В области QT = Ω×(0, T) рассматривается система уравнений тепловой конвекции для жидкости Кельвина-Фойгта [1]: ~vt−ν∆~v+ (~v· ∇)~v+ gradp−χ∆~vt=f~(x, t) +g~γθ, ~γ div~v = 0, (2) θt−λ∆θ+ (~v· ∇)θ =q(x, t) (3) удовлетворяющий начальным и граничным условиям ~v|t=0 =~v0(x), θ|t=0 =θ0(x), (4) ~vn|∂Ω = 0,(rot~v×n)|∂Ω = 0, θ|∂Ω = 0

О скорости сходимости решений одной ε -

аппроксимаций уравнений тепловой конвекции для жидкости Кельвина-Фойгта

¹

Х. Хомпыш

Казахский национальный университет имени аль-Фараби e-mail: konat−k@mail.ru

Аннотация

В данной работе исследуется корректность однойε- аппроксимаций начально- краевой задачи тепловой конвекции для жидкости Кельвина-Фойгта . Доказана теорема существования и единственность в целом по времени решениеε- регуляри- зованной задачи и получены оценки скорости сходимости.

Пусть Ω⊂ R^m, m = 2,3 – ограниченная область с гладкой границей ∂Ω класса C². В области QT = Ω×(0, T) рассматривается система уравнений тепловой конвекции для жидкости Кельвина-Фойгта [1]:

~v_t−ν∆~v+ (~v· ∇)~v+ gradp−χ∆~v_t=f~(x, t) +g~γθ, ~γ = (0,0,1), (1)

div~v = 0, (2)

θ_t−λ∆θ+ (~v· ∇)θ =q(x, t) (3)

удовлетворяющий начальным и граничным условиям

~v|_t=0 =~v₀(x), θ|_t=0 =θ₀(x), (4)

~v_n|_∂Ω = 0,(rot~v×n)|_∂Ω = 0, θ|_∂Ω = 0. (5) Здесь v_n− нормальная составляющая вектора скорости ~v(x, t), p(x, t)− давление, θ(x, t)−температура,f~(x, t)−вектор плотности внешних сил,g(x, t)−плотность внешне- го теплового потока, ν, λ и χ положительные коэффициенты соответственно вязкости, теплопроводности и релаксации.

Хорошо известно [2]-[3], что при численном решении начально-краевых задач для уравнений движения вязких несжимаемых жидкостей возникают трудности, связанные с удовлетворением уравнению несжимаемости (2). Для преодоления этих трудностей как и в [4-6], предлагается следующая начально-краевая задача с малым параметром ε >0, аппроксимирующая задачу (1)-(5):

~v^ε_t −ν∆~v^ε+ (~v^ε· ∇)~v^ε−χ∆~v^ε_t +1

2~v^εdiv~v^ε−1

εgraddiv~ω^ε =f~(x, t) +g~γθ^ε, (6)

~

ω_t^ε=~v^ε, (7)

1Работа выполнена при поддержке грантового финансирования научно-технических программ и проектов Комитетом науки МОН РК, грант № 0696/ГФ, 2012г.-2014г.

θ^ε_t −λ∆θ^ε+ (~v^ε· ∇)θ^ε+ 1

2θ^εdiv~v^ε=q(x, t), (8)

~

v^ε|_t=0 =~v₀(x), ~ω^ε|_t=0 = 0, θ^ε|_t=0 =θ₀(x), x∈Ω, (9)

~

v_n^ε ≡~v^ε·n|_∂Ω = 0, (rot~v^ε×n)|_∂Ω = 0,

~

ω^ε·n|_∂Ω = 0,(rot~ω^ε×n)|_∂Ω = 0, θ^ε|_∂Ω = 0.

(10)

Здесь уравнение (2) аппроксимировано соотношением [2]:

εp^ε_t+ div~v^ε = 0, p^ε|_t=0 =p₀, (11)

а уравнение (1) следующим уравнением:

~v_t^ε−ν∆~v^ε+ (~v^ε· ∇)~v^ε−χ∆~v_t^ε+ 1

2~v^εdiv~v^ε− ∇p^ε=f~(x, t) +g~γθ^ε. (12) Очевидно, что возмущенная система (11), (12) после нахождения p^ε(x, t) из соотно- шения (11), и введения новой неизвестной функции

ω^ε ≡ Z t

0

~v^εdτ сводится к системе (6)-(8).

На протяжении всей работы мы будем использовать следующее обозначения функ- циональных пространств и нормы принятых в [6-7]:

H^k(Ω)≡W₂^k(Ω), k = 1,2...;

H_n¹(Ω)≡

u∈H¹(Ω) : un|_∂Ω = 0 ; H_n²(Ω)≡

u(x)∈H²(Ω)∩H_n¹(Ω) : (rot~u×~n)|_∂Ω = 0 ; J_n²(Ω)≡

u(x)∈H_n²(Ω) : div~u(x) = 0, x∈Ω .

Определение 1. Функции~v(x, t), θ(x, t) и ∇p(x, t) называются сильным решением задачи (1)-(5), если ~v(x, t) ∈ W₂¹(0, T;J_n²(Ω)), ∇p ∈ L∞(0, T;L₂(Ω)), θ_t(x, t) ∈ L₂(Q_T), θ(x, t) ∈ L_∞

0, T;

0

W₂¹(Ω)

∩L₂

0, T; W₂²(Ω)∩

0

W₂¹(Ω)

и система уравнений (1)-(3) и условия (4) выполняются почти всюду в Q_T.

Определение 2.Тройка функций(~v^ε, ~ω^ε, θ^ε)называется сильным решением задачи (6)-(10), если~v^ε(x, t), ~ω^ε(x, t)∈W_∞¹ (0, T;H_n²(Ω)),

θ^ε(x, t)∈L∞

0, T;

0

W₂¹(Ω)

∩L₂

0, T; W₂²(Ω)∩

0

W₂¹(Ω)

, θ_t^ε(x, t)∈L₂(Q_T) и удовлетво- ряют систему уравнений (6)-(8) и начальному условию (9) почти всюду вQ_T.

Для сильного решения начально-краевой задачи (1)-(5) и (6)-(10) имеет место следую- щая

Теорема 1.Пусть выполнены условия:

~v0(x)∈J_n²(Ω), θ0(x)∈

0

W₂¹(Ω), f, ft∈L2(QT), q(x, t)∈L2(QT). (13) Тогда начально-краевая задача (6)-(9) для уравнений тепловой конвекции со штра- фом (6) при∀ε >0имеет единственное сильное решение(~v^ε, ~ω^ε, θ^ε), и для этого решения справедлива оценка

k~v^ε(x, t)k²_W1

∞(0,T;H²(Ω))+kθ^εk²

L∞(0,T;

◦

W₂¹(Ω))

+ 1

εkqraddiv~v^εk²_L

∞(0,T;L2(Ω))+kθ^ε_tk²_2,Q

T+ +kθ^εk²

L2(0,T;W₂²(Ω)∩

◦

W₂¹(Ω))+ 1

ε² kqraddiv~ω^εk²_L

∞(0,T;L2(Ω))≤C₁ <∞,

(14)

и при ε→0, справедливы следующие предельные переходы:

~v^ε*~v в W_∞¹ 0, T;H_n²(Ω) ,

~

v^ε−→~v в W₂¹ 0, T;H_n¹(Ω) , θ^ε * θ^∗ в L_∞

0, T;

0

W₂¹(Ω)

, θ^ε*θ в L₂

0, T;W₂²(Ω)∩

◦

W₂¹(Ω)

, θ^ε_t*θt в L2(0, T;L2(Ω)),

θ^ε−→θ в L₂(0, T;L₂(Ω)),

−1

εdiv~ω^ε*p(x, t) в L∞ 0, T;H¹(Ω) ,

(15)

где тройка предельных функций (~v(x, t), θ(x, t), p(x, t))является сильным решением на- чально-краевой задачи (1)-(5), и для него справедлива оценка

k~vk²_W1

∞(0,T;H_n²(Ω))+kθk²

L∞

0,T;

◦

W₂¹(Ω)

+kθ_tk²_L

2(QT)+ +k∇pk²_L

∞(0,T;L2(Ω))+kθk²

L2

0,T;W₂²(Ω)∩

◦

W₂¹(Ω)

≤C₂. (16)

Здесь постоянные C₁ и C₂ -зависят от данных задач и не зависят от малого параметра ε.Символы*,*,^∗ −→означают соответственно слабое,∗–слабое и сильное сходимости, а k·k_2,Ω норму в L2(Ω).

Как и для уравнения движения жидкости Кельвина-Фойгта [6]-[7], доказательство теоремы 1 проводится на основе глобальных априорных оценок (14) методом Фаедо- Галёркина. Априорная оценка (14) в свою очередь получается аналогичным образом как и в [5]. Отметим, что в случаеq(x, t)≡0, существования и единственности решения начально-краевых задач (1)-(5) и (6)-(10) а также сходимости решения доказаны в работах [1], [5], но в этих работах оценки скорости сходимости не исследованы.

Далее получим оценку скорости сходимости сильного решения задачи (1)-(3) к силь- ному решению исходной задачи (1)-(5), оно является одним из основных результатов данной работы, которая необходима в численном решений.

Теорема 2. Пусть выполняются вся условия в теореме 1. Тогда справедлива следую- щая оценка скорости сходимости поε

k~v(x, t)−~v^ε(x, t)k_L

∞(0,T;H¹(Ω))+kθ(x, t)−θ^ε(x, t)k_L

∞(0,T;L2(Ω))+ k~v(x, t)−~v^ε(x, t)k_L

2(0,T;H¹(Ω))+kθ(x, t)−θ^ε(x, t)k_L

2(^0,T;W2¹(Ω))≤C₃ε¹².

(17)

Доказательство. Вычитаем из (1) и (3) соответственно (6) и (8). Обозначая через V~^ε(x, t) =~v^ε(x, t)−~v(x, t), T^ε(x, t) = θ^ε(x, t)−θ(x, t) их разности и после некоторых преобразований приходим к следующей системе:

V~_t^ε−ν∆V~^ε−χ∆V~_t^ε+ (~v^ε· ∇)V~^ε+

V~^ε· ∇

~v+ 1 2

V~^εdiv~v^ε+1

2~vdiv~v^ε =

=1

ε∇div~ω^ε+∇p+g~γT^ε(x, t), ~γ = (0,0,1),

(18)

T_t^ε−λ∆T^ε+ (~v^ε· ∇)T^ε+

V~^ε· ∇ θ+1

2T^εdiv~v^ε+1

2θdiv~v^ε= 0. (19) Теперь, умножим (18) и (19) соответственно на функции V~^ε и T^ε скалярно в про- странстве L₂(Ω). Интегрируя по частям некоторые слагаемые с учетом (2) и используя (7), (11) из (18), (19) получим соответственно следующие равенства

d 2dt

V~^ε

2 2,Ω

+χ

V~_x^ε

2 2,Ω

+ν

V~^ε

2 2,Ω

=

γ~gT^ε, ~V^ε

2,Ω− 1 2

~

vdiv~v^ε, ~V^ε

2,Ω−

V_k^ε~v_xk, ~V^ε

2,Ω,

(20)

1 2

d

dtkT^εk²_2,Ω+λk∇T^εk²_2,Ω =−1

2(θdiv~v^ε, T^ε)_2,Ω−(V_k^εθ_xk, T^ε)_2,Ω. (21) Сложив их, приходим к соотношению

d 2dt

V~^ε

2 2,Ω

+χ

V~_x^ε

2 2,Ω

+T^ε

+ν

V~^ε

2

2,Ω+λk∇T^εk²_2,Ω =

γ~gT^ε, ~V^ε

2,Ω

−

−1 2

~vdiv~v^ε, ~V^ε

2,Ω−

V_k^ε~v_xk, ~V^ε

2,Ω−1

2(θdiv~v^ε, T^ε)_2,Ω−(V_k^εθ_xk, T^ε)_2,Ω.

(22)

Далее, с помощью неравенств Коши, Гельдера и Пуанкаре [3]

k~uk_2,Ω≤C(Ω)k~u_xk_2,Ω,

каждое слагаемое в правой части (22) оцениваются следующим образом:

~γgT^ε, ~V^ε

2,Ω

≤

V~^ε

· |g| kT^εk ≤ 1

2kT^εk²_2,Ω+|g|² 2

V~^ε

2 2,Ω,

−1 2

~

vdiv~v^ε, ~V^ε

≤ 1 2

V~^ε 2,Ω

k~vk_4,Ωkdiv˜v^εk_4,Ω ≤ C²(Ω) 2

V~^ε 2,Ω

k∇~vk_2,Ωk∇div˜v^εk_2,Ω ≤

C²(Ω) 2

pC₂√ ε

V~^ε 2,Ω

kv~_xk_2,Ω ≤ 1 2

V~^ε

2 2,Ω

+ ε

4C₂C⁴(Ω)kv~_xk²_2,Ω,

−

V_k^ε~v_xk, ~V^ε

2,Ω

≤

V~^ε

2 4,Ω

k∇v~_xk_2,Ω ≤C(Ω)k~v_xk_2,Ω

V~_x^ε

2 2,Ω

,

−1

2(θdiv~v^ε, T^ε)

≤ 1

2kT^εk_2,Ωkθk_4,Ωkdiv~v^εk_4,Ω ≤ C²(Ω)

2 kT^εk_2,Ωk∇θk_2,Ωk∇div~v^εk_2,Ω ≤ C²(Ω)

2

pC₂εkT^εk_2,Ωkθ_xk_2,Ω≤1

2kT^εk²_2,Ω+ ε

4C₂C⁴(Ω)kθ_xk²_2,Ω,

−(V_k^εθ_xk, T^ε)_2,Ω

≤ k∇θk_2,Ω

V~^ε 3,Ω

kT^εk_6,Ω ≤

√4

48p

C(Ω)kT^εk_2,Ωk∇θk_2,Ω

V~_x^ε

2,Ω ≤λ

2kT^εk²_2,Ω+2√ 3

λ C(Ω)kθ_xk²_2,Ω

V~_x^ε

2 2,Ω. Поставляя полученных оценок в (22), приходим к неравенству

d dt

V~^ε

2 2,Ω

+χ

V~_x^ε

2 2,Ω

+kT^εk²_2,Ω

+ 2ν

V~^ε

2

2,Ω+λk∇T^εk²_2,Ω ≤

C₄

V~^ε

2 2,Ω

+χ

V~_x^ε

2 2,Ω

+kT^εk²_2,Ω

+C₅·ε

(23)

где C₄(t) = 2 max (

1,1

2 |g|²+ 1

,C(Ω)

χ kv~_xk+ 2√ 3 λ kθ_xk²

!) , C₅(t) = C₂

2 C⁴(Ω)

kv~_xk²_2,Ω+kθ_xk²_2,Ω .

Откуда в силу леммы Грануола [3], получим нужную оценку max

t∈(0,T)

V~^ε

2 2,Ω

+χ

V~_x^ε

2 2,Ω

+kT^εk²_2,Ω

+ν

V~_x^ε

2 2,Ω

+λk∇T^εk²_2,Ω ≤C₆ε.

Теорема доказано.

Список литературы

[1] Хомпыш Х.Разрешимость начально-краевой задачи тепловой конвекции с условием проскальзывания для уравнений жидкости Кельвина-Фойгта // Вестник КазНТУ им. К.И. Сатпаева, научный журнал. –Алматы. –2010. -№2(78). –C. 178-182.

[2] Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. –М.: Мир, –1981.

–408 c.

[3] Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. – М.: Наука, – 1970. – 288 с.

[4] Смагулов Ш.С. Малые параметры некоторой модели гидродинамики // Вестник КазГУ им. аль-Фараби. Серия физика, математика, информатика. –Алматы. –1996.

–Т. 4. – С. 171-177.

[5] Сахаев Ш.С., Хомпыш Х. Разрешимость одной начально-краевой задачи ε - аппроксимаций для модифицированных уравнений тепловой конвекции // Вестник КазНПУ им. Абая. Серия физико - математических наук. –Алматы. –2009. –№4(28).

– С. 167-171.

[6] Kotsiolis A.A., Oskolkov A.P. The initial-boundary value problem with a free surface condition for the ε -approximations of the Navier-Stokes equations and some their reg- ularizations // Записки научных семинаров ПОМИ. –1993. –Т. 205. –С. 38-70.

[7] Осколков А.П.Нелокальные проблемы для уравнений жидкостей Кельвина-Фойгта и ихε -аппроксимаций // Записки научных семинаров ПОМИ. –1995. – Т. 221. – С.

185-207.

Kh. Khompysh,About the rate of convergence of solution of the one ε –regularized problem of heat convection for the Kelvin-Voight flu- ids,The Bulletin of KazNU, ser. math., mech., inf. 2012, №1(72), 79 – 84

In this paper one of correctε-approximation of the system of equations of heat convection for the Kelvin-Voight fluids is investigated.

The existence and uniqueness of a strong so- lution ofε– regularized problem and it is con- vergence to the strong solution of the initial problem asε7→0 are proofed. The estimates for the rate of convergence of solution are ob- tained.

Х. Хомпыш, Келвин-Фойгт сұйығы үшiн жылу конвекция теңдеулерiнiң бiр ε–

жуықтау есебi шешiмiнiң жинақталу жылдамдығы туралы ҚазҰУ хабаршысы, мат., мех., инф. сериясы 2012, №1(72), 79 – 84

Бұл жұмыста Кельвин-Фойгт сұйығы үшiн жылу конвекция теңдеулер жүйесiнiң бiр қисынды ε–жуықтауы зерттелiндi. ε–

регуляризацияланған есептiң шешiмiнiң бар және жалғыздығы дәлелденiп ε 7→ 0 кезде оның бастапқы есептiң шешiмiне жинақтылығы көрсетiлдi. Шешiмнiң жинақталу жылдамдығына бағалаулар алынды.