Қисық сызықты корреляция

. 33 , 1 441 , 0 : 585 , 717 0 , 0

625 , 585 1 , 0

; 258 , 0 441 , 0 585 , 625 0 , 1

717 , 585 0 , 0























x y x y

y x xy

r r



 



 

Сонымен y –тің x бойынша регрессия түзуінің теңдеуі )

74 , 2 ( 33 , 1 6 ,

6  

 x

y_x немесе

; 96 , 2 33 ,

1 

 x y_x

ал x–тің y бойынша регрессия түзуінің теңдеуі ) 6 , 6 ( 258 , 0 74 ,

2  

 y

xy

немесе

. 05 , 1 258 ,

0 

 y

xy





 







 ⁿ

i

i i n

i

i y x

Z

1

2 1

2 ( ƒ( )) (3.30) өрнегін минимумға айналдыру керек. Мұндай минимум табылады, себебі (3.30) өрнек бойынша y f(x) тәуелділігіне сызықтық түрде енетін параметрлер екінші дәрежелі және де (3.30) өрнек теріс мәндер қабылдамайды.

Осы әдіспен табылған параметрлердің мәндері ең кіші квадраттар әдісі арқылы анықталған деп аталады.

1. Тәжірибеден алынған (х₁,у₁),(х₂,у₂),...,(х_n, ) y_n нүктелері бойынша y=ax²+bx+c квадрат үшмүшелігіндегі а, b және с параметрлерінің мәндері ең кіші квадраттар әдісі арқылы қалай табылғандығын көрсетейік. (3.30) теңдік бойынша:











 ⁿ

i

i i

i ax bx c

y Z

1

2

2 )

( . (3.31) Бұл функцияның a, b және c параметрілері бойынша дербес туындыларын тауып, нөлге теңестірсек, келесі жүйені аламыз:

























 













 













 















. 0 ) (

2

, 0 ) (

2

, 0 ) (

2

1

2 1

2 1

2 2

n

i

i i i n

i

i i i i n

i

i i i i

c bx ax c y

z

x c bx ax b y

z

x c bx ax a y

z

Осыдан, түрлендірулер жүргізгеннен кейін параметрлерді табу үшін келесі үш белгісізді үш сызықтық теңдеулер жүйесі шығады:















































































. ,

,

1 1

1 2

1 1

1 2 1

3

1 2 1

2 1

3 1

4

n

i i n

i i n

i i

n

i i i n

i i n

i i n

i i

n

i i i n

i i n

i i n

i i

y n

c x b x a

y x x

c x b x a

y x x

c x b x a

(3.32)

2. Енді гиперболалық түрдегі корреляциялық байланысты қарастырайық.

x a b

y  түріндегі байланыстың а және b параметрлерін көрсетілген ең кіші квадраттар әдісімен анықтайық. (3.30) формулаға сәйкес:

. ) (

1



2







 ⁿ

i i

i x

a b y

Z (3.33) Бұл функцияның а және b параметрлері бойынша дербес туындыларын тауып, нөлге теңестірсек, келесі жүйені аламыз:













 

 ⁿ

i i

i x

a b a y

z

1

, 0 ) (

2

, 1 0 ) (

2

1









 





 n

i i i

i x x

a b b y

z

немесе аздап түрлендіру жүргізсек, белгісіз параметрлер үшін келесі жүйені аламыз:





































1 . 1

1 ,

1 1

2 1

1 1

n

i i

i n

i i

n

i i

n

i i n

i i

x y b x

a x

x y b an

3. y=ab^x түріндегі көрсеткіштік функцияның а және b параметрлерін ең кіші квадраттар әдісімен анықтау үшін бұл теңдіктің екі жағын логарифмдейік:

b x a y lg lg

lg   . (3.34) (3.30) өрнекке сәйкес:









 ⁿ

i

i

i a x b

y Z

1

)2

lg lg

(lg

функциясының lga және lgb параметрлері арқылы дербес туындыларын алып, нөлге теңестірсек,





































, 0 ) lg lg

(lg 2

, 0 ) lg lg

(lg 2

1 '

lg

1 '

lg n

i

i i i

b

n

i

i i

a

x b x a y Z

b x a y Z

бұл өрнекті түрлендірсек, lga мен lgb мәндері үшін келесі теңдеулер жүйесін аламыз:





































. lg lg

lg

, lg lg

lg

1 1

2 1

1 1

n

i

i i n

i i n

i i

n

i i n

i i

y x x

b x a

y x

b a n

Осылайша, ең кіші квадраттар әдісімен табылған параметрлердің мәндерінде анықталған функциялар, тәжірибе нәтижелерінде алынған нүктелерге ең жақын орналасатын қисықтар болып табылады.

Мысал. Ең кіші квадраттар әдісімен х пен у мәндері үшін ya₀x²a₁xa₂ функциясын табыңыз.

х 7 8 9 10 11 12 13 у 7,4 8,4 9,1 9,4 9,5 9,5 9,4

Шешуі. Кесте құрамыз:

k xk xk2 xk3 xk4 yk xk yk xk2 yk

1 7 49 343 2401 7,4 51,8 362,6

2 8 64 512 4196 8,4 67,2 537,6

3 9 81 729 6561 9,1 81,9 737,1

4 10 100 1000 10000 9,4 94,0 940,0

5 11 121 1331 14641 9,5 104,5 1149,5

6 12 144 1728 20736 9,5 114,0 1368,0

7 13 169 2197 28561 9,4 122,2 1588,6

∑ 70 728 7840 87096 62,7 635,6 6683,4

Осыдан теңдеулер жүйесін аламыз:

0 1 2

0 1 2

0 1 2

728 70 7 62,7

7840 728 70 635,6

87096 7840 728 6683, 4

a a a

a a a

a a a

  

   

   

 _.

Жүйені шешіп, табамыз

. 12 , 2

; 10 , 1

; 04 ,

0 _{1 2}

0 a  a 

a

Сонымен квадраттық функция келесі түрде жазылады:

. 12 , 2 10 , 1 04 ,

0 ² 



 x x

y

Мысал. Кестенің берілуі бойынша ең кіші квадраттар әдісімен S At^q функциясын анықтау керек:

t 1 2 3 4 5

S 7,1 27,8 62,1 110 161

Шешуі. Кесте құрамыз:

k xk=lgtk xk2 yk=lgSk xk yk

1 0,0000 0,0000 0,8513 0,0000 2 0,3010 0,0906 1,4440 0,4346 3 0,4771 0,2276 1,7931 0,8555 4 0,6021 0,3625 2,0414 1,2291 5 0,6990 0,4886 2,2068 1,5425

∑ 2,0792 1,1693 8,3366 4,0637 Осыдан теңдеулер жүйесін аламыз:

2,0792 5lg 8,3366 1,1693 2,0792lg 4,0637

q A

q A

 

  

 .

Жүйені шешіп, q1,958; lgA0,8532; A7,132 табамыз. Сонымен дәрежелік функция келесі түрде жазылады S7,132t^1,958.

Есептер

183. Корреляция коэффициентін және регрессия теңдеулерін табыңыз.

y x

4,5 6,0 7,5 9,0 10,5 12,0 13,5 15,0 nx

60 2 4 3 10 4 - - - 23

90 - - 6 14 5 - - - 25

120 - - - - 17 5 4 - 26

150 - - - - - 8 3 2 13

180 - - - - - 4 3 1 8

210 - - - - - 2 1 2 5

ny 2 4 9 24 26 19 11 5 100

Жауабы: y_x 0,06x9,74; r=0,296.

184. 100 зауыттың өніміне жұмсалатын қаржы мөлшері миллион теңге бойынша (x) және тәулік бойынша қайта өндіруі тонна бойынша (y) келесі кестеде көрсетілген:

y x

10 15 20 25 30 35 nx

50 2 2 - - - - 4

60 2 4 5 6 4 - 21

70 - 2 7 12 10 4 35

80 - - - 10 10 6 26

90 - - - 8 - 6 14

ny 4 8 12 36 24 16 100

Осы көрсеткіштер бойынша корреляция коэффициентін және регрессия теңдеулерін анықтаңыз.

Жауабы: r=0,564.

185. Дәрігерлік зерттеу нәтижесінде 100 еркектің кеудесінің көлемі см (x) және оның бойы (y) келесі кестеде көрсетілген:

y x

170 175 180 185 190 195 nx

75 1 2 - - - - 3

85 3 6 4 - - - 13

95 - 4 13 5 - - 22

105 - 1 11 4 8 2 26

115 - - 1 2 5 2 10

125 - 1 3 5 4 7 20

135 - - - - 3 1 4

145 - - - - 1 1 2

ny 4 8 12 36 24 16 100

Осы кестенің берілгендерін пайдаланып регрессия түзулерінің теңдеулерін құрып, корреляция коэффициентін анықтаңыз.

Жауабы: r=0,79.

186. Төртінші сыныптың 50 оқушысын тексерген де, олардың бойы мен салмағын келесі кестеге енгізген:

y x

24 25 26 27 28 29 30

125 1 - - - - - -

126 1 2 - - - - -

127 - 2 4 1 - - -

128 - 1 3 5 1 - -

129 - - 2 4 5 1 -

130 - - - 2 5 2 -

131 - - - - 1 3 1

132 - - - - - 1 1

133 - - - - - - 1

Кестенің берілгендерін пайдаланып корреляция коэффициентін анықтап, оқушының бойы мен салмағын байланыстыратын регрессия теңдеуін жазыңыз.

Жауабы: r=0,87.

187. Ең кіші квадраттар әдісі бойынша берілген

х

пен

у

мәндері үшін екінші дәрежелі көпмүшелікті

2 1 2

0x ax a

a

y   табыңыз.

х

^{-3 -2 -1 0 1 2 3}

у -0,71 -0,01 0,51 0,82 0,88 0,81 0,49 Жауабы:y0,102x²0,200x0,806. 188. Келесі берілгендер бойынша ең кіші квадраттар әдісімен ya₀xa₁ сызықтық функциясын табыңыз.

х

^{1 2 3 4 5 6}

у 2 4,9 7,9 11,1 14,1 17

Жауабы:y3,023x1,08. 189. Келесі берілгендер бойынша ең кіші квадраттар әдісімен ya₀xa₁ сызықтық функциясын табыңыз.

х

^{1 2 3 4 5}

у 0,1 3 8,1 14,9 23,9

Жауабы:y0,992x0,909. 190. Ең кіші квадраттар әдісімен ya₀x²a₁xa₂ функциясын анықтаңыз.

х

^{0,78 1,56 2,34 3,12 3,81}

у 2,50 1,20 1,12 2,25 4,28

Жауабы:y1,009x²4,043x5,045. 191. Кестенің берілуі бойынша ең кіші квадраттар әдісімен

ect

A

S  функциясын анықтаңыз:

t 0 2 4 6 8 10 12

S 1280 635 324 162 76 43 19 Жауабы: S1284e^0,347t. 192. Келесі берілгендер бойынша ең кіші квадраттар әдісімен ya₀xa₁ сызықтық функциясын табыңыз.

х

^{0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7}

у 3,02 2,81 2,57 2,39 2,18 1,99 1,81 1,85

Жауабы:y1,802x2,958. 193. Ең кіші квадраттар әдісімен ya₀x²a₁xa₂ функциясын анықтаңыз.

х

^{7 8 9 10 11 12 13}

у 3,1 4,9 5,3 5,8 6,1 6,1 5,9 Жауабы:y0,145x²3,324x12,794. 194. S At^q дәрежелік функциясын табыңыз

t 1 2 3 4 5

S 7,1 15,2 48,1 96,3 150,1

Жауабы:S5,7t^1,97. 195. S Ae^ct көрсеткіштік функцияны табыңыз

t 2,2 2,7 3,5 4,1

S 67 60 53 50

Жауабы:S92e^0,15t. 196. S Ae^ct көрсеткіштік функцияны табыңыз

t 1 3 5 7 9 11

S 0,75 1,81 5,34 10,86 24,52 59,00 Жауабы:S0,49e^0,44t.

ҚОСЫМШАЛАР

1 кесте

 

^{1 22}

2

x

x e

 

  функциясының мәндері

х ^

 

^{x х }

 

^{x х }

 

^{x х }

 

^x

0.00 0.3989 1.00 0.2420 2.00 0.0540 3.00 0.0044 0.05 0.3984 1.05 0.2299 2.05 0.0488 3.05 0.0038 0.10 0.3970 1.10 0.2179 2.10 0.0440 3.10 0.0033 0.15 0.3945 1.15 0.2059 2.15 0.0396 3.15 0.0028 0.20 0.3910 1.20 0.1942 2.20 0.0355 3.20 0.0024 0.25 0.3867 1.25 0.1826 2.25 0.0317 3.25 0.0020 0.30 0.3814 1.30 0.1714 2.30 0.0283 3.30 0.0017 0.35 0.3752 1.35 0.1604 2.35 0.0252 3.35 0.0015 0.40 0.3683 1.40 0.1497 2.40 0.0224 3.40 0.0012 0.45 0.3605 1.45 0.1394 2.45 0.0198 3.45 0.0010 0.50 0.3521 1.50 0.1295 1.50 0.0175 1.50 0.0009 0.55 0.3429 1.55 0.1200 2.55 0.0154 3.55 0.0007 0.60 0.3332 1.60 0.1109 2.60 0.0136 3.60 0.0006 0.65 0.3230 1.65 0.1023 2.65 0.0119 3.65 0.0005 0.70 0.3123 1.70 0.0940 2.70 0.0104 3.70 0.0004 0.75 0.3011 1.75 0.0863 2.75 0.0091 3.75 0.0003 0.80 0.2897 1.80 0.0790 2.80 0.0079 3.80 0.0002 0.85 0.2780 1.85 0.0721 2.85 0.0069 3.85 0.0002 0.90 0.2661 1.90 0.0656 2.90 0.0060 3.90 0.0002 0.95 0.2541 1.95 0.0596 2.95 0.0051 3.95 0.0002 4.00 0.0001

2 кесте

2

2 0

( ) 1 2

x t

Ф x e dt







 функциясының мәндері

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

0.00 0.00000 0.85 0.30234 1.70 0.45543 2.55 0.49461 0.05 0.01994 0.90 0.31594 1.75 0.45994 2.60 0.49534 0.10 0.03983 0.95 0.32894 1.80 0.46407 2.65 0.49598 0.15 0.05962 1.00 0.34134 1.85 0.46784 2.70 0.49653 0.20 0.07926 1.05 0.35314 1.90 0.47128 2.75 0.49702 0.25 0.09871 1.10 0.36433 1.95 0.47441 2.80 0.49744 0.30 0.11791 1.15 0.37493 2.00 0.47725 2.85 0.49781 0.35 0.13683 1.20 0.38493 2.05 0.47982 2.90 0.49813 0.40 0.15542 1.25 0.39435 2.10 0.48214 2.95 0.49841 0.45 0.17364 1.30 0.40320 2.15 0.48422 3.00 0.49865 0.50 0.19146 1.35 0.41149 2.20 0.48610 3.20 0.49931 0.55 0.20884 1.40 0.41924 2.25 0.48778 3.40 0.49966 0.60 0.22575 1.45 0.42647 2.30 0.48928 3.60 0.499841 0.65 0.24215 1.50 0.43319 2.35 0.49061 3.80 0.499928 0.70 0.25804 1.55 0.43943 2.40 0.49180 4.00 0.499968 0.75 0.27337 1.60 0.44520 2.45 0.49286 4.50 0.499997 0.80 0.28814 1.65 0.45053 2.50 0.49379 5.00 0.5

3 кесте

1 0

2 ( )

t

Sn t dt



 



теңдігін қанағаттандыратын t мәндерін

 және n-1 арқылы анықтау

 n-1

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

1 0,158 0,325 0,510 0,727 1,000 1,376 1,963 2 0,142 0,289 0,445 0,617 0,816 1,061 1,336 3 0,137 0,277 0,424 0,584 0,765 0,978 1,250 4 0,134 0,271 0,414 0,569 0,741 0,941 1,190 5 0,132 0,267 0,408 0,559 0,727 0,920 1,156 6 0,131 0,265 0,404 0,553 0,718 0,906 1,134 7 0,130 0,263 0,402 0,511 0,711 0,896 1,119 8 0,130 0,262 0,399 0,546 0,706 0,889 1,108 9 0,129 0,261 0,398 0,543 0,703 0,883 1,100 10 0,129 0,260 0,397 0,542 0,700 0,879 1,093 11 0,129 0,260 0,396 0,540 0,697 0,876 1,088 12 0,128 0,259 0,395 0,539 0,695 0,873 1,083 13 0,128 0,259 0,394 0,538 0,694 0,870 1,079 14 0,128 0,258 0,393 0,537 0,692 0,868 1,076 15 0,128 0,258 0,393 0,536 0,691 0,866 1,074 16 0,128 0,258 0,392 0,535 0,690 0,865 1,071 17 0,128 0,257 0,392 0,534 0,689 0,863 1,069 18 0,127 0,257 0,392 0,534 0,688 0,862 1,067 19 0,127 0,257 0,391 0,533 0,688 0,861 1,066 20 0,127 0,257 0,391 0,533 0,687 0,860 1,064 21 0,127 0,257 0,391 0,532 0,686 0,859 1,063 22 0,127 0,256 0,390 0,532 0,686 0,858 1,061 23 0,127 0,256 0,390 0,532 0,685 0,858 1,060 24 0,127 0,256 0,390 0,531 0,685 0,857 1,059 25 0,127 0,256 0,390 0,531 0,684 0,856 1,058 26 0,127 0,256 0,390 0,531 0,684 0,856 1,058 27 0,127 0,256 0,389 0,531 0,684 0,855 1,057 28 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,855 1,056 29 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,854 1,055 30 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,854 1,055 40 0,126 0,255 0,388 0,529 0,681 0,851 1,050 60 0,126 0,254 0,387 0,527 0,679 0,848 1,046 120 0,126 0,254 0,386 0,526 0,677 0,845 1,041 0,126 0,253 0,385 0,524 0,674 0,842 1,036

3 кестенің жалғасы

 n-1

0,8 0,9 0,95 0,98 0,99 0,999

1 3,08 6,31 12,71 31,8 63,7 63,7

2 1,886 2,92 4,30 6,96 9,92 31,6

3 1,638 2,35 3,18 4,54 5,84 12,94

4 1,533 2,13 2,77 3,75 4,60 8,61

5 1,476 2,02 2,57 3,36 4,03 6,86

6 1,440 1,943 2,45 3,14 3,71 5,96

7 1,415 1,895 2,36 3,00 3,50 5,40

8 1,397 1,860 2,31 2,90 3,36 5,04

9 1,383 1,833 2,26 2,82 3,25 4,78

10 1,372 1,812 2,23 2,76 3,17 4,59

11 1,363 1,796 2,20 2,72 3,11 4,49

12 1,356 1,782 2,18 2,68 3,06 4,32

13 1,350 1,771 2,16 2,65 3,01 4,22

14 1,345 1,761 2,14 2,62 2,98 4,14

15 1,341 1,753 2,13 2,60 2,95 4,07

16 1,337 1,746 2,12 2,58 2,92 4,02

17 1,333 1,740 2,11 2,57 2,90 3,96

18 1,330 1,734 2,10 2,55 2,88 3,92

19 1,328 1,729 2,09 2,54 2,86 3,88

20 1,325 1,725 2,09 2,53 2,84 3,85

21 1,323 1,721 2,08 2,52 2,83 3,82

22 1,321 1,717 2,07 2,51 2,82 3,79

23 1,319 1,714 2,07 2,50 2,81 3,77

24 1,318 1,711 2,06 2,49 2,80 3,74

25 1,316 1,708 2,06 2,48 2,79 3,72

26 1,315 1,706 2,06 2,48 2,78 3,71

27 1,314 1,703 2,05 2,47 2,77 3,69

28 1,313 1,701 2,05 2,47 2,76 3,67

29 1,311 1,699 2,04 2,46 2,76 3,66

30 1,310 1,697 2,04 2,46 2,75 3,65

40 1,303 1,684 2,02 2,42 2,70 3,55

60 1,296 1,671 2,00 2,39 2,66 3,46

120 1,289 1,658 1,980 2,36 2,62 3,37

1,282 1,645 1,960 2,33 2,58 3,29

Әдебиеттер тізімі

1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей.

М.: Издательский центр «Академия», 2005. – 448 с.

2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.:

Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2011. – 488 с.

3. ГмурманВ.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Издательство Юрайт, 2013. – 479 с.

4. Гурский Е.И. Теория вероятностей с элементами математической статистики: Учеб. пособие для втузов: М.:

Высшая школа, 1971. – 328 c.

5. Жаңбырбаев Б.С. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика элементтері. Алматы: Мектеп, 1988. – 182 б.

6. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.:

Высшая школа, 2004. – 407 с.

7. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.

Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2: Учеб.

пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 2003. – 416 с.

8. Қазешев А.Қ. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика: Есептер жинағы. Алматы:

Ғылым, 2005. – 184 б.

9. Сағынтаева С.С. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика элементтері. Астана:

ҚазЭҚжХСУ, 2011. – 184 б.

ГЛОССАРИЙ

Ұғымдар Мазмұны

Тәжірибе Белгілі бір мақсат үшін жүргізілетін бақылау

Элементар оқиғалар

Тәжірибеде мүмкін болатын нәтижелерден тұратын жиын

Ақиқат оқиға Тәжірибе нәтижесінде әрқашан пайда болатын оқиға

Мүмкін емес оқиға

Тәжірибе нәтижесінде ешқашан пайда болмайтын оқиға

A+B оқиғасы А немесе В оқиғасының пайда болуы A•B оқиғасы А және В оқиғасының пайда болуы Ықтималдықтың

классикалық анықтамасы

Белгілі А оқиғасының ықтималдығы дегеніміз осы оқиғаға қолайлы жағдайлар санын барлық жағдайлар санына

қатынасын айтады:

n P(A)m Толық

ықтималдық формуласы

         

   

1

1 1















п

і

Β і

Β п Β

Α Ρ Β Ρ

Α Ρ Β Ρ Α ...

Ρ Β Ρ Α Ρ

і

п

Байес

формуласы

     

   

Β Ρ Α Ρ

Α Ρ Β Β Ρ

Ρ _п

i i Βi

Βк к к

Α







1

Бернулли

формуласы ^п

 

^{пк к п к} к!



п к



! ^{ркqп к} q п!

С p к

Ρ ^{ }

 

 Ең ықтимал

саны А оқиғасының п рет тәжірибе жүргізілгендегі k₀ рет пайда болу ықтималдығы басқа рет пайда болу ықтималдықтарынан үлкен болса, онда k₀ саны ең ықтимал сан болады

p np k q

np  ₀  Лапластың

локальдық теоремасы

     

²²

2 , 1

1 , ^x

п x e

npq np x k

прq x к

P     ^

 

 Лапластың

интегралдық теоремасы

     

,

npq np α a

α Φ β Φ b k

Ρ a    ,  

 

^{e dt}

x π npq ,Φ

np β b

t

x 2

0

2

2

1 ^



 

 Кездейсоқ

шамалар (к.ш.)

Тәжірибенің нәтижесінде әртүрлі мән қабылдай алатын шама

Дискретті

кездейсоқ шама Х к.ш. қабылдайтын мәндері ақырлы бүтін сандар немесе тізбек түрінде жазылса Үздіксіз

кездейсоқ шама

Х к.ш. қабылдайтын мәндер шекті немесе шексіз интервалдың барлық мәндерін қабылдаса

Пуассон

формуласы

 

.

!

 _{ }

 e

к k P

k п

Дискретті к.ш.

математикалық үміті





 ⁿ

k k kp x X

M

1

) (

Дисперсия D(X)M(XM(X))² немесе ).

( ) ( )

(X M X² M² X

D  

Биномдық үлестірімнің математикалық үміті

np X M( )

Биномдық үлестірімнің дисперсиясы

npq X

D( ) Орташа

квадраттық (X) D(X).

ауытқуы Чебышев

теңсіздігі

 

( ).

)

( ₂

 ^D^X X

M X

P   

Чебышев

теоремасы ^1.

) ( ...

) ( ) (

lim ^{1 2} ... ^{1 2} 



 



        



 

n

X M X

M X M n

X X

P X ^{n n}

n

Үлестірім функциясы F(x)

X<x теңсіздігінің орындалу ықтималдығы F(x) = P(X<x)

Үлестірім

тығыздығы (x) F(x) үлестірім функциясының туындысы Үздіксіз к.ш.

математикалық

үміті



^







 x x dx X

M( ) ( ) Үздіксіз к.ш.

дисперсиясы



^









 x M x x dx X

D( ) ( ( ))² ( ) Бірқалыпты

үлестірім заңы











 







, ,

0

; 1 ,

; ,

0 )

(

b егер x

b x егер a

a b

a егер x

x Көрсеткіштік

үлестірім заңы







 

 ^

0 ,

0

; 0 ) ,

( егер x

егер x x e

x

 Қалыпты

үлестірім заңы (Гаусс заңы)

0 2 ,

) 1

( ²

2

2 ) (







 

 

 ^

a x

e x

Қажетті терминдердің қысқаша орысша-қазақша сөздігі

А

Аксиомы вероятностей - ықтималдықтар аксиомасы

Априорный - априорлық

Ассиметрия - ассиметрия

Б Биномиальные

вероятности - биномдық ықтималдықтар Благоприятствующий

случай

- қолайлы жағдай Бросание монеты - тиын лақтыру Бросание игрального

кубика

- ойын сүйегін лақтыру, ойын кубын лақтыру В

Варианты - варианталар

Вариационный ряд - вариациялық қатар

Вероятность - ықтималдық

Вероятность события - оқиғаның ықтималдығы Вероятностные

закономерности

- ықтималдықтың заңдылықтары Вероятность попадания в

заданный интервал

- берілген интервалдан мән қабылдау ықтималдығы Вероятность появления

хотя бы одного события

- ең болмағанда бір оқиғаның пайда болу ықтималдығы

Вероятность доверительная

- сенімділік ықтималдығы Вероятность

статистическая

- статистикалық ықтималдық

Возможные значения - кездейсоқ шамалардың

случайной величины мүмкін мәндері Возможные результаты

испытания

- тәжірибенің мүмкін нәтижелері

Выборка - таңдама

Выборка малая - аз көлемді таңдама Выборка повторная - қайталанбалы таңдама Выборка бесповторная - қайталанбайтын таңдама Выборочная совокупность - таңдама жинағы

Выборочная дисперсия - таңдама дисперсиясы Выборочная средняя - таңдаманың орташа мәні Выборочное среднее

квадратическое отклонение

- таңдаманың орташа квадраттық ауытқуы Г

Генеральная совокупность - бас жинақ Генеральная дисперсия - бас дисперсия

Генеральная средняя - бас жинақтың орташа мәні Геометрическая вероятность - геометриялық ықтималдық

Д

Доверительная вероятность - сенімділік ықтималдығы Доверительный интервал - сенімділік интервалы

Дисперсия - дисперсия

Дискретная случайная величина

- дискретті кездейсоқ шама Достоверное событие - ақиқат оқиға

З

Закон больших чисел - үлкен сандар заңы Закон распределения

случайной величины

- кездейсоқ шаманың үлестірім заңы Зависимость

корреляционная

- корреляциялық тәуелділік Зависимость статистическая - статистикалық тәуелділік Зависимость функциональная - функциялық тәуелділік

И

Испытание - тәжірибе, сынақ

Исход - нәтиже, жағдай

Исход испытания - тәжірибенің нәтижесі Исправленная дисперсия - түзетілген дисперсия

К Классическое определение вероятности

- ықтималдықтың

классикалық анықтамасы Корреляция - корреляция, байланыс Корреляционная

зависимость

- корреляциялық тәуелділік Корреляционное отношение - корреляциялық қатынас Корреляционный момент - корреляциялық момент Коэффициент корреляций - корреляция коэффициенті

Коварация - коварация

Кубик игральный - ойын сүйегі, ойын кубы М

Маловероятные события - аз ықтималды оқиғалар Математическое ожидание - математикалық үміт Момент абсолютный - абсолюттік момент Момент k-го порядка - k-ретті момент Момент начальный - бастапқы момент Момент центральный - орталық момент

Монета - тиын

Н

Наивероятнейшее число - ең ықтимал сан Независимые испытания - тәуелсіз тажірибелер Наибольшая вероятность - ең үлкен ықтималдық

Наблюдение - бақылау

Непрерывная величина - үздіксіз шама Непрерывная случайная

величина

- үздіксіз кездейсоқ шама

Несмещенная оценка - ығыстырылмаған баға Несовместные события - бірікпейтін оқиғалар Нормальное распределение - қалыпты үлестірім

Наугад - кез-келген

О Отклонение случайной

величины

- кездейсоқ шаманың ауытқуы

Относительная частота - салыстырмалы жиілік Оценка параметра - параметрді бағалау Оценка параметра

интервальная

- параметрді интервалдық бағалау

П Плотность распределения вероятностей

- ықтималдықтардың үлестірім тығыздығы Повторные испытания - қайталанатын тажірибелер

Полигон - полигон

Правило трех сигм - үш сигмалар ережесі Произведение событий - оқиғалардың көбейтіндісі Пространство элементарных

событий

- элементар оқиғалар кеңістігі

Противоположные события - қарама-карсы оқиғалар Р

Равновероятный - тең ықтималды Равновозможность - тең мүмкіндікті

Результат - нәтиже, қорытынды

С

Случайная величина - кездейсоқ шама

Событие - оқиға

Событие достоверное - ақиқат оқиға Событие единственно

возможное

- бір ғана мүмкіндікті оқиға

Событие невозможное - мүмкін емес оқиға Событие зависимое - тәуелді оқиға Событие независимое - тәуелсіз оқиға Событие несовместное - бірікпейтін оқиға Событие случайное - кездейсоқ оқиға Событие совместное - бірігетін оқиға Событие элементарное - элементар оқиға

Средняя арифметическая - арифметикалық ортасы Среднее квадратическое

отклонение - орташа квадраттық ауытқу Статистическое

определение вероятности

- ықтималдықтың

статистикалық анықтамасы Сумма событий - оқиғалар қосындысы Схема Бернулли - Бернулли сызбасы

Совокупность - жинақ

Совокупность условий - шарттар жинағы Статистическое

распределение

- статистикалық үлестірім Статистические оценки - статистикалық бағалар

Т Теорема сложения

вероятностей

- ықтималдықтарды қосу теоремасы

Теорема умножения вероятностей

- ықтималдықтарды көбейту теоремасы

У

Условная вероятность - шартты ықтималдық Условные средние - шартты орташа мәндер Условная частота - шартты жиілік

Ф

Функция распределения - үлестірім функциясы Формула полной

вероятности

- толық ықтималдық формуласы

Ч

Числовые характеристики - сандық сипаттамалар Э

Эксцесс - эксцесс

Эмпирическая дисперсия - эмпирикалық

(тәжірибелік) дисперсия Эмпирическая функция

распределения

- эмпирикалық үлестірім функциясы

Я

Явление - құбылыс

Есептер………...……… 71 2.4 Үлкен сандар заңдары. Чебышев теңсіздігі.

Чебышев теоремасы. Бернулли теоремасы... 74 Есептер………...……….... 79

2.5 Үлестірім функциясы, оның қасиеттері мен

графигі (интегралдық үлестірім функциясы) . 82 2.6 Үлестірім тығыздығы және оның қасиеттері

мен графигі……….... 85 2.7 Үздіксіз кездейсоқ шамалардың

математикалық үміті мен дисперсиясы……... 88 2.8 Бірқалыпты үлестірім заңы... 90 2.9 Көрсеткіштік үлестірім заңы..……….. 93 2.10 Гаусс үлестірім заңы... 94 2.11 Гаусс үлестірім заңымен анықталған

кездейсоқ шаманың берілген интервал

мәндерін қабылдау ықтималдығы... 97 2.12 Асимметрия және эксцесс... 100 Есептер…………...……….... 102

2.13 Кездейсоқ шамалардың жүйесі. Екі кездейсоқ шамалар жүйесінің үлестірім

заңы және үлестірім функциясы... 113 2.14 Екі кездейсоқ шамалар жүйесінің

ықтималдық тығыздығы... 119 2.15 Екі кездейсоқ шамалар жүйесінің сандық

сипаттамалары. Корреляциялық момент.

Корреляция коэффициенті... 122 ІIІ-тарау. Математикалық статистика элементтері 125

3.1Таңдамалар үлестірілуінің эмперикалық

функциясы... 125 Есептер………... 134

3.2 Статистикалық үлестірімнің сандық

сипаттамалары... 137 3.3 Статистикалық ортаның орнықтылығы…….... 139 3.4 Интервалдық бағалау... 141