Коммерциялық емес ақционерлік қоғам
АҚПАРАТТЫ ЖИНАУ ЖӘНЕ ТАСЫМАЛДАУ НЕГІЗДЕРІ
5В070200 – Aвтоматтандыру және басқару мамандығының студенттері үшін зертханалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар
Алматы 2018
АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА
ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС УНИВЕРСИТЕТІ
Автоматтандыру және басқару кафедрасы
2
ҚҰРАСТЫРУШЫ: Ш.Н. Сагындыкова. Ақпаратты жинау және тасымалдау негіздері. 5В070200 – Aвтоматтандыру және басқару мамандығының студенттері үшін зертханалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар. – Алматы: АЭжБУ, 2018. – 61 б.
Әдістемелік нұсқаулар зертханалық жұмыстарды орындауға арналған нұсқаулардан тұрады, оларда әр зертханалық жұмыстың, эксперименттік қондырғының сипаттамасы келтірілген, тәжірбие мәліметтерін ӛткізу мен ӛңдеу әдістемесі, ұсынылған әдебиеттер тізімі мен бақылау сұрақтары берілген.
Барлық зертханалық жұмыстар СҒЗЖ элементтерін қолданумен жасалған.
Әдістемелік нұсқаулар 5В070200 – Aвтоматтандыру және басқару мамандығының студенттері үшін зертханалық жұмыстарды орындауға арналған.
Кесте - 23, сурет -8, әдеб.кӛсеркіші – 7.
Пікір беруші: доцент т.ғ.к. К.Т. Тергемес
«Алматы энергетика және байланыс университеті» коммерциялық емес акционерлік қоғамының 2018ж. қосымша жоспары бойынша басылады.
© «Алматы энергетика және байланыс университеті» КЕАҚ, 2018 ж.
3
1 Зертханалық жұмыс №1. Ақпарат теориясы есептеріндегі ықтималдық теориясының элементтері
Кездейсоқ оқиғалар. Ықтималдық.
Кездейсоқ оқиға кейбір шарттар орындалғанда болатын немесе болмайтын түрлі дерек.
Оқиғаларды келесі түрде жіктеуге болады:
а) пайда болу мүмкіндігі бойынша:
- анық (тәжірбие нәтижесінде міндетті түрде болуы керек оқиғалар);
- мүмкін емес (тәжірбие нәтижесінде ешқашан болмайтын оқиғалар);
- тең мүмкіндікті (егер осы оқиғалардың біреуі де обективті түрде басқасына қарағанда мүмкін болса);
- кездейсоқ (басқа барлық оқиғалармүмкін, бірақ анық емес);
- пайда болу ортақтастығы бойынша:
- ортақ (бір уақытта болады);
- ортақ емес (әртүрлі уақытта болады);
б) ӛзара тәуелділігі бойынша:
- тәуелді (біреуінің болу ықтималдығы екіншісінің пайда болуы ықтималдығын ӛзгертетін оқиғалар);
- тәуелсіз (біреуінің болу ықтималдығы екіншісінің пайда болуы ықтималдығын ӛзгертпейтін оқиғалар);
- күрделілігі бойынша:
- қарапайым (бір сынақ нәтижесінде бір-бірін шығаратын, мүмкін оқиғалар);
- күрделі (басқа оқиғалардан тұратын оқиғалар).
Сынақтың мүмкін жалғыз оқиғаларының жиынтығы толық топ деп аталады.
Толық топты құрайтын екі мүмкін оқиға қарама-қарсы деп аталады.
А оқиғасының ықтималдығы оқиғаның болуын туғызатын m нәтижесінің санының n барлық тең мүмкіндікті нәтижелерінің санына қатынасына тең сан:
. Оқиға ықтималдығының қасиеттері.
1. .
2. Егер А - оқиға мүмкін емес болса, онда . 3. Ерен В – оқиға анық болса, онда .
Ықтималдықтар теориясында комбинаторика элементтері жиі кездеседі.
Комбинаторика әр түрлі жиынтықтардағы элементтер санын есептеу тәсілдерін зерттейді.
Ауыстыру, үйлестіру, орналастыру негізгі түсініктер болып табылады.
4
Ауыстыру деп бірдей n типті элементтерден тұратын және ӛзара тек элементтердің орналасу ретімен ғана ажыратылатын қиыстыруды атайды.
n элементтерден тұратын ауыстырулар саны формула бойынша табылады:
мұндағы (анықтама бойынша 0!=1).
k (n≥k) бойынша n элементтерді орналастыру деп берілген n элементтерден алынған және не сол элементтерімен, не олардың орналасу ретімен ӛзгешеленетін, әрқайсысы k элементтен тұратын комбинацияларды атайды.
Орналастырулар саны формула бойынша анықталады:
.
k (n≥k) бойынша n элементтерді үйлестіру деп берілген n элементтерден алынған әрқайсысы k элементтен тұратын және ӛзара ең болмаса бір элементпен ерекшеленетін комбинацияларды атайды.
Үйлестірулер саны формула бойынша анықталады:
.
Комбинаторика есептерін шешкенде қолданылатын екі негізгі ереже бар.
Қосынды ережесі. Егер қайсыбір объект А қайсібір объектілер жиынынан m тәсілдермен алынатын болса.
Кӛбейтінді ережесі. Егер қайсібір объект А қайсібір объектілер жиынынан m тәсілдермен алынатын болса және осындай таңдаудан кейін В объектті n тәсілмен таңдауға болса, онда А мен В объекттер жұбы кӛрсетілген қатарда m·n тәсілдермен таңдалуы мүмкін.
қарапайымдау оқиғалары арқылы А күрделі оқиғасының ықтималдығын есептеулер ықтималдықтар теориясының негізгі теоремаларын қолдануға негізделген.
Ықтималдықтарды қосу теоремасы. Үйлеспейтін екі оқиғалардың біреуінің болу ықтималдығы екі ықтималдықтардың қосындысына тең, яғни:
.
Салдар 1. А, В, С оқиғалары толық топты құраса, онда ықтималдықтардың қосындысы 1-ге тең.
Салдар 2. А мен A қарама қарсы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысы 1-ге тең.
В оқиғасының шартты ықтималдығы деп А оқиғасы орындалған кезде В оқиғасының болу ықтималдығы аталады. Белгіленуі: P(B/A) немесе PA(В).
Ықтималдықтарды көбейту теориясы. А мен В оқиғаларының бірге болу ықтималдығы олардың біреуінің ықтималдығын екіншісінің шартты ықтималдығына кӛбейткенге тең:
5 .
P(AB)=P(A)P(B/A) немесе P(AB)=P(В)P(А/В).
Салдар. Екі тәуелсіз оқиғаларды кӛбейту ықтималдығы олардың ықтималдықтарын кӛбейткенге тең:
P(AB)=P(A)P(B).
Оқиғалар бірге болған жағдайда ықтималдықтарды қосу теормасы.
Бірлескен екі оқиғаның ең болмаса біреуінің болу ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысынан одан олардың бірге болу ықтималдығын алғанға тең, яғни
.
Қосу мен кӛбейту теоремаларын біріктіру толық ықтималдық формуласында кӛрсетіледі.
Теорема. толық топ құрайтын бірге емес оқиғалардың біреуі орындалғанда болатын А оқиғасының ықтималдығы келесі формуламен анықталады:
. Ескерту. оқиғаларыгипотеза деп аталады.
Тәжірбиелік есептерді шешкенде, толық топ құрайтын бірге емес оқиғалардың біреуімен болатын А оқиғасы орын алғанда және оқиғаларының ықтималдықтарын сандық қайта бағалау қажет болған жағдайда Байес формулалары қолданылады:
.
Әрқайсысында А оқиғасы болуы немесе болмауы мүмкін n дәйекті тәуелсіз сынақтар орындалсын.
Әр сынақта А оқиғасының болу ықтималдығы тұрақты және р-ға тең, ал болмау ықтималдығын арқылы белгілейміз.
Сынақтардың шағын санында n сынақтарда оқиға дәл k реттен соң болуы Бернулли формуласымен анықталады:
, мұндағы - n-нан k бойынша үйлестірулер саны.
Кездейсоқ шамалар және олардың сипаттамалары.
6
Кездейсоқ шама деп тәжірбие нәтижесінде X белгілі мәндер жиынынан алдын-ала белгісізбір шама қабылдайтын айнымалы шаманы айтады.
Оның мүмкін мәндерінің жиыны аяқталатын немесе есептелетін болса кездейсоқ шама дискретті (үздікті)деп аталады.
Тӛмендегіндей теріс емес функциясы болса W(x) кездейсоқ шама үздіксіз деп аталады:
.
Мысалы, дәрістегі студенттер саны- дискретті кездейсоқ шама, ал дәрістің ұзақтығы- үздіксіз кездейсоқ шама.
Кездейсоқ шамалар латын алфавитінің бас әріптерімен белгіленеді X, Y, Z, ал олардың мүмкін мәндері сәйкес кіші әріптерімен белгіленеді х1, х2, ...хn .
Кездейсоқ шаманың таралу заңы деп кездейсоқ шамалардың мүмкін мәндері мен олардың ықтималдықтары арасында байланыс орналастыратын сәйкестік аталады.
Таралу заңы келесі түрде берілуі мүмкін:
- аналитикалық;
- кесте;
- сызбалық.
Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы таралу қатарымен беріледі, яғни онда - Х дискретті кездейсоқ шаманың ӛсу реті бойынша орналасқан, ал - осы мәндерге сәйкес ықтималдықтары кесте түрінде бар.
1.1 кесте - Ықтималдықтар кестесі
X …
P …
.
Таралу функциясы – Х кездейсоқ шама х берілген мәнінен аз шаманы қабылдау ықтималдығы:
Тарату функциясының қасиеттері:
-
- – кемімейтін функция, яғни егер , онда ; - кездейсоқ шаманың интервалына түсу ықтималдығы тең:
;
- Х кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндері интервалында болса, онда
- .
7
Дискретті кездейсоқ шаманың таралу функциясы нүктелерінде секірістері бар сатылы функция болып саналады.
Үздіксіз кездейсоқ шама ықтималдықтардың тығыздығы функциясы түрінде беріледі, ол үздіксіздік нүктелерінде таралу функциясының туындысы болып табылады.
Үздіксіз кездейсоқ шаманың таралу функциясы үздіксіз функция болып саналады.
Ықтималдықтардың тығыздығы келесі қасиеттерге ие:
1) .
2) Үздіксіз кездейсоқ шаманың интервалына түсу ықтималдығы осы шектердегі ықтималдықтар тығыздығының интервалына тең:
.
3) .
Кӛп жағдайда кездейсоқ шаманың таралу заңын анықтау мүмкін емес.
Бұл жағдайда кездейсоқ шаманы осы заңның кейбір тұрақты шамалары (сандық сипаттамалар) кӛмегімен сипаттауға болады.
Математикалық күтім- кездейсоқ шаманың орташа мәнін таралуды есепке ала кӛрсететін сан. Дискретті шамалар үшін келесі формула бойынша есептеледі:
, мұндағы – кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері;
р1, р2, ...рn – олардың ықтималдықтары.
Үздіксіз кездейсоқ шамалардың математикалық күтімі - тӛмендегі формуламен анықталатын сан:
xW x dx
X
M( ) ( )
Математикалық күтімнің қасиеттері.
; (тәуелсіз кездейсоқ шамалар үшін).
Математикалық күтімнің айналасында кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің таралу сипаттамалары дисперсия мен орташа квадраттық ауытқу болып табылады.
Х кездейсоқ шаманың дисперсиясы деп ауытқу квадратының математикалық күтіміне тең шама аталады:
8
.
Тәжірбиелік есептеулерде келесі формуланы қолданады:
.
Үздіксіз кездейсоқ шамалар үшін дисперсия келесі формулалармен есептеледі:
; .
Дисперсия кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің математикалық күтімі айналасында таралу шамасын сипаттайды. Бірдей математикалық күтімі бар екі шаманың ішінде ең аз шашылуы бары «ең жақсы» саналады.
Дисперсияның қасиеттері:
. (тәуелсіз кездейсоқ шамалар үшін).
Кездейсоқ шаманың дисперсиясының арифметикалық түбірі орташа квадраттық ауытқу деп аталады:
.
Үздіксіз кездейсоқ шамалардың негізгі таралу заңдары: қалыпты, үлгілі, біркелкі.
Кездейсоқ шаманың қалыпты таралу заңы формула бойынша таралу тығыздығымен беріледі:
.
сандары қалыпты заңның параметрлері деп аталады.
Осындай параметрлері бар қалыпты заң N(a,σ) деп белгіленеді. Жалпы түрде Кездейсоқ шаманың үлгілі таралу заңы формула бойынша таралу тығыздығымен беріледі:
, Сандық сипаттамалары.
Кездейсоқ шаманың біркелкі таралу заңы формула бойынша таралу тығыздығымен беріледі:
. Сандық сипаттамалары
9
. Мысал 1.
6 екілік символдардан тұратын қатарда 3 бірлік бар. Осы реттілікті жібергенде 3 символ беріледі, басқалары жоғалады. Сақталғандар 2 бірліктен аспайтындығының ықтималдығы қандай?
Шешімі.
Екілік символдар арасында 2 бірліктен аспайтын А-оқиға, яғни 2 немесе 1, немесе ешқайсысы болсын. Онда А оқиғасының ықтималдығы сомма ретінде анықталады:
.
Әрбір қосындының ықтималдығын дискретті кездейсоқ шаманың гипергеометриялық таралуын пайдаланып есептеуге болады:
.
Символдарды таңдаудың жалпы мүмкін қиыстырулар саны 6-дан 3 үйлестірулер санына тең, яғни .
Х=2 үшін жағымды нәтижелердің саны кӛбейтіндісі ретінде анықталады, мұндағы бірінші кӛбейткіш қатардағы «бірліктердің» жалпы санынан 2 «бірлікті» таңдаудың қиыстырулар саны. Бірақ әрбір осындай қиыстырудан кейін «бірлік» болмайтын символдар кездестірілуі мүмкін.
Осындай қиыстырулар саны болады. Сондықтан, ізделіп отырған ықтималдық келесі түрде жазылады
.
үшін ұқсас.
Осылайша, .
Мысал 2.
Байланыс каналы бойынша бӛгеуілдермен басқарудың екі командасының біреуі 11111 мен 00000 түрінде беріледі, осы командалардың берулі ықтималдықтары сәйкесінше 0,7 мен 0,3. 0 мен 1 символдарының әрқайсысын дұрыс қабылдау ықтималдығы 0,6. Символдар бӛгеуілдермен бір- бірімен тәуелсіз бұрмаланады. Каналдың шығысында 10110 кодтық қиыстыру бар. Қандай қиыстыру жіберілгенін анықтау керек..
Шешімі.
А оқиғасы 10110 қиыстыруын қабылдауда тұрсын. Бұл оқиға (11111 қиыстыруы берілді) және (00000 қиыстыруы берілді) оқиғалар жиынтығында болуы мүмкін. Бұл ретте
10
11111 командасы берілді деген шартпен, 10110 қиыстыруын қабылдаудың шартты ықтималдығы тең
,
мұндағы ;
00000 командасы берілді деген шартпен, 10110 қиыстыруын қабылдаудың шартты ықтималдығы тең:
мұндағы ,
Толық ықтималдық формуласы бойынша:
.
.
.
Алынған нәтижелерді салыстыра отырып, ең ықтималы 11111 командасын беру деп қортындылаймыз.
Мысал 3.
Екілік байланыс каналы арқылы бӛгеуілдермен 1 және 0 сандары
=0,5 ықтималдығымен беріледі. Бірдің бірге және нӛлдің нӛлге ӛту ықтималдығы сәйкесінше тең. Х- қабылданатын жақта алынатын бір таңбалы санның кездейсоқ шамасының ықтималдықтарының таралу заңын анықтау.
Шешімі.
Қабылдау жағында Х=0 нӛлді немесе бірлікті бергенде алуға болады.
Р( ) =0,5– нӛлді беру ықтималдығы, – бірді беру ықтималдығы.
Толық ықтималдық формуласын қолданып, А оқиғасының ықтималдығын аламыз:
11
мұндағы .
Қабылдау жағында Х=1 ұқсас нӛлді немесе бірлікті бергенде алуға болады.
Толық ықтималдық формуласын қолданып, С оқиғасының ықтималдығын аламыз
мұндағы .
Ықтималдықтардың таралуын кесте түрінде кӛрсеткен ыңғайлы.
1.2 кесте - Ықтималдықтардың таралу кестесі
X 0 1
0,5(q+1-p) 0,5(q+1-p)
Тексеру: .
Мысал 4.
1 символы бірінші пайда болғанша 0 мен 1 символдарын қабылдау жүреді. Қабылдауда 1-дің пайда болу ықтималдығы . Тӛрт символдан артық қабылданбайды. Қабылданған символдар санынан , , ɷ есептеу керек.
Шешімі.
Қабылдауда 0 пайда болу ықтималдығы .
Ықтималдықтардың таралуын келесі түрде есептеуге болады:
1) – бірінші қабылдауда 1 алу ықтималдығы.
2) –екінші қабылдауда 1 алу
ықтималдығы, .
3) Үшінші қабылдауда 1 алу ықтималдығы,
. 4) Тӛртінші қабылдауда 1 алу ықтималдығы немесе тӛрт рет 0 алу ықтималдығы.
.
.
Ықтималдықтардың таралуын кесте түрінде кӛрсеткен ыңғайлы.
1.3 кесте - Ықтималдықтардың таралу кестесі
12
X 1 2 3 4
0,4 0,24 0,144 0,216
Тексеру: .
Мысал 5.
Х кездейсоқ шамасының F(X) таралу функциясы сызбамен берілген.
Табу керек:
- таралу функциясы үшін аналитикалық ӛрнекті;
- W(x) ықтималдықтар тығыздығының сызбасын тұрғызу;
-Х кездейсоқ шамасының (3,5;4,5) интервалына түсу ықтималдығын анықтау.
F(x) 1
0.5
0 1 2 3 4 5 6 x
1.1 сурет - Х кездейсоқ шамасының F(X) таралу функциясы Шешімі.
1. Х [3;5] кезінде F(X) таралу функциясы (3,0) мен (5,1) координаталары бар екі нүктеден ӛтетін түзудің кесіндісі болып кӛрінеді. Екі нүктеден ӛтетін түзудің теңдеуін пайдаланып
аламыз. Сонда
. Демек
2. Сондықтан
13
немесе геометриялық табылған ықтималдық- штрихталған фигураның ауданы (1.2 сурет).
W(x)
0.5
0 1 2 3 4 5 6 x
1.2 сурет - ықтималдықтар тығыздығының сызбасы Өз бетімен шығаруға арналған есептер.
1. { } ықтималдықтар таралуымен берілген, дереккӛздің хабарламасы сӛздерімен сәйкесінше кодталады.
Кодтық сӛздің екінші позициясында бірдің пайда болуы шартымен, кодтық сӛздің бірінші позициясында бірдің болу ықтималдығын; кодтық сӛздің бірінші позициясында нӛлдің пайда болуы шартымен, кодтық сӛздің екінші позициясында нӛлдің болу ықтималдығын; кодтық сӛздің бірінші позициясында нӛлдің пайда болуы шартымен, х2 хабарламасының пайда болу ықтималдығын табу керек. Бастапқы деректер:
2. Екілік кодтың кез келген позицясына бірдей ықтималдықпен «0»
(импульс жоқ) және «1» (импульс) берілуі мүмкін. Бӛгеулдер «1»-ді «0»-ге 0,02 ықтималдығымен және «0»-ді «1»-ге 0,04 ықтималдығымен түрлендіреді.
Кодтың нақты позициясында «0» қабылдау ықтималдығын табу керек. «0»
қабылданса, «0» берілу ықтималдығын анықтау керек.
3. Байланыс желісі бойынша , ықтималдықтарымен 1, 0 сигналдары жіберіледі. Егер 1 сигналы жіберілсе, ,
14
ықтималдықтарымен 1, 0 сигналдары қабылданады. Егер 0 сигналы жіберілсе, , ықтималдықтарымен 1, 0 сигналдары қабылданады. 1 сигналы қабылданады деген шартпен, 1 сигналы жіберіледі дегеннің шартты ықтималдығы қандай?
4. Жеке биттің бұрмалану ықтималдығы р=0,02, кодтық комбинацияның ұзындығы n=8. Комбинацияны түгел қатесіз жіберу ықтималдығын, жіберу қателігінің ықтималдығын, сонымен қатар бір, екі және үш қателермен жіберу ықтималдықтарын табу керек.
5. Байланыстың екілік жүйесінде шуылдың әсерінен әрбір кіріс символдары ӛзінің мәндерін тәуелсіз түрде ықтималдығымен ӛзгертеді.
Тӛрт статикалық тәуелсіз хабарламалар жүйе бойынша ; ;
; кодтық векторлары түрінде бірдей ықтималдықпен берілуі мүмкін. Шығыста ; ; ; сигналдары тіркеледі.
кіріс алфавиті мен шығыс алфавиті ықтималдықтарының таралуын анықтау.
6. Байланыс желісі бойынша 1, 0 сигналдары , ықтималдықтарымен беріледі. Егер 1 сигналы берілсе, онда ,
ықтималдықтарымен 1, 0 сигналдары қабылданады. Егер 0 сигналы берілсе, онда , ықтималдықтарымен 1, 0 сигналдары қабылданады. 1 сигналы қабылдануының ықтималдығы қандай?
7. Байланыс желісі бойынша 1, 0 сигналдары , ықтималдықтарымен беріледі. Егер 1 сигналы берілсе, онда ,
ықтималдықтарымен 1, 0 сигналдары қабылданады. Егер 0 сигналы берілсе, онда , ықтималдықтарымен 1, 0 сигналдары қабылданады. 0 сигналы қабылдануының ықтималдығы қандай?
Бақылау сұрақтары.
1. Оқиға деп не аталады?
2. Қандай оқиғалар қарама-қарсы, сенімді, мүмкін емес деп аталады?
3. Қандай оқиғалар толық топты құрайды?
4. Қандай оқиғалар элементар деп аталады?
5. Ықтималдықтың классикалық анықтамасын тұжырымдаңыз.
6. Ауыстыру деп не аталады? Олар қалай анықталады?
7. Үйлестіру деп не аталады? Үйлестірулер қалай анықталады?
8. Орналастыру деп не аталады? Орналастырулар қалай анықталады?
9. Шартты ықтималдық деп не аталады?
10. Ықтималдықтарды кӛбейту теоремасын тұжырымдаңыз.
11. Ықтималдықтарды қосу теоремасын тұжырымдаңыз.
12. Бернулли формуласын тұжырымдаңыз, ол қашан қолданылады?
13. Толық ықтималдық туралы теорема қалай тұжырымдалады?
14. Байес теоремасы қалай тұжырымдалады?
15. Кездейсоқ шама деп не аталады?
16. Қандай кездейсоқ шамалар дискретті, үздіксіз деп аталады?
17. Кездейсоқ шаманың таралу заңы деп не аталады?
15
18. Кездейсоқ шаманың таралу функциясы деп не аталады?
19. Таралу функциясының қасиеттерін атаңыз.
20. Үздіксіз кездейсоқ шамалардың ықтималдықтарының тығыздығы функциясы қалай анықталады?
21. Ықтималдықтардың таралуының тығыздығы функциясының қасиеттерін таңыз.
22. Дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамалардың математикалық күтімі қалай анықталады?
23. Математикалық күтімнің қасиеттерін атаңыз.
24. Дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамалар үшін дисперсия мен орташа квадраттық ауытқу қалай есептеледі?
25. Дисперсияның қасиеттерін атаңыз.
26. Негізгі таралу заңдары.
2 Зертханалық жұмыс №2. Шеннонның ақпараттық өлшемі Ақпараттың мөлшері мен артықтығы.
Байланыстың дискретті жүйелері–хабарламаны орындау сияқты сигналды да орындау, қарапайым символдардың нақты санын құрайтын алфавитің символдарының қатары болып саналатын жүйелер.
мен - мүмкін мәндері кӛп кездейсоқ шамалар болсын X=х1, х2,..., хn, Yу1,у2,...,уn.
Ақпараттың мөлшері H() X={х1, х2,..., хn} кездейсоқ шаманы P={р1, р2,..., рn} ықтималдықтар таралуымен бақылағанда Шеннон формуласымен беріледі:
.
Ақпараттың мӛлшерінің ӛлшем бірлігі бит болып табылады, ол екі тең ықтималды мәні бар кездейсоқ шаманы бақылағанда алынатын ақпарат кӛлемін кӛрсетеді.
р1= р2=...= рn біркелкі таралғанда ақпарат мӛлшері Хартли формуласымен кӛрсетіледі:
H () = . Келесі қатынастар дұрыс:
1) 0 H () .
2) 2, 0,5, N p1 p2 H() 1.
3) H(,) H() H(), мен - тәуелді болмаса.
Артықшылықдепp=1-H()/max H ()=1-H ()/ аталады.
Үздіксіз хабарламалардың энтропиясы.
Ақпаратты берудің үздіксіз жүйелері - (0,Т) соңғы уақыттық интервалда хабарламаны орындау сияқты сигналды да орындау уақыттың кейбір үздіксіз функциялары болып саналатын жүйелер.
16
x(t)-байланыс сұлбасының бір блогының кірісіндегі үздіксіз хабарламаны орындау, y(t)- шығыс хабарламаны (сигналды) орындау, W(x)- кіріс хабарламалар ансамблінің ықтималдықтарының тығыздығы, W(у) - шығыс хабарламалар ансамблінің ықтималдықтарының тығыздығы болсын.
Үздіксіз хабарламалардың Н энтропиясы үшін формулалар дискретті хабарламалар энтропиясы үшін формулаларды жалпылау жолымен алынады.
Егер x- кванттау (ӛлшеу дәлдігі) болса, онда x айтарлықтай аз болғанда үздіксіз хабарламалардың энтропиясы
, мұндағы – келтірілген эниропия;
шағын түрде кӛрсетуге болады;
және ұқсастық бойынша .
Мысал 1.
Хабарламалар кӛзі алфавиттен ықтималдықтармен символдар береді. Ақпарат мӛлшері мен артықтықты табу керек.
Шешімі.
Шеннон формуласы бойынша:
;
H(A) =-( 0.2·log0,2+0,3·log0,3+ 0.4·log0,4+ 0.1·log0,1)=1,86 бит.
Артықтық .
Мысал 2.
Ақпараттың екі кӛзі бар, алфавиттер мен ықтималдықтардың таралуы матрица түрінде берілген:
. Қай кӛз кӛп ақпарат беретінін анықтау керек, егер
; ;
; .
Шешімі.
1) Бірінші кӛз үшін тең ықтималды таралу кезінде Хартли формуласын қолданамыз. X пен Y үшін:
;
; .
Демек, үш символы бар кӛз кӛбірек ақпарат береді.
2) Шеннон формуласын қолданамыз:
17
. есептің шартын есепке алғанда ; ;
H () / 1/( ) 1/( ).
Бір шетінен,
H()= / + 1/ + 1/ .
H() және H() қосылғыштарды салыстырамыз.
Сондықтан
Мысал 3.
Егер алфавиттегі әріптер саны 32 болса және барлық хабарламалар тең ықтималды болса, 5 әріптен тұратын хабарламаның ақпарат мӛлшерін және энтропиясын анықтау керек.
Шешімі.
Бес әріпті хабарламалардың жалпы саны N= , N= тең.
H() = ,
H= .
Мысал 4. Байланыс желісі бойынша қалыпты заң бойынша таралған және m=0 математикалық күтімі мен дисперсиясы бар x(t) үздіксіз амплитудалы- модуляцияланған сигналдар жіберіледі.
Оның ӛлшеуі дәл болғанда Н(Х) энтропиясын анықтау керек.
x 0,2B.
Шешімі.
Шарт бойынша x(t) сигналының ықтималдықтар тығыздығы:
.
.
Сандық мәндерін қойып, аламыз:
H(X)=
18 Мысал 5.
Күйінің экспоненталық таралуы бар X жүйесінің толық энтропиясын анықтау.
Шешімі.
X жүйесінің толық энтропиясы:
Өз бетімен шығаруға арналған есептер.
1. Берілген цехта сегіз білдектің (станок) біреуі істен шыққаны туралы хабарлама алғанда ақпараттың мӛлшері неге тең?
2. Алфавит a, b, c, d әріптерінен тұрады. Әріптердің пайда болу ықтималдығы сәйкесінше 0,25; 0,25; 0,34; 0,16 тең. Осы алфавиттің кӛмегімен құрастырылған хабарламадағы символға келетін ақпарат мӛлшерін табу.
3. Дискретті кездейсоқ шаманың ықтималдықтарының таралуы келесі түрге ие.
2.1 кесте - дискретті кездейсоқ шаманың ықтималдықтарының таралуы X
P 0,1 0,12 0,1 0,1 0,1 0,09 0,07 0,32
Біркелкі таралу энтропиясы берілген таралу энтропиясына тең кездейсоқ шаманың мәндерінің N санын табу керек.
4. Себетте 32 шар бар, олардың 4 ақ, ал қалғандары қара. Себеттен ақ шарды алды деген хабарламада қанша бит ақпарат бар?
5.Бір тілдің алфавитінде барлығы екі әріп. Осы тілдің әрбір сӛзі m әріптерден тұрады. 2048 түрлі сӛз құрауға болатыны белгілі. Әрбір сӛзде қанша әріп?
6. БУМ тайпасының алфавитінде барлығы 4 әріп (А, У, М, Б), бір тыныс белгісі (.) бар және сӛздерді бӛлу үшін пробел қолданылады. Әйгілі «МУБА»
романында 10000 белгі бәрі саналды, оның ішінде: А әріптері- 4000, У әріптері- 1000, М әріптері- 2000, Б әріптері- 1500, нүктелер- 500, пробелдер- 1000. Кітаптың энтропиясын табу керек.
7. Дәлдік классы 1-ге тең амперметрде 1-ден 5 А дейін шкала бар.
Рұқсат берілетін қателік . Диапазондағы кез келген кӛрсету теңықтималды деген шартпен аспаптың кӛрсетуінің энтропиясын табу керек.
8. Ұшақтың күйі кездейсоқ шамалармен сипатталады: биіктік Н, V жылдамдық модулі мен ұшу бағытын анықтайтын θ бұрыш. Ұшақтың биіктігі
19
( , ) телімінде біркелкі тығыздықпен таралған, V жылдамдық- v0 математикалық күтімі мен σv орташа квадраттық ауытқуымен; θ бұрыш- (0,π) телімінде біркелкі тығыздықпен. H,V, θ шамалары тәуелсіз.
Біріктірілген жүйенің энтропиясын табу керек.
9. Біркелі (тікбұрышты) таралу заңы үшін W(x) ықтималдықтар тығыздығының берілген аналитикалық ӛрнегі бойынша H(x) энтропия мәнін анықтау:
.
10. Симпсонның таралу заңы үшін W(x) ықтималдықтар тығыздығының берілген аналитикалық ӛрнегі бойынша H(x) энтропия мәнін анықтау:
, . Бақылау сұрақтары.
1. Энтропияның анықтамасын беру.
2. Шеннон формуласын жазыңыз.
3. Хартлиформуласын жазыңыз.
4. Энтропияның негізгі қасиеттерін атаңыз.
5. Энтропияның ӛлшем бірлігі қандай?
6. Қандай жағдайларда энтропия нӛлге тең?
7. Қандай шарттарда энтропия максималды мәнге жетеді?
8. Тәуелсіз кӛздер үшін энтропияны қосу ережесі қандай?
9. Үздіксіз хабарламалардың ақпарат мӛлшері қалай анықталады?
10. Артықшылық формуласын жазыңыз.
3 Зертханалық жұмыс №3. Шартты энтропия және өзара ақпарат Ақпаратты тасымалдаудың дискретті жүйелері.
Х шамасын бақылағанда Ү шамасының шартты энтропиясы деп аталады:
. Келесі қатынастар дұрыс:
.
Х мен Ү шамаларының өзара ақпараты 1.3 суреттен анықталады.
20 H(X) H(X/Y)
H(X,Y)
H(Y/X)H(Y)
1.3 сурет-Хабарлама кӛздерінің ӛзара ақпараты
Бұл Х-та Ү хабарламасы немесе Ү-та Х хабарламасы туралы қандай (орташа) ақпарат мӛлшері бар екенін I(X,Y) штрихты бӛлігі кӛрсетеді.
I(X,Y)=H(X)-H( ), I(X,Y)=I(Y,X)=H(Y)- H( ),
I(X,Y)=H(X)+H(Y)- H( ).
Егер Х пен Ү тәуелсіз болса, онда I(X,Y).
Егер Х пен Ү тәуелді болса (бірдей ақпарат болса), онда I(X,Y)=H(X)=H(Y).
Келесі қатынастар дұрыс:
.
Ӛзара ақпарат түсінігі ақпаратты тасымалдау теориясында кең қолданылады. Тұтынушы қандай ақпаратпен жұмыс істейтіндігіне байланысты ӛзара ақпаратқа қойылатын талаптар әртүрлі. Мысалы, егер X пен Y– әртүрлі газеттер жариялайтын хабарлама болса, онда мүмкін жиынтық (бірлескен) ақпаратты алу үшін ӛзара (осы жағдайда бірдей) ақпарат минималды болуы қажет. Егер Х мен Ү- байланыс каналының кірісі мен шығысында бӛгеуілі бар хабарламалар болса, онда кӛбірек ақпарат алу үшін ӛзара ақпарат кӛп болуы қажет. Онда шартты энтропия H(X⁄Y)-байланыс каналында ақпараттың жоғалуы (каналдың сенімсіздігі). H(Y⁄X)- бӛгеуілдер жайлы шартты энтропия (H(n)) бӛгеуілдер кӛзінің энтропиясы, каналға сырттан түседі немесе каналда ішкі бӛгеуілдермен жасалады) (1.4 сурет).
Шартты энтропия мен ӛзара ақпаратты есептегенде ықтималдықтар териясының келесі қатынастарын қолданған ыңғайлы:
- ықтималдықтарды кӛбейту теориясы:
I (X,Y)
21
; - толық ықтималдық формуласы:
;
; - Байес формуласы:
.
1.4 сурет- Біріктіру энтропиясы Ақпаратты тасымалдаудың үздіксіз.
x(t)–байланыс сұлбасының қайсыбір блогының кірісінде үздіксіз хабарламаның жүзеге асуы, y(t)- шығыс хабарламасының (сигналдың) жүзеге асуы, (x)-кіріс хабарламалары ансамблінің ықтималдықтарынының бір ӛлшемдік тығыздығы, (x)–шығыс хабарламалары ансамблінің ықтималдықтарынының бір ӛлшемдік тығыздығы, (x,y)–ықтималдықтардың бірлескен тығыздығы, f(y⁄x)-x белгілі болған кездегі y ықтималдықтарының шартты тығыздығы болсын. Онда I ақпарат мӛлшері үшін келесі қатынастар дұрыс.
I(x,y)= ;
I(X,y)= I(x,Y)= .
22
Х пен Ү үздіксіз жүйелерінде бар толық өзара ақпарат ӛрнегі анықталады:
немесе, математикалық күтім белгісін қолданып:
I(X,y) .
Мұнда I(x,y) –кіріс және шығыс хабарламаларының арасындағы қандай-да бір мәні арасындағы ӛзара ақпарат, I(X,y) және I(x,Y)- шартты ақпараттың орташа мәндері, I(X,Y)- толық орташа ӛзара ақпарат.
Шартты энтропия формуламен анықталады:
; . Ықшам түрде кӛрсетуге болады:
. Х пен Ү ӛзара статистикалық байланысқан болса, онда
. Тәуелсіз Х пен Ү кезінде
.
Толық орташа ӛзара ақпарат формуламен анықталады:
. Мысал 1.
Матрица берілген:
. Анықтау:
. Шешімі.
Толық ықтималдық формуласы бойынша:
23
. Демек
Кӛбейту теориясы бойынша
,
, , . Демек,
= .
Ұқсас
H(Y/X) 1,43.
Біріктіру энтропиясы: H(X,Y) H(X) H(Y / X) 1,57 1,43 3.
Х пен Ү шамаларының ӛзара ақпараты:
I(X,Y) H(X) H(X /Y) 0,14.
Мысал 2.
Байланыс каналы келесі каналдық матрицамен сипатталған:
. Табу керек:
1) Егер хабарлама кӛзінің символадырының пайда болу ықтималдығы болса, хабарламаның бір символымен тасымалданатын ақпараттың орташа мӛлшері.
24
2) алфавитінің 1000 символынан тұратын хабарламаны тасымалдағанда ақпаратты жоғалтулар неге тең?
3) Қабылданған ақпарат мӛлшері неге тең?
Шешімі.
1) Хабарлама кӛзінің энтропиясы H(X)=-
. 2) Жалпы шартты энтропия
.Байланыс каналындағы жоғалтулар
3) Қабылдағыштың энтропиясы
.
p(x,y)=p(x)*p( кӛбейту формуласын қолданып, матрицаға кӛшуді жүзеге асырамыз:
;
.
Жол элементтерін қосып, шартсыз ықтималдықтарын аламыз.
Баған элементтерін қосып, шартсыз ықтималдықтарын аламыз.
p(p(p(
. Алынған ақпараттың орташа мӛлшері:
I=k(H(Y)-H(Y/X))=1000*(4.094-0.473)=621.
Мысал 3.
Жадысы жоқ екілік-симметриялы каналдың кірісінде кӛздің энтропиясы H(X)=3400 бит, каналдың шығысында ансамбль энтропиясы H(Y)=6800 бит, каналдың сенімсіздігі H(X/Y)=700 бит болса, каналдың(X⁄Y) шуылының энтропиясынтабу керек.
25 Шешімі.
Хабарламалар кӛздерінің ӛзара ақпараты:
I(X,Y)=H(X)-H(X/Y)=H(Y)-H(Y/X), I(X,Y)=H(X)-H(X/Y)=3400-700=2700 бит.
Шуыл энтропиясы
H( бит
Мысал 4.
Қабылданатын сигнал ( оқиғасы) немесе ( оқиғасы) амплитудасы, сонымен қатар ( оқиғасы) немесе ( оқиғасы) фазалар жылжыуына ие болуы мүмкін. Бірлескен оқиғалардың ықтималдықтарының келесі мәндері бар: p ( , )=0,73, p( , )=0,21, p( , )=0,02, p( , )=0.04. Амплитудасы белгілі болса, сигналдың фазаларының ығысуы туралы алынатын ақпарат мӛлшерін табу.
Шешімі.
Амплитуда белгілі болғанда фазалық ығысу туралы ақпараттың орташа мӛлшері:
I(X,Y)=H(Y)-H(Y/X), , ,
, Кӛбейту теоремасы бойынша:
;
;
;
I(Y,X)=H(Y)-H(Y/X)=0.81-0.77=0.04 . Мысал 5.
26
Қабылдаушы қондырғының кірісіне y(t)=x(t)+n(t) тербеліс әсер етеді, мұндағы x(t) сигнал мен n(t) бӛгеуіл- математикалық күтімі нӛлге және дисперсиясы сәйкесінше тең тәуелсіз гаусстық кездейсоқ шамалар.
Анықтау керек:
- x(t) сигналдың мәні жайлы қабылданған y(t) тербелістің кез келген мәнінде бар I(x,y) ӛзара ақпарат мӛлшерін;
- I(X,Y) толық орташа ӛзара ақпаратты.
Шешімі.
Есептің шарты бойынша y(t)ықтималдықтарының қалыпты тығыздығы бар x(t) және n(t) тәуелсіз тербелістерінің қосындысы болып табылады:
. Ақпарат мӛлшері формула бойынша анықталады:
I(x,y)=
. Толық орташа ӛзара ақпарат:
немесе
Өз бетімен шешуге арналған есептер.
1. Қорапта 16 ойыншық бар, оның ішінде 4 қоян, 2 аю. Қораптап аюды таңдау қоянды қорапқа қайтарудан кейін жүзеге асқан болса, қоян
27
ойыншығын, кейін аю ойыншығын алды деген хабарламада қанша бит ақпарат бар?
2. Біреуге біріктірілген Х пен Ү екі жүйесі бар, олардың ықтималдықтары келесі матрица түрінде берілген:
. Толық шартты энтропияны анықтау.
3. Қабылданатын сигнал ( оқиғасы) немесе ( оқиғасы) амплитудасы, сонымен қатар ( оқиғасы) немесе ( оқиғасы) фазалар жылжыуына ие болуы мүмкін. Бірлескен оқиғалардың ықтималдықтарының келесі мәндері бар: р( , )=0,73, р( , )=0,21 р( , )=002, р( , )=0,04.
Тәуелді оқиғаларды біріктірудің энтропиясын есептеу.
4. (0,1) кесіндісінде кездейсоқ түрде бір-бірінен тәуелсіз U мен V екі нүктесі алынады, әрқайсысы осы кесіндіде біркелкі тығыздықпен таралған.
Тәжірбие нәтижесінде нүктелердің біреуі оңға, екіншісі солға қарай түсті. Оң нүктенің орны жайлы сол жақтағы нүктенің орнының мәні қанша ақпарат береді?
5. 0 мен 1 екі символын беретін және ықтималдықтары p(0)=3/4, p(1)=1/4 және шартты ықтималдықтары p(0/0)=2/3, p(1/0)=1/3, p(0/1)=1, p(1/1)=0 тең хабарламалар кӛзінің энтропиясын есептеу.
6. Қабылдағыштың кірісінде символдардың пайда болу ықтималдығы p( )=0.1, p( )=0.3, p( )=0.4, p( )=0.2 тең, ал каналдық матрица:
P(a/b)=
0.99 0.01 0 0
0.02 0.98 0 0
0 001 0.98 0.01
0 0.01 0.02 0.97
түрге ие болса, хабарлама кӛзінің энтропиясын анықтау.
7. Байланыс каналынан берілетін және тең ықтималды символдардан тұратын хабарлама кӛзінің энтропиясын анықтау, егер каналдағы бӛгеуілдер ықпалы келесі матрица түрінде сипатталса:
.
8. Хабарлама кірісінде символдардың пайда болу ықтималдығы p( )=0.5, p( )=0.3, p( )=0.2тең, ал каналдық матрица:
28
түрге ие болғандағы хабарлама қабылдағыштың энтропиясын анықтау.
9. Үздіксіз байланыс каналы бойынша нӛлдік математикалық күтімі бар және дисперсиясы 4 мВ тең қалыпты кездейсоқ процесс болып табылатын x(t) пайдалы сигналы беріледі. Каналда нӛлдік математикалық күтімі бар және дисперсиясы 1 мВ тең сигналдан тәуелсіз n(t) гаусс шуылы бар. Кіріс сигналының дифференциалды энтропиясын, шығыс сигналының дифференциалды энтропиясын анықтау.
Бақылау сұрақтары.
1. Шартты энтропияның анықтамасын беру.
2. Жалпы жағдайда энтропияның аддитивтілік заңын тұжырымдау.
3. Шартты энтропияны есептеу үшін қандай формулалар қолданылады?
4. Ӛзара ақпаратты есептеу үшін қандай формулалар қолданылады?
5. Толық орташа ӛзара ақпарат қалай анықталады?
6. Ақпаратты тасымалдаудың дискретті жүйелері деп не түсіндіріледі?
7. Ақпаратты тасымалдаудың үздіксіз жүйелері деп не түсіндіріледі?
8. Ақпаратты тасымалдаудың үздіксіз жүйесінде шартты энтропия қалай анықталады?
4 Зертханалық жұмыс №4. Байланыс каналы бойынша ақпарат тасымалдау
Энтропия, кӛздің ақпаратты беру жылдамдығы, артықтық ақпараттық жүйелердің қасиеттерін сипаттауға мүмкіндік береді. Алайда, ақпараттық жүйелерді салыстыру үшін осындай сипаттау жеткіліксіз. Тұтынушыны берілген кӛлемдегі ақпаратты тасымалдау ғана емес, оны тез арада жеткізу, белгілі мӛлшерді сақтау ғана емес, аппаратураның минималды кӛлемін қолданып сақтау қызықтырады.
Т уақытта байланыс каналы бойынша берілетін ақпарат мӛлшері тең болсын:
.
Егер тасымалдау Т уақыт бірлігіне созылса, онда ақпаратты тасымалдау жылдамдығы құрайды:
. Бұл орташа есеппен бір хабарламаға келетін ақпарат мӛлшері.
Егер секундына n хабарлама берілсе, онда тасымалдау жылдамдығы тең:
V=n(H(X)-H(X/Y)).
29
Каналдың өткізу қасиеті - осы канал үшін ақпаратты тасымалдаудың ең максималды жылдамдығы:
..
Тасымалдау жылдамдығы техникалық немесе ақпаратты бола алады.
Техникалық (қозғалыс жылдамдығы) деп уақыт бірлігінде тасымалданатын элементар сигналдар (символдар) саны аталады.
.
Ақпараттық жылдамдық немесе ақпаратты тасымалдау жылдамдығы уақыт бірлігінде тасымалданатын ақпараттың орташа мӛлшерімен анықталады.
V=nH бит/с.
Тең ықтималды ӛзара тәуелсіз символдардан құрастырылған тең ықтималды хабарламалар үшін:
V= .
Егер символдар тең ықтималды емес болса:
. Егер символдардың ұзақтығы әртүрлі болса:
. Екілік код үшін.
Ӛткізу қасиеті байланыс каналдарының маңызды сипаттамасы болып табылады. Осыдан туындайтын сұрақ: Х кӛзден Ү қабылдағышқа ақпарат кідіріссіз түсу үшін каналдың ӛткізу қасиеті қандай болу керек? Жауапты Шеннон теоремасы береді.
1. Шеннон теоремасы.
Егер энтропиясы H(X) және ӛткізу қасиеті с байланыс каналы болса, егер c>H(X) болса, онда жеткілікті ұзын хабарламаны әрқашан кідіріссіз тасымалданатындай кодтауға болады. Егер c<H(X) болса, онда ақпаратты кідіріссіз тасымалдау мүмкін емес.
Кез келген шынайы каналда бӛгеуілдер болады. Алайда, оның деңгейі тӛмен болса, онда олардың бұрмалану ықтималдығы нӛлге тең және барлық сигналдар бұрмаланбай беріледі деп санауға болады. Бұл жағдайда, бір символмен тасымалданатын ақпараттың орташа мӛлшері:
30
I(X,Y)=I(Y,X)=H(X), .
Демек, бӛгеуілсіз уақыт бірлігінде каналдың ӛткізу қасиеті:
c=n .
Шынайы каналдар әрқашан бӛгеуілдері болатындығымен сипатталады.
Бӛгеуілдері бар дискретті каналдың ӛткізу қасиеті есептеледі:
c=n(H(Y)-H( ,
мұндағы H(Y)= .
Бӛгеуілдері бар дискретті канал үшін Шеннон екінші теорема берді.
2. Шеннон теоремасы.
Уақыт бірлігіндегі энтропиясы H(X) тең Х ақпарат кӛзі, с ӛткізу қаситеті бар канал болсын. Егер H(X)>с болса, онда кез-келген кодтауда хабарламадарды кідіріссіз және бұрмалаусыз беру мүмкін емес. Егер H(X)<c, онда кез келген жеткілікті ұзын хабарламаны әрқашан кідіріссіз және мейлінше бірге жақын ықтималдығы бар бұрмаланусыз тасымалданатындай кодтауға болады.
Мысал 1.
Жадысы жоқ дискретті симметрилық каналдың кірісіне екілік символдар =0 мен =1 түсуде, олардың априорлық ықтималдықтары p( )=0.85 және p( )=0.15. Осындай каналдың p( ) ӛтпелі ықтималдықтары қатынаспен беріледі:
p( )= ,
мұндағы p=0.05–қателік ықтималдығы. Барлық апостериорлық ықтималдықтарды анықтау.
Шешімі.
Каналдағы жағдай сұлбамен сипатталады.
шуыл
p=0,05 болғандықтан, дұрыс қабылдау ықтималдығы q=1-0,05.
Осындай каналда әрбір кодтық символ қате ықтималдықпен алынуы мүмкін:
p( ) = p( )=p=0.05.
КАНАЛ
31
Дұрыс тасымалданған ақпарат сипатталады:
p( ) = p( )=p=0.95.
Байес формуласы бойынша апостериорлық ықтималдықтарды анықтаймыз:
,
,
,
,
. Мысал 2.
Байланыс каналы бойынша ансамбльден хабарлама беріледі:
Каналда хабарламаның бір элементін тасымалдаудың орташа ұзақтығы τ=0.44 мс. каналда шуыл жоқ. Каналдың ӛткізу қасиеті мен ақпаратты беру жылдамдығын анықтау.
Шешімі.
Каналда шуыл болмағанда каналдың ӛткізу қаситеті:
. Берілген хабарламаның алфавит кӛлемі m=8:
. Ақпараттық жылдамдық:
.
X=
x1
0.09 x2
0.1 x3
0.22 x4
0.07 x5
0.15 x6
0.17 x7
0.02 x8
0.18
.
