ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
C.С. САҒЫНТАЕВ С.С. САҒЫНТАЕВА
ЫҚТИМАЛДЫҚТАР ТЕОРИЯСЫ ЖӘНЕ
МАТЕМАТИКАЛЫҚ СТАТИСТИКА ЭЛЕМЕНТТЕРІ Оқулық
Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі бекіткен
Алматы 2021
ӘОЖ 519.2(075.8) КБЖ 22.17 я73 С14
Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігінің
«Оқулық» республикалық ғылыми-практикалық орталығы бекіткен Пікір білдірушілер:
Дауылбаев М.К. - физика-математика ғылымдарының докторы, профессор;
Қойлышов Ү.Қ. - физика-математика ғылымдарының кандидаты, Байсалова М.Ж - физика-математика ғылымдарының кандидаты, профессор.
С14 Сағынтаев С.С., Сағынтаева С.С.
Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика элементтері: Оқулық. - Алматы: АЭжБУ, 2021. - 187 б.
ІSBN 978-601-7939-80-9
Оқулық ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика пәні бойынша жоғары оқу орындарының бағдарламасына сәйкестеліп жазылған. Негізгі ұғымдар мен теоремалары тұжырымды баяндалып, мысалдардың шешу жолдары талдап көрсетілген және олардың кейбір геометриялық мағыналары анықталған.
Жаттығу есептері жүйеленіп, әр тақырыпқа сәйкес жинақталған және олардың жауаптары көрсетілген.
Жоғары оқу орындары студенттеріне, магистранттарына, арнаулы оқу орындары тыңдаушыларына оқулық ретінде және әдістемелік оқу құралы ретінде оқытушыларға арналған.
ӘОЖ 519.2(075.8) БЖ 22.17 я73 ІSBN 978-601-7939-80-9
© Сағынтаев С.С., Сағынтаева С.С., 2021
© «PRINT EXPRESS» баспасы ЖШС, 2021
АЛҒЫ СӨЗ
Ұсынылып отырған оқулық жоғары оқу орындарының студенттерінің бағдарламасына сәйкес жазылып отыр.
Ықтималдықтар теориясы ғылымның әртүрлі салаларында берік орын алып, оның әдістері физика, химия, биология, медицина құбылыстарының, техника, экономика және технологиялық процестердің заңдылықтарын терең мағыналы түсінуге ықтималын тигізуде.
Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдары құмар ойындардың ережелерін зерттеуден басталады.
XVІІ ғасырдың орта кезіндегі Паскаль, Ферма және Гюгенс еңбектері ықтималдықтар теориясының негізі және бастамасы болып есептеледі. Бұл теорияның одан әрі жалғасуы Яков Бернулли және Абрахам де Муавр еңбектерімен тығыз байланысты.
XІX ғасырдың бірінші жартысында өмір сүрген математиктер Лаплас, Гаусс және Пуассон еңбектері ықтималдықтар теориясының дамуына үлкен ықпалын тигізді.
XІX ғасырдағы ықтималдықтар теориясының сұрақтарымен айналыса бастаған орыстың атақты ғалымдары П.Л.Чебышев және оның оқушылары А.А.Марков пен А.М.Ляпуновтар болды.
Советтер одағы кезеңінен бастап ықтималдықтар теориясының мектебі С.Н.Бернштейн, А.Я.Хинчин, А.Н.Колмогоров, В.И.Романовский, Б.В. Гнеденко, В.С.Пугачев, Б.С.Жаңбырбаев және тағы басқалардың еңбектері арқылы дамып қалыптасуда.
Ұсынылған оқулықтың алғашқы тарауында ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдары мен теоремалары берілген. Ықтималдықтың классикалық
анықтамасымен қатар, статистикалық және геометриялық ықтималдықтардың негізінде бірнеше мысалдар да келтірілген. Оқиғаларға қарапайым амалдар қолдану арқылы ықтималдықдарды қосу, көбейту теоремалары дәлелденіп, Байес, тәжірибелерді қайталаудағы Бернулли, Лапластың локальдық, интегралдық теоремаларымен жалғастырылған.
Екінші тарау кездейсоқ шамалар және олардың сандық сипаттамаларымен басталса, үлкен сандар заңдары Чебышев және Бернулли теоремасымен жалғасқан. Үлестірім функциясы, үлестірім тығыздығы және олардың қасиеттері қарастырылып, үздіксіз кездейсоқ шамалардың әртүрлі үлестірім заңдары баяндалып, оларға мысалдар келтірілген. Кездейсоқ шамалар жүйесі екі кездейсоқ шамалардың үлестірім заңы және үлестірім функциялары арқылы баяндалған.
Үшінші тарауда математикалық статистика элементтері қарастырылған. Таңдамалар, үлестірімнің эмперикалық функциясы және статистикалық үлестірімнің сандық сипаттамалары, статистикалық ортаның орнықтылығы, интервалдық бағалаулар қарастырылып, оларға мысалдар келтірілген.
Корреляциялық тәуелділікте сызықтық және қисық сызықтық корреляциялар толығымен көрсетілген.
Авторлар
І- Т А Р А У
ЫҚТИМАЛДЫҚТАР ТЕОРИЯСЫНЫҢ
НЕГІЗГІҰҒЫМДАРЫМЕНТЕОРЕМАЛАРЫ 1.1 Тәжірибе және оқиға
Өмірде белгілі бір мақсат үшін жүргізілетін бақылауларды тәжірибе деген термин есебінде қабылдаймыз. Белгілі бір шарттарды өзгертпей отырып, тәжірибені қайталауға болады.
Тәжірибе мысалдары. Тиын ақшаны лақтыру; ойын сүйегін лақтыру (1-6 цифрларымен белгіленген алты жағы бар); спортлото ойынына қатысу; өндірістен шыққан бұйымдардың сапасын тексеру, т.с.с.
Тәжірибенің мүмкін болатын нәтижелерінен тұратын жиынды элементар оқиғалар деп атайды. Элементар оқиғалардан тұратын күрделі оқиғаны кездейсоқ оқиға деп атайды. Элементар немесе күрделі оқиғалардың жалпы аты оқиға деп аталады. Оқиғалар А,В,С, … бас әріптерімен белгіленеді.
1. Тәжірибе - тиынды бір рет лақтыру болсын. Бұл тәжірибенің нәтижесі екі элементар оқиғадан тұрады: А –
«елтаңбаның» түсуі, В – «цифрдың» түсуі.
2. Тәжірибе - ойын сүйегін бір рет лақтыру болсын.
Элементар оқиғалар А1,А2,…,А6 - ойын сүйегінің үстіңгі бетінде і=1,2,…,6 цифрларының пайда болуы.
3. Тәжірибе - ойын картасынан бір карта суыру болса, онда элементар оқиғаның бірі А- қарға тұзын алу, т.с.с.
Ақиқат оқиға деп тәжірибе нәтижесінде әрқашан пайда болатын оқиғаны айтады. Мүмкін емес оқиға деп тәжірибеде ешқашан пайда болмайтын оқиғаны айтады.
Ақиқат оқиға U әріпімен белгіленеді, ал мүмкін емес оқиға V әріпімен белгіленеді.
Мысал. А - ойын сүйегін лақтырғанда 6 цифрынан артық цифр түспейтін оқиға - ақиқат оқиға болады. В - 12 цифрының пайда болуы - мүмкін емес оқиға.
Бірікпейтін оқиғалар дегеніміз біреуінің пайда болуы басқа оқиғалардың пайда болмауына әсер ететін оқиғалар.
Бір ғана мүмкіндікті оқиғалар дегеніміз ең болмағанда біреуінің пайда болуы ақиқат болатын оқиғалар жиынын айтады (оқиғалар толық группа - топ құрады).
Тең мүмкіндікті оқиғалар деп пайда болу мүмкіндіктері бірдей оқиғалар жиынын айтады.
Мысал. Тәжірибе - тиын бір рет лақтырылды. А - елтаңба пайда болу, В - цифр пайда болу оқиғалары болсын. А мен В оқиғалары бірікпейтін, бір ғана мүмкіндікті және тең мүмкіндікті оқиғалар. Мылтық атылғанда А - нысанаға тигізу және В - нысанаға тигізбеу оқиғалары да бірікпейтін, бір ғана мүмкіндікті, тең мүмкіндікті оқиғалар.
Осындай үш қасиеті (бірікпейтін, бір ғана мүмкіндікті, тең мүмкіндікті) бар оқиғалар жиынын жағдай (шанстар) дейміз. Жағдайдың пайда болуы оқиғаның пайда болуына соқтырса, ол жағдайды оқиғаға қолайлы жағдай деп атайды.
Мысал. Ойын сүйегін лақтырғанда 6 жағдай болады.
А - жұп цифр болу оқиғасы болса, оған қолайлы үш жағдай 2; 4; 6 цифрларының пайда болулары. Қалған үш жағдай бұл А оқиғасына қолайлы емес.
1.2 Ықтималдықтың анықтамалары. Ықтимал- дықтың классикалық анықтамасы
Анықтама. Белгілі А оқиғасының ықтималдығы дегеніміз осы оқиғаға қолайлы жағдайлар санын барлық жағдайлар санына қатынасын айтады да былай белгілейді:
m,
P(A) n (1.1) мұндағы n - барлық жағдайлар саны;
m - А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны.
Бұл классикалық анықтама бойынша оқиғаның ықтималдығын анықтау үшін:
1. Берілген есептегі тәжірибенің не екендігін анықтаймыз;
2. Элементар оқиғалар санын n - барлық жағдайлар санын есептейміз;
3. Ықтималдығын тапқалы отырған А оқиғасын анықтаймыз;
4. Анықталған А оқиғасына қолайлы жағдайлар санын m-ді есептейміз;
5. (1.1) формуланы қолданып А оқиғасының ықтималдығын есептейміз.
Мысал. Жәшікте 2 ақ және 3 қара шар бар. Жәшіктен кезкелген бір шар аламыз. Сол алынған шардың ақ шар болып шығу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. Тәжірибе - жәшіктен бір шар алу болып табылады. Барлық жағдайлар саны жәшіктегі шарлар саны n=5. А - шардың ақ болу оқиғасы. Бұл оқиғаға 5 шардың екі шары - екі жағдайы қолайлы болады, m=2, енді А оқиғасының ықтималдығын (1.1) формула арқылы есептейміз:
4 5 0
2 ,
P(A) .
Мысал. Ойын сүйегін екі рет лақтырғанда пайда болған ұпайлардың қосындысы 6-ға тең болу ықтималдығы қандай?
Шешуі. Тәжірибе - ойын сүйегін екі рет лақтыру болады. Барлық жағдайлар саны: бірінші рет лақтырғанда 1, 2, 3, 4, 5, 6, немесе i1,6 бұның әр жағдайына екінші
лақтырғандағы j1,6 жағдайы сәйкес келуі мүмкін, яғни әр жағдай (і, j) нүктесімен анықталады.
Бұндай жағдайлар саны n=36. А - ұпайлар санының қосындысы алтыға тең оқиға. Бұл оқиғаға қолайлы жағдайлар (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) саны m=5, олай болса
36
5 P(A) .
Ықтималдықтың қасиеттері:
1. Ақиқат оқиғаның ықтималдығы бірге тең. А - ақиқат оқиға болса, онда P(A)=1, себебі ақиқат оқиғаға тәжірибенің әрбір жағдайы қолайлы болады (m=n);
2. Мүмкін емес оқиғаның ықтималдығы нөлге тең.
Ешбір жағдай бұл оқиғаға қолайлы емес, m=0;
3. Қандай да болмасын оқиғаның ықтималдығы нөл мен бірдің арасында жатқан нақты сан: 0P(A)1. Себебі 0mn болғандықтан, бұл теңсіздікті n-ге бөлсек, көрсетілген теңсіздік шығады.
Комбинаториканың ықтималдықтарды есептеуге қолданылулары
Оқиғалардың ықтималдықтарын есептеу үшін көп жағдайларда комбинаторика формулаларын қолдануға тура келеді.
Анықтама. Алмастыру деп берілген әртүрлі n элементтен бір-бірінен айырмашылығы тек орналасу ретінде ғана болатын топтар жиынын айтады.
Берілген әртүрлі n элементтен құрылған алмастырулар саны (топтар саны) Pn арқылы белгіленіп, келесі формуламен анықталады: Pn=n!, мұндағы
! 1 2 3 ...
n n (n факториал деп оқылады).
Ескерту. Бос жиынды бір ғана әдіспен орналастыруға болады, сондықтан анықтамаға сәйкес 0!=1 деп қарастырады.
Мысал. 5 студент неше әдіспен орындықтарға жайғасуы мүмкін?
Шешуі. Жиынның әрбір тобынның әрқайсының бір- бірінен айырмашылығы тек студенттердің орналасу ретінде ғана болғандықтан n=5, барлық алмастыру саны (топтар саны):
5 5! 1 2 3 4 5 120 P ,
яғни 5 студентті бес-бестен отырғызып, тек отыру ретін ауыстырып топтар құрсақ, онда алмастыру саны 120 (120 топ) болады.
Ескерту. Егер берілген n элементтер ішінде кейбір элементтері қайталанатын болса, мысалы бірінші элемент n1 рет кездессе, екінші элемент n2 рет кездессе, т.с.с. k элемент nk рет кездессе, яғни барлық берілген n элементтері k түрлі элементтерден құралса,
n1+ n2+…+ nk = n,
онда қайталанатын элементтері бар n элементтің алмастыру саны келесі формуламен есептеледі:
, ...,
1 2
1 2 ..
, ! .
! ! !
k
n k
P (n n n ) n
n n n
Мысал. 1; 1; 1; 2; 2; 2 цифрлары арқылы неше әртүрлі алты таңбалы сан құруға болады?
Шешуі. Бұл жағдайда қайталанатын элементтері бар алмастыру санын анықтау керек. k=2 – екі түрлі сан, бірінші түрі (1) үш рет n1=3, екінші түрі (2) үш рет кездеседі n2=3, барлық цифрлар саны n=6, сондықтан:
. 3 20 2 1 3 2 1
6 5 4 3 2 1
! 3
! 3
! 3 6 ,
6 3
) ( P
Мысал. «Саид», «Асылжан», «шеше» сөздерінен неше әртүрлі алмастыру жасауға болады?
Шешуі. «Саид» сөзінің әріптері әртүрлі және n=4, сондықтан:
4 4! 1 2 3 4 24.
P
«Асылжан» сөзінде «а» әріпі екі рет қайталанады, қалған 5 әріп бір реттен кездеседі, сондықтан әртүрлі алмастыру санын табу үшін n=7, n1=2, n2=1, n3=1, n4=1, n5=1, n6=1:
.
! 2520 2
! 1
! 1
! 1
! 1
! 1
! ) 7
2 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1
7(
P
«Шеше» сөзі төрт әріптен тұрады және «ш» әріпі екі рет, «е» әріпі екі рет қайталанады, n=4, n1=2, n2=2. Әртүрлі алмастыру саны:
. 2 6 1 2 1
4 3 2 1
! 2
! 2
! ) 4 2 , 2
4(
P
Мысал. Ұ, С, Н, А, Л, Т әріптері бірдей карточкаларға жазылып, араластырылған. Осы әріптерді кезкелген әдіспен бір-бірлеп алып сөз құрғанда СҰЛТАН болып шығу ықтималдығын табыңыз.
Шешуі. Әртүрлі 6 элементтерден алынған алмастурылар саны P6 6! 1 2 3 4 5 6 360, яғни тең мүмкіндікті оқиғалар саны 360, оның ішінде СҰЛТАН сөзіне (оқиғасына) бір ғана жағдай қалайлы болады, сондықтан СҰЛТАН болып шығу оқиғасының ықтималдығы .
360
1 P
Анықтама. Орналастыру деп бір-бірінен айырмашылығы элементтерінің құрамында немесе элементтердің орналасу ретінде болатын әртүрлі n элементтен m-нен жасалған топтар жиынын айтамыз (m<n). Барлық мүмкін орналастурудың саны m
An арқылы белгіленіп, келесі формуламен есептеледі:
).
1 (
...
) 2 ( ) 1
(
n n n n m
m An
Анықтама. Теру деп бір-бірінен айырмашылығы ең болмағанда бір элементінде болатын әртүрлі n элементтен m-нен жасалған топтар жиынын айтады. Барлық n элементтен m-нен жасалған терудің саны m
Сn арқылы белгіленіп, келесі формуламен есептеледі:
)!. (
!
! m n m m n Сn
Ескерту. Анықтама бойынша 0 1
Сn деп есептеледі.
Теру формулалары үшін келесі теңдіктер орындалады:
. 1 2
2 1 0
1, 1
1 ,
n n Сn n Сn Сn
Сn Сn
m Сn m Сn m
Сn m n Сn m Сn
Мысал. Жәшікте барлығы N шар болсын, оның ішінде M көк шар бар (M<N). Сол жәшіктен n шар алынады. Осы алынған n шардың ішінде m көк шар болу ықтималдығын табыңыз.
Шешуі. А – алынған n шарлардың ішінде m көк шарлар болу оқиғасы болсын, онда бұл А оқиғасының ықтималдығы келесі формуламен есептеледі:
. )
( n
СN m n
M СN m СM А Р
Мысал. Әртүрлі үш қызметке тағайындау үшін үш кісіні 10 кісінің ішінен неше әдіспен таңдап алуға болады?
Шешуі. n=10, m=3 болғандықтан, 3 10 9 8 720. 10 A
Мысал. Бірдей үш қызметке тағайындау үшін үш кісіні он кісінің ішінен неше әдіспен таңдап алуға болады?
Шешуі. Есеп шарты бойынша n=10, m=3 . 3 120 2 1
8 9 10
! 7
! 3
! 10 )!
3 10 (
! 3
! 3 10
10
С
Мысал. Барлығы он бұйымның жеті бұйымы стандартты. Кезкелген әдіспен алынған алты бұйымның төртеуі стандартты болып шығу ықтималдығын табыңыз.
Шешуі. А – «6 бұйымның 4 стандартты болып шығуы» оқиғасы болсын. Барлық элементар оқиғалар саны 10 элементтен 6-дан алынған теру саны болады 6 .
С10 Ал 7 стандартты бұйымнан 4 стандартты бұйым алу саны 4,
С7 тағы алынатын қалған 6-4=2 бұйымы стандартты емес болу саны 2.
С3 Сондықтан А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны 2
3 4 7 С
С көбейтіндісіне тең. А оқиғасының пайда болу ықтималдығы оған қалайлы жағдайлар санын
2 3 4 7 С
С барлық жағдайлар санына 6 )
(С10 бөлгенге тең болады:
. 5 ,
! 0 10
! 4
! 6
! 1
! 2
! 3
! 3
! 4
! 7 6
10 2 3 4 ) 7
(
С С А С
Р
Мысал. Студенттер тобында 25 студенттің ішінде 10 қыз бар. Кездейсоқ әдіспен бес билет таратылады. Осы билеттердің екеуінің иесі қыздар болып шығуының ықтималдығын табыңыз (А оқиғасы).
Шешуі. Есеп шарты бойынша N=25, M=10, n=5, m=2 болғандықтан
. 385 ,
! 0 25
! 20
! 5
! 12
! 3
! 15
! 8
! 2
! 10 5
25 3 15 2 ) 10
(
С
С А С
Р
Мысал. Жәшікте 15 қызыл, 9 көк, 6 жасыл шар бар.
Жәшіктен алты шар алынады, олардың біреуі жасыл, екеуі көк, үшеуі қызыл шар болуының (А оқиғасы) ықтималдығын табыңыз.
Шешуі. Жәшікте барлығы 15+9+6=30 шар бар.
Барлығы бірдей мүмкіндікті элементар оқиғалар саны 6 .
С30 Ал А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны 1.
6 2 9 3
15 С С
С
m
15 қызыл шардан үштен алу саны 3
С15, 9 көк шардан екіден алу саны 2
С9, 6 жасыл шардан бірден алу саны С16 және олардың көбейтіндісі А оқиғасына ыңғайлы жағдайлар санын анықтайтын болғандықтан,
. 17 , 145 0
24
! 2
! 3
! 5
! 7
! 12
! 30
! 6
! 6
! 9
! 15
! 24 6
30 1 6 2 9 3 ) 15
(
С
С С А С
Р
Жиілікті ықтималдық (статистикалық ықтималдық) анықтамасы
Егер n рет тәжірибе жүргізгенде А оқиғасы М рет пайда болатын болса, онда M/n санын А оқиғасының жиілікті ықтималдығы (жиілігі) немесе статистикалық ықтималдығы деп атайды да былай белгілейді:
M. w(A) n
(1.2)
Ықтималдықтың статистикалық тәсілімен анықталуының артықшылығы оның нақты тәжірибемен байланыстылығы. Егер тәжірибенің қайталану саны n мейлінше үлкен болса және А оқиғасының пайда болу жиілігі тұрақты бір санның төңірегінде топталса, онда ол санды А оқиғасының ықтималдығы деп атайды.
Оқиғаның ықтималдығы тәжірибеге дейін анықталса, жиіліктік ықтималдығы тәжірибе нәтижесімен есептеледі.
Геометриялық ықтималдық
Лақтырған нүктенің бір облыс бөлігіне түсу мүмкіндігі сол облыс пен оның бөлігінің геометриялық өлшемдеріне байланысты болсын. Лақтырған нүктенің Е облысының бөлігі болатын А облысына түсу ықтималдығы деп:
(1.3) қатынасын айтады.
Егер Е облысы кесінді болса, онда оның бөлігі А да кесінді, онда P(A) кесінділер ұзындығының қатынасын береді. Егер Е облысындағы жазықтық фигурасының ауданы n(E) болса, ал оның бөлігі А-ның ауданы m(A) болса, (1.3) теңдік аудандар қатынасын анықтайды. Ал Е - кеңістіктегі дене болса, онда (1.3) теңдік денелер көлемдерінің қатынасын көрсетеді.
Мысал (Кездесу туралы есеп). Екі студент (А мен В) [0,T] уақыт аралығында бір-бірімен кездесуге келіскен.
Уәделі жерге бірінші келгені екіншісін уақыт ішінде күтіп, содан кейін кетіп қалады. Кездесу болатындығының ықтималдығын табыңыз.
Шешуі. Х пен Y осы екі студенттердің келу уақыттары болсын. Онда Х пен Y қабылдау мәндері x[0,T]
және y[0,T] болады. Бұл студенттер кездесу үшін |x-y|<
теңсіздігі орындалуы қажет. Кездесуге сәйкес келетін нүктелер 1 суреттегі С облысына сәйкес келеді.
1-сурет.
Шекаралары х-у= (1), х-у=- (2) түзулері болады, мұндағы 0<<T. С оқиғасының ықтималдығы (нүктенің С облысына түсуі, яғни екі студенттің кездесуі):
2 22 2
1
1
T τ T
T τ
P(C) T .
Дербес жағдайлар, егер Т=1 сағат, =20 минут 1/3 сағат болса, P(C)=0,44 болады. Ал егер =1 сағат болса, P(C)=1 және С ақиқат оқиға болады.
1.3 Оқиғаларға қарапайым амалдар қолдану
Анықтама. А және В оқиғаларының қосындысы (бірлестігі) деп А оқиғасының немесе В оқиғасының пайда болуынан тұратын оқиғаны айтады да, былай белгілейді:
A+B=C немесе A B C(2 сурет).
А1,А2,..,Аn оқиғаларының қосындысы А1 оқиғасының, немесе А2 оқиғасының, немесе т.с.с., немесе Аn оқиғасының пайда болуынан тұратын оқиғаны айтады да былай белгілейді:
A1+A2+….+An =
n
i
Аi 1
немесе
ni
Аi
1
.
Мысал. А - бірінші рет мылтық атқанда нысанаға тигізу, В - екінші рет мылтық атқанда нысанаға тигізу оқиғалары болсын. C=A+B бірінші немесе екінші рет атқанда нысанаға тигізу болып табылды.
Анықтама. А және В оқиғаларының көбейтіндісі (қилысуы) деп А және В оқиғаларының ортақ пайда болуынан тұратын оқиғаны айтады да (3 сурет) былай белгілейді:
A B =C немесе A B =C.
B A∙B
A
3 сурет.
B A
2 сурет.
3-ñóðåò
Бірнеше оқиғаның көбейтіндісі сол оқиғалардың барлығының ортақ пайда болуынан тұратын оқиғаны айтады және былай белгілейді:
A1 A2 ... An =
n
i
Ai 1
немесе
1
.
n i i
A
Мысал. Алдыңғы мысалды қарастырсақ, АВ көбейтіндісі бірінші және екінші рет мылтық атқандағы нысанаға тигізу оқиғасын береді (екі рет те тигізу оқиғасы).
Кездейсоқ оқиғаларды қарастырғанда, оларды бірнеше элементар (қарапайым) оқиғалардың қосындысы немесе көбейтіндісі ретінде жазуға болады.
Мысал. А1 - мылтықты бірінші рет атқанда нысанаға дәл тигізу; А1 - мылтықты бірінші рет атқанда нысанаға тимей кету оқиғалары;
А2 - мылтықты екінші рет атқанда нысанаға дәл тигізу; А2 - мылтықты екінші рет атқанда нысанаға тимей кету оқиғалары;
А3 - мылтықты үшінші рет атқанда нысанаға дәл тигізу; А3- мылтықты үшінші рет атқанда нысанаға тимей кету оқиғалары.
Күрделі В оқиғасы үш рет мылтық атқандағы нысанаға бір рет дәл тигізу болсын. Бұл күрделі оқиғаны жоғарыда көрсетілген элементар оқиғалар арқылы былай өрнектейміз:
3.
2 1 2 3
1 3
1A2A A A A A A A
A
B
С оқиға нысанаға үш рет атқандағы кемінде екі рет нысанаға дәл тигізу болса, бұл күрделі оқиғаны былай өрнектеугеболады:
3.
2 1 3 2 1 2 3
3 1 2
1A A AA A AA A AA A
С A
Оқиғаларды қосу және көбейту анықтамаларынан:
A + A= A, AA= A.
Егер А оқиғасы пайда болған сайын В оқиғасы да пайда болса, оны былай жазып көрсетеді АВ. Бұл жағдайда А оқиғасы В оқиғасын ілестіреді деп те атайды.
Егер АВ орындалса, А+В=В, АВ=А. Бұл жағдайда А жиынының әрбір элементі В жиынының да элементі болады. Бұл тұжырым, жалпы жағдайда, керісінше орындалмайды.
Есептер
1. A, B, C үш кездейсоқ оқиға болсын. Мына оқиғаларды өрнектеңіз:
а) осы үш оқиғадан тек қана A пайда болады;
б) тек қана A мен В пайда болады;
в) A, B, C оқиғаның бәрі де пайда болады;
г) ең болмағанда бір оқиға пайда болады;
д) ең болмағанда екі оқиға пайда болады;
е) тек қана бір оқиға пайда болады;
ж) тек қана екі оқиға пайда болады;
з) біреуі да пайда болмады;
и) екі оқиғадан кем емес оқиға пайда болды.
. )
и)( з) ,
ж) ,
е) , , д)
г) ,
в) , б) ,
, a) Жауабы :
ABC C
B A C
B A C B A BC A C AB
C B A C B A C B A BC AC AB C
B A
ABC C
AB C
B A
2. Мына оқиғаның ақиқат оқиға екенін дәлелдеңіз:
) )(
( ) )(
(АВ AВ АB АВ
А U A
Жауабы: .
3. Мына оқиғаның мүмкін емес оқиға екенін дәлелдеңіз:
) )(
( ) )(
(АВ AВ АB АВ
А V A
Жауабы: .
4. Өрнекті ықшамдаңыз:
а) (АВ)(АВ) б) (АВ)(АВ)(АВ).
Жауабы: а) А, б) АВ.
5. Төмендегі окиғалар топтары толық топтар бола ма?
а) бір тиын лактырылған А1={тиынның цифр жазылған жағы пайда болды}, А2={тиынның елтаңба жазылған жағы пайда болды};
ә) екі тиын лақтырылған В1={екі елтаңба пайда болды}, В2={екі цифр пайда болды};
б) екі тиын лақтырылған В1={екі елтаңба пайда болды}, В2={екі цифр пайда болды}, В3={бір цифр пайда болды, бір елтаңба болды};
в) нысанаға екі атыс жүргізілді С1={ең болмағанда бір рет тигізу пайда болды}, С2={ең болмағанда бір рет тигізбеу пайда болмады};
г) екі ойын сүйегі лақтырылған С1={екі сүйегінде 6 цифры пайда болды}, С2={екі сүйегінде 6 цифры пайда болмады}, С3={бір сүйегінде 6 цифры болды, екінші сүйегінде 6 цифры болмады}.
Жауабы: а), ә), в) толық топ құрайды, ә) жоқ, г) жоқ.
6. Радиусы R-ге тең дөңгелек ішінде r радиусты дөңгелек орналасқан. Үлкен дөңгелектен кездейсоқ алынған нүктенің кіші дөңгелекке тиісті болуы ықтималдығы қандай?
Жауабы: r2/R2.
7. Дөңгелекке іштей дұрыс үшбұрыш сызылған.
Дөңгелекке кездейсоқ тасталған нүктенің үшбұрышқа тиісті болу ықтималдығы қандай?
Жауабы: 3 3/4 . 8. Дұрыс үшбұрышқа тасталған нүктенің оған іштей сызылған дөңгелекке тиісті болу ықтималдығын табыңыз.
Жауабы: /3. 9. n бірдей шар салынған жәшіктен бір шар алынып қайта салынады. Тәжерибе n рет қайталанғанда барлық шарлар түгел алынып шығуының ықтималдығы қандай?
Жауабы: n n
n!. 10. Бір мезгілде екі ойын сүйегі лақтырылсын, онда
а) екеуінде де бірдей сан пайда болуының ықтималдығы қандай?
б) екеуінің де шыққан сандары әртүрлі болуының ықтималдығы қандай?
Жауабы: а)1/6, б) 5/6.
11. Бір мезгілде екі ойын сүйегі лақтырылсын. Пайда болған ұпайлардың қосындысы сегізден кем емес болуының ықтималдығы қандай?
Жауабы: 5/12 12. Бірінші жәшікте нөмірлері бірден беске дейін, ал екіншісінде алтыдан онға дейін шарлар бар. Әрбір жәшіктен бір-бірден шар алынды. Алынған екі шардың нөмірлерінің қосындысы 11 тең болуының ықтималдығы қандай?
Жауабы: 0,5.
13. 36 картаның бәрі төрт ойыншыларға таратылды. Сонда төрт тұздың бәрі де бір ойыншының қолында болуының ықтималдығы қандай?
Жауабы:
935 2
9 36
5 32 С
С .
14. Топта 20 студент бар, онын сегізі қыздар. Концертке алты билет берілді. Сонда концертке билет алған алты студенттің екеуі қыздар болуының ықтималдығы қандай?
Жауабы: 6
20 4 12 2 8
С С
С 0,3576.
15. Жеті картаға 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 цифрлар жазылынған.
Карталар әбден араластырылғаннан кейін кезкелген үш карта алынады да, олар солдан оңға қарай қойылады. 465 саны шығатындығының ықтималдығы қандай?
Жауабы: 0,0286.
16. 32 картадан кезкелген он карта алынды. Осы он картаның ішінде сегіз картаның бір түрлі болуының ықтималдығы қандай?
Жауабы: 10
32 2
4 24
С С .
17. Әрбір 100 картаға 1-ден 100 дейін сан жазылған.
Алынған кезкелген бір картада 5 цифріне еселі болатын сан шығуының ықтималдығы қандай?
Жауабы: 0,2.
18. Жәшіктегі 12 шардың 10 боялған. Жинаушы кезкелген үш шар алды. Алынған үш шар да боялғандығының ықтималдығы қандай?
Жауабы: 0,5455.
19. Студент бағдарламадағы 30 сұрақтың 25 біледі. Әрбір билет екі сұрақтан тұрады. Студенттің алған билеттегі екі сұрақты да білетіндігінің ықтималдығы қандай?
Жауабы: 0,043.
20. Топтағы 25 студенттің емтиханда жетеуі «5», сегізі «4», ал алтауы «3» деген бағалар алды. Конференцияға үш студент сайланды. Сайланған үш студенттің де «5» баға алғандығының ықтималдығы қандай?
Жауабы: 7/460.
21. Берілген кубтың барлық жақтары боялған. Куб бірдей 1000 бөлікке (кішкене кубтарға) бөлінген. Пайда болған бөліктер мұқият араластырылған, содан кейін бір кішкене куб алынған. Алынған кішкене кубтың:
а) бір жағы боялғандығының ықтималдығы қандай?
ә) екі жағы боялғандығының ықтималдығы қандай?
б) үш жағы боялғандығының ықтималдығы қандай?
Жауабы: а) 0,384, ә) 0,096, б) 0,008.
22. Белгілі бір тоғыз дүкенді үш ревизор тексеруі керек еді.
Әр ревизор үш дүкенді тексеруі керек. Дүкендерге ревизорлар қалай болса солай бөлінеді. Сонда, бірінші резизордың кезкелген үш дүкенге жіберілуінің ықтималдығы қандай?
Жауабы: 0,012.
23. 36 картаның кезкелген төртеуі алынды. Алынған төрт картаның екеуі тұз болуының ықтималдығы қандай?
Жауабы: 0,0505.
24. Қорапта нөмірленген бірдей тоғыз шар бар. Қораптан кезкелген ретпен үш шар алынды. Алынған шарлар
нөмірлерінің өсу ретімен шығуының ықтималдығын табыңыз.
Жауабы:
6 1
3 9 3 9 А
С . 25. Қораптағы нөмірленген бірдей алты шар бар. Кезкелген ретпен бір-бірлеп шарлар алынып, бір қатарға солдан оңға қарай қойылған. Сонда алдын-ала ойланған бір сан шығатындығының ықтималдығын табыңыз.
Жауабы: 1/720.
26. Қорапта 25 шардың он бесі ақ. Алынған кезкелген он шардың сегізі ақ болуының ықтималдығын табыңыз.
Жауабы: 10 0,089
25 2 10 8
15
С С
С .
27. Қоймадағы 15 мұздатқыштың кезкелген төртеуі тексеруге алынды. Қоймадағы екі мұздатқыш істен шыққан болатын.
а) алынған төрт мұздатқыштың барлығы да жарамды болуының ықтималдығы қандай?
ә) алынған төрт мұздатқыштың біреуі істен шыққан, ал үшеуінің жарамды болуының ықтималдығы қандай?
Жауабы: а) 4
15 2 4
С
С 0,0044, ә) 4
15 3 13 1 2
С С
С 0,419.
28. 36 картаның кезкелген төртеуі алынды. Алынған төрт картаның түстері әртүрлі болуының ықтималдығы қандай?
Жауабы: 0,0938.
29. Орыс алфавитінің 32 әрпі әртүрлі қарталарға жазылған.
Содан кезкелген жеті карта алынып, бірінен соң бірі бір қатарға қойылған. Сонда «функция» сөзінің пайда болуының ықтималдығын табыңыз.
Жауабы:
! 32
! 25 . 30. Қорапта жеті ақ, үш қаpa маталар бар. Кезкелген екі мата алынды. Алынған маталар әр түсті болуының ықтималдығы қандай?
Жауабы: 7/15.
31. Қорапта нөмірленген бірдей n шар бірінен соң бірі түгел алынған. Алынған шарлар нөмірлерінің өсу ретімен шығуының ықтималдығы қандай?
Жауабы:
! 1 n 1.4 Ықтималдықтарды қосу теоремасы
Теорема. А мен В оқиғалары бірікпейтін болса (А∙В=0), олардың қосындысының ықтималдығы қосылғыштардың ықтималдықтарының қосындысына тең:
P(A+B) = P(A) + P(B). (1.4) Дәлелдеу. Барлық жағдайлар саны n, ал А мен В-ға қолайлы жағдайлар саны mA мен mB болсын. А мен В бірікпейтін оқиғалар болғандықтан, А+В қосындысына mA+mB жағдайлары қолайлы болады:
).
( ) (A P B n P
m n m n
m m B)
P(A A B A B
Ескерту. Кезкелген А және В оқиғалары үшін ықтималдықтарды қосу теоремасы былай жазылады:
P(A+B) = P(A)+P(B) - P(AB).
Бұл формуланы 2 сурет негізінде дәлелдеуге болады.
А+В қосындысына қолайлы жағдайлардың санын есептегенде, А және В оқиғаларына қолайлы жағдайларды
жеке-жеке санасақ, онда АВ көбейтіндісіне қолайлы жағдайлар саны екі рет енген болар еді.
Салдар. Қос-қостан бірікпейтін бірнеше оқиғалардың біреуінің пайда болу (қосындысының) ықтималдығы әр оқиғаның (қосылғыштардың) ықтималдықтарының қосындысына тең:
P(A1+ A2+ … + An)= P(A1)+P(A2)+…+P(An).
Бұл формула математикалық индукция әдісімен дәлелденеді.
Мысал. Жәшікте 30 шар бар: он шар қызыл, бес шар көк, он бес шар ақ түсті. Жәшіктен бір шар алынып, оның қызыл немесе көк түсті болуы ықтималдығын табыңыз.
Шешуі. А - қызыл шардың пайда болуы, В - көк шардың пайда болуы, А+В - қызыл немесе көк шардың пайда болуы оқиғалары болсын. Бір ғана шар алу тәжірибесінде А мен В оқиғалары бірікпейтін болғандықтан,
.
1.5 Бірікпейтін оқиғалардың толық тобы. Қарама- қарсы оқиғалар
Анықтама. А1 немесе А2 немесе, т.с.с., немесе Аn
оқиғаларының пайда болуы ақиқат оқиға болса, онда А1, А2, …, Аn оқиғалары толық топ құрады деп атайды, яғни:
P(A1+ A2+…+ An)=1.
Теорема. Егер А1, А2, …, Аn оқиғалары толық топ (бірікпейтін, бір ғана мүмкіндікті, тең мүмкіндікті) құратын болса, онда олардың ықтималдықтарының қосындысы бірге тең болады:
P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1. (1.5)
Дәлелдеу. А1, А2, …, Аn оқиғалары толық топ құратын болғандықтан, оның ең болмағанда біреуінің пайда болуы (әр тәжірибе нәтижесінде) ақиқат оқиға, яғни:
P(A1+ A2+…+An)=1.
Ал А1, А2, …, Аn оқиғалары бірікпейтін болғандықтан, оларға ықтималдықтарды қосу теоремасын қолдануға болады:
P(A1+A2+…+An)= P(A1)+ P(A2)+…+P(An)=1.
Анықтама. Бірікпейтін толық топ құратын екі оқиғаны қарама-қарсы оқиғалар деп атайды.
Мысалы, мылтық атқандағы нысанаға тигізу А және тигізбеу A оқиғалары, тиын лақтырғандағы «елтаңба»
пайда болуы А және «цифр» пайда болуы A оқиғалары қарама-қарсы оқиғалар.
Салдар. Қарама-қарсы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысы бірге тең:
P(A) +P(A)=1.
Ескерту. Қарама-қарсы оқиғалардың ықтималдықтарын p және q арқылы белгілейді, сондықтан p+q=1.
1.6 Ықтималдықтарды көбейту теоремасы
Анықтама. Біреуінің пайда болу ықтималдығы екіншісінің пайда болуы немесе пайда болмауына байланыссыз болатын екі оқиғаны тәуелсіз оқиғалар дейміз.
Анықтама. А оқиғасының В оқиғасы пайда болғандағы ықтималдығын, А оқиғасының В оқиғасы пайда болғандағы шартты ықтималдығы деп атайды да, былай белгілейді: ΡΒ
Α .Мысал. Жәшікте бір қара және екі ақ шарлар бар болсын. Бұл жәшіктен екі адам бір-бірден шар алады: А – бірінші адамның жәшіктен ақ шар алуы, В – екінші адамның жәшіктен ақ шар алуы болса, А оқиғасының ықтималдығы мен шартты ықтималдығы:
2
1.3 Β 2
Ρ Α , Ρ Α
Егер Ρ
Α ΡΒ
Α орындалса, онда бұл А мен В оқиғалары тәуелсіз болады да, ал Ρ
Α ΡΒ
Α болса, А мен В тәуелді оқиғалар болады.Теорема. Екі оқиғаның көбейтіндісінің (қиылысуының) ықтималдығы біреуінің ықтималдығын екіншісінің біріншісі пайда болғандағы шартты ықтималдығына көбейткенге тең болады:
Α
Β . (1.6) Ρ ΑΒ Ρ Α Ρ Β Ρ Β Ρ ΑДәлелдеу. Барлық жағдайлар саны п болсын (4 сурет).
4 сурет.
А оқиғасына т жағдай, В оқиғасына n жағдай ыңғайлы болсын. Екеуінің қиылысу АВ-ға жағдай
k ~B m ~A
………
………
l ~AB
n
ыңғайлы болсын. Екі оқиғаның қиылысуының ықтималдығы:
.Β т п ,Ρ Α т п,Ρ ΑΒ
Ρ Α
Ықтималдықтардың бұл мәндерін (1.6) теңдікке апарып қойсақ, тепе-теңдік аламыз.
Мысал. Жәшікте екі ақ, үш қара шар бар. Жәшіктен екі шар алынады. Осы екі шардың да ақ болып шығу ықтималдығын табыңыз.
Шешуі. А – бірінші шардың ақ болуы; В – екінші алынған шардың ақ болуы; АВ – екі шардың да ақ болуы:
01. 4 1 52 ,
Β Ρ Α Ρ ΑΒ
Ρ Α
Есептер
32. Бір мезгілде үш ойын сүйегі лақтырылсын, онда
а) үшеуінде де бірдей сан пайда болуының ықтималдығы қандай?
ә) үшеуінің де шыққан сандары әртүрлі болуының ықтималдығы қандай? Сонда үш сүйекте де бірдей сан пайда болуының ықтималдығы қандай?
Жауабы: а)1/36, ә) 5/9.
33. Ток кернеуі ұлғайтылғанда бір-бірімен тізбектес жалғанған төрт элементтің бірінің істен шығуына байланысты электр жүйесінде үзіліс пайда болуы мүмкін.
Элементтердің істен шығуларының ықтималдықтары сәйкес 0,1; 0,3; 0,2; 0,2 тең. Электр жүйесінде үзіліс болмауының ықтималдығын табыңыз.
Жауабы: 0,4032.
34. Жәшіктегі он шардын алтауы қара. Кезкелген алынған үш шардың ең болмағанда біреуі қара болғандығының ықтимадығын табыңыз.
Жауабы: 29/30.
35. n күміс теңгені лақтырғанда ең болмағанда бір рет
«цифр» пайда болуының ықтималдығы қандай?
Жауабы: 1-(1/2)n. 36. Бір партияда 50 электр шамдары бар, оның ішінде үшеуі жарамсыз. Осы партиядан алынған кезкелген 15 электр шамының ішінде жарамсыз шам біреуден артық болмауының ықтимадығын табыңыз.
Жауабы: 0,072.
37. Бір партияда 80 бұйым бар, оның алтауы сапасыз. Осы партиядан техникалық бақылауға алынған кезкелген 40 бұйымның ішінде сапасыз зат екеуден артық болмауының ықтимадығын табыңыз.
Жауабы: 0,337.
38. Ақшалай-заттай лотереяда әрбір 10 000 билетке 120 заттай және 30 ақшалай ұтыс шығады. Бір билеті бар адамға не заттай, не ақшалай ұтыс шығуының ықтималдығын табыңыз.
Жауабы: 0,015.
39. Қорапта орама жіптердің 50% ақ түсті, 30% қызыл түсті, қалғаны қара. Кездейсоқ үш орама жіп алынды.
Олардың а) үшеуі де бірдей түсті болып шығу ықтималдығы қандай? ә) әр түсті болып шығу ықтималдығы қандай?
Жауабы: а) 0,16; ә) 0,18.
