МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ НА ОСНОВЕ ЗАДАЧИ ЗОММЕРФЕЛЬДА

(1)

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ НА ОСНОВЕ ЗАДАЧИ ЗОММЕРФЕЛЬДА

Касымканова Р.Н.

Докторант Евразийского национального университета им.Л.Н.Гумилева, Астана Научный руководитель – д.ф.-м.н. Саутбеков С.С.

Аннотация: предлагается новый строгий метод решения для краевых задач для изотропных и анизотропных сред с плоской границей на основе задачи Зоммерфельда.

Введение

Впервые строгое решение краевой задачи о дифракции электромагнитной волны диполя на плоской границе двух изотропных сред получено Зоммерфельдом путем сведения уравнение Гельмгольца к решению обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка [1]. В работе [2] предложен новый метод решения задачи Зоммерфельда, где краевая задача сводится к системе алгебраических уравнений относительно коэффициентов отражения и преломления. В настоящей работе с помощью интегральных уравнений для полей [3] и электродинамических граничных условий, краевая задача сводится к системе двух линейных алгебраичесих уравнений относительно фурье-компонент поверхностных токов. Последний модифированный метод позволяет решать краевые задачи для анизотропных сред.

Постановка задачи

Рассматривается система уравнений Максвелла для стационарного электромагнитного поля ( eⁱt

):

rot E  i₀H  0,

 (1)

^{rot H  i}^⁰^{E  j,}

где H, E -напряженности магнитного и электрического полей, j -плотность тока стороннего источника. Плоскость x0 делит пространство на два полупространства с электрическими и магнитными проницаемостями:  ,  и 

2, 

2. Сторонним источником

1 1

является диполь, расположенный в точке xx₀ и с дипольным моментом p pe_x . Метод решения краевых задач

Используя интегральные представления [3] и граничные условия для тангенциальных составляющих, применив прямое Фурье-преобразование и вычислив интеграл с помощью теории вычетов, краевая задача сводится к системе алгебраических уравнений относительно

фурье-компонент поверхностных

токов ~ и ~

J

1(k  ) J ₂ (k  ) :

 ⁱ^^x ⁰~ ~

e 1  J1 (k  )1 J 2 (k  )1 ,

ipk

 . (2)

 i x ~ 1 ~

 ipk e 1 0  J1(k ) 1 J 2(k  ) .

  ²

 2

где ₁2  k 2 , ^2  ₂₂ k2 2 .



₁₁k₀  0  k 

Общее решение краевой задачи имеет вид:

в верхнем полупространстве -

ipe













0



i 1 x



x 2 1 2 2

( 1 )

H H  ^e 0 1 k H

( k



(2)

 ) d k



,

8 

1

(2

1

2)  0

 ¹

ip ^ k

   

0

i

1 x x

0 2 1 2 2 (1)

E  E  ^(e 1 (k )dk  . (3)

8

 0

- e

x  1

)

e  1

( 2  1



 2 ) k

 H 0

 1

в нижнем полупространстве -

310

(3)

ipe ^ ₂ eⁱ⁽^¹^x⁰^^²^x)

(1)

2



² ^^)dk,

H k _ H0 (k _

4 

2

1

 ¹ 2

2

ip 

k  _₂e_i(_

1x₀ ₂ x)

2 (1)

E 



^(e



^ ^{ e}x ⁾

k H (k )dk  , (4)

4 0 

2 

2

1

2 ^ ⁰

 ¹

где H⁰, E⁰ - поля диполя.

Заключение

Полученные решения совпадают с точным решением Зоммерфельда. Следует отметить, что поверхностные токи на границе сред определяют электромагнитное поле в любой точке пространства, и в отличие от других методов, позволяют применить данный метод для решения краевых задачах для анизотропных сред.

Литература

[1] В.Г.Гавриленко, В.А.Яшнов. ―Передача информации по беспроводным сетям в условиях пересеченной местности‖, Н.Н. 2007. С.26-38.

[2] Касымканова Р.Н. ―Модифицированный метод решения задачи Зоммерфельда‖, Вестник ЕНУ им.Л.Н.Гумилева, №4 (77), 2010. С.436-440.

[3] Касымканова Р.Н., Саутбеков С.С. ―Интегральные представления электромагнитного поля в краевых задачах для одноосных кристаллов‖, 20-ая международная конференция СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии, Т.2, 2010,

С.731-732.