Л.Н.Гумилёва, Астана, Казахстан kazizat@mail.ru Шолпанбаев Б.Б

Метод послойного пересчёта

для решения обратных задач геофизики

А.Л. Карчевский

д.ф.-м.н., в.н.с. Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия karchevs@math.nsc.ru

работа поддержана грантом РФФИ 11-01-00105 и грнатом Минобрнауки РФ ГК № 14.7.40.11.0350 К.Т.Искаков

профессор, зав. кафедрой ВТ Евразийского национального университета им. Л.Н.Гумилёва, Астана, Казахстан

kazizat@mail.ru Шолпанбаев Б.Б.

докторант PhD Казахского национального педагогического университета им. Абая, Алматы, Казахстан

bahtygerey@mail.ru

Введение

Обратные задачи играют огромную роль в математическом моделировании и интерпретации на- блюдаемых данных. Что такое обратная задача? В общем виде это можно пояснить схемой: Т.е., если

известна причина и надо установить следствия, то это есть прямая задача, если известны следствия и надо установить причину этих следствий, то это есть обратная задача.

Математически можно обратную задачу сформулировать как Aq=g.

На практике очень часто обратная задача решается при помощи минимизации функционала невязки:

J[q] =||Aq−g||².

У этого способа решения обратной задачи есть один недостаток: скорость решения обратной задачи зависит от скорости решения прямой задачи, потому что во время минимизации функционала невязки приходится многократно (часто несколько тысяч раз) решать прямую задачу. Какие есть пути решения данной проблемы? Это

• создание суперкомпьютеров,

• распараллеливание алгоритмов,

• создание быстрых алгоритмов решения прямых задач.

Одному способу создания быстрого решения прямых задач и посвящена эта работа. Данный метод называется методом послойного пересчёта. На наш взгляд, это лучший метод для решения диффе- ренциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений второго порядка. Метод послойного пересчёта позволяет получить выражения в таком виде, что при пересчёте со слоя на слой ошибки вычислений не накапливаются.

Одним из первых технологичных алгоритмов послойного пересчета для решения дифференциаль- ного уравения второго порядка для горизонтально-слоистой однородной среды был алгоритм Тихонова А.Н. и Шахсуварова Д.Н. [13]. Однако он имел ограничения: при его численной реализации существо- вали выражения, записанные с участием экспонент, имеющих показатели с положительными действи- тельными частями, что приводило к накоплению ошибок округления при послойном пересчете.

Далее, идея послойного пересчета была реализована в следующем виде. Хорошо известно, что диф- ференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений второго порядка могут быть сведены с помощью специальной замены функций к дифференциальному уравнению Риккати или дифференциальному матричному уравнению Риккати. Замечательным является тот факт, что когда коэффициенты дифференциального уравнения Риккати или дифференциального матричного урав- нения Риккати являются постоянными, тогда они имеют решения, которые могут быть записаны в аналитическом виде. По всей видимости, впервые для построения численных алгоритмов, активно применяемых в геофизической практике, этот прием был использован в работе Дмитриева В.И. [6]

для дифференциального уравнения второго порядка для решения прямой задачи электроразведки.

Теперь уже стало общепризнано [17], что метод послойного пересчета является наиболее подходящим при численном решении обратной задачи при помощи метода минимизации функционала невязки в случае, когда среда является горизонтально-слоистой и однородной.

Процесс послойного пересчета имеет также название метода “прогонки”, который описан в работе Гельфанда И.М. и Локуциевского О.В. [5].

Идеи работы Дмитриева В.И. [6] развивались далее им и его соавторами для других задач электро- динамики (см., например, [7]). Для задач теории упругости эта методика была применена в работах Аккуратова Г.В. и Дмитриева В.И. [1, 2] для получения следа решения системы дифференциальных уравнений теории упругости на поверхностиz= 0. Авторы рассмотрели систему дифференциальный уравнений теории упругости для продольных и поперечных смещений для горизонтально-слоистой изотропной среды. В данном случае уже системы дифференциальный уравнений сводилась к диффе- ренциальному матричному уравнению Риккати. Замечательно то, что дифференциальное матричное уравнение Риккати, у которого матрицы-коэффициенты постоянны, также имеет решения, которые могут быть выписаны в аналитическом виде.

Далее свое применение для системы дифференциальных уравнений теории упругости алгоритм по- слойного перечета получил в работах Фатьянова А.Г. и Михайленко Б.Г. [14–16]. В работе [14] рассуж- дения ведутся для получения следа решения системы дифференциальных уравнений теории упругости для изотропной среды с поглощением, в работе [15] — для трансверсально-изотропной среды, когда ось бесконечной симметрии направлена по осиOz.

В работах автора [9, 10] представлен алгоритм для решения системы дифференциальных урав- нений теории упругости, а в работе [11] данная методика применена для уравнений Максвелла для горизонтально-слоистых сред любого вида анизотропии.

0.1 Метод послойного пересчёта для решения дифференциального ураве- ния второго порядка

Рассмотрим среду — n-слойную структуру с границами раздела zk, k = 0, N, z0 = 0; m-ый слой находится в интервале [zm−1, zm], последний N + 1 (подстилающий) слой есть [zN,∞). Физические свойства каждого слоя характеризуются величинами rk, то есть r — кусочно-постоянная функция переменнойz,0< z <∞.

Опишем метод послойного пересчета, использующий переход к дифференциальному уравнению Риккати, на следующем примере. Имеем следующую прямую задачу:

uzz−r²(z)u= 0, z∈[0,∞), (1)

uz|z=0= 0, u → 0 (z→ ∞), (2)

[uz]z=zk = 0, [u]z=zk = 0, (3)

[uz]z=z∗ = 0, [u]z=z∗ =f. (4)

Здесь точкаz^∗ — это точка, в которой находится источник,z^∗6=zk. Будем считать, чтоz^∗ ∈[0, z1], это никак не ограничивает нас, это предположение сделано для простоты и определённости.

Функцияr(z)является кусочно-постоянной функцией. Будем обозначатьrk — значения функции r(z) в интервале [zk−1, zk], точки zk — точки разрыва среды, k = 1, N, значение rN+1 будет со- ответствовать значению функции r(z) в полупространстве [zN,∞). Здесь использовано обозначение [u]zk=u(zk+ 0)−u(zk−0) для значения скачка функцииu(z)в точкеzk.

Введем функцииx(z)иs(z)следующими равенствами:

uz=xu, z∗< z <∞,

uz=su, 0< z < z^∗. (5)

Подстановка (5) в (1) приведёт нас к дифференциальным уравнениям Риккати x^′+x²=r², z∗< z <∞,

s^′+s²=r², 0< x < z^∗. (6)

Действительно,

uzz−r²u= (xu)^′−r²u=x^′u+u^′x−r²u=xzu+uzx−r²u= (x^′+x²−r²)u= 0.

Уравнения (6) — уравнения Риккати. Известно [8], что дифференциальное уравнений Риккати име- ет три решения. Дифференциальное уравнений Риккати с постоянными коэффициентами замечатель- но тем, что имеет решения, которые могут быть выписаны в аналитическом виде. В частности, два решения уравнения Риккати в каждом интервале[zk−1, zk](z∗< zk−1) имеют вид:

x(z) =±rk,

где Rerk≥0. Найдём третье решение. Введём новую функциюl(z)соотношением:

x(z) =l(z) +rk,

следовательно,l(z)удовлетворяет уравнению

l^′+l²+ 2rkl= 0

Введём функцию

w(z) = 1/l(z), которая удовлетворяет уравнению

w^′−2rkw= 1.

Это уравнение решается методом вариации произвольной постоянной, т.е.

w(z) =c(z)e^2rk(z−zk),

откуда

c^′(z)e^2rk(z−zk)= 1.

Находимc(z), потомw(z),l(z)и

x(z) =rk

2rke^2rk+c0

2rke^2rk−c0

.

Постояннуюc0находим, положив z=zk, и учитываяx(zk) =x^k, следовательно, x(z) =rk

[x^k+rk]e^2rk(z−zk)+ [x^k−rk]

[x^k+rk]e^2rk(z−zk)−[x^k−rk], z∈[zk−1, zk]. (7) Аналогичным способом получаем выражение для решения уравнения Риккати на интервале[zn−1, zn], если начальное условие находится в точке zn−1:

s(z) =rn

[sⁿ⁻¹+rn] + [sⁿ⁻¹−rn]e^{−2rn(z−zn−1)}

[sⁿ⁻¹+rn]−[sⁿ⁻¹−rn]e^{−2rn(z−zn−1)}. (8)

Из условий склейки (3) получаем:

[x]zk= 0, [s]zk= 0. (9)

Для полупространства[zN,∞)можно положить

x(z) =−rN+1. (10)

Действительно, решениеu(z)на полупрямой[zN,∞)имеет видce^−rN+1z, поскольку должно быть удо- влетворено второе краевое условие (2), тоx(z) =u^′/u=−rN+1.

Из (10) условий склейки следует (9), что известно x^N, следовательно, используя (7), можем най- ти решение уравнения Риккати на интервале z ∈ [zN−1, zN], и так далее, т.е. имеем рекуррентную формулу:

x^k−1 = rk

[x^k+rk]e^{2rk(zk−1−zk)}+ [x^k−rk]

[x^k+rk]e^{2rk(zk−1−zk)}−[x^k−rk], k=N,2,

(11) x^∗ = r1

[x¹+r1]e^{2r1(z∗−z1)}+ [x¹−r1] [x¹+r1]e^{2r1(z∗−z1)}−[x¹−r1].

Из первого краевого условия (2) и (5) следуетS|z=0=S⁰= 0, следовательно, из (8) получаем s^∗=r11−e^−2r1z∗

1 + e^−2rnz∗. (12)

Из условий склейки (5) в точкеz^∗ следует:

x^∗u|z=z_∗+0−s^∗u|z=z_∗−0= 0, u|z=z_∗+0−u|z=z_∗−0=f, откуда

u|z=z_∗+0= s^∗

x^∗−s^∗f, u|z=z_∗−0= x^∗

x^∗−s^∗f, (13)

т.е. получены начальные условия, чтобы решить дифференциальные уравнения (5). Рассмотрим ин- тервал[0, z^∗], из (5) имеем:

(lnu)^′ =s(z) ⇒ lnu¯

¯

¯

z z_∗=r1

Zz

z∗

1−e^−2r1λ

1 + e^−2r1λdλ ⇒ u(z) =e^r1(z−z∗)1 + e^−2r1z

1 + e^−2r1z∗ u|z=z_∗−0.

Следовательно,

u(0) =e^−r1z∗ 2

1 + e^−2r1z∗ u|z=z_∗−0. (14) Найдёмu(z)на интервале[zk−1, zk]. Из (5) следует:

lnu(z)¯

¯

¯

z zk−1

=rk z

Z

zk−1

[x^k+rk]e^2rk(λ−zk)+ [x^k−rk] [x^k+rk]e^2rk(λ−zk)−[x^k−rk]dλ,

откуда получаем

u(z) =e^{−rk(z−zk−1)} [x^k+rk]e^2rk(z−zk)−[x^k−rk]

[x^k+rk]e^{2rk(zk−1−zk)}−[x^k−rk]u^k−1, (15) гдеu^k=u|z=zk. Дляu^k, положив z=zk, напишем рекуррентную формулу

u^k=e^{rk(zk−1−zk)} 2rk

[x^k+rk]e^{2rk(zk−1−zk)}−[x^k−rk]u^k−1, k= 2,3...,

(16) u¹=e^{r1(z∗−z1)} 2r1

[x¹+r1]e^{2r1(z∗−z1)}−[x¹−r1]u|z=z_∗+0,

0.1.1 Порядок действий при нахождении u(0) Чтобы найтиu(0)действуем по следующей схеме:

• на полупрямой [zN,∞) положим x|z=zN+0 = −rN+1, в силу условий склейки (9) получаем x^N =−rN+1, следовательно, можем найтиx|z=zN−1+0;

• на интервале[zk−1, zk], поскольку знаемx^k, можем найтиx|z=zk−1+0, в силу условий склейки (9) имеемx^k−1, т.е. ведём пересчёт по рекуррентной формуле (11), следовательно, знаемx^∗;

• вычисляемs^∗ по формуле (12);

• вычисляемu|z=z_∗−0 по формуле (13);

• вычисляемu(0)по формуле (14).

Если необходимо знатьu(z)на интервале[zn−1, zn]продолжаем действия:

• вычисляемu|z=z_∗+0 по формуле (13);

• вычисляемu¹и u^k (k= 2, n−1) по рекуррентным формулам (16)

• вычисляемu(z)в точкеz (z∈[zn−1, zn]) по формуле (15).

Описанный выше алгоритм есть метод послойного пересчёта.

1 Градиент функционала невязки

Откуда взялась постановка прямой задачи (1)-(4)? Например, из уравнения акустики v⁻²wtt= ∆w− ∇ρ∇w+f(t)δ^′(z−z^∗).

Считаем, что плотностьρ=const. Сделаем преобразование Лапласа по временной переменной и пре- образование Фурье по горизонтальным переменным

u(ν1, ν2, z, p) =

∞

Z

0

e^pt

∞

Z

−∞

∞

Z

−∞

w(x, y, z, t)e^i(ν1x+ν2y)dx dy dt.

Здесь p=−α+iω — параметр преобразования Лапласа,ν1и ν2 — параметры преобразования Фурье по горизонтальным переменным, ν² = ν₁²+ν₂², тогда r² = ν²+p²/v² и f = f(p). Можно привести и другие примеры практических постоновок задач, следующих из сейсморазведки, электроразведки, акустики и т.д..

Cчитаем, что относительно решения прямой задачи (1)-(4) известна следующая дополнительная информация:

u|z=0=g(ν1, ν2, p). (17)

Будем считать, что скоростьv² в первом слое и на полупрямой[zN,∞)известна.

Обратная задача (1)-(4), (17) может решаться численно при помощи минимизации функционала невязки:

J[v²] =X

ω

|u(ν1, ν2,0, p)−g(ν1, ν2, p)|². (18) Придадим приращениеδv² функции v² (посколькуv² является кусочно-постоянной функцией, то естественно считать приращение δv² тоже кусочно-постоянной функцией), следовательно, функция u(z)получит приращениеδu(z). Если написать постановку прямой задачи дляu+δuи вычесть из неё постановку прямой задачи для функцииu, то получим

δuzz−r²(z)δu+p²

v⁴u δv²= 0, z∈[0,∞), (19)

δuz|z=0= 0, δu → 0 (z→ ∞), (20)

[δuz]z=zk= 0, [δu]z=zk= 0, (21)

Здесь было использовано

δr²= p²

v²+δv²−p² v² =p²

v²

µ 1

1 +δv²/v² −1

¶

≈ −p² v⁴δv². Рассмотрим приращение функционала невязки:

δJ[v²] = J[v²+δv²]−J[v²+δv²]

= X

ω

¡(u+δu−g)(u+δu−g)−(u−g)(u−g)¢

≈ Re (

X

ω

2(u−g)δu )

. (22)

Получим постановку сопряжённой задачи. С этой целью выпишем функционал Лагранжа

L[v²] =J[v²] + Re





 X

ω

∞

Z

0

(uzz−r²u)ψ dz





 и рассмотрим его приращение

δL[v²] =δJ[v²] + Re





 X

ω

∞

Z

0

µ

δuzz−r²δu+p² v⁴u δv²

¶ ψ dz







(23)

Рассмотрим интеграл

∞

Z

0

δuzzψ dz = X

k zk

Z

zk−1

δuzzψ dz−X

k

(δuzψ)¯

¯

¯

zk−0

zk−1+0−X

k

(δuψz)¯

¯

¯

zk−0 zk−1+0+

∞

Z

0

δuψzzdz

= X

k

δuz|z=zk[ψ]zk+ (δuzψ)|z=∞+ (δuψz)|z=0−X

k

δu|z=zk[ψz]zk+

∞

Z

0

δuψzzdz. (24)

С учетом (24) можно переписать (23):

δL[v²] = Re (

X

ω

2(u−g)δu )

+ Re





 X

ω

∞

Z

0

(δψzz−r²ψ)δu dz





 + Re





 X

ω

∞

Z

0

p²

v⁴uψ δv²dz







+ Re (

X

ω

à X

k

δuz|z=zk[ψ]zk+ (δuzψ)|z=∞+ (δuψz)|z=0−X

k

δu|z=zk[ψz]zk

!)

(25) Приравнивая к нулю слагаемые с независимыми приращениями, получим постановку сопряжённой задачи

ψzz−r²(z)ψ= 0, z∈[0,∞), (26)

ψz|z=0=−2¡

u(ν1, ν2,0, p)−g(ν1, ν2, p)¢

, ψ → 0 (z→ ∞), (27)

[ψz]z=zk= 0, [ψ]z=zk = 0, (28)

Рассмотрим приращение функционала невязки δJ[v²] = Re

( X

ω

2(u−g)δu )

= Re (

−X

ω

(ψzδu)|z=0

) .

Учтём

∞

Z d

dz(ψzδu)dz=−(ψzδu)|z=0+X

[ψzδu]zk+ (ψδu)|z=∞=−(ψzδu)|z=0

(последних два слагаемых равны нулю в силу условий склейки (21) и (28)), тогда δJ[v²] = Re





 X

ω

∞

Z

0

d

dz(ψzδu)dz







= Re





 X

ω

∞

Z

0

(ψzzδu+ψzδuz)dz





 .

Используя условия склейки (21) и (28), получим

∞

Z

0

ψzδuzdz=−

∞

Z

0

ψδuzzdz,

тогда

δJ[v²] = Re





 X

ω

∞

Z

0

(ψzzδu−ψδuzz)dz





 .

Заменимδuzz иψzz, используя (19) и (26), тогда

δJ[v²] = Re





 X

ω

∞

Z

0

p²

v⁴uψδv²dz







= Re





 X

ω





 X

k zk

Z

zk−1

p²

v⁴uψ(δv²)kdz













= X

k

Re





 X

ω







zk

Z

zk−1

p² v⁴uψ dz













·(δv²)k =X

k

J_k^′ ·(δv²)k =< J^′[v²], δv²> .

Получим аналитическое выражение для градиента функционала невязки J^′[v²] = (..., J_k^′, ...).

Обратим внимание, что решение сопряжённой задачи (26)-(28) может быть найдено при помощи метода послойного пересчёта, следовательно,

ψ(z) = e^{−rk(z−zk−1)} [y^k+rk]e^2rk(z−zk)−[y^k−rk] [y^k+rk]e^{2rk(zk−1−zk)}−[y^k−rk]ψ^k−1,

ψ^k = e^{rk(zk−1−zk)} 2rk

[y^k+rk]e^{2rk(zk−1−zk)}−[y^k−rk]ψ^k−1, k= 1,2,3..., (29) ψ⁰ = −2(u−g)/y⁰,

где функцияyвводится соотношениемψz=yψ. Нетрудно видеть, чтоx(z) =y(z)для всехz∈[z^∗,∞].

Учитывая это равенство, получаем jk = p²

v⁴

zk

Z

zk−1

uψ dz= p² v⁴

u^k−1ψ^k−1

¡[y^k+rk]e^{2rk(zk−1−zk)}−[y^k−rk]¢2 zk

Z

zk−1

e^{−rk(z−zk−1)}¡

[y^k+rk]e^2rk(z−zk)−[y^k−rk]¢2

dz

= p² 2rkv⁴

u^k−1ψ^k−1

¡[y^k+rk]e^{2rk(zk−1−zk)}−[y^k−rk]¢2Pk, где

Pk =³

[y^k+rk]²e^{2rk(zk−1−zk)}+[y^k−rk]²´³

1−e^{2rk(zk−1−zk)}´

−4rk(zk−zk−1)[y^k+rk][y^k−rk]e^{2rk(zk−1−zk)}.

Т.о., имеем

J_k^′ = Re (

X

ω

jk

) ,

т.е. получили аналитическое выражение для каждой компоненты градиента функционала невязки.

Т.о. получили градиент функционала невязки для поиска неизвестной скорости в слоях.

2 Доказательство дифференцируемости функционала невязки по координате точки разрыва среды

и её аналитическое выражение

Зафиксируем все точкиzk кроме однойzs.

Будем рассматривать кусочно-постоянную функцию(v²)⁺ с индексом⁺, если её значение в слоях совпадают со значениями функции v², все точки разрывовzk (k= 1, ..., s−1, s+ 1, ..., N) совпадают.

Функция(v²)⁺в точкеzsнепрерывна, а разрыв находится в точкеzs+τ. Также рассмотрим кусочно- постоянную функцию (v²)⁻ индексом⁻, если их значения в слоях совпадают со значениями функции v², все точки разрывовzk (k= 1, ..., s−1, s+ 1, ..., N) совпадают. Функция(v²)⁻в точкеzsнепрерывна, а разрыв находится в точке zs−τ (см. Рис. 1). Соответствующие новым коэффициентам решения прямой задачи (1)-(4) снабдим теми же индексами.

Для функционала невязки (18) нетрудно получить J[zs+τ]−J[zs]

τ =X

ω

³(u⁺−g)wτ+ (u−g)wτ

´, w^τ =u⁺−u τ .

Если существует

τlim→+0wτ =w, (30)

тогда получим

τlim→+0

J[zs+τ]−J[zs]

τ =j^′_s= Re (

X

ω

2(u(ν1, ν2,0, p)−g(ν1, ν2, p))w(ν1, ν2,0, p) )

. (31)

Докажем существование предела (30). Это будет предел справа.

Функцияwτ есть решение следующей задачи:

w^τ_zz−r²₊w^h−∆⁺(r²)

τ u= 0, (32)

[w^τ_z]z^k = 0, [w^τ]z^k = 0, k= 1, N , (33) [w^τ_z]zs+τ = 0, [w^τ]zs+τ = 0, (34) w^τ_z|z=0= 0, w→0 (z→ ∞). (35) Здесь введено обозначение ∆⁺(·), которое, например, для кусочно-постоянной функцииρ принимает следующие значения:

∆⁺(ρ) =











0, z < zs

−[ρ]zs, zs≤z≤zs+τ 0, z > zs+τ Нетрудно видеть, что

∆⁺(r²) = p² v₊² −p²

v² =p²∆⁺(v⁻²) =−p²[v⁻²]z^s.

Рис. 1:Пример кусочно-постоянных функций с индексами⁺ и⁻.

Введём новую функцию

m=w^τ_z, в этом случае можем записать следующую систему:

∂

∂zU^τ−AU^τ=F, (36)

где

U^τ=

· m w^τ

¸ , A=

·0 r⁺ 1 0

¸

, F =−1 τ[v⁻²]u

·1 0

¸

Пусть

U^τ|z=zs−0=

·ms

w_s^τ

¸ ,

тогда в силу условий склейки (33) получим

U^τ|z=zs+0=

·ms

w_s^τ

¸ .

Решение на интервале[zs, zs+τ]

U(z) =e^A(z−zs)U|z=zs+0−1

τ[v⁻²]zse^A(z−zs)

z

Z

z^s

e^{−A(λ−zs)}

·1 0

¸ u dλ,

следовательно,

U|z=zs+τ−0=e^Aτ

·m^s w^τ_s

¸

−1

τ[v⁻²]zse^Aτ

zs+τ

Z

z^s

e^{−A(λ−zs)}

·1 0

¸ u dλ.

В силу условий склейки (34) имеем

U|z=zs+τ−0=U|z=zs+τ+0. Запишем

U|z=zs+τ+0−U|z=zs−0= (e^Aτ−E)

·m^s w^τ_s

¸

−1

τ[v⁻²]e^Aτ

zs+τ

Z

zs

e^{−A(λ−zs)}u

·1 0

¸ dλ.

В этом равенстве можем перейти к пределу справа приτ →+0:

[U]zs =−p[v⁻²]zsu|z=zsε10,

отсюда и из (32)-(35) следунт постановка прямой задачи:

wzz−r₊²w= 0, (37)

[wz]zk= 0, [w]zk = 0, k= 1, ...s−1, s+ 1, ..., N, (38) [wz]zs =−p²[v⁻²]u|z=zs, [w]zs = 0, (39) w_z^τ|z=0= 0, w→0 (z→ ∞). (40) Если теперь рассмотреть

J[zs−τ]−J[zs]

τ =X

ω

³(u⁻−g)wτ+ (u−g)wτ

´, w^τ =u⁻−u τ .

и по схеме, приведённой выше, доказать существование предела

τlim→+0wτ, (41)

то окажется, что значения пределов (36) и (41) совпадают. Совпадение в некоторой точке левой и правой производной для непрерывной функции означает существование производной в этой точке.

Т.о. доказали существование производной функционала невязки по координате точки разрыва среды и получили для неё выражение

J_s^′=X

ω

2 Ren¡

u(ν1, ν2,0, p)−g(ν1, ν2, p)¢

w(ν1, ν2,0, p)o

, (42)

где функцияwесть решение задачи (37)-(40).

Осталось получить аналитическую формулу для вычисления этой производной. Введём новые функции следующими соотношениями:

uz=xu, zs< z <∞,

uz=tu, 0< z < zs. (43)

Значенияt^k иx^k пересчитываются по рекурентным соотношениям:

t^k = rk

[t^k−1+rk] + [t^k−1−rk]e^{−2rk(zk−zk−1)}

[t^k−1+rk]−[t^k−1−rk]e^{−2rk(zk−zk−1)}, k= 1, s t⁰= 0,

x^k−1 = rk

[x^k+rk]e^{2rk(zk−1−zk)}+ [x^k−rk]

[x^k+rk]e^{2rk(zk−1−zk)}−[x^k−rk], k=N, s+ 1, x^N =−rN+1.

В точке zs, благодаря условиям склейки (39), получаем w^s=w|z=zs−0=−p²[v⁻²]zs

u^s x^s−t^s, что позволяет найти решение второго дифференциального уравнеия:

w^k−1=w^ke^{−rk(zk−zk−1)} 2rk

(t^k−1+rk)−(t^k−1−rk)e^{−2rk(zk−zk−1)}, k=s,1.

Т.о. получено выражение для производной по координате точки разрыва среды. Можно объединить формулы градиента по скорости и производной по координате точки разрыва среды

J^′ = (J₂^′, ..., J_N^′ ,J₂^′, ...,J_N^′ )

и решать общую обратную задачу по определению скорости в слоях и местоположения точек разрыва среды.

Список литературы

[1] Аккуратов Г.В., Дмитриев В.И., Метод расчета поля установившихся упругих колебаний в слои- стой среде // В кн.: Численные методы в геофизике. М.: МГУ, 1979, с. 3-12.

[2] Аккуратов Г.В., Дмитриев В.И., Метод расчета поля установившихся упругих колебаний в сло- истой среде // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1984, т. 24, с.

272-286.

[3] Березин И.С., Жидков Н.П., Методы вычислений. М.: Наука, изд. 3-е, в двух томах, 1966, 632 c.

[4] Васильев Ф.П., Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988, 550 c.

[5] Гельфанд И.М., Локуциевский О.В., Метод “прогонки” для решения разностных уравнений. В кн.:

Годунов С.К., Рябенький В.С., Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1962. С. 283-309.

[6] Дмитриев В.И., Общий метод расчета электромагнитного поля в слоистой среде // Вычислитель- ные методы и программирование, 1968, т. 10, с. 55-65.

[7] Дмитриев В.И., Федорова Э.А., Численные исследования электромагнитных полей в слоистых средах // Вычислительные методы и программирование, 1980, т. 32, с. 150-183.

[8] Kamke E., Diffrentiatialgleichungen L¨osungsmenthoden und L¨osungen. I Gew¨ohnliche Diffrentiatial- gleichungen, 6, Verbesserte Auflage, Leipzig, 1959. Русский перевод: Камке Э., Справочник по обык- новенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.

[9] Карчевский А.Л., Метод численного решения системы упругости для горизонтально слоистой анизотропной среды // Геология и Геофизика, 2005, т. 46, № 3, с. 339-351. (Перевод: Karchevsky A.L., A numerical solution to a system of elasticity equations for layered anisotropic media // Russian Geology and Geophysics, 2005, v. 46, n. 3, p. 339-351.)

[10] Карчевский А.Л., Прямая динамическая задача сейсмики для горизонтально-слоистых сред //

Сибирские Электронные Математические Известия, 2005, т. 2, с. 23-61.

(pdf-файл: http://semr.math.nsc.ru/v2/p23-61.pdf)

[11] Каpчевcкий А.Л. , Аналитичеcкое pешение уpавнений Макcвелла в чаcтотной облаcти для гоpизонтально-cлоиcтыx анизотpопныx cpед // Геология и Геофизика, 2007, т. 48, № 8, с. 889- 898. (Перевод: Karchevsky A.L., A frequency-domain analytical solution of Maxwell’s equations for layered anisotropic media // Russian Geology and Geophysics, 2007, v. 48, n. 8, p. 689-695.)

[12] Карчевский А.Л., Горизонтально-слоистая среда: дифференцирование по координате точки раз- рыва среды // Технологии сейсморазведки, 2011, № 3, c. 17-22.

[13] Тихонов А.Н., Шахсуваров Д.Н., Метод расчета электромагнитных полей, возбуждаемых перемен- ным током в слоистых средах // Известия АН СССР, сер. Геофизическая, 1956, № 3, с. 251-254.

[14] Фатьянов А.Г., Михайленко Б.Г., Метод расчета нестационарных волновых полей в неупругих слоисто-неоднородных средах // Доклады АН СССР, 1988, т. 301, с. 834-839.

[15] Фатьянов А.Г., Нестационарные сейсмические волновые поля в неоднородных анизотропнных сре- дах с поглащением энергии. Новосибирск: Препринт ВЦ СО АН, 1989, № 857.

[16] Фатьянов А.Г., Полуаналитический метод решения прямых динамических задач в слоистых средах // Доклады АН СССР, 1990, т. 310, с. 323-327.

[17] Somersalo Е., Cheney M., Isaacson D., Isaacson E. Layer stripping: a direct numerical method for impedance imaging // Inverse Problems, 1991, v. 7, p. 899-926.