Математические заметки
т о м 54 ВЫПУСК 6 ДЕКАБРЬ 1993
ОБ О Д Н О М П Р И М Е Р Е Н У Л Ь - Р Я Д А ПО П Е Р И О Д И Ч Е С К И М
М У Л Ь Т И П Л И К А Т И В Н Ы М С И С Т Е М А М Н.А. Бокаев, М.А. Нурханов
В работе рассматриваются мультипликативные периодические орто- нормированные системы, предложенные Н.Я. Виленкиным в [1]. Пусть G - нульмерная, компактная абелева группа со второй аксиомой счетности.
Цепочка подгрупп
G = Яо D Я 1 D • • • D f ] Fjt = { 0 }
ifc=0
образует систему окрестностей нуля, причем Нк/Нк+1 - циклическая группа простого порядка , где ^ 2, = 1,2,3, Положим шо = 1, гпк = Pi • Р2 ' • • • Рк- Пусть Х-группа характеров для G, тогда
со
{ 0 } = Н^ СН,^ C " C \ J Hk=^X, к=0
где = {(р е X: (p^{t) = 1, te Нк}- Положим (po{t) = l,t еО. Если
^ = EUi ^кгпк,то М^) = Ш= 1 [^m,{t)r'^ О < ак < Рк - I- Та
ким образом определениая система { ^ п( 0} ^ о является периодической, мультипликативной и ортонормированной относительно нормированной меры Хаара на G, и при = 2, А: = 1 , 2 , . . . , представляет собой систему Уолша.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество Е С G называется М-множеством для системы {(Pn{t)}^-Q, если существует ряд по этой системе, у которого не все коэффшщенты равны нулю и который сходится к нулю всюду вне мно
жества Е. Такие ряды, в случае, когда М-множество ршеет меру нуль, яа.зываются нуль-рядами.
В этой заметке нашей основной целью является построение М-множес- тва меры нуль для указанной системы характеров { ^ п( 0} ^ о - Широ
ко известно, что М-множество меры нуль для тригонометрической сис
темы было впервые построено Л. Е. Меньшовым [2], а для системы Уолша
(с) Н . А . Б О К А Е В , М . А . Н У Р Х А Н О В 1 9 9 3
4 Н А . БОКАЕВ. М.А. НУРХАНОВ
- А. А. Шнейдером [3]. Для мультипликативных систем нуль-ряда в слу
чае suppn = р < оо построен В. А. Скворцовым [4], а в случае sup рп^ <
с < оо, - И. И. Тузиковой [5]. В этой заметке мы никаких ограничений на последовательность {рп} не накладываем.
Т Е О Р Е М А . ЛЛЯ системы характеров {(Pn{t)}^~o существует М- множество меры нуль.
При построении искомого нуль-ряда мы будем следовать схеме постро
ения соответствующего М-множества для системы Уолша из работы [6].
Лля t £ L{G) положрш
= Ш f^m'Piii)Mi), (1)
где Н - некоторое подмножество G, /i - нормированная мера Хаара на О.
Через хНп = {х + Яп, х Е О} обозначим смежные классы по подгруппе Яп ( + - групповая операция). Локажем лемму.
Л Е М М А . Для любых чисел А > О, £: > О найдется натуральное число N такое, что для любого смежного класса хНп, N, любых чисел (J > 0; Я; О < | Я | < Л и любого целого \ > п существует полином
mi — l
j=mx обладающий свойствами
1) ll^ill < ^; < i < - 1;
2) P{t)=^0,teG\xHn]
3) \p{t)\^\B\,texHn;
4) 5 • — < 5, где s - число всех смежных классов zHi, z G хНп, mi
таких, что \P{t)\ ф \В\ при t е гНь
Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Число N найдем из условия
А/тм<е. (3)
Подберем такое /, что
^ • - < * . (4) Пусть {yi} - набор элементов из G такой, что классы у,-Ял Г\У]Н\ = 0 ,
при г ф j , и \Ji{yiHx) = хНп- Определим
О, teG\xHn\
P{t) =\ -В, teyiH),\ zi'H,, Vi € хНп, (5)
П Р И М Е Р Н У Л Ь - Р Я Д А П О П Е Р И О Д И Ч Е С К И М М У Л Ь Т И П Л И К А Т И В Н Ы М С И С Т Е М А М 5
где zi'Hi = - iHi : Zi = z ' + у.Яд, z ' G у.Ял С хНп}.
Докажем, что P{t) есть искомый ПОЛРШОМ ПО данной системе. Имеем
JG JxHn
Если j < m\, TO (fj {t) G Яд-, поэтому
Для последнего рштеграла получим
/ p{t)dfi{t)= 1 p{t)d,i{t)+f Pit)d,i{t)
При j > mi имеем
J2 f p{t)^Pi{t)dii{t)
...u.r-^u ^u.r-..u. J zHi ViHxQxHnzHiCyiHx
Таким образом, в разложение P{i) входят только те функции
<pj{t)i
для которых т\ < j < mi, и, значит, P{t) является полршомомвида (2).Свойства 2), 3), 4) полинома P(t) непосредственно следуют из (5). Те
перь проверим свойство 1). Пусть j - такое, что т д < j < mi. Тогда
найдется г, удовлетворяющее соотношенР1ям X<r<lHmr<j< mr+i.
Тогда
aj{P, vHr) = О, uHr С жЯп, если иНг П z^'Hi = 0 . (6) Пусть z'/Hi С 1УНГ] В силу неравенства тг < j < mr^i число j предста- вимо в виде:
г
9 = 0 Тогда
Mt) = П I'PmM"'^'^ = Cr,i • при t е иНг,
q=0
6 где
Н . А . Б О К А Е В . М . А . Н У Р Х А Н О В
, 0 )
Обозначим
Тогда
/ P{t)v^{t)dn{t)
JvHr
=
Cr,r\l
P{t)dti{t)По определению, = -В при t € г'Яг \ т]"Нг+\, поэтому для по
следней суммы в (7) имеем:
.0)
•I
Е 1/ Р(Щ<РгггМ)Г" d.^it)\
= -я-мя.+1) ['PmAtr'''^ (8)
Далее, так как T]"Hr+i = z'/Hi U {т)"Н \ z^'Hi), получим (см. (5)):
/ P{t)d,iit)= f P{t)df,{t)+ f Pit)dfiit)
J i _
(9)Тогда из
(7H9),
с учетом равенства / ^ ^ <pn{t)dii{t) = О при П ^ ГПг (см. [1, с. 89]), получим/ Pit)^jit)dfiit)
_ \\в\\
П Р И М Е Р Н У Л Ь - Р Я Д А П О П Е Р И О Д И Ч Е С К И М М У Л Ь Т И П Л И К А Т И В Н Ы М С И С Т Е М А М 7
Следовательно (см. (1)),
\ajiP,uHr)\ = 1
f Pit)^j{t)duit)
JvHr KHr) Далее, согласно (1),
(10)
ем:
В частности, для коэффициентов Фурье ау ( / ) функции / ( ^ ) G L{G) име- (12)
Тогда ИЗ (6), (10), ( И ) следует, что
^^{Hr)
| а , ( Р , у . Я л ) | =
КНх) Е ч{Р,,^Нг)
(13) Откуда и из ( И )
К ( Р , х Я „ ) | = /^(Ял)
/ / ( Я „ ) Е ^ЛР,уН).)
уНхСхНп
и{Нх)_ гпх. ,
Окончательно, в силу (12), (13) и (3),
JG JxHn
= fi{Hn) \aj (P, Hn)\ < — < — < —
Лемма доказана.
Для доказательства теоремы нам нужна еще следующая
8 Н . А . Б О К А Е В , М . А . Н У Р Х А Н О В
оо
Л Е М М А А (см. [4]). Если у ряда по системе {(pn{t)}'^^Q, ^п<Рп{^)^
п=0
с условием lim an = О, некоторая подпоследовательность частич-
n-f оо
них сумм вида
сходится к нулю при ecext из некоторого открытого множества R, то этот ряд сходится к нулю на этом множестве.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ. Возьмем последовательность чисел Ск,
€к > 0^ к = 1,2,3,..., 61 = 1, lim Sk = О и построим последователь- ность полиномов {Qk{t)}iC помощью которой будем строить нуль-ряд по системе {^п(0}^=о-
Последовательцость полиномов {Qk{t)} построиминдушщейпо к. По
ложим Qi{t) = £i для всех t Е G. Пусть построены все полиномы Qj{t) при всех j < к — 1и пусть
rfco-i
- максимальный ранг входящих вQA:-I(0
функцийсистемы
{^n (0 }nLo-
ПостроимQA ;(^).
Обозначим i = iAk^i = max tea
По доказанной лемме для чисел Ак^г ибк-г найдем Nk и возьмем число пк = max(iVfc,rA:_i). Пусть Ек-г = {Jl'lTi^ i^s - совокупность множеств, на которых
и пусть
xHn,.j, = {а^Яп,: о: Е ^ f c - i , g = 1 , 2 , 3 , . . . , gjb} ,
где ^fc - количество xHnj^, входящих Ek^iB силу неравенства ^ Гк-i множества xHuj^^j^ лежат целиком внутри множества постоянства функ
ции
Yl^Zi
Qj{^)- Положим к-1в, = Х) д , ( х Я п , . , д . i = i
Из определения чисел Ak^i и Bq следует, что О < | Я | < Ak-i- , Применим лемму последовательно ко всем xHukjq ^ с е л 5к = Bq.Xq^i = Ai = rifc, g = 1,2,3,... получим полиномы Pg(f) = YlT=rni ^j^ji'^)^ я. = 1 , 2 , . . . , gjfe. Причем полиномы Pq{i) не содержат подобных членов при различных q. Положим
Qkit) = Y.P,{t).
«=1
П Р И М Е Р Н У Л Ь - Р Я Д А П О П Е Р И О Д И Ч Е С К И М М У Л Ь Т И П Л И К А Т И В Н Ы М С И С Т Е М А М 9
Из построения полиномов {Qkii)} следует, что максимальный ранг функ
ций системы {(pn{t)}'^-QiBxomnmfXB Qk{t), меньше максимального ранга функций из Qk-\-i (О ^ коэффициенты полинома Qjb(t) по модулю не превос
ходят €к. Отсюда заключаем, что сумма
YlJLi
Qj (О задает ряд по систе-ОО
Y^mii) (14)
j=o с частичными суммами
к
= (15) и коэффициентами, удовлетворяющими условию
limy-^оо
а j = 0. Крометого, из определения чисел Bq следует, что к
Y QjW = Bq-i- Pq{t) при t е xHn,.jq i=i
и
к
J2Qj{t) = 0 вне Ek-i.
i=i
К тому же, по построению полиномов Qk{t)H свойств 2)-4) леммы имеем, что если Ек = Us-i ' - множество, на котором Qj ( 0/ 0 , то Ek^i С Ек и J2l=i К^з) < Sk' Отсюда заключаем, что множество Е = HfcLi имеет меру нуль и частичные суммы (15) сходятся к нулю вне Е. Значит, на основании леммы А можно сделать вывод, что ряд (14) сходится к нулю вне Е. Итак, множество Е удовлетворяет требованиям теоремы. Теорема доказана.
Карагандинский государственный университет Поступило 02.12.92
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Агаев Г . Н . , Виленкин Н . Я . , Лжафарли Г . М . , Рубишптейн А . И . Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нульмерных группах. Баку: Элм, 1981.
2] Б а р и Н . К . Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961.
3 Шнейдер А . А . О единственности разложений по системе функций Уолша / / Матем. сб. 1949. Т. 24. С. 279-300.
[4] Скворцов В. А . О нуль-рядах по некоторой мультипликативной системе / / Вестник МГУ. Сер. матем., мех. 1979. Ш. С. 63-67.
[5] Тузиков а И . И . Об одном примере нуль-ряда по ортогональной мультипли
кативной системе функций / / Изв. вузов. Матем. 1985. KsS. С. 52-59.
[6] Скворцов В. А . Матем. заметки. 1977. Т. 21. К^З. С. 335-340.
