УДК 517.956.2 НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА
ОДНОРОДНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ С СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ
c 2008 г. С. А. АБДЫМАНАПОВ
АННОТАЦИЯ. Решены начально-краевые задачи для некоторых модельных эллиптических систем вто- рого порядка на плоскости с сингулярной точкой.
СОДЕРЖАНИЕ
1. Постановка задач . . . 5
2. Решение задачиB1 . . . 8
3. Решение задачиB2 . . . 9
4. Решение задачиB3 . . . 10
Список литературы . . . 10
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ
В работе получены явные виды решений для некоторых классов эллиптических системвторого порядка на плоскости с сингулярной точкой в неограниченных областях. Частные виды этих систем возникают в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны с точкой уплощения [2, 5, 7, 8] и исследованы в работах [2–4,6].
Пусть G={z=reiϕ: 0r <∞,0ϕ <2π}. Рассм отрим в G уравнение λ∂2V
∂z2 + γ 2z
∂V
∂z −b(ϕ)
4z2V = 0, (1.1)
где λ, γ— действительные параметры, b(ϕ)∈C[0,2π],
∂
∂z¯= 1 2
∂
∂x+i∂
∂y
= eiϕ 2
∂
∂r + i r
∂
∂ϕ
,
∂2
∂z¯2 = ∂
∂z¯ ∂
∂¯z
= e2iϕ 4
∂2
∂r2 −2i r2
∂
∂ϕ +2i r
∂2
∂r∂ϕ−1 2
∂
∂r − 1 r2
∂2
∂ϕ2
, z=x+iy=reiϕ
Уравнение (1.1) при λ = 0 использовано в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны с общей структурой в точке уплощения [7, 8] и исследовано в работах [1,9]. Приγ = 0,b(ϕ)≡0в работе [4] получено общее решение уравнения (1.1) в единичномкруге и доказано, что однородная задача Дирихле для уравнения (1.1) при b(ϕ)≡ 0 имеет бесконечное множество решений.
Решения уравнения (1.1) ищемв классе
C(G)∩Wp2(G), 1< p <2. (1.2) Методом разделения переменных можно показать, что в классе (1.2) уравнение (1.1) имеет решение вида
V(r, ϕ) =rμψ(ϕ), (1.3)
c
2008 РУДН
5
где μ > 1— действительный параметр, ψ(ϕ)— новое неизвестное решение из класса C2[0,2π]
уравнения
ψ+ 2(ν−μ)iψ+ (2ν−μ)μψ= b(ϕ)
λ ψ, (1.4)
где ν = 2λ+γ 2λ .
Интегрируя уравнение (1.4) методом вариации произвольных постоянных, получим ψ(ϕ) =
ϕ 0
b(ϕ, γ)ψ(γ)dγ+ (c1cos(νϕ) +c2sin(νϕ)) exp(iϕ(μ−ν)), (1.5) где
b(ϕ, γ) = 1
λγexp(i(μ−ν)(ϕ−γ))b(γ) sinν(ϕ−γ), c1, c2— произвольные комплексные числа.
Для построения решений уравнения (1.5) используемследующие функции:
Iν,0(ϕ) = exp(iϕ(μ−ν)) sin(νϕ), Jν,0(ϕ) = exp(iϕ(μ−ν)) cos(νϕ), Iν,k(ϕ) =
ϕ 0
b(ϕ, γ)Iν,k−1(γ)dγ, Jν,k(ϕ) = ϕ 0
b(ϕ, γ)Jν,k−1(γ)dγ,
(Bν,0ψ) (ϕ) = ϕ 0
b(ϕ, γ)ψ(γ)dγ,
(Bν,kψ) (ϕ) = ϕ 0
b(ϕ, γ)Bν,k−1(γ)dγ (k= 1,2, . . .).
Для этих функций имеют место следующие легко проверяемые соотношения:
(Bν,0(cJν,n(ϕ)))(ϕ) =cJν,n+1(ϕ), (Bν,0(cIν,n(ϕ)))(ϕ) =cIν,n+1(ϕ),
(Bν,0(Bν,nψ)(ϕ))(ϕ) =Bν,n+1ψ)(ϕ), (1.6)
|Bν,kψ)(ϕ)| |b(ϕ)|k+10 |ψ|0
(λν)k+1(k+ 1)!ϕk+1,
|Iν,k(ϕ)| |b(ϕ)|k0 (λν)k
ϕk
k!, |Jν,k(ϕ)| |b(ϕ)|k0 (λν)k
ϕk
k! (k= 0,1, . . .), (1.7) где n— натуральное число, c— комплексное число,
|b(ϕ)|0 = max
0ϕ2π|b(ϕ)|.
Используя указанные обозначения, уравнение (1.5) записываемв виде
ψ(ϕ) = (Bν,0ψ)(ϕ) +c1Jν,0(ϕ) +c2Iν,0(ϕ). (1.8) Подействовав оператором Bν,0ψ на обе части равенства (1.8), с учетом(1.6) имеем
(Bν,0ψ)(ϕ) = (Bν,1ψ)(ϕ) +c1Jν,1(ϕ) +c2Iν,1(ϕ). (1.9) Из (1.8) и (1.9) вытекает
ψ(ϕ) = (Bν,1ψ)(ϕ) +c1Jν,0(ϕ) +c2Iν,0(ϕ) +c1Jν,1(ϕ) +c2Iν,1(ϕ) (1.10) Снова подействовав операторомBν,0ψ на обе части равенства (1.10), с учетом(1.6) имеем
(Bν,0ψ)(ϕ) = (Bν,2ψ)(ϕ) +c1Jν,1(ϕ) +c2Iν,0(ϕ) +c1Jν,2(ϕ) +c2Iν,2(ϕ). (1.11) Подставляя формулу (1.11) в уравнение (1.8), получим
ψ(ϕ) = (Bν,2ψ)(ϕ) +c1(Jν,0(ϕ) +Jν,2(ϕ)) +c2(Iν,0(ϕ) +Iν,2(ϕ)) +c1Jν,1(ϕ) +c2Iν,1(ϕ).
Продолжая этот процесс 2n−1 и 2n раз соответственно, получимследующие представления для решения уравнения (1.4):
⎧⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎩
ψ(ϕ)=(Bν,2n−1ψ)(ϕ)+c1n−1
k=0Jν,2k(ϕ)+c2n−1
k=0Iν,2k(ϕ)+c1 n
k=1Jν,2k−1(ϕ)+c2 n
k=1Iν,2k−1(ϕ), n1, ψ(ϕ)=(Bν,2nψ)(ϕ)+c1 n
k=0Jν,2k(ϕ)+c2 n
k=0Iν,2k(ϕ)+c1 n
k=1Jν,2k−1(ϕ)+c2 n
k=1Iν,2k−1(ϕ), n0.
(1.12) Переходя к пределу при n→ ∞ в представлениях (1.12), в силу оценок (1.7) получим
ψ(ϕ) =c1Pν,1(ϕ) +c2Qν,1(ϕ) +c1Pν,2(ϕ) +c2Qν,2(ϕ), (1.13) где
Pν,1(ϕ) =∞
k=1
Jν,2k−1(ϕ), Pν,2(ϕ) =∞
k=0
Jν,2k(ϕ), Qν,1(ϕ) =∞
k=1
Iν,2k−1(ϕ), Qν,2(ϕ) =∞
k=0
Iν,2k(ϕ).
Из определения функций Pν,1(ϕ),Pν,2(ϕ),Qν,1(ϕ),Qν,2(ϕ) вытекают следующие полезные соотно- шения:
Pν,1(ϕ) = ϕ
0
b(ϕ, γ)Pν,2(γ)dγ, Qν,1(ϕ) = ϕ 0
b(ϕ, γ)Qν,2(γ)dγ,
Pν,2(ϕ) =Jν,0(ϕ) + ϕ
0
b(ϕ, γ)Pν,1(γ)dγ,
Qν,2(ϕ) =Iν,0(ϕ) + ϕ 0
b(ϕ, γ)Qν,1(γ)dγ,
Pν,1 (ϕ) = (μ−ν)iPν,1(ϕ) +1 λ
ϕ 0
b(γ) cosν(ϕ−γ) exp((μ−ν)(ϕ−γ)i)Pν,2(γ)dγ,
Pν,2 (ϕ) = (μ−ν)iPν,2(ϕ)−νe(μ−ν)iϕsinνϕ+1 λ
ϕ 0
b(γ) cosν(ϕ−γ) exp((μ−ν)(ϕ−γ)i)Pν,1(γ)dγ,
Qν,1(ϕ) = (μ−ν)iQν,1(ϕ) + 1 λ
ϕ 0
b(γ) cosν(ϕ−γ) exp((μ−ν)(ϕ−γ)i)Qν,2(γ)dγ,
Qν,2(ϕ) = (μ−ν)iQν,2(ϕ) +νe(μ−ν)iϕcosνϕ+1 λ
ϕ 0
b(γ) cosν(ϕ−γ) exp((μ−ν)(ϕ−γ)i)Qν,1(γ)dγ,
Pν,1 (ϕ)−2(μ−ν)iPν,1 (ϕ)−μ(μ−2ν)Pν,1(ϕ) = 1
λb(ϕ)Pν,2(ϕ), Pν,2 (ϕ)−2(μ−ν)iPν,2 (ϕ)−μ(μ−2ν)Pν,2(ϕ) = 1
λb(ϕ)Pν,1(ϕ), Qν,1(ϕ)−2(μ−ν)iQν,1(ϕ)−μ(μ−2ν)Qν,1(ϕ) = 1
λb(ϕ)Qν,2(ϕ), Qν,2(ϕ)−2(μ−ν)iQν,2(ϕ)−μ(μ−2ν)Qν,2(ϕ) = 1
λb(ϕ)Qν,1(ϕ), Pν(ϕ) + 2(ν−μ)iPν(ϕ) + (2ν−μ)μPν(ϕ) = b(ϕ)
λ Pν(ϕ),
Qν(ϕ) + 2(ν−μ)iQν(ϕ) + (2ν−μ)μQν(ϕ) = b(ϕ)
λ Qν(ϕ), где
Pν(ϕ) =c1Pν,1(ϕ) +c1Pν,2(ϕ), Qν(ϕ) =c2Qν,1(ϕ) +c2Qν,2(ϕ).
Из этих соотношений и вида функцийPν,1(ϕ), Pν,2(ϕ),Qν,1(ϕ), Qν,2(ϕ) следует
Pν,1(0) =Qν,1(0) =Qν,2(0) = 0, Pν,2(0) = 1, (1.14) Pν,1 (0) =Qν,1(0) = 0, Pν,2 (0) = (μ−ν)i, Qν,2(0) =ν, (1.15)
Pν,1 (0) = b(0)
λ , Pν,2 (0) =−(μ−ν)2−ν2,
Qν,1(0) = 0, Qν,2(0) = 2ν(μ−ν)i. (1.16) Каждая из функций Pν(ϕ) и Qν(ϕ) является решениемуравнения (1.4) из класса C2[0,2π).
Подставив представление (1.13) в формулу (1.3), имеем
V(r, ϕ) =rμ(c1Pν,1(ϕ) +c1Pν,2(ϕ) +c2Qν,1(ϕ) +c2Qν,2(ϕ)). (1.17) Из формулы (1.17) легко следует, чтоV(r, ϕ)∈C(G)∩Wp2(G).
Следовательно, имеет место следующий результат.
Теорема1.1. Уравнение (1.1) всегда имеет решения из класса (1.2), которые могут быть заданы в квадратурах через формулу(1.17).
Рассмотрим начально-краевые задачи для уравнения (1.1). Пустьμ >1— действительное число, k= [μ].
Задача B1. Требуется найти решение уравнения (1.1) из класса (1.2), удовлетворяющее условиям
∂nV
∂rn(0, ϕ) = 0, (n= 0, k−1), (1.18)
|V(r, ϕ)|= 0(rk), 0r <∞, (1.19)
V(r,0) = lim
ϕ→2πV(r, ϕ) =b0rμ, (1.20)
где b0— заданное комплексное число.
Задача B2. Требуется найти решение уравнения (1.1) из класса (1.2), удовлетворяющее условиям(1.18), (1.19) и условиям
V(r,0) =b0rμ, (1.21)
∂V
∂ϕ(r,0) =b1rμ, (1.22)
где b0,b1— заданное комплексное число.
Задача B3. Требуется найти решение уравнения (1.1) из класса (1.2), удовлетворяющее условиям(1.18), (1.19), (1.21) и условию
∂2V
∂ϕ (r,0) =b2rμ, (1.23)
где b2— заданное комплексное число.
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИB1
Решение задачи B1 ищемв виде (1.17). Функция, заданная по формуле (1.17), автоматически удовлетворяет условиям(1.18) и (1.19). Эту функцию подчинимтеперь условиям(1.20). Тогда получим
V(r,0) =b0rμ, (2.1)
V(r,0) =V(r,2π). (2.2)
Подставив функцию, заданную по формуле (1.17), в краевые условия (2.1) и (2.2), с учетом (1.14) соответственно получим
c1 =b0, (2.3)
c1 =c1Pν,1(2π) +c2Qν,1(2π) +c1Pν,2(2π) +c2Qν,2(2π). (2.4) Из равенств (2.4) и (2.3) следует
c2Qν,2(2π) +c2Qν,1(2π) =b0(1−Pν,2(2π))−b0Pν,1(2π). (2.5) Если Δ =|Qν,2(2π)|2− |Qν,1(2π)|2= 0, то из равенства (2.5) вытекает
c2 = Δ1
Δ, (2.6)
где
Δ1 =
(1−Pν,2(2π))b0−Pν,1(2π)b0
Qν,2(2π)−
(1−Pν,2(2π))b0−Pν,1(2π)b0
Qν,1(2π) Такимобразом, приΔ= 0 мы получим решение задачиB1 в виде
V(r, ϕ) =rμ
b0Pν,1(ϕ) +Δ1
ΔQν,1(ϕ) +b0Pν,2(ϕ) +Δ1
ΔQν,2(ϕ)
. (2.7)
Следовательно, доказана следующая теорема.
Теорема2.1. Если Δ= 0, то задача B1 имеет единственное решение, которое находится по формуле (2.7).
ЕслиΔ = 0, то для разрешимости уравнения (2.5) необходимо и достаточно выполнения равен- ства
Qν,2(2π)
Qν,1(2π) = (1−Pν,2(2π))b0−Pν,1(2π)b0
(1−Pν,2(2π))b0−Pν,1(2π)b0. (2.8) Для вывода этой формулы следует привести уравнение (2.5) к системе линейных алгебраических уравнений над полемдействительных чисел и использовать теорему Кронекера—Капелли.
При выполнении этого равенства из (2.5) получим
c2 =
⎧⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎩
Re[b0(1−Pν,2(2π))−b0Pν,1(2π)] +i(Qν,2(2π) +Qν,1(2π))α Re(Qν,1(2π) +Qν,2(2π))
если ReQν,1(2π)=−ReQν,2(2π), Re[b0(1−Pν,2(2π))−b0Pν,1(2π)]−(Qν,2(2π) +Qν,1(2π))α
Im(Qν,1(2π) +Qν,2(2π))
если ImQν,1(2π)= ImQν,2(2π),
(2.9)
где α— произвольное действительное число.
Таким образом, имеет место теорема.
Теорема2.2. ПриΔ = 0для разрешимости задачиB1 необходимо и достаточно выполнения равенства (2.8). В этом случае задача B1 имеет бесконечное множество решений, которые находятся по формулам (1.17), (2.3)и (2.9).
3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИB2
Решение задачи B2 ищемв виде (1.17). Функция, заданная по формуле (1.17), автоматически удовлетворяет условиям(1.18) и (1.19). Эту функцию подчинимтеперь условиям(1.21) и (1.22). Для этого, подставляя представление (1.17) в краевые условия (1.21) и (1.22), с учетомравенств (1.15) соответственно получим
c1 =b0,
(μ−ν)ic1+c2ν=b1.
Отсюда при ν = 0 следует
c1=b0, c2= b1−b0(μ−ν)i
ν .
Такимобразом, решение задачи B2 при ν= 0 имеет вид V(r, ϕ) =rμ(¯b0Pν,1(ϕ) +b0Pν,2(ϕ) +¯b1+ ¯b0(μ−ν)i
ν Qν,1(ϕ) +b1−b0(μ−ν)i
ν Qν,2(ϕ)). (3.1) Итак, имеет место следующая теорема.
Теорема3.1. При ν = 0 задача B2 имеет единственное решение, которое находится по формуле(3.1).
4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИB3
Решение задачи B3 ищемтакже в виде (1.17), который автоматически удовлетворяет услови- ям(1.18) и (1.19). Подставляя функцию, заданную по формуле (1.17), в (1.21) и (1.22), с учетом равенств (1.16) имеем
c1 =b0,
c2= ¯b0b(0) +b0((μ−ν)2+ν2) 2ν(μ−ν) i.
Следовательно, решение задачи B3 приν(μ−ν)= 0 имеет вид
V(r, q) =rμ(¯b0Pν,1(ϕ) +b0Pν,2(ϕ) +c2Qν,1(ϕ) + ¯c2Qν,2(ϕ)), (4.1) где
c4= b¯0b(0) +b0((μ−ν)2+ν2)
2ν(μ−ν) .
Таким образом, имеет место теорема.
Теорема4.1. Приν(μ−ν)= 0 задачаB3 имеет единственное решение, которое находится по формуле (4.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абдрахманов А. М. Об одной системе первого порядка, вырождающейся в точке// Дифф. уравн. — 1981. —52, № 5.
2. Абдыманапов С. А., Тунгатаров А. Б.Некоторые классы эллиптических системна плоскости с сингу- лярными коэффициентами. — Алматы, Г– ылым, 2005.
3. Беркембаев Е. Н., Тунгатаров А. Б.Об одномклассе эллиптических системна плоскости 2-го порядка с сингулярной точкой выше первого порядка// Вестник КазГУ им. аль-Фараби. Сер. мат., мех., информ. — 1997. — № 6. — С. 147–152.
4. Бицадзе А. В.Некоторые классы уравнений в частных производных. — М.: Наука, 1981.
5. Усманов З. Д.О бесконечно малых изгибаниях поверхностей положительной кривизны с изолированной точкой уплощения// Мат. сб. — 1970. —83(125):4(12). — С. 596–615.
6. Усманов З. Д. Об одномклассе обобщенных системКоши—Римана с сингулярной точкой// Сиб.
мат. ж. — 1973. —14, № 5. — С. 1076–1087.
7. Усманов З. Д. Бесконечно малые изгибания поверхностей положительной кривизны с точкой уплоще- ния// Differential Geometry. Banach Center Publications. — 1984. —12. — С. 241–272.
8. Усманов З. Д.Изометрически сопряженная параметризация поверхности в окрестности точки уплоще- ния// Докл. расширенных заседаний семинара Института прикладной математики им. И. Н. Векуа. —1,
№ 1. — 1985.
9. Усманов З. Д.Обобщенные системы Коши—Римана с сингулярной точкой. — Душанбе, 1993.
Сарсенгали Абдыгалиевич Абдыманапов
Евразийский Национальный Университет им. Л. Н. Гумилева Казахстан 010021, Астана, ул. Мунайтпасова, д. 5
E-mail: [email protected]
