МЕТОД ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ ШРИ РЕШЕНИИ СТАЦИОНАРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2000, том 40, № 4, с. 611-622

УДК 519.6:537.812

МЕТОД ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ

ШРИ РЕШЕНИИ СТАЦИОНАРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

© 2000 г. Л, А» Алексеева, С. С» Саутбеков

(480100 Алма-Ата, ул. Пушкина, 125, Ин-т математики, Казахстан) Поступила в редакцию 03.09.99 г.

На основе теории обобщенных функций разработан метод для решения стационарных крае­

вых задач для уравнений Максвелла. Построены сингулярные граничные интегральные уравнения и интегральные представления для векторов электрической и магнитной напря- женностей в случае полей, порождаемых действующими в среде переменными токами, для дифракционных задач на объемных и тонких структурах, а также пространственно-периоди­

ческих и плоских задач.

Следуя методике работы [1], строим решение стационарной краевой задачи для уравнений Максвелла в ограниченной области сначала в пространстве обобщенных функций, затем интег­

ральные представления векторов магнитной и электрической напряженностей через их гранич­

ные значения и, наконец, сингулярные интегральные уравнения для определения этих гранич­

ных значений. Рассмотрены задачи для электромагнитных полей, порождаемых как электриче­

скими, так и магнитными токами, дифракционные задачи на объемных и тонких структурах, а т а к ж е пространственно-периодические и плоские задачи. Отметим, что аппарат обобщенных функций позволяет естественным образом вводить представления для поверхностных токов, за­

рядов, поверхностной дивергенции и др., определение которых в классической электродинамике не удовлетворяет требованиям математической строгости [2]. Использование методов теории обобщенных функций значительно упрощает процедуру построения интегральных представле­

ний решений краевых задач, позволяет понизить требования на гладкость функций, строить син­

гулярные решения.

Рассматривается монохроматическое (стационарное) электромагнитное поле (£, Н) частоты со в ограниченной области S " c l R , порождаемое переменными электрическими и магнитными токами с заданной плотностью: f = j²,h}vx$(ri&t\ j ^H = (j⁴, j⁵, j⁶)exp(-i(Ot). Предполагается, что граничная поверхность S замкнутая, из класса поверхностей Ляпунова (см. [3, с. 400]) либо кусочно-гладкая, состоящая из ляпуновских поверхностей; п(х) - единичный вектор внешней нормали к S.

В е к т о р ы электрической и магнитной напряженностей Е, Н удовлетворяют системе стацио­

нарных уравнений Максвелла:

здесь 8, р - электрическая и магнитная проницаемости: Ime > 0, I m p > 0. Действующие о б ъ е м н ы е токи удовлетворяют следующим условиям непрерывности:

1. П О С Т А Н О В К А З А Д А Ч И

/есоЕ + r o t # = / , r o t £ - /рсоЯ = j^H\ (1.1)

}е C(.S + S~)nC^l(S~)

[п(х),Е(х)] = js(x) для хе S _(1.2)

(первая краевая задача); либо

[п(х),Н(х)] = fs(x) для хе S (1.2)'

(вторая краевая задача).

Здесь [а, Ь]: (а, Ь) - векторное и скалярное произведения. Требуется построить решения этих краевых задач. ..

Замечание 1. Часто вместо этих граничных условий задают касательные составляющие поля Е или Н на S. Легко видеть, что эти условия эквивалентны (1.2) или (1.2)'.

К а к известно (см. [4, с. 44]), соответствующая поставленным условиям однородная краевая задача (/ = 0J^S - 0) имеет единственное нулевое решение, если Ime > 0, I m p > 0. Если е, р - дей­

ствительные положительные константы, то она может иметь при некоторых частотах ненуле­

в ы е решения. Такие со называют резонансными частотами.

Обозначим через р^£, р ^н о б ъ е м н ы е плотности электрических и магнитных зарядов:

e d i v £ = р Е , - p d i v t f = ря. (1.3)

Взяв дивергенцию в (1.1), получим закон сохранения зарядов для монохроматических полей, к о т о р ы й будем использовать далее для удобства выкладок:

/сор* = d i v / , *соря = d i v / . (1.4)

Решение поставленных краевых задач будем называть классическим. Для их определения ис­

пользуем метод граничных интегральных уравнений (МГИУ). Для построения Г И У воспользу­

емся аппаратом теории обобщенных функций, следуя [1].

2. П О С Т А Н О В К А З А Д А Ч И В П Р О С Т Р А Н С Т В Е О Б О Б Щ Е Н Н Ы Х Ф У Н К Ц И Й Введем пространство обобщенных функций D'⁶ (Ш ) = {(щ(х),..., wз з ⁶(x)),XG R }, определенных

з

на пространстве бесконечно-дифференцируемых ф и н и т н ы х ф у н к ц и й D⁶(U ) = { ( < P i( x ) , Ф б ( * ) ) >

х е 1R³}. <p^A.(.v) е D (см. [3, с. 85]).

Обозначим Ог(х) = {у: \\х - у\\ < е } , Ге(х) = {у: \\х - у\\ = е } , соответственно знаку введем 0^ =

= O^z(x) n S* Г * = Г^г(х) п S⁺ = [R³ - (S~ + S). Введем характеристическую функцию множества S~:

h~^s(x) =

1, хе S ,

0, xeS\ (^2Л)

^ а ( х ) , х е 5,

где а(х) = lim V ( Oe (x))/V(0E(x)), V(...) - евклидов о б ъ е м указанного множества. Легко видеть, что

£ - > 0

4ка(х) = Q(x) - телесный угол касательного к S конуса с вершиной в точке х. Если S - гладкая поверхность, то он совпадает с касательной плоскостью и а(х) = 1/2.

Используя правило дифференцирования обобщенных функций, получаем очень полезное для дальнейших выкладок равенство

djtfixWsix)) = fj(x)h-^s(x)-njf(x)8^s(x) V / € C^l(S-) + C(S) (2.2) dj = d/dxj,fj = Э/, bs(x) - сингулярная обобщенная функция - простой слой на 5 (см. [3, с. 98]).

Сформулируем исходную краевую задачу в пространстве D'6 (R3).

Пусть (£, Н) - классическое решение краевой задачи. Введем функции Ё = h'^sE, Н = h~^sH, ана- з

логично строим продолжение на U для других функций и будем их рассматривать к а к обобщен-

3

ные на D'⁶ (К )•

i

М Е Т О Д О Б О Б Щ Е Н Н Ы Х Ф У Н К Ц И Й 613

л л 3

К а к следует из (1.1) и (2.2), {Ё, Н } удовлетворяют на D'⁶ (Ш ) системе М{д^х) = j(x)+ [п, [ Я ] ]

[п, [Ё]]

5^s( x ) , (2.3)

М(д^х)

=

^{(Go)nm = -e}nmfil, П, ТП, I = 1, 2, 3 ;

(2.6) G⁰ -г'|1(0/

здесь в векторном произведении стоят скачки на поверхности 5:

[Ё] = Е

⁺

-ЕГ = -E\

^s

, [Н] = Н

⁺

-Н~ = -H\

^s

, (2.4)

/ - единичная (3 х 3)-матрица, е^ппй - антисимметричный единичный псевдотензор Леви-Чевйта:

[п, Я ] , = e^lmkn^mH^k (l,m,k= 1, 2, 3). Всюду по одноименным индексам в произведении проводится суммирование от 1 до 3. Заметим, что формула (2.3) верна и для поверхности S с краем.

Уравнения для зарядов (1.3) в D'⁶ (Щ ) имеют вид

e d i v £ = р^Е + г(п, [Ё])Ь8(х)⁹ - p d i v t f =: р^я- р ( п , [ # ] ) 5⁵( х ) , (2.5) где первые слагаемые справа соответствуют объемным зарядам, а вторые - описывают поверх­

ностные электрические и магнитные заряды pf, p f .

Взяв дивергенцию в (2.3), получим закон сохранения заряда в пространстве обобщенных функций:

/со(р^£ + г(п, [Ё])Ь⁸(х)) = / £ d i y / + (/i, [f])b^s(x) + div([n, [ Я ] ] 5⁵( х ) ) , m(p^H-VL(n,[H])b^s(x)) = / z - d i v / + ( ^ , [ f ] ) 6⁵( x ) + d i v ( [ n , [ £ ] ] 5⁵( x ) ) . С учетом (1.4) получим условия на поверхностные токи и заряды:

d i v ( [ n , [H]]b^s(x)) = [i©e(#i, [Ё])-(п⁹ [f ] ) ] 5⁵( х ) , (2.7)

div([n, [ £ ] ] 8⁵< * ) ) = Н с о р ( и , [ Я ] ) •+ ( n , [ f ] ) ] 5⁵( * ) . (2.7)' Ощределеиие, Назовем поверхностным ротором и поверхностной дивергенцией вектора Е

простые слои вида

r o t⁵£ = [п, [E]]b^s(x)⁹ div^sE = (л, [E])b^s(x).

И з (2.3) следует, что функция r o t⁵# описывает поверхностные электрические токи на 5, а rotsis - магнитные (сравни с (1.1) и краевыми условиями). И з (2.5) следует, что div^sE описывает поверхностные электрические заряды на 5, a div^sH - магнитные заряды.

Для экранирующей поверхности отсутствуют магнитные заряды и токи

d i v⁵# = 0, rot^sE = 0 (2.8)

либо (при отсутствии электрических зарядов и токов)

div^sE = О, r o t⁵# = 0. (2.8)'

И з (2.7), (2.7)'следует, что для этого необходимо, чтобь1 на 5, соответственно,

d i v⁵/ = 0 либо d i v⁵/ = 0. (2.9)

Если учесть временной множитель, то закон сохранения для поверхностных зарядов, к а к сле­

дует из (2.7) можно записать в виде, подобном соотношениям Максвелла:

+ divjf + d i v⁵/ = 0, p^Es = e d i v^s£ , f^s = r o t⁵# ,

+ divjf + d i v⁵/ = 0 , ps = -JLt d i v⁵/ / , f^s = rot^sE.

Заметим, что все введенные здесь точные определения поверхностных токов и зарядов через сингулярные обобщенные функции соответствуют их физическим представлениям. В физичес­

кой литературе (см. [ 2 , с. 1 9 0 ] , [ 5 , с. 1 8 0 ] ) "поверхностной дивергенцией" и "ротором" называют плотности введенных выше соответствующих обобщенных функций, к о т о р ы е обозначают R o t £ = [л, [£]], D i v £ = (л, [£]),

з

Построим решение ( 2 . 3 ) на D'⁶ (R ), которое будем называть обобщенным.

3 . Р Е Ш Е Н И Е К Р А Е В О Й З А Д А Ч И В D'⁶(U)

Обобщенное решение ( 2 . 3 ) строится с помощью тензора Грина G(JC), который является реше­

нием уравнения

Щд^х)С = /^б6 ( х ) ,

удовлетворяет условиям излучения на бесконечности и имеет вид [6]

( 3 . 1 )

G = Ly, L =

( • - \

- е G^x -G⁰ К _-G0

Ц

^G,

, G^t = г'ецсо/ + г'ю V²,

V = (Э„Э^т), п,т = 1, 2 , 3 , у = - ( 4 я Д ) exp(ikR).

Здесь 8(х) - обобщенная дельта-функция, R = \\х\\, к = (й/с, с = ( Е ( Х ) "1 / 2, 1т - единичная матрица по­

рядка (т х т), \\i(R) - волновая функция - фундаментальное решение уравнения Гельмгольца (Д + Г ) у = 5 ( х ) . ( 3 . 2 )

Теорема 1. Если j^s (х) е L ^ S ) , j^s (х) е L ^ S ) , то решение уравнения ( 2 . 3 ) на D⁶(R ) представи­

ло в виде

Ё = Е⁰ + Е°-[Чу*1п,[Ё]]]Ь³-ЦийЩ* [n,[H]]6^s + Vy*(n,[E])b^s, Я = Я⁰ + Я⁰ - [V\|/ * [п, [ Я ] ] ] 5⁵ + г'есоу * [n, [£]]8^S + V\|/ * (п, [ Я ] ) 5⁵,

Е°(х) = - i c o | x ( / * у ) + e"¹V\|> * р^Е ~ [V\|/ * f],

Н°(х) = г'(0£(7'^Я * \ | / ) - j i "¹ V y * р^н- [V\|/ *

где ( £⁰, Я⁰) - р е ш е н и е однородных (j = 0 ) уравнений ( 1 . 1 ) .

Доказательство. Используя свойство тензора Грина, решение ( 2 . 3 ) , с учетом ( 2 . 4 ) , можно представить в виде свертки:

= G *

;'(*)

+ G * ^{' [ я , [ Я ] ]Л} [п, [ £ ] ]

5^s(x) +

у Я⁰у

Используя представление G, получаем (с точностью до решения однородной системы) Ё = Е° + (/гсоГ'Уу * ([?], п)Ь⁵-[Vx|/ * [и, [ £ ] ] ] 6⁵-

- г ' ц ю у * [п, [ Я ] ] 8^Х + (/ею)"¹ V²\(/ *[п,[Щ]Ь³, Я = Я⁰- ( / ^ l ( o ) -¹V v ) / * ( [ f L " ) 5^s- [ V x | / * [ n , [ Я ] ] ] 6⁵ +

( 3 . 3 )

+ /£С0\|/ * [л, [ £ ] ] 5⁵- ( / р с о ) V \|/ * [л, [£]]5⁵,

МЕТОД ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 615 где через (ЕР, Н°) обозначены поля, порождаемые действующими объемными токами в Ш (см.

[6]), V = (Э^ъ Э², Э³). Здесь и далее [а * Ь], (а * Ь) - свертки в векторном и скалярном произведении, соответственно, векторов а и b: [а * b\ = е^Оу * Ъ^к, (а * Ь) = ц * ty.

Последние слагаемые в (3.3) можно преобразовать, используя (2.7), (2.7)':

V ^2V * [п, [Я]]8⁵ = V^¥ * div[/i, [Я]15⁵ = V^¥ * (i©e(,i, [£]) - (п, [f ] ) ) 8⁵,

V^{2 ¥} * [л, [ £ ] ] 6⁵ = V y * div[,i,'[£]]S⁵ = - V v * (icoji(n, [Я]) + (л, [ f ] ) ) 8^S.

Подставляя (3.4) в (3.3) и приводя подобные члены, получаем доказываемое утверждение.

Легко видеть, что каждая свертка существует в силу ограниченности носителя одной из со­

ставляющих ее функций и условий теоремы. Действительно, рассмотрим, например, последнюю свертку в первой формуле теоремы. Поскольку

( V^¥ * (п, [Ё])Ь⁸, q>) = (v.; * (л, [Ё])Ь⁸, Ф^;) = -(V * [£])6⁵, d i v⁹) =

= j | d i v 9 ( x ) j^¥( r ) n / j ) £ / j ) ^ ( y ) W ( x ) =

Пп+уЩМ

^{J V}( r ) d i v 9 ( x ) ^ ( x ) U ( y ) ^

R3 S S ^ suppcp

последний интеграл существует в классе суммируемых на S функций для всех ф е D³(U ). Анало­

гично это утверждение доказывается для других слагаемых.

Легко видеть, что при известных [п, [Ё]], [п, [ # ] ] на S формулы теоремы полностью опреде­

ляют решение задачи в S~.

Замечание 2. Отметим, что теорема 1 справедлива для электромагнитного поля в ограниченной обла­

сти при любых токах, описываемых обобщенными функциями, в том числе сингулярными. Кроме того, S может быть поверхностью с краем, тогда h^s (х) = 1. .

4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Для вывода интегральных представлений решения и Г И У построим интегральное представ­

ление характеристической функции. Верна следующая - Лемма 1. Справедливо

К(х) = *²j V ( r ) 4 V ( y ) +

j | ^ a S ( y ) ,

r=\\x-y\\.

s~ • s

Доказательство. Взяв свертку (3.2) с функцией h~^s, использовав равенство (2.2) и свойство дифференцирования свертки, получим

h~^s = k²\\f * h~^s-i\fj* п£⁵. (4.1)

Интегральная запись этой формулы для х <£ S имеет указанный в лемме вид. Покажем, что это равенств о сохраняется и для граничных точек в смысле определения (2.1).

Воспользуемся формулой Гаусса для потенциала двойного слоя уравнения Лапласа (см. [3, с. 405 ]), которую можно записать в виде

= (4КУ¹ j г~² ^^dSiy). (4.2)

S

Вычитая (4.2) из (4.1), для х <£ S получаем

0 = k

²

Ur)dV(y)

⁺

f № - J -

²

^ _ W ) . (4.3)

J J\dn(y) 4nr²dn(y)J

s~ s ~

где e(x -y) = (x- y)/r, = rtj = (Xj - y;)/r. Лемма доказана.

К а к следует из (3.4), (3.5) для решения краевой задачи необходимо определить (£, Н) на гра­

ничной поверхности S.

Теорема 2. Если при заданном со существует единственное решение (£, Н) краевой задачи, (Е, Я) е C(S + S~) n C^l(S~) и удовлетворяет условию Гёлъдера на S, то

hS(x)E(x) = £ ^ х ) + / р с о | \ | / ( г ) [ л ( } ; ) , Я ( > ; ) ] ^ Ы + s

' + у . р ! | { У>у ( г ) ( и ( у ) , В Д ) - ^

hS(x)H(x) = H\x)-ieajy(r)[n(y),E(y)]dS(y) + s

+ v . p . J { V^y\ | f ( r ) ( w ( y ) , Я ( у ) ) - [ V^y\ | f ( r ) , [n(y), H(y)]]}dS(y).

s Здесь У^у = ( Э^{У 1}, Э^{У з}, Э^{У з}).

При г — 0 : ~ -1/47ГГ, \|/'(г) ~ 1/4тсг2, поэтому равенство верно и для хе S, т а к к а к поверхно­

стный цнтеграл регулярный (со слабой особенностью). Поскольку для таких х интеграл (4.2) су­

ществует и равен ос(х), существует и поверхностный интеграл в (4.3) для Э\|//Эл. Перенося а(х) в (4.3) влево, получаем требуемое равенство. Лемма доказана.

Лемма 2. Для любых х

j[n(y),Vy(r)]dS(y) = 0. (4.4)

S

Для х е S интеграл сингулярный, понимается в смысле главного значения.

Доказательство. Пусть хе S~. Тогда интеграл в (4.4) регулярный. Используя формулу Остро- градского-Гаусса, получаем покомпонентно, в силу кососимметричности,

e^kjljnXy)yVj(r)dS(y) = e^k^\f^{r)dV{y) = 0"

Пусть хе S⁺ и S~ с О^А(0). Тогда аналогично получим

4j]ⁿi(y)\y,M)dS(y) = -ekjl J nl(y)\\f^J(r)dS(y) + e^kjl J ^лШУ(у) =

s . Ь\\=л o^A(0)-s~ , , , ^v

Если x e S, т о \|/'(r) ~ r~² при у — • x. Поэтому интеграл в классическом смысле не существует.

Найдем его главное значение.

Пусть х — е S,xe S~. Тогда

0 = lim 'ewfntWVjWdSiy) + l i m y ' ( £ ) f ' е ^ х * -уЩх* -y)dS(y) = v.p. \екпщ{у)^ j(r)dS(y),

5,

МЕТОД ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 617 Доказательство. Рассмотрим (3.3). в силу единственности решения Е⁰ = О, Я⁰ = 0. Интеграль­

ная запись сверток с учетом (2.4) имеет указанный в теореме вид, где все о б ъ е м н ы е интегралы существуют для любых х в силу (1.2) и слабой особенности подынтегральных функций, а поверх­

ностные интегралы - для х € S. Для х е S~ данное представление удовлетворяет системе (1.1) в классическом смысле по построению в силу (3.1) и леммы Дю Буа-Реймона (см. [3, с. 95]). Одна­

ко для х е S некоторые из интегралов становятся расходящимися. Покажем, что данное пред­

ставление сохраняется и в этом случае, если расходящиеся интегралы брать в смысле главного значения.

Расписав двойное векторное произведение и перегруппировав члены, запишем решение для хе 5"в виде

Е(х) = E\x) + JE(y)<^⁾dS(y)- s

-j[E(y), [п(у), V^{y V}( r ) ] ] d S ( y ) +

*>cojV(r)[n(y),

Щу)]Щу),

Н(х)r = H°(x) + JH(y)^dS(y)-

•\[Щу)Лп(у)Л^ууШЩу)-&^

( 4 . 5 )

( 4 . 6 )

Рассмотрим предел каждого слагаемого в (4.5), (4.6) при х —»- jt*j которые обозначим Е^к, Н^к со­

ответственно. Легко видеть, что в силу слабой особенности подынтегральных функций lim£*(jc) = £?(**), ПтН^к(х) = Н^к(х*), к = 0 , 3 .

X —> X* X —> X*

Поскольку \|/'(r) = 1/(47Сг²), интегралы Е^к, Н^к (к= 1,2) расходящиеся для х е S. Воспользуемся ре­

гуляризацией

Н\х*) = Я ( х * ) Н т

iPr^dS(y)+

Urn \[Н(у) - H(x^]^j^dS(y).

x->^x*Jdn(y) ^X^^X*J on(y)

S r s

Аналогично для E^l(x*). Первое слагаемое с учетом леммы 1 можно записать так:

Н\х*) = Н(х*) l-k²$y(r)dV(y) ; + J [ H ( y ) - H ( j : * ) ] | ^ d S ( y ) . (4.7)

Причем последний интеграл существует в силу гёльдеровости Я на S и (4,5) и его можно предста­

вить в виде

JH(y)i^dS(y) - H(x*)j$№dS(y) = JH(y)i^dS(y) - Н(х*) а(х) - k²fy(r)dV(y) s s s

Подставляя (4.8) в (4.7), получаем

. (4.8)

Н\х*) = Я ( х * ) ( 1 - а ( х ) ) + | я ( у ) ^ ^ а д . (4.8)'

lim \[E(yl[n(y),Vy(r)]]dS(y) = lim \[(Е(у) - £(**), [п(у\ V^(r)]]dS(y) =

' S S

= v . p J [ £ ( y ) , [ n ( y ) , V^V( r ) ] ] d S ( y ) . s

Складывая, перегруппируя и приводя подобные члены, получаем доказываемое утверждение теоремы.

Замечания. 3. Доказательства теорем сохраняются и для внешних задач, только в этом случае доста­

точно потребовать, чтобы j(x) = 0(R~^(l+b)), 5 > 0, при R — • ©о, а также ограниченность поля на 5 и ус­

ловия излучения имели вид

R(dE/dr-ikE) = 0 ( 1 / / ? ) , R(dH/dR-ikH) = 0(1/7?) при /? — оо. (4.9) Для таких задач область может быть также многосвязной.

4. Теоремы верны и для неограниченных S без края. В этом случае достаточно, чтобы j(x) = 0(R~^^{1 + 5)}), js (^х) ⁼ 0(R~^l) (j$ (х) = 0(R~¹)) при R — > - ©о ^и чтобы выполнялись ограниченность поля на S и условия (4.9). Доказательство проводится аналогично с использованием области ТУ = S~ П {х: /?</?*} при /?* — о о .

Для решения поставленных краевых задач следует подставить в интегральное представление решений известные значения поверхностных токов. В этом случае, легко видеть, что из системы выделяются три Г И У для определения граничных значений Н в случае первой краевой задачи либо Е в случае второй краевой задачи. В частности, для экранирующих поверхностей (2.8), (2.8)' верна

Теорема 3 . Если при заданном со существует единственное решение краевой задачи ( К З ) (£, Н) е C(S + S~) n C^l(S~) и,удовлетворяющее условию Гёлъдера на S,mo длях е S оно удовле­

творяет сингулярным ГИУ следующего вида:

дли первой КЗ

а(х)Щх) = H\x)-it(ojy(^r)^(y)dS(y) + v.pjV^yy(r)(n(y),H(y))dS(y),

S S

для второй КЗ

а(х)Е(х) = Е°(х) + i\l(ojy(r)j^Es(y)dS(y) + v.p.Jv,v(r)(n(y), E(y))dS(y).

s s

После решения Г И У по формулам теоремы 2 восстанавливается решение во всей области.

Заметим, что эти формулы ранее были получены другим способом Поджио и Миллером [2], [7].

Отметим также, что построенные Г И У в случае нулевых граничных условий и объемных то­

ков дают нелинейные соотношения для определения резонансных частот для внутренних задач.

П р и построении дискретного аналога такой системы при численной реализации найти их позво­

ляет исследование поведения определителя соответствующей системы линейных алгебраичес­

ких уравнений в зависимости от частоты.

5. П Р О С Т Р А Н С Т В Е Н Н О - П Е Р И О Д И Ч Е С К И Е С Т А Ц И О Н А Р Н Ы Е З А Д А Ч И В Ц И Л И Н Д Р И Ч Е С К И Х О Б Л А С Т Я Х

Предположим, что S - цилиндрическая поверхность, ось которой совпадает cz = x³,S~= {LtxR¹}, D - граница поперечного сечения ТУ е Ш - кривая Ляпунова, п = (п^ьп²,0). Пусть действующие токи периодичны по х³:

j = Л - * ) е х р ( ^ х³) , f^s = f^s(x)txp(i^x³), х = (х^ьх²). (5.1) Используя регуляризацию и лемму 2, получаем

МЕТОД ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 619 В этом случае решение т а к ж е периодично вдоль оси цилиндра и имеет аналогичный вид. Опре­

делить комплексные амплитуды поля Е(х), Н(х) позволяет

Теорема 4. Если классическое решение Е(х), Н(х) первой (второй) КЗ существует, единст­

венно и удовлетворяет условию Гёлъдера на D, то

а(х)Е(х) = Е\х) + (рсо/4) j #⁰( a r ) [ n ( y ) , H(y)]dS(y) -

D

- ( i / 4 ) v. p . J { £ ( y ) ( V ^ o ( o r ) , n(y)) - [E(y), [n(y), V^H⁰(or)]]}dS(y),

D

a(x)H(x) = H⁰(x)-(e(u/4)JH⁰(Gr)[n(y),E(y)]dS(y)-

D

-(1/4)у.р.|{Я(у)(У

⁵

Яо(ог),п(у))-[Я(у)ЛиЫ,У

^§

Я

⁰

(аг)]]}<И(у),

D

4E°(x) = - c o p ( f * H0(a\\x\\))-iE-lVH0(a\\x\\) * p * + i[VH0(o\\x\\) * ?], 4H°(x) = c o e ( f * H0(a\\x\\)) + щ1УН0(о\\х\\) * ря + i[S/H0(a\\x\\) * f ],

где свертка берется no хъ x2\ у = у2) , г = [(хх - ух)2 + (х2 - у2)2]112, = ( д ^ , дУ2, й;), р£ =

= h~D (x)edi\E, р Н = - й ^ (*)pdiv#, Я0( - ) = Я ^ (•) - функция Ханкеля I р о д а , a = (fc2 - ^2)1 / 2. При ^ = 0 теорема позволяет решать плоские стационарные краевые задачи (цилиндрические волны).

6. Д И Ф Р А К Ц И Я Э Л Е К Т Р О М А Г Н И Т Н Ы Х В О Л Н Н А О Б Ъ Е М Н Ы Х С Т Р У К Т У Р А Х Для таких задач поле падающей электромагнитной волны (£°, Н°) известно, удовлетворяет однородным уравнениям Максвелла. Представим решение (Е1, Я1) в виде падающей и отражен­

ных (Е, Н) волн:

Е¹ = Е° + Е, Н¹ = Н° + Н. (6.1)

Для него выполняются однородные условия (1.2)'. Следовательно, для определения (£, Н) полу­

чаем К З 1 с условием y'f = - [ n , £°], j = 0.

7. Д И Ф Р А К Ц И Я Э Л Е К Т Р О М А Г Н И Т Н Ь 1 Х В О Л Н Н А Т О Н К И Х С Т Р У К Т У Р А Х Для таких задач "дифракционная" поверхность S является поверхностью с краем Г, на кото­

рой электромагнитное поле терпит скачок.

Пусть поле падающей электромагнитной волны (£°, Н°) - решение однородных уравнений

3 3

Максвелла в IR - известно и (£°, Я°) е С\Ш ). Представим решение ( £ ' , Я1) в виде (6.1). Посколь­

ку ' • ' !•' [Е% = [E]^s, [H^l]^s = [H]^s, на граничной поверхности заданы либо

н

[п(х),[Е(х)]] = j^s(x) для хе S (третья К З ) , (7.1) либо

[п(х), [ Я ( х ) ] ] = j^s(x) для х е S (четвертая К З ) . (7.2)

В этом случае для определения (£, Н) служит

Теорема 5, Если S - поверхность Ляпунова с краем и при заданном со существует единствен­

ное классическое решение (£, Н) третьей (четвертой) КЗ, а скачки ([£], [Н]) е L^Y(S) и удовле­

творяют условию Гёльдера на любом замкнутом множестве Gcz(S- Г), то они удовлетворя­

ют уравнениям

0.5[Е] = iii(i>jy(r)[n(y),[H(y)])dS(y) +

S

+ v.p.J{V,V|/(r)(n(j), [Е(у)]) - [V^y\|,(r), [n(y), [E(y)]]]}dS(y), s

0.5[H] = ieo>jy(r)[n(y),[E(y)]]dS(y) + s

+ v.p.J{V^yW)(n(y), [H(y)]) - [ V ,^V( r ) , [«(у), [H(y)]]]}dS(y).

s

Доказательство. Обозначим через 5" поверхность, образованную из точек, отстоящих от S на расстоянии 8 (5' = {*': JC'- = JC + еп(х), х е S}. Поскольку S ^ поверхность Ляпунова, для достаточно малых 8 такую поверхность всегда можно построить. Обозначим через В~ область, заключенную между этими поверхностями и поверхностью S" = {х + хп(х), х е 5, 0 < т < 8 } , а через D - ее гра- ницу, D~ = Ш -В~. Обозначим Е^±(х) = \imE(x ± п(х)е) соответственно знаку.

£ - > 0

Пусть х е S. Применяя к Eh~^D(x), Hh'^D(x) рассуждения, аналогичные предыдущим, на основе теоремы 2 для хе (S - Г) имеем

0.5Е~(х) = v.p.l{(V^yy(r),n(y))E(y)-[E(y), [п(у), У ^ ( г ) ] ] } < В Д

D D

0^Н-(х) = у.р.1{(У^уЩг),п(у))Н(у)-[Н(у), [п(у), V^y^(r)]]}dS(y)-ie^^r)[n(yl E(y)]dS(y).

D D

Заметим, что для У = у + п(у)г: п(у') = -п(у),

V^yy ( / ) = ¥ ' ( ^ )^ЭГ(^^Х) = У ^ Й У -х) = У,\|/(г) + 0 ( 8 ) ,

lim

J { £ ( y ) ( V , v ^ J v ( ^ ) [ n ( y ) ^ ( y j ] ^ ( y )

•^(x1) Оь(х')

= J [-£⁺();)(У,\|/(г), + [E⁺(y), [ V^yv ( r ) , n(y)]]]dS(y) + iji© J V(r)[,i(y), Я⁺( у ) ] ^ ( у ) =

Оь(х) ' Ob(x)

=

^{0 . 5 £+( ; y ) +}

<9(5).

Интегралы по 5^м стремятся к нулю к а к регулярные, поскольку 5^м —>- 0. Переходя к пределу по

МЕТОД ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 621 5 —>• 0, получаем

0.5[ВД] = v!p"

D

0.5[Н(х)\ = v.p.j{V^{v V}(r)(ⁿ(v), r//(y)])-lV^vy(/-), [«(у), | Я ( у ) ] П } Л - ( у ) -

S

-i£(ajy(r)[n(y),\E(y))\dS{y).

D

Перегруппировав члены, получим утверждение теоремы.

Для определения поля вне S используем представление теоремы 1, где Е⁰ = О, Я⁰ = 0, а Я⁰) совпадает с полем падающей волны. .

Используя теорему 4, нетрудно доказать аналогичную теорему для пространственно-перио­

дических задач дифракции волн на тонких структурах. Здесь рассмотрим плоский случай: поле не зависит от х³ = 0).

Пусть S - цилиндрическая поверхность с краем, образующая которой и края параллельны оси Х³, а направляющая L - кривая Ляпунова (без граничных точек). В этом случае верна

Теорема 6 . Если при заданном соклассическое решение (Е, Я) третьей (четвертой) КЗ суще­

ствует, единственно и скачки [£], [Я] удовлетворяют условию Гёльдера на любом замкнутом множестве G с L, то они удовлетворяют уравнениям

0.5[Е(х)] = (\1(о/4)1н⁰(кг)[п(у)ЛЩу)]Шу)-

L

- (i/4)v.p.J{[E(y)](VH⁰(kr), п(у)) - [[E(y)l [п(у), WH⁰(kr)])}dL(y),

L

0.5[Н(х)] = ~(^/4)JH⁰(kr)[n(y),[E(y)]]dL(y)-

L

- (»74)v.p.J{[#(y)](Vtfo(*r), п(у)) - [[Щу)], [п(у), VH⁰(kr)]]}dL(y),

L

где х = (х^ь х²), у = (у^и Ут)> г = ((х^х - у^х)² + (х² - у²)²)^т, V = (Э^У1, д^Уг).

Для определения поля следует воспользоваться следующей теоремой.

Теорема 7. При условиях теоремы 6 для х£ L

Е(х) = Е° (x) + 0.25[i(u JH⁰(kr)[n(y),[H(y)]]dL(y)-

L

-0.25iv.p.j{VH⁰(kr)(n(y), [E(y)])-[VH⁰(kr), [п(у), [E(y)]]]}dL(y),

L

Щх) = H°(x)-0.25e(O JH⁰(kr)[n(y),[E(y)]]dUy)-

L

-0.25iv.p.J{Vtf⁰(*r)(/i(y), [H(y)])-[VH⁰(kr), [n(y), [H(y)]]]}dL(y).

L

Доказательство следует из теорем 4 и 6.

З А К Л Ю Ч Е Н И Е

Здесь не рассматриваются вопросы существования и единственности решений полученных систем интегральных уравнений. Вопрос этот нетривиален, так как ясно, что при задании только (£°, Н°) они определяют решение с точностью до решения однородных уравнений Максвелла.

Только задание условий на границе (например, касательных составляющих поля или токов со­

ответственно поставленным краевым задачам) выделяет по три Г И У , решение которых дает ре­

шение задачи, и то только для поверхностей Ляпунова без угловых точек. Наличие угловых то­

чек, ребер и краев, как известно, т а к ж е требует для выделения единственного решения опреде­

ленных асимптотических условий (типа условий Мейкснера), определяющих порядок роста напряженностей вблизи таких точек.

С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1. Алексеева Л А. Динамические аналоги формул Грина и Гаусса для решений волнового уравнения в Uⁿ х / //Дифференц. ур-ния. 1995. Т. 31. № 11. С. 1920-1921.

2. Вычислительные методы в электродинамике / Под ред. Р. Миттры. М.: Мир, 1977.

3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

4. ВайнштейнЛА. Электромагнитные волны. М.: Сов. радио, 1957.

5. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989.

6. Алексеева Л А., Саутбеков С.С. Фундаментальные решения уравнений Максвелла // Дифференц.

ур-ния. 1999. Т. 35. № 1. С. 125-127.

7. Численные методы теории дифракции // Математика. Новое в зарубежной науке. М.: Мир, 1982.

Вып. 29..