Байес формуласы

Байес формуласы ықтималдықтарды көбейту теоремасы және толық ықтималдық формуласының салдары болып табылады.

Теорема. Егер А оқиғасы толық топ құратын, бірікпейтін Β₁,Β₂,....,Β_п оқиғалардың (жорулардың) біреуімен бірге пайда болатын болса, онда әрбір жорудың шартты ықтималдығы үшін:

     

   

Β Ρ Α Ρ

Α Ρ Β Β Ρ

Ρ _п

i

Βi i

Βк к к

Α







1

(1.8)

теңдігі орындалады.

Дәлелдеу. Ықтималдықтарды көбейту формуласы бойынша:



k

    

Α k ^.

Ρ ΑΒ Ρ Α Ρ Β Бұл теңдіктен

   

 

^{k .}

Α k

Ρ Β Ρ ΑΒ

 Ρ Α

Енді осы теңдіктің оң жағында тұрған бөлшектің алымына ықтималдықтарды көбейту, ал бөліміне толық ықтималдықтың формуласын қолдансақ, (1.8) формуласы шығады:

   

     

   

1

.

k

i

k Β

k

Α k n

i Β

i

Ρ Β Ρ Α Ρ Β Ρ ΑΒ

Ρ Α Ρ Β Ρ Α



 



Дәлелдеген (1.8) формуланы Байес формуласы деп атайды.

Ескерту. Біріншіден Β₁,Β₂,....,Β_п оқиғаларына қоятын шарт: олар оқиғалардың толық тобын құруы қажет, яғни олар бір мүмкіндікті, тең мүмкіндікті және өзара бірікпейтін болуы керек. Ρ

 

Β_i , і=1,2,...,п ықтималдықтары белгілі деп есептеледі, сондықтан да бұл ықтималдықтарды априорлық (тәжірибеге дейін) деп атайды.

Екіншіден Β_i оқиғасы пайда болғандығы ^Ρ_Βi

 

^Α

ықтималдықтары да берілген деп есептеледі. Сондықтан, кейде ^Ρ_Βi

 

^Α ықтималдықтарын апостериорлық деп атайды (тәжірибеден кейін).

Ықтималдықтар теориясы мен оның басқа тарауларында маңызы бар формуланы ағылшын математигі Томас Байес (1702–1761) XVІІІ ғасырдың орта шенінде тапқан.

Мысал. Екі мерген бір-біріне тәуелсіз жағдайда бір нысанаға бір-бірден оқ атады. Бірінші мергеннің нысанаға тигізу ықтималдығы 0,8 тең, ал екіншісінікі 0,4 тең. Оқ

атылғаннан кейін нысанаға бір ғана оқ тиген. Нысанаға тиген оқтың бірінші мергеннің тигізуінің ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі. Жорулар: Β₁ нысанаға біріншісі тигізіп, екіншісі тигізе алмады; Β₂ – нысанаға екіншісі тигізіп, біріншісі тигізе алмады; А – нысанаға бір ғана оқ тиген.

Жорулар ықтималдықтары:

   

 

Α ; Ρ

 

Α . Ρ

; , , Β ,

Ρ

; , , Β ,

Ρ

Β

Β 1 1

08 0 2 0 4 0

48 0 6 0 8 0

2 1

2 1

















Нысанаға тиген жалғыз оқты бірінші мергеннің тигізуінің шартты ықтималдығы (1.8) формула бойынша:

 

1

0 48 1 6

0 48 1 0 08 1 7

Α

, .

, ,

Ρ Β

^{ }

  



Есептер

48. Үш атқыш бір-бірінен тәуелсіз бір нысанаға бір-бірден атыс жасады. Сонда бір оқ нысанаға тиді. Бірінші атқыштың нысанаға тигізу ықтималдығы 0,8 тең, екіншісінікі 0,4, үшіншісінікі 0,6 тең. Нысанаға тиген оқ бірінші атқыштікі екенінің ықтималдығын табыңыз.

Жауабы: 0,649.

49. 30 спортшылардың ішінде 10 қыз бала бар.

Квалификациялық мөлшерді орындау ықтималдығы ұлдар үшін 0,85 тең, ал қыздар үшін 0,7 тең. Осы топтан алынған кезкелген бір спортшының квалификациялық мөлшерді орындауының ықтималдығын табыңыз.

Жауабы: 0,8.

50. Бір қорапшада алты ақ, төрт қара, ал екінші қорапшада екі ақ, жеті қара шарлар бар. Бірінші қорапшадан бір шар алынып екінші қорапшаға салынды. Содан кейін екінші қорапшадан бір шар алынды. Осы алынған шардың ақ болуының ықтималдығы қандай?

Жауабы: 0,26.

51. Екі партияның әрқайсысында 50 заттан бар. Бірінші партияның ішінде үшеуі сапасыз, ал екінші партияда бесеуі сапасыз зат бар. Әрбір партиядан кезкелген 25 заттан алынып, техникалық бақылауға жіберілетін жаңа партия құралған. Тексеріске жіберілген партиядан кезкелген алынған бір зат сапасыз болғандығының ықтималдығын табыңыз.

Жауабы: 0,08.

52. Бірінші жәшіктегі 20 тетіктің ішінде 17 стандартты, ал екінші жәшікте 25 тетіктің ішінде 15 стандартты тетік бар.

Екінші жәшіктен кезкелген бір тетік алынып, бірінші жәшікке салынған. Содан кейін бірінші жәшіктен кезкелген бір тетік алынды. Осы алынған тетіктің стандартты болуының ықтималдығын табыңыз.

Жауабы: 0,84.

53. Дүкенге үш зауыттан шығарылатын 500 бұйымдар түскен. Оның ішінде бірінші зауыттан 100, екіншісінен 250 бұйым, ал үшіншісінен 150 бұйым жасалып шығарылды.

Егер бірінші зауыттың сапасыз бұйым шығаруы 0,2 тең, екіншісінікі 0,3 тең, ал үшіншісінікі 0,1 тең болса, сатып алынған кезкелген бұйымның сапасыз болуының ықтималдығын табыңыз.

Жауабы: 0,22.

54. Топта он студент бар. Олардың үшеуі емтиханға «өте жаксы», төртеуі «жақсы», екеуі «орташа» және біреуі

«нашар» дайындалған. Емтихандық билеттерде әртүрлі 20 сұрақ берілген. Өте жақсы дайындалған студент барлық 20 сұраққа, жақсы дайындалған 16 сұраққа, орташа дайындалған 10 сұраққа, нашар дайындалған 5 сұраққа толық жауап бере алады. Кезкелген бір студент берілген үш сұраққа толық жауап берді. Жауап берген студенттің:

а) «өте жақсы» дайындалғандығының; ә) «жақсы»

дайындалғандығының; б) «орташа» дайындалғандығының;

в) «нашар» дайындалғандығының ықтималдықтарын табыңыз.

Жауабы: а) 0,58; ә) 0,38; б) 0,041; в) 0,002.

55. Үш атқыштың біреуі нысанаға екі атыс жасады. Бір атыс жасағанда нысанаға тигізудің ықтималдығы бірінші атқыш үшін 0,4-ке, екінші атқыш үшін 0,6-ға, ал үшінші атқыш үшін 0,8-ге тең. Нысанаға атылған екі оқтың да дәл тигендігінің ықтималдығы қандай?

Жауабы: 0,39.

56. Олимпиадаға №1 мектептің 9-шы сыныбынан 5 оқушы, 10-шы сыныбынан 6, ал 11-ші сыныбынан 10 оқушы қатысты. Бірінші орын ұтып алу ықтималдығы 9-шы сынып оқушылары үшін 0,2 тең, 10-шы сынып оқушылары үшін 0,3 тең, ал 11-ші сынып оқушылары үшін 0,4 тең.

Осы мектептен олимпиадаға қатысқан оқушылардың бірінші орын ұтып алуының ықтималдығын табыңыз.

Жауабы: 0,28.

57. Бірдей екі жәшікте біртипті бұйымдар бар.

Біріншісінде 20 бұйымның ішінен екеуі жарамсыз болып шықты, екіншісінде 10 бұйымның ішінен үшеуі жарамсыз

болып шықты. Кезкелген жәшіктен алынған бір бұйым жарамды болу ықтималдығын табыңыз.

Жауабы: 0,875.

58. Екі инженер бірдей есептеу жұмысын жасайды. Бірінші инженердің қате жіберу ықтималдығы 0,05 тең, ал екінші инженердің қате жіберу ықтималдығы 0,2 тең. Тексергенде бір қате табылды. Қате жіберген бірінші инженер екендігінің ықтималдығы қандай?

Жауабы: 0,2.

59. Жолаушы билет алу үшін үш кассаның біреуіне бару керек еді. Кассалардың әртүрлі қашықтықта орналасуына байланысты бұл кассаларға баруының сәйкес ықтималдықтары 0,3; 0,2; 0,5 тең. Ал жолаушы келгенде кассаларда билеттің болуының ықтималдығы сәйкес кассалар үшін 0,9; 0,8; 0,6 тең. Жолаушы кассалардың бірінен билет алды. Билетті екінші кассадан алғандығының ықтималдығын табыңыз.

Жауабы: 0,2192.

60. Бала орманда адасып жүріп алаңға шықты. Алаңнан төрт жол шығады екен. Осы жолдармен жүргенде орманнан шығудың сәйкес жолдары үшін ықтималдықтары 0,6; 0,4; 0,2; 0,1 тең. Егер баланың орманнан шыққаны белгілі болса, онда оның бірінші жолмен шыққандығының ықтималдығы қандай?

Жауабы: 0,4615.

61. Дайын бұйымдар қоймасындағы бұйымдардың 40%

бірінші автоматта, ал 60% екінші автоматта дайындалған.

Бірінші автоматтың сапалы бұйымдар дайындауының ықтималдығы 0,98 тең, ал екіншісінікі 0,97 тең. Алынған кезкелген бір бұйым сапасыз болып шықты. Осы

бұйымның бірінші автоматта дайындалғандығының ықтималдығы қандай?

Жауабы: 0,69.

62. Бірінші қорапшада бес ақ, екі қара, ал екіншісінде төрт ақ, алты қара шарлар бар. Кезкелген қорапшадан кезкелген бір шар алынды, ол ақ шар болып шықты. Сол қорапшадан алынған келесі шардың да ақ шар болғандығының ықтималдығын табыңыз.

Жауабы: 0,547.

63. Тетіктің құрылысындағы үш тораптың екеуі тозып кеткен. Тораптың тозып кетуінің сәйкес ықтималдықтары 0,1; 0,3; 0,2 тең. Тозып кеткен бірінші және үшінші тораптар екендігінің ықтималдығын табыңыз.

Жауабы: 0,15.

64. Спорттық іріктеуші жарысқа бірінші топтан төрт студент, екінші топтан алты, ал үшінші топтан бес студент қатысты. Құрама командасына өтетінің сәйкес ықтималдықтары 0,5; 0,4; 0,3 тең. Құрама командасына өткен студент қайсы топтан болғандығының ықтималдылығын табыңыз.

Жауабы: екінші топтан.

65. Бес винтовканың үшеуі оптикалық көздеуішпен.

Мерген бір рет атты. Оптикалық көздеуіші бар винтовкадан атқанда мергеннің нысанаға тигізудің ықтималдығы 0,95 тең, ал жәй винтовка үшін 0,8 тең.

Нысанаға кезкелген винтовкадан бір рет атқанда дәл тигендігінің ықтималдығы қандай?

Жауабы: 0,89.

1.9 Тәжірибені қайталау. Бернулли формуласы