈₇=−iω β₃₃² c33

+c_ε

;b₇₈=− 1 λ33

. Учитывая условие [2]:

det|B−λE|= 0 (2)

для данной задачи получим характеристическое уравнение в виде:

λ⁴−Bλ²+C= 0 (3)

где B=b12b21+b78b87, C=b21b78 iωb²₁₇+b12b87

Из (3) получаем:

λ²_1,2 = 1

2 b12b21+b78b87

± 1 2

q

(b12b21−b78b87)²−4iωb²₁₇b21b78 (4) Если допустить, что упругая продольная и тепловые волны распространяются несвязанно, т.е.

термомеханические параметры βij = 0, тогда корни характеристического уравнения (3) будут равны:

λ_1,2=±iω r ρ

c33

;λ_3,4=±iω riωc_ε

λ33

; (5)

Из первого корня соотношения (5) следует скорость упругой продольной волны, которая будет распространяться с затуханием; второе соотношение определяет тепловую волну.

Из соотношения (4) получим четыре корня характеристического уравнения (3), имеющие вид:

k_1,2=± s

a 2

1 + 2b−_a^c

√2√ D−x

+1

2i b− 1

√2

√ D−x

;

k_3,4 =± s

a 2

1− 2b−_a^c

√2√ D−x

+ 1

2i b+ 1

√2

√ D−x

; (6)

где a=b₁₂b₂₁;b=b₇₈b₈₇;c= 4iωb²₁₇b₂₁b₇₈;D= r

a²+b²2

+

2ab−c²

В корнях (6) уже учитывается эффект связанности упругой и тепловой волн, т.е. βij 6= 0 . Перепишем k1,2 в (6) в следующем виде:

k_1,2=±p

x₁+iy₁= ⁴ q

x²₁+y₁² cosψ+isinψ

(7)

k1,2=±p

x1+iy1 =± 1

√ 2

√ y1

D₁+x₁ +ip

D1+x1

(8) где D₁=p

x²₁+y²₁, x₁= ^a₂

1 + ^2b−

c

√ a

2√ D−x

;y₁ = ¹₂ b−^√1

2

√D−x

Корни k_3,4 в (6) равны:

k_3,4=±p

x₂+iy₂ =− 1

√2

y2

√D₂+x₂ ±ip

D₂+x₂

(9) где

x2 = a 2

1− 2b−_a^c

√ 2√

D−x

;y2 = 1 2

b+ 1

√ 2

√ D−x

В явном виде корни (8) и (9) имеют вид:

k_1,2=± r c_εω

2λ₃₃ 1 +ih

1 +λ₃₃ 2

iωc_ερλ₃₃T₀²+c³₃₃ ρ²ω³λ²₃₃T₀²+ωc²_εc²₃₃

β₃₃² i

(10)

k_3,4 =± s

ρω² c₃₃

1− iω 2c₃₃λ₃₃

ρωc₃₃λ²₃₃T₀²−ic_εc²₃₃λ₃₃T₀ ρ²ω³λ²₃₃T₀²+ωc²_εc²₃₃

β₃₃²

(11) Рассмотрим корень k1 в соотношениях (10).

Действительная и мнимая части этого корня равны:

Rek1 = r cεω

2λ33

1 +λ33

2

c²₃₃−ωcερλ33T₀² ρ²ω³λ²₃₃T₀²+ωc²_εc²₃₃

β₃₃²

(12)

Imk1 =i rc_εω

2λ33

1 +λ₃₃ 2

ωc_ερλ₃₃T₀²+c³₃₃ ρ²ω³λ²₃₃T₀²+ωc²_εc²₃₃

β₃₃²

(13) Из мнимой части корня k1 получим формулу для скорости тепловой волны:

c= k₁ ω =

r2λ₃₃T ω cε

h

1−λ₃₃ 2

ωc_ερλ₃₃T₀²+c³₃₃ ρ²ω²3λ²₃₃T₀²+c²_εc²₃₃

β₃₃² i

(14) Действительная часть этого корня позволяет получить коэффициент затухания тепловой волны:

k_zat= rωcε

2λ₃₃ h

1 +λ33

2

c²₃₃−ωcερλ33T₀² ρ²ω²λ²₃₃T₀²+c²_εc²₃₃

β₃₃² i

(15) Рассмотрим теперь положительный корень k3 в соотношениях (11). Действительная и мнимая части которого, соответственно, позволяют получить коэффициент затухания и скорость упругой волны:

k_zat= 1 2

r ρ c₃₃

ρω³c₃₃λ₃₃T₀² ρ²ω²λ²₃₃T₀²+c²c²₃₃

β₃₃² (16)

c= rc₃₃

ρ

1−1 2

c_εc₃₃T₀ ρ²ω²λ²₃₃T₀²+c²_εc²₃₃

β₃₃²

(17) В результате из корней (10), (11) построены качественные графические зависимости скоростей и коэффициентов затухания упругих и тепловых волн от частоты, при изменении параметров среды (термомеханического параметра, температуры), представленные ниже.

Рисунок 1 - График зависимости скорости c упругой продольной волны от частоты при различных термомеханических параметрах βij

Из приведенного графика зависимости, видно, что при увеличении термомеханического параметра скорость упругой продольной волны уменьшается.

Рисунок 2 - График зависимости скорости c упругой продольной волны от частоты при различных температурах

Рисунок 3 - График зависимости коэффициента затухания k3 упругой продольной волны от частоты при различных термомеханических параметрах βij

Данный график зависимости свидетельствует о том, что с увеличением термодинамической температуры скорость упругой продольной волны уменьшается. Это связано с воздействием колебаний узлов кристаллической решетки на скорость волны.

Рисунок 4 - График зависимости коэффициента затухания k3 тепловой волны от частоты при различных термомеханических параметрах βij

Из последнего графика зависимости следует, что увеличение термомеханического параметра приводит к затуханию тепловой волны в анизотропной среде. При определенной частоте ω₀, выводимой из формулы (15), не происходит взаимовлияния тепловой и упругой волны, т.е. волны распространяются без термоупругого эффекта.

ЛИТЕРАТУРА

1. С.К. Тлеукенов, М.К. Кудерин, В.А. Козионов, Н.А. Испулов Е.К. Баяубаев, А.К.

Сейтханова Динамические и термодинамические процессы в скальных грунтах и строительных конструкциях. Монография под ред. академика АЕН, д.ф.-м.н., профессора С.К. Тлеукенова.- Павлодар, 2006.

2. Тлеукенов С.К. Метод матрицанта. - Павлодар: НИЦ ПГУ им. С. Торайгырова, 2004. - 148 с.

3. Ш.М. Айталиев, С.К. Тлеукенов, А.К. Сейтханова / 4 класты тетрагоналды сингониялы анизотропты ортада термосерпiмдi толғындардың таралуы туралы. Вестник КазНПУ им.

Абая, Серия механика, физика, информатика, Алматы, 2007.

4. Тлеукенов С.К., Испулов Н.А., Сейтханова А.К. О распространении термоупругих волн в анизотропной среде ромбической сингонии классов 222 и mm². Механика и машиноведение, Институт механики и машиноведения им. У.А. Джолдасбекова МОН РК, №3, C. 102-106, Алматы, 2008 .

Испулов Н.А., Сейтханова А.К.

Aнизотропты ортаның ромбылық сингониядағы жылулық және серпiмдi толқындардың үшу коэффициенттерi мен жылдамдықтар

Термомеханикалық эффектiмен болатын серпiмдi орталарда толқындық процестердiң заңдылықтарды зерттеу актуалдығы, геофизика, сейсмология, композиттiк материалдардың механикасының теориялық және қолданбалы есептердi шешуiнде қажеттiлiгiмен байланысты. Байланысқан қозғалыс теңдеулерi мен жылөткiзгiштiк теңдеулерi физика-механикалық параметрлердiң күрделiгi мен көп болуымен ерекшеленедi. Осыған байланысты деформацияланатын қатты дене механикасының - термосерпiмдiлiк деген тарауы қарқынды дамып келедi. Осы бағыттың аясында анизотропты орталардың кейбiр физика-механикалық қасиеттерiн қолдана отырып, байланысқан жылулық және механикалық өрiстер зерттеледi.

Берiлген жүмыста, матрицант әдiсiнiң негiзiнде, жиiлiкке тәуелдi байланысқан термосерпiмдi толқындардың жылдамдықтары мен өшу коэффициенттерiнiң тәулдiлiктердiқ түрлерi анықталған; серпiмдi және жылу толқындардың (термомеханикалық параметрлердiң аздығы кезiндегi) жылдамдықтардың және өшу коэффициентерiнiң температуранық, жылуөткiгiштiк коэффициентiнiң және жиiлiктiң өзгерiсiне тәуелдiлiгiнiң сапалы графиктерi сызылды.

N.A. Ispulov, A.K. Seythanova

Coefficients of quenching and velocities thermal and elastic waves in an anisotropic medium of trimetric system

The urgency of research of laws of wave processes in elastic environments with thermo mechanical effect is connected with necessity of the decision of theoretical and applied problems of geophysics, seismology, mechanics of composite materials etc.

Connected equations of movement and the heat conductivity equation differ complexity and an abundance of physical-mechanical

parameters. In this connection the section of mechanics of a deformable firm body, - thermo elasticity intensively develops. Within the limits of this direction, leaning against use of certain physical-mechanical properties anisotropic environments, the connected thermal and mechanical fields are studied.

In given article on the basis of a method matrizant, kinds of dependences of speeds and factors of the attenuation, the connected thermoelastic waves from frequency are defined; the quality graphs of the dependence of decay rates and attenua- tion coefficients of elastic and thermal waves (under small thermomechanical parameter) on the changes of temperature, heat conductivity tensor and frequency have been plotted.

Поступила в редакцию 12.05.11 Рекомендована к печати 31.05.11