Формулы для численного решения прямой динамической задачи сейсмики
в частотной области для горизонтально-слоистых сред
А.Л. Карчевский
д.ф.-м.н., в.н.с. Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия [email protected]
работа поддержана грантом РФФИ 11-01-00105 и грнатом Минобрнауки РФ ГК № 14.7.40.11.0350 К.Т.Искаков
профессор, зав. кафедрой ВТ Евразийского национального университета им. Л.Н.Гумилёва, Астана, Казахстан
[email protected] Оралбекова Ж.О.
докторант PhD Казахского национального педагогического университета им. Абая, Алматы, Казахстан
[email protected] Миргаликызы Т.
преподаватель ВТ Евразийского национального университета им. Л.Н.Гумилёва, Астана, Казахстан [email protected]
Введение
Данную работу можно рассматривать как продолжение работы [1] этого сборника.
При решении обратной динамической задачи сейсмики можно считать, что известна информация следующего вида:
U0=
u1,0
u2,0
u3,0
,
где вектор-функцияU0(ν1, ν2, p)состоит изu1,0,u2,0 и u3,0, которые являются компонентами вектора смещений на поверхности земли, p = −α+iω — параметр преобразования Лапласа по временной переменной,ν1и ν2 — параметры преобразования Фурье по горизонтальным переменным.
Численно обратная динамическая задача сейсмики может решаться при помощи минимизации функционала невязки:
Φ =X
ω 3
X
j=1
|uj(ν1, ν2,0, p)−uj,0(ν1, ν2, p)|2.
Минимизация требует многократного решения прямой задачи, т.е. скорость решения обратной задачи напрямую зависит от скорости решения прямой задачи, следовательно, нгеобходимо построить быст- рый алгоритм решения системы дифференциальных уравнений теории упругости. С этой целью выбе- рем горизонтально-слоистую модель среды и метод послойного пересчёта для решения прямой задачи [2, 3]. Все полученные ниже формулы будут записаны так, чтобы при послойном пересчёте ошибка вычислений не накапливалась.
1 Система дифференциальных уравнений теории упругости для смещений и её сведение в частотную область
Рассмотрим среду —n-слойную структуру с границами раздела xk3, k = 0, N, x03 = 0; m-ый слой находится в интервале [xm−13 , xm3 ], последний N + 1 (подстилающий) слой есть [xn3,∞). Физические свойства каждого слоя характеризуются величинами модулей упругостиCmjklи плотностьюρ, то есть Cmjklи ρ— кусочно-постоянные функции переменнойx3,0< x3<∞.
Источник вида
F(t)˜ ∇δ(x1, x2, x3−x∗3) (1)
в начальный момент времени t = 0 возбуждает в среде упругие колебания. Источник находится в одном из слоев, то естьx∗36=xk3,k= 1, N. Источник вида (1) служит моделью взрыва.
Продольные и поперечные смещения среды под действием источника (1) могут быть определены из системы дифференциальных уравнений теории упругости следующего вида:
ρ∂2vm
∂t2 =
3
X
j,k,l=1
∂
∂xj
µ
Cmjkl(x3)∂vl
∂xk
¶
+ ˜F(t) ∂
∂xm
δ(x1, x2, x3−x∗3), (2) m= 1,3, x= (x1, x2, x3)∈R2×R+, t∈R.
В начальный момент времени имеют место следующие условия:
vm|t<0= 0, m= 1,3. (3)
Отсутствие нормальных напряжений на поверхностиx3= 0обеспечивают краевые условия
3
X
k,l=1
C3jkl(x3)∂vl
∂xk
¯
¯
¯
¯x
3=0
= 0, j = 1,3. (4)
Считаем, что при переходе через точки разрыва среды поля смещений и напряжений остаются непре- рывными, т.е. в любой точке(x1, x2, xk3)имеют место условия склейки
3
X
k,l=1
C3jkl(x3)∂vl
∂xk
xk3
= 0, [vj]xk
3 = 0, j= 1,3. (5)
Целью настоящей работы является создание метода вычисления величин um(ν1, ν2, x3, p), m= 1,3,
где функцииum(ν1, ν2, x3, p)есть образ функцийvm(x1, x2, x3, t),p=−α+iω— параметр преобразования Лапласа по временн´ой переменнойt,ν1иν2— параметры преобразования Фурье по пространственным переменнымx1и x2 соответственно.
Проведем стандартные действия для прямой задачи (2)-(5) с целью получить задачу для функций um. Учтем известные соотношения для упругих постоянныхCmjkl(x3)
Cmjkl=Cjmkl=Cmjlk =Cklmj, Cqp=Cmjkl, q= (mj), p= (kl), (11)→1, (22)→2, (33)→3, (23) = (32)→4, (13) = (31)→5, (12) = (21)→6.
Тогда матрица независимых модулей упругости примет вид симметричной квадратной матрицы C= {Cqp} порядка6:
c11 c12 c13 c14 c15 c16
c12 c22 c23 c24 c25 c26
c13 c23 c33 c34 c35 c36
c14 c24 c34 c44 c45 c46
c15 c25 c35 c45 c55 c56
c16 c26 c36 c46 c56 c66
.
После преобразования Лапласа по переменнойt, после преобразования Фурье по переменнымx1 и x2
um(ν1, ν2, x3, p) =
∞
Z
0
ept
∞
Z
−∞
∞
Z
−∞
v(x1, x2, x3, t)ei(ν1x1+ν2x2)dx1dx2dt
приходим к следующей постановке:
∂
∂x3
µ A ∂
∂x3
U +iBU
¶
+iB′ ∂
∂x3
U−DU = ˇF(p, x3−x∗3), (6) µ
A ∂
∂x3
U+iBU
¶¯
¯
¯
¯x
3=0
= 0, U →0 (x3→ ∞), (7)
· A ∂
∂x3U+iBU
¸
xk3
= 0, [U]x3=xk3 = 0, k= 1, n. (8) Здесь штрих′ обозначает, что матрица транспонированная, и введены следующие обозначения:
U =
u1
u2
u3
, A=ρ
c55 c45 c35
c45 c44 c34
c35 c34 c33
, B=ρν1
c15 c56 c55
c14 c46 c45
c13 c36 c35
+ρν2
c56 c25 c45
c46 c24 c44
c36 c23 c34
,
D=ρp2E+ρν12
c11 c16 c15
c16 c66 c56
c15 c56 c55
+ρν22
c66 c26 c46
c26 c22 c24
c46 c24 c44
+ρν1ν2
2c16 c12+c66 c14+c56
c12+c66 2c26 c25+c46
c14+c56 c25+c46 2c45
,
Fˇ(p, x3−x∗3) =−F(p)(il1δ(x3−x∗3) +l2δ′(x3−x∗3)), l1=
ν1
ν2
0
, l2=
0 0 1
,
и cqp=Cqp/ρ— приведеные модули упругости.
Нетрудно видеть, что матрицыA, D — симметричные, функция F(p)— образ Лапласа функции F˜(t).
1.1 Изотропная среда, основные виды анизотропных сред, используемые в геофизике
Основные модели сред, использующиеся в геофизике:
1) Изотропная среда
c11 c12 c12 0 0 0 c12 c11 c12 0 0 0 c12 c12 c11 0 0 0
0 0 0 c44 0 0
0 0 0 0 c44 0
0 0 0 0 0 c44
, c11=v2p, c12=vp2−2vs2, c44=vs2,
здесь vp = p
(λ+ 2µ)/ρ, vs = p
µ/ρ — скорости продольных и поперечных волн, λ, µ — параметры Ламе;
2) Трансверсально-изотропная среда (ось бесконечной симметрии совпадает с осьюOx3)
c11 c12 c13 0 0 0 c12 c11 c13 0 0 0 c13 c13 c11 0 0 0
0 0 0 c44 0 0
0 0 0 0 c44 0
0 0 0 0 0 c66
, c66=1
2(c11−c12);
3) Кубическая среда (оси симметрии совпадают с осями координат)
c11 c12 c12 0 0 0 c12 c11 c12 0 0 0 c12 c12 c11 0 0 0
0 0 0 c44 0 0
0 0 0 0 c44 0
0 0 0 0 0 c44
;
4) Орторомбическая среда (оси симметрии совпадают с осями координат)
c11 c12 c13 0 0 0 c12 c22 c23 0 0 0 c13 c23 c33 0 0 0
0 0 0 c44 0 0
0 0 0 0 c55 0
0 0 0 0 0 c66
;
4) Моноклинная среда (плоскость симметрии совпадает с плоскостьюOx2x3)
c11 c12 c13 0 0 c16
c12 c22 c23 0 0 c26
c13 c23 c33 0 0 c36
0 0 0 c44 c45 0 0 0 0 c45 c55 0 c16 c26 c36 0 0 c66
.
При смене системы координат меняются упругие коэффициенты по следующему правилу:
ˆ
csr =ǫsǫr 6
X
m=1 6
X
n=1
1 ǫmǫn
cmnqmsqnr, ǫk=
½ 1, k= 1,2,3, 0.5, k= 4,5,6.
где постоянные qsr и косинусы углов αj, βj, γj (j = 1,2,3) между осями старой и новой системой координат приведены в Таблице 1.
Таблица 1:Косинусы углов между осями старой и новой системами координат,постоянныеqsr
x1 x2 x3
y1 α1 β1 γ1
y2 α2 β2 γ2
y3 α3 β3 γ3
qnm 1 2 3 4 5 6
1 α21 α22 α23 2α2α3 2α3α1 2α1α2
2 β12 β22 β32 2β2β3 2β3β1 2β1β2
3 γ21 γ22 γ32 2γ2γ3 2γ3γ1 2γ1γ2
4 β1γ1 β2γ2 β3γ3 β2γ3+β3γ2 β1γ3+β3γ1 β1γ2+β2γ1
5 γ1α1 γ2α2 γ3α3 γ2α3+γ3α2 γ1α3+γ3α1 γ1α2+γ2α1
6 α1β1 α2β2 α3β3 α2β3+α3β2 α1β3+α3β1 α1β2+α2β1
1.2 Cистема дифференциальных уравнений теории упругости для смещений для изотропной среды
в цилиндрической системе координат
Поскольку функции ρ, vp и vs зависят только от x3, то система уравнений упругости может быть записана в цилиндрической системе координат в следующем виде:
ρ∂2v1
∂t2 = ∂
∂x3
µ µ∂v1
∂x3
¶
+ (λ+ 2µ)∂
∂r µ1
r
∂
∂r(rv1)
¶ + ∂
∂r
· λ∂v2
∂x3+ ∂
∂x3(µv2)
¸
−F1(p, r, x3−x∗3), (9) ρ∂2v2
∂t2 = ∂
∂x3
µ
(λ+ 2µ)∂v2
∂x3
¶ +µ1
r
∂
∂r µ
r∂v2
∂r
¶ +1
r
∂
∂r µ
r
· µ∂v1
∂r + ∂
∂x3(λv1)
¸¶
−F2(p, r, x3−x∗3), Здесь принято во внимание, что источник (1) в цилиндрической системе координат имеет вид
1
πδ′(r)δ(x3−x∗3), и введены обозначения
F1(p, r, x3−x∗3) =F(p)δ′′(r)δ(x3−x∗3), F2(p, r, x3−x∗3) =F(p)δ′(r)δ′(x3−x∗3).
Применяя к системе (9) преобразование Фурье-Бесселя по пространственной переменнойr [4, 5] и преобразование Лапласа по временн´ой переменной t
u1(p, ν, x3) =
∞
Z
0
ept
∞
Z
0
v1(t, r, x3)rJ1(νr)drdt, u2(p, ν, x3) =
∞
Z
0
ept
∞
Z
0
v2(t, r, x3)rJ0(νr)drdt, приходим к следующим уравнениям:
∂
∂x3
µ A ∂
∂x3
U+νBU
¶
−νB′ ∂
∂x3
U−DU = ˆF(p, ν, x3, x∗3), (10) Здесь введены обозначения:
U =
·u1
u2
¸
, A=ρ
·vs2 0 0 v2p
¸
, B=ρ
· 0 −v2s
vp2−2vs2 0
¸
, D=ρp2E+ρν2
·v2p 0 0 vs2
¸ ,
Fˆ(p, ν, x3−x∗3) =F(p) µ
ν
·1 0
¸
δ(x3−x∗3)−
·0 1
¸
δ′(x3−x∗3)
¶ , Краевые условия получаем в следующей форме:
µ A ∂
∂x3
U+νBU
¶¯
¯
¯
¯x
3=0
= 0, U → 0 (x3→ ∞). (11)
В точках разрыва среды имееют место следующие условия склейки:
· A ∂
∂x3
U+νBU
¸
xk3
= 0, [U]xk3 = 0, k= 1, N . (12) Нетрудно видеть, что постановка прямой задачи (10)-(12) подобна постановке прямой задачи (6)-(8).
Будем считать, что
U =
½ U1, x3≤x∗3 U2, x3≥x∗3 ,
гдеU1и U2вектор-функции, каждая в своей области определения удовлетворяющая системе (6).
Обобщеная производная будет равна:
∂
∂x3
U =
∂
∂x3
U1
∂
∂x3
U2
+ [U]x∗3δ(x3−x∗3),
и нетрудно получить
∂
∂x3
µ A ∂
∂x3
U+iBU
¶
=
∂
∂x3
µ A ∂
∂x3
U1+iBU1
¶
∂
∂x3
µ A ∂
∂x3
U2+iBU2
¶
+
· A ∂
∂x3
U+iBU
¸
x∗3
δ(x3−x∗3) +A[U]x∗3δ′(x3−x∗3).
Подставим данные выражения в систему (6), придём к равенству:
∂
∂x3
· A ∂
∂x3U +iBU
¸
x∗3
δ(x3−x∗3) + (A+iB)[U]x∗3δ′(x3−x∗3)
= −F(p)(il1δ(x3−x∗3) +l2δ′(x3−x∗3)).
Следовательно, приравнивая коэффициенты при дельта-функции и её производной, получим условия склейки в точкеx∗3, тогда постановку (6)-(8) можно переписать в следующем виде:
∂
∂x3
µ A ∂
∂x3
U+iBU
¶
+iB′ ∂
∂x3
U−DU = 0, (13)
µ A ∂
∂x3
U+iBUˆ
¶¯
¯
¯
¯x
3=0
= 0, U →0 (x3→ ∞), (14)
· A ∂
∂x3
U +iBUˆ
¸
xk3
= 0, [U]xk3 = 0, k= 1, N . (15)
· A ∂
∂x3
U +iBUˆ
¸
x∗3
=iF(p)¡
B′A−1l2−l1¢
, [U]x∗3 =−F(p)A−1l2. (16)
2 Метод послойного пересчёта в применении
к системе дифференциальных уравнений теории упругости
Введем квадратную матрицыS иX порядка3 следующими соотношениями:
A ∂
∂x3U+iBU =XU, x3≥x∗3, A ∂
∂x3
U+iBU =SU, x3≤x∗3.
(17)
Подставим (17) в (13) и найдем дифференциальнsе уравнения, которым удовлетворяют матрицыX и S. Оно может быть записано в следующей форме:
d dx3
X+ (X+iB′)A−1(X−iB) =D, x3≥x∗3, d
dx3
S+ (S+iB′)A−1(S−iB) =D. x3≤x∗3.
(18)
Условия склейки (8), равенство (17) дают в силу произвольности вектор-функции U условия склей- ки для матрицыX, как решения матричного дифференциального уравнения с кусочно-постоянными коэффициентами на отрезкеx3∈[x∗3, xN3], в следующем виде:
[X]xk
3 = 0. (19)
То же самое условие склейки имеет место и для матрицы S в своей области определения.
Пусть x3 ∈ [xm−13 , xm3], m — любое натуральное число из 1, N. Для каждого такого интервала матрицы A, D, B,ˆ Bˇ являются постоянными. Пусть известно частное решение дифференциальному матричному уравнению Риккати (18). Обозначим его заR. ПоложимX =Z+R. Тогда уравнение для матрицыZ имеет вид дифференциального матричного уравнения Бернулли
d
dx3Z+ZA−1Z+ ˇCZ+ZCˆ = 0, (20) Cˆ =A−1(R−iB), Cˇ= (R+iB′)A−1. (21) Решение дифференциального матричного уравнения Бернулли строится следующим образом. Введем матрицуL=Z−1. Нетрудно проверить, что матрицаLбудет удовлетворять матричному уравнению
d dx3
L=A−1+LCˇ+ ˆCL,
решение которого, если матрицыA,C,ˆ Cˇ постоянные, на отрезке[xm−13 , xm3 ]дается формулой
L= eC(xˆ 3−xm3)
Lm+
x3
Z
xm3
e−C(s−xˆ m3)A−1e−C(s−xˇ m3)ds
eC(xˇ 3−xm3), (22) гдеLm— известное значение матрицыLв точке xm3.
Таким образом, зная матрицу L и R, определяем матрицу X на [xm−13 , xm3], т.е. вопрос решения данного матричного уравнения, сводится к умению находить частное решение дифференциального матричного уравнения Риккати и определять начальные условия на интервале, на котором данное матричное уравнение решается.
Заметим, что решение матричного уравнения Риккати
(X+iB′)A−1(X−iB) =D (23)
является частным решением дифференциального матричного уравнения Риккати (18).
Нетрудно видеть, что для матриц Cˆ и C, введенных соотношениями (21), уравнение (23) приметˇ вид
CAˇ Cˆ=D. (24)
Матрицы Cˆ и Cˇ связаны соотношениями
X =ACˆ+iB, X = ˇCA−iB′, Cˇ=ACAˆ −1+i(B+B′)A−1. (25) Заменяя в (24) матрицуCˇее выражением через матрицуCˆиз (25), приходим к следующему уравнению:
ACˆ2+i(B+B′) ˆC−D= 0. (26) Известно, собственные числа матриц C, удовлетворяющих уравнению (26), должны удовлетворятьˆ уравнению
det[Aλ2+i(B+B′)λ−D] = 0. (27) Нетрудно видеть, что уравнение (27) есть ни что иное, как характеристическое уравнение для системы (6), которое является алгебраическим уравнением шестого порядка.
Известно, что в анизотропной среде в общем случае распространяется три волны — две квази- поперечных и одна квази-продольная. Шесть собственных чисел (решений уравнения (27)) должны
распасться на две группы: три собственных числа λj (j = 1,3) будут иметь положительную действи- тельную часть, а три λj (j = 4,6) — отрицательную. Это объясняется тем, что в среде распростра- няются два вида волн: падающие и отраженные. В некоторых случаях происходит слияние квази- поперечных волн и в среде распространяется две волны: поперечная и продольная. Математически это будет проявляться в том, что два корняλ1иλ2 могут совпадать, а кореньλ3будет всегда отличен от корней λ1 и λ2. Примером этому может служить изотропная среда. В ней распространяется две волны — продольная и поперечная, скорость продольной волны всегда больше поперечной. Характе- ристическое уравнение (27) для изотропной среды имеет вид
(λ2−λ21)2(λ2−λ23) = 0.
Итак, решая задачу (27), имеем шесть корней: три с положительными и три с отрицательными действительными частями.
Из возможных различных троек чиселλk,k= 1,6, выберем только две: первая тройка будет содер- жать толькоλk с отрицательными действительными частями, вторая тройка будет содержать только теλk, которые имеют только положительные действительные части.
Почему мы останавливаем наш выбор только на этих тройках? Если некоторая вектор-функцияU˜ дляx3>0 является решением уравнения
∂
∂x3
U = ˆCU,
и если матрица Cˆ имеет все собственные числа с положительными действительными частями, то
xm3lim→∞U =∞,
а если матрицаCˆ имеет все собственные числа с отрицательными действительными частями, то
xm3lim→∞U = 0.
Обозначим
X(+)m =ACˆ−iB, X(−)m =ACˆ−iB, (28) где матрицаCˆ строится с использованием набора собственных чисел с положительными и отрицатель- ными действительными частями соответственно, индексmозначает, что значения матрицA,D,C,ˆ Cˇ берутся на интервале[xm−13 , xm3 ].
Таким образом, если в точкеxN3 + 0 положить X =X(−)N+1,
то в подстилающем слое[xN3,∞)решение ДМУР будет постоянным, вектор-функцияU будет затухать на бесконечности, что отвечает второму краевому условию (14).
В силу условия склейки (19) известно краевое условиеXN для решения дифференциального мат- ричного уравнения Риккати на интервале[xN3−1, xN3]. Решив дифференциальное матричное уравнение Риккати на этом интервале, знаем значение матрицыX в точкеxN3−1+ 0. Используя условия склейки (19), получаем краевое условие XN−1 для решения дифференциального матричного уравнения Рик- кати на интервале[xN−23 , xN3−1], и так далее, то есть переходим со слоя на слой справа налево.
В качестве частного решения дифференциального матричного уравнения Риккати (18) на интервале [xm−13 , xm3]возьмем матрицу X(+)m .
Такиим образом, имеем решешение дифференциального матричного уравнения Риккати в следую- щем виде:
X = X(+)m +L−1, (29)
L = eC(xˆ 3−xm3)(Xm−X(+)m )−1eC(xˇ 3−xm3)
+ eC(xˆ 3−xm3)
x3
Z
xm3
e−C(s−xˆ m3)A−1e−C(s−xˇ m3)ds
eC(xˇ 3−xm3).
Действуя аналогичным образом, можем получить для решение дифференциального матричного уравнения Риккати на отрезке [xn−13 , xn3]для послойного пересчёта слева направо:
S = S(−)n +L−1, (30)
L = eC(xˆ 3−xn3−1)(Sn−1−S(−)n )−1eC(xˇ 3−xn3−1)
+ eC(xˆ 3−xn3−1)
x3
Z
xn3−1
e−C(s−xˆ n3−1)A−1e−C(s−xˇ n3−1)ds
eC(xˇ 3−xn3−1).
В силу первого краевого условия (14) S0 =S(0) = 0, т.е. известно краевое условие для решения дифференциального матричного уравнения Риккати на интервале[x03, x13]. Решив дифференциального матричного уравнения Риккати на этом интервале, знаем значение матрицыSв точкеx13−0. Используя условия склейки (19), получаем краевое условие S1 для решения дифференциального матричного уравнения Риккати на интервале[x13, x23], и так далее, т.е. переходим со слоя на слой слева направо.
3 Решение системы дифференциальных уравнений теории упругости в любой точке x
3и след решения в точке x
3= 0
Из условий склейки (16) в точкеx∗3 и определения матрицX иS (18) получим X∗U|x3=x∗3+0−S∗U|x3=x∗3−0 = l3
(31) U|x3=x∗3+0−U|x3=x∗3−0 = l4,
где
l3=iF(p)( ˇBA−1l1−l2), l4=−F(p)A−1l1. Из (31) получим
U|x3=x∗3−0= (X∗−S∗)−1(l3−X∗l4),
(32) U|x3=x∗3+0= (X∗−S∗)−1(l3−S∗l4), (33) т.е. получили краевые условия, чтобы решить дифференциальные уравнения (17).
Рассмотрим первое из них и решим его на интервале[xm−13 , xm3 ]. Имеем задачу
∂
∂x3
U−A−1(X(x3)−iB)U = 0, U|x3=xm3−1+0=Um−1. (34) Очевидно, еслиx∗3∈[xj−13 , xj3], то для дифференциального уравнения (34) необходимо взять начальное условие U|x3=x∗3+0, значение которого вычислено в (32).
На интервале [xm−13 , xm3 ] имеем представление X = X(+)m +Z, следовательно, дифференциальное уравнение (34) перепишется
∂
∂x3
U−A−1ZU −CUˆ = 0. (35)
Умножим (35) слева на матрицуZ, получим Z ∂
∂x3U −(ZA−1ZU−ZCU) = 0.ˆ (36) Заменим выражение в скобках на выражение, следующее из (20), получим:
Z ∂
∂x3
U+U ∂
∂x3
Z+ ˇCZU = 0
или ∂
∂x3(ZU) + ˇC(ZU) = 0. (37)
Следовательно,
ZU = e−C(xˇ 3−xm3−1)Zm−1Um−1 или
U(x3) =L(x3)e−C(xˇ 3−xm3−1)(Xm−1−X(+)m )Um−1, x3∈[xm−13 , xm3]. (38) Если x3=xm3 , то
Um=U(xm3) = (Xm−X(+)m )−1e−C(xˇ 3−xm3−1)(Xm−1−X(+)m )Um−1, (39) т.е. получили рекурентную формулу. На интервале[x∗3, x13]имеем
U(x3) =L(x3)e−C(xˇ 3−x∗3)(X∗−X(+)1 )U|x3=x∗3+0, U1= (X1−X(+)1 )−1e−C(xˇ 13−x∗3)(X∗−X(+)1 )U|x3=x∗3+0.
Если необходимо вычислить решение системы дифференциальных уравнений теории упругости до точкиx∗3, то можно действовать так же, как и выше, следовательно, можно получить:
U(x3) =L(x3)e−C(xˇ 3−xn3)(Sn−S(−)n )Un, x3∈[xn−13 , xn3]. (40) Если x3=xn−13 , то
Un−1=U(xn−13 ) = (Sn−1−S(−)n )−1e−C(xˇ 3−xn3)(Sn−S(−)n )Un, (41) Т.о., если источник лежит в первом слое, то:
U0=−(S(−)1 )−1eCxˇ ∗3(S∗−S(−)1 )U|x3=x∗3−0, (42) здесь учтено, чтоS0= 0.
4 Порядок вычислений при нахождении следа в точке x
3= 0
Для определенности будем считать, что точкаx∗3∈[0, x13].
Для определенияU(ν1, ν2,0, p)выполняем следующие действия:
• Для системы дифференциальных уравнений теории упругости в полупространстве [xN3 ,∞)находим корни характеристического уравнения (43) методом Хичкока.
• Выбираем три из шести корней характеристического уравнения с отрицательными действитель- ными частями и строим матрицуCˆ(смотри (51)), а по ней строим матрицуX(−)N (см. (28)), в силу условий склейки (19) матрицаX(−)N будет равна матрицеXN, которая является начальным усло- вием для решения дифференциального матричного уравнения Риккати, выраженного формулой (29), на интервале[xN−13 , xN3 ].
• Для определения матрицыX в точкеx3=xk3+ 0(k=N−1,1) выполняем следующие действия:
– Для системы дифференциальных уравнений теории упругости на интервале [xk−13 , xk3] находим корни характеристического уравнения (43) методом Хичкока.
– Выбираем три из шести корня характеристического уравнения с положительными действи- тельными частями и строим матрицыCˆ иC, а по ним строим матрицуˇ X(+)k (см. (28). Таким образом, на этом шаге имеем матрицыC,ˆ C,ˇ X(+)k и с предыдущего шага имеем матрицуXk. – Вычисляем матрицу I, положив x3 = xk−13 (см. параграф 5.3), и, следовательно, имеем по формуле (29) решение дифференциального матричного уравнения Риккати X в точке x3=xk−13 + 0.
– В силу условий склейки (19) имеем значениеXk−1для следующего интервала.
– Повторяем данные действия, покаk≥2.
• После предыдущих действий имеем значение матрицыX в точкеx3=x13+ 0, а в силу условий склейки (19) имеем матрицуX1.
• Для системы дифференциальных уравенний теории упругости на интервале[0, x13]находим корни характеристического уравнения (43) методом Хичкока.
• Выбираем три из шести корня характеристического уравнения с положительными действитель- ными частями и строим матрицы Cˆ и C,ˇ а по ним строим матрицу X(+)1 (см. (28)), таким образом, на этом шаге имеем матрицыC,ˆ C,ˇ X(+)1 и с предыдущего шага имеем матрицуX1.
• Вычисляем матрицу I, положив x3 = x∗3 (см. параграф 5.3), и, следовательно, вычисляем по формуле (29) решение дифференциального матричного уравнения РиккатиX в точке x3 =x∗3, т.е. получаем матрицуX∗.
• Используем три оставшихся корня характеристического уравнения с отрицательными действи- тельными частями и строим матрицы Cˆ и C,ˇ а по ним строим матрицу S(−)1 (см. (28)), таким образом, на этом шаге имеем матрицы C,ˆ C,ˇ S(−)1 и имеем матрицу S0 = 0.
Значение матрицыS∗ даёт формула (30), если положитьx3=x∗3.
• Вычислим значениеU|x3=x∗3−0 по формуле (32).
• Вычислим значениеU|x3=0по формуле (42).
Для численного решения обратной задачи для системы дифференциальных уравений теории упру- гости для горизонтально-слоистой однородной анизотропной среды, когда дополнительная информа- ция задана на поверхностиx3= 0и источник сейсмических колебаний находится в первом слое, поря- док вычисления значений U(ν1, ν2,0, p)полностью описан. Если источник лежит не в первом слое, а в любом другом, то очевидно, как данный порядок действий может быть изменён.
5 Решение вычислительных проблем
Можно сформулировать три основных вычислительных проблемы:
Проблема 1: Численное определение корней характеристического уравнения системы (6).
Проблема 2: Вычисление матриц Cˆ и C.ˇ
Проблема 3: Вычисление значений решения дифференциальноего матричного уравения Риккати по формулам (29) и (30).
5.1 Решение Проблемы 1
Метод решения прямой задачи (13)-(16) разрабатывается для численного решения обратной задачи для системы дифференциальных уравнений теории упругости, для задач математического моделиро- вания волновых полей в горизонтально-слоистых однородных изотропных и анизотропных средах.
Эти задачи требуют многократного решения прямой задачи. Таким образом, очевидно требование к алгоритму нахождения корней характеристического уравнения: численный алгоритм должен позво- лить вычислять их быстро и с приемлемой точностью. От скорости счета по этому алгоритму зависит скорость счета при решении прямой задачи и, следовательно, других задач на ее основе.
Каким образом удовлетворить данное требование?
Поскольку метод нахождения корней характеристического уравнения является итерационным, то важна скорость сходимости данного метода. Желаемая скорость сходимости метода — скорость схо- димости метода Ньютона. Второй немаловажный фактор — скорость решения задачи итерационным методом и выбор начального приближения. Чем лучше выбрано начальное приближение, тем мень- ше необходимо итераций для достижения решения с выбранной точностью. Для того чтобы выбрать
такое начальное приближение, необходимо проанализировать априорную информацию о решении за- дачи. Выбранный метод итерационного решения задачи должен позволить учесть данную априорную информацию.
Проведем необходимое исследование.
Cистема (13) имеет постоянные коэффициенты, и, следовательно, ее решение может быть получено в виде комбинации матричных экспонент, для чего необходимо найти все решения характеристического уравнения данной системы
det[Aλ2+iBλ−D] = 0. (43)
Уравнение (43) может быть представлено в виде
a6λ6+ia5λ5−a4λ4−ia3λ3+a2λ2+ia1λ−a0= 0. (44) Здесь коэффициенты уравнения имеют вид
a6 = detA,
a5 = det{AAB}+det{ABA}+det{BAA},
a4 = det{AAD}+det{ABB}+det{ADA}+det{BAB}+det{BBA}+det{DAA},
a3 = det{ABD}+det{ADB}+det{BAD}+det{BBB}+det{BDA}+det{DAB}+det{DBA}, a2 = det{ADD}+det{BBD}+det{BDB}+det{DAD}+det{DDA}+det{DBB},
a1 = det{DDB}+det{DBD}+det{BDD}, a0 = detD,
где для краткости введено обозначение det{ABD} ≡
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A11 A12 A13
B21 B22 B23
D31 D32 D33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
, det{BBB}= detB, и Aij,Bij и Dij являются компонентами матрицA, B иD соответственно.
Для решения уравнения (44) может быть использован метод Хичкока [7] выделения многочлена меньшей степени из исходного многочлена.
Выделим многочлен второго порядка из многочлена шестого порядка. Разделим уравнение (44) на первый коэффициент a6 и представим уравнение в следующем виде:
λ6+d5λ5−d4λ4−d3λ3+d2λ2+d1λ−d0= (λ2+rλ+q)(λ4+s1λ3+s2λ2+s3λ+s4) +Rλ+Q.
Здесь введены обозначения:
½ R=b4−s4r Q=d0−s4q ,
½ s4=b3−s3r b4=d1−s3q ,
½ s3=b2−s2r b3=d2−s2q ,
½ s2=b1−s1r b2=d3−s1q ,
½ s1=d5−r b1=d4−q . Нетрудно видеть, чтоR=R(r, q)иQ=Q(r, q).
Согласно методу Хичкока ищутся такиеrиq, для которых
R(r, q) = 0, Q(r, q) = 0. (45)
Для поиска решения системы (45) используется метод Ньютона
·r{k+1}
q{k+1}
¸
=
·r{k}
q{k}
¸
− 1
RrQq−RqQr
· Qq −Rq
−Qr Rr
¸·R Q
¸ .
Частные производныеRr,Qq,Rq,Qrи значения функцийR,Qвзяты в точке(r{k}, q{k}), частные производные вычисляются по формулам:
Rr=−s4−qr2−rr3, Rq =r3, Qr=−qr3, Qq =−a4−qr2, r1=r−s1, r2=q−s2−rr1, r3=−s3−qr1−rr2.
