repository.enu.kz

«Қоғамды ақпараттандыру» III Халықаралық ғылыми-практикалық конференция

327

УДК 517.2

БАЕГИЗОВА А.С.

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Астана, Казахстан МЕТОД ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ

ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

В статье описан метод обобщенных функций (МОФ) для решения краевых задач математической физики, введены обозначения и определены некоторые понятия МОФ, которыми пользовались при доказательстве лемм и теорем.Полученстационарный аналог формулы Гаусса для уравнения Гельмгольца.

Обозначим

^{D R}

^{( N)}

 ^{u x}

^{( ),}

^x

^

^R

^N



- пространство обобщенных функций, определенных на пространстве финитных бесконечно дифференцируемых функций

^{D R}

^{( )}

 ^

^{( ),}

^{x x}

^

^R

^N



^.

Любая локально интегрируемая функция

f x ( )

определяет регулярную обобщенную функцию (РОФ)

f ˆ

- линейный непрерывный функционал вида:

1 2

( , ) ˆ ( ) ( ) ( ), ( ) ...

N

N R

f    f x  x dV x dV x  dx dx dx

. (1.1) Обобщенные функции, не представимые в виде (1.1), называются сингулярными.

Пусть

S 

^R^N

- открытое множество в евклидовом пространстве

R

^N , ограниченное поверхностью,

S

- его граница (dim

S

 N 1) из класса поверхностей Ляпунова:

: 0 1

 

  

, такое, что для

    x S , y S

имеет место оценка:

( ) ( ) ,

n x



n y



const x



y

^ (1.2)

где

n x ( )

- внешняя единичная нормаль к

S

в точке

x

,

S

 ^R^{N }(S^S^)_. Обозначим H_S^( )x - характеристическую функцию множества S^:

1, 0,

1, 2

S

( )

x S x S

x S

H

^

x

 

 



 

  



(1.3)

Пусть

u x

( )

Ñ S

²( ^ 

S

). Введём регулярную обобщённую функцию

u ˆ

вида:

( ), 0,

1 ( ), 2 ˆ ( ) _S( )

u x x S

x S u x x S

u u x H

^

x

 

 





  



(1.4)

Лемма 1.Обобщенные производные

u ˆ

равны,

ˆ

_S

( ) ( )

_{j S}

( )

j j

u u

H x u x n x

x x

^



   

 

(1.5)

«Қоғамды ақпараттандыру» III Халықаралық ғылыми-практикалық конференция

328

 

2 2

( ) ,

ˆ S( ) _i x S( ) _i S( ) j S( )

j i j i j

u u u

n

H x x u x n x

x x

 

x x

 ^  

x 





     ^(1.6)

где первое слагаемое справа - это обычная производная.

Следствием леммы является действие оператора Лапласа на

u ˆ

в

D R  (

^N

)

. Лемма 2. Если

u x ( )  C S

²

(

^

 S )

,

тогда

 

ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ,

j j

S S S

u u u

H x x u x n x

n



x



      

  ^(1.7)

где второе и третье слагаемые - сингулярные ОФ - простой и двойной слой на

S

. Здесь и далее по одноименным индексам в произведении проводится суммирование от 1 до N подобно тензорной свертке. Эти формулы удобно использовать при построении обобщённого решения краевых задач.

Обозначим L(_x)- линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами.

Известно, чторешение уравненияна

D '

:

ˆ ˆ

(

_x

) ( ) ( )

L  u x  f x

(1.8)

представимо в виде

0

ˆ ˆ

ˆ ˆ * ,

u  u  U f

где первое слагаемое справа - обобщенное решение однородного уравнения (1.8) (при f=0), а второе слагаемое - свертка правой части с фундаментальным решением

U x ˆ ( )

:( (L _x)U ( ))x ^.Для регулярных ОФ свертка представима в виде:

ˆ * ˆ ( ) ( ) ( ),

RN

U f   U x  y f y dV y

^(1.9)

если она существует. Для сингулярных при вычислении сверток следует пользоваться ее определением в пространстве обобщенных функций.

Рассмотрены решения волновых уравнений, описывающие стационарные гармонические колебания. Их можно представить в виде

u x t ( , )  u x e

^*

( )

^{i t} , где



- частота колебаний,

*

( )

u x

- комплексная амплитуда, модуль которой равен амплитуде колебаний, а аргумент описывает сдвиг фаз колебаний точек среды. В этом случае, если

u x e

^*

( )

^{i t} решение волнового уравнения Даламбера

2

2 1

2 ( , ), ^N,

c

u u c u G x t x R t R

t

 

     

 (1. 10)

с правой частью

G  G x e

^*

( )

^{i t} , то

u x

^*

( )

является решением уравнения Гельмгольца

* 2 * *

u k u G

   ,

k   / c

(1.11)

Уравнение Гельмгольца в теории колебаний играет такую же роль, как уравнение Лапласа в статических задачах математической физики.

Уравнение (1.11) имеет фундаментальные решения вида:

1

ˆ 0( ),

4

U  i H k x ^{N=2; ˆ}_{1 ,}

4 eik x

U ^{ }  x N=3,(1.12)

где

H k x

₀¹

( )

- функция Ханкеля первого рода, которые удовлетворяют условиям излучения Зоммерфельда при

r



x

:

«Қоғамды ақпараттандыру» III Халықаралық ғылыми-практикалық конференция

329



^{1/ 2}



^{* 1/ 2}

* ( ) ,

^u_r

* ( ),

u x  O x

^{ }_

 iku  o x

^ для N=2 (1.13)

 

^{1 * 1}

* ( )

^u_r

* ( ),

u x  O x

^{ }_

 iku  o x

^ для N=3 (1.14)

Их свёртка с Gˆ^* определяет единственным образом решение уравнения (1.11), удовлетворяющее условиям Зоммерфельда на бесконечности.

При построении ГИУ для решений эллиптических уравнений использовали формулу Гаусса, которая определяет характеристическую функцию множества через интегралы от фундаментального решения и его производных. На основе МОФ получено представление характеристической функции множества и построен обобщенный аналог формулы Гаусса для уравнения (1.8), уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца.

Л е м м а 3. Стационарный аналог формулы Гаусса для уравнения Гельмгольца имеет вид:

( , ) 2

. .

( )

( ) ( , ) ( )

_L

( ),

L L

U y x

V P

n y

dS y k U x y dV y H x



 



 

 

где L^- произвольная область в

R

^N, ограниченная замкнутым ляпуновским контуром (поверхностью) L, n-единичная внешняя нормаль кL. Для

x  S

интеграл берется в смысле главного значения.

Приведены нестационарные и стационарные уравнения Шредингера, и уравнения Клейна- Гордона-Фока, даны их фундаментальные решения и описаны их асимптотические свойства.

Уравнение Шредингера и уравнение Клейна-Гордона-Фока в случае стационарных колебаний приводятся к одному виду для комплексных амплитуд (ШГФ-уравнению):

* 2 * * *

( ) ( )

u k u q x u f x

   

,

x



R

^N, (1.15)

где

k

- волновое число, функцию

q x ( )

называют потенциалом рассеяния.

Литература

1. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.1981. 512 с.

2. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. – М.:

ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 576 с. – ISBN 5-9221-0093-9.

3. Справочник по специальным функциям. Под редакц. М. Абрамовица, И. Стигана. М:

Наука, 1979. .

4.Михлин С.Г. Курс математической физики. – М.: Наука, 1968.

5. Алексеева Л.А. Метод обобщенных функций в нестационарных краевых задачах для волнового уравнения // Математический журнал. Т.6, №1(19), 2006, с.16-32.