ОБ ОДНОМ ПРИЛОЖЕНИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ УРАВНЕНИЙ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ

УДК 519.55

ОБ ОДНОМ ПРИЛОЖЕНИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ УРАВНЕНИЙ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ

Айтуғанова А.

Южно-Казахстанский государственный университет им. М.О. Ауезова, Шымкент Научный руководитель – д.ф.-.м.н., доцент Шалданбаев А.Ш

1. Постановка задачи. Пусть Ω⊂R² область на плоскости ограниченный отрезками: AB:x=0.0≤t≤1; BC:t=1.0≤ x≤1; CD:x =1.0≤t≤1; DA:t=0,0≤x≤1. Через

)

12

( Ω

C

обозначим множество функций u(x,t) дважды непрерывно дифференцируемых

по x и один раз непрерывно дифференцируемых по

t

в области

Ω

. Под границей области

Ω

понимаем совокупность отрезков

. CD AD AB∪ ∪

=

Смешанная задача. Найти решение уравнения

) , ( t x f u u

Lu =

_t

−

_xx

=

(1.1) удовлетворяющее граничным условиям:

,

0=0

=

ut (1.2) .

1 0

0 = ₌ =

= x

x u

u (1.3) Определение 1.1. Под регулярным решением задачи (1.1)-(1.3) будем понимать функцию u∈C¹²(Ω)∩ C(Ω) обращающую в тождество уравнения (1.1) и краевые условия (1.2)-(1.3).

Определение 1.2. Функцию

u ∈ L

²

( Ω )

назовём сильным решением начальной задачи (1.1)-(1.3), если существует последовательность функций u_n∈C^1.2(Ω)∩C(Ω) и удовлетворяющая краевым условиям (1.2)-(1.3) такая, что

{ } u

n и

{ } Lu

n сходятся в

L

²

( Ω )

соответственно к u и f .

Определение 1.3. Краевая задача (1.1)-(1.3) называется сильно разрешимой, если сильное решение задачи существует для любой правой части

f ( x ) ∈ L

²

( Ω )

и единственно.

Целью настоящей работы является доказательство сильной разрешимости смешанной задачи (1.1)-(1.3), а также разложение в ряд Фурье сильного решения этой задачи.

Отметим, что в другой постановке эта задача решена многими авторами [1, стр. 451], которые рассматривали задачу как дифференциальное уравнение в гильбертовом пространстве

L

²

( 0 . 1 )

, в отличие от них мы рассматриваем задачу как оператор, действующий в гильбертовом пространстве

L

²

( Ω )

.

2. Вспомогательное предложения.

Нашей смешанной задаче (1.1)-(1.3) соответствует линейный оператор

xx

t

u

u

Lu = −

(2.1)

{

^{( ) ( ); , 0}

}

^.

)

( 0 0 1

2 .

1 Ω ∩ Ω = =

∈

= u C C u_t= u_x= u_x= L

D (2.2)

Исследуем спектральные свойства этого оператора.

Лемма 2.1. Для оператора L существует обратный оператор

−1

L

, который вполне непрерывен в пространстве

L

²

( Ω )

.

Лемма 2.2. Если оператор S определен формулой ) 1 , ( ) ,

(x t u x t

Su = −

то оператор SL является симметрическим оператором в пространстве

L

²

( Ω )

.

Лемма 2.3. Пусть

T

- плотно определенный оператор в гильбертовом пространстве

H

. Тогда, если

T

допускает замыкание и обратим, то T⁻¹ допускает замыкание и )

( )

(T ⁻¹ = T⁻¹ .

Лемма 2.4. Если Su(x,t)=u(x,1−t) , то оператор SL самосопряжен и обратим.

Обратный оператор (SL )⁻¹ самосопряжен и вполне непрерывен в пространстве

L

²

( Ω )

. 3. Основные результаты.

Теорема 3.1. Смешанная задача (1.1)-(1.3) сильно разрешима в пространстве

L

²

( Ω )

и это сильное решение имеет вид:

( , )* ( , )

) , (

, ,

t x u u

t Sf x

u _mn

n

m mn

∑

mn

= λ (3.1) гдеSf(x,t)= f(x,1−t), а u_m,n(x,t) и _{λm ,n} собственные функции и собственные значения спектральной задачи:

2 ,

2

x Su u t

u =

λ

∂

−∂

∂

∂ (3.2)

0

0 =

=

ut (3.3) .

1 0

0 = ₌ =

= x

x u

u (3.4) Литература

1. Михлин С.Г. Курс математической физики. – М.: Наука, 1968. – 576 с.

2. Тихонов А.Н., Самарский В.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 736 с.

Кальменов Т.Ш. Краевые задачи для линейных уравнений в частных производных гиперболического типа. – Шымкент: Ғылым, 1993. – 328 с.