Здесь операторы M1 и M2 имеют вид M1= 4 (a2−2ab−b)∂xx2 + 4α(b−a)∂xy2 +α2∂yy2 , M2= 4a(a+ 1)∂xx2 −2α(2a+ 1)∂xy2 +α2∂yy2 , где a, b – действительные постоянные, α – комплексная постоянная и α2=−1

К.Р. Есмаханова

Об одно– и двухсолитонных решениях типа доменных стенок (2+1)–мерного уравнения Шредингера

(Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Астана, Казахстан )

В данной статье нами найдены частные решения, а имено одно– и двухсолитонные решения (2+1)–мерного уравнения Шредингера. Эти точные решения соответствуют решениям типа доменных стенок.

1. Введение

Данная работа посвящена построению одно– и двухсолитонных решений нелинейного (2+1)–мерного уравнения Шредингера (НУШ):

iqt+M1q+vq= 0, irt−M1r−vr= 0, M2v=−2M₁(rq), (1) где q, r и v (v= 2(U1−U2)) – произвольные комплексные функции. Здесь операторы M1 и

M2 имеют вид

M1= 4 (a2−2ab−b)∂_xx² + 4α(b−a)∂_xy² +α²∂_yy² , M₂= 4a(a+ 1)∂_xx² −2α(2a+ 1)∂_xy² +α²∂_yy² ,

где a, b – действительные постоянные, α – комплексная постоянная и α²=−1. Это уравнение описывает широкий класс нелинейных явлений в различных областях физики.

В работах [1-4], применяя метод ∂¯ – проблемы, была доказана интегрируемость (2+1) – мерного НУШ (1), его различные обобщения и частные редукции. Также были найдены обобщенные формы одно–, двух– и N–солитонных решений уравнения (1). В данной работе

рассматривается частный случай для µ₁ =−λ₁ =iΛ (односолитонное решение) и λ⁰_k= 0, µl=−λ_k = (−1)^l+kiΛ, g0k=g0, f0l =f0, k= 1,2, l= 1,2 (двухсолитонное решение),

для которых показаны устойчивые решение типа доменной стенки.

2. Односолитонное решение

Для односолитонного случая решение ищется в виде:

q(x, y, t) = 1 π

X

k,l

ξk(I−A)⁻¹_kl ηl

12, (2)

где

η₁ =−2ig₀₁e−F(λ,x,y,t), (3) F(λ, x, y, t) =iλIx+2iλ

α H₂y−4iλ²H₂t. (4)

В силу того, что матрицы I и H₂ имеют следующий вид I =

1 0 0 1

, H2=

0 0 0 −1

,

для матрицы F получаем следующую выражение F(λ, x, y, t) =

iλx 0 0 iλx

+

0 0 0 ^2iλ_α y

−

0 0 0 4iλ²t

=

iλx 0

0 iλx+^2iλ_α y−4iλ²t

. (5)

Из очевидного уравнение [F(λ, x, y, t)]ⁿ=

(iλx)ⁿ 0

0 iλx+^2iλ_α y−4iλ²tn

, (6)

получаем η1 =

−2ig₀₁exp (−iλx) 0

0 −2ig₀₁exp −iλx−^2iλ_α y+ 4iλ²t

, (7)

и аналогично для ξ1: ξ₁=

−2if₀₁exp (−iλx) 0

0 −2if₀₁exp −iλx−^2iλ_α y+ 4iλ²t

. (8)

Рассмотрим теперь матрицу A₁₁=−2i

π

g₀₁f₀₁ µ1−λ1

exp (F(µ₁, x, y, t)−F(λ₁, x, y, t)) =

=−2i π

g01f01

µ1−λ1

· exp (−i(µ₁−λ1)x) 0

0 exp

i(µ1−λ1)x+^2i(µ1_α^−λ1)y−4i(µ1−λ1)²t

!

, (9) где параметры µ₁ 6=λ₁. Тогда имеем

(I−A11) =

= 1 +²ⁱ_πµ^g01f01

1−λ₁exp (i(µ₁−λ₁)x) 0

0 1 +²ⁱ_πµ^g01f01

1−λ₁ exp

i(µ₁−λ₁)x+^2i(µ1_α^−λ1)y−4i(µ₁−λ₁)²t

! . Откуда следует, что

(I −A11)⁻¹ =

=





1 +²ⁱ_πµ^g01f01

1−λ1exp (i(µ1−λ1)x) −1

0

0

1 +²ⁱ_{π µ}^g01f01

1−λ1 exp

i(µ₁−λ₁)x+^2i(µ1_α^−λ1)y−4i(µ₁−λ₁)²t−1





и

ξ1(I−A11)⁻¹η1 =

=









−4g01f01exp(−2iλ1x) 1+²ⁱ_π^g_µ^01f01

1−λ1exp(i(µ1−λ1)x) 0

0 ^{−4g01f01exp}

−2iλ1x−^4iλ_α¹y+8iλ²₁t 1+²ⁱ_π^g_µ^01f01

1−λ1exp

i(µ1−λ₁)x+^2i(µ1_α^−λ1)y−4i(µ₁−λ₁)²t







 .

Рассмотрим частный случай, когда µ₁=−λ₁=iΛ. В этом случае имеем

ξ1(I −A11)⁻¹η1=







−4Λg01f01exp(−2Λx)

1−^g01_π^f01exp(−2Λx) 0

0 ^{−4Λg01f01exp}(^{−2Λx−4Λ}_α^y−8iΛ2t)

1−^g01f01

π exp(^{−2Λx−4Λ}_α^y−8iΛ2t)





. (10) Теперь подставляя выражение (10) в (2), получаем односолитонное решение уравнения (1):

q(x, y, t) =







−4Λg01f01

π exp(−2Λx) 1−^g01f01

π exp(−2Λx) 0

0

−4Λg01f01

π exp(^{−2Λx−4Λ}_α^y−8iΛ2t)

1−^g01_π^f01exp(^{−2Λx−4Λ}_α^y−8iΛ2t)







12

. (11)

или

q(x, y, t) = 4Λ m^∗exp −2Λx−^4Λ_α y−8iΛ²t

1 +m^∗exp −2Λx−^4Λ_α y−8iΛ²t, (12) где m= ^−4g01_π^f01 . Профиль этого решения при Λ = 1, m= 1, t= 0 представлен на Рис.1.

Односолитонное решение НУШ при Λ = 1, m= 1, t= 0.

Амплитуда односолитонной волны на поверхности (x, y).

3. Двухсолитонное решение

Ниже приведем выражения для матриц необходимые при построении двухсолитонного решения (2+1)–мерного НУШ:

η₁ =







−2ig₀₁exp

−iλ⁰₁x

0 0 −2ig₀₁exp

−iλ⁰₁x−^2iλ

0 1

α y+ 4iλ⁰²₁t





, (13)

η₂ =







−2ig₀₂exp

−iλ⁰₂x

0 0 −2ig₀₂exp

−iλ⁰₂x−^2iλ

0 2

α y+ 4iλ⁰²₂t





, (14)

ξ1 =







−2if₀₁exp

−iλ⁰₁x

0 0 −2if₀₁exp

−iλ⁰₁x−^2iλ

0 1

α y+ 4iλ⁰²₁t





, (15)

ξ2 =







−2if₀₂exp

−iλ⁰₂x

0 0 −2if₀₂exp

−iλ⁰₂x−^2iλ

0 2

α y+ 4iλ⁰²₂t





. (16)

Тогда получим:

A11=−2i π

g₀₁f₀₁ µ1−λ1

exp (F(µ1, x, y, t)−F(λ1, x, y, t)) =

−2i π

g₀₁f₀₁ µ1−λ1

exp (i(µ1−λ1)x) 0

0 exp

i(µ1−λ1)x+ ^2i(µ1_α^−λ1)y−4i(µ1−λ1)²t

!

, (17)

A12=−2i π

g01f02

µ2−λ1

exp (F(µ2, x, y, t)−F(λ1, x, y, t)) =

−2i π

g₀₁f₀₂ µ₂−λ₁

exp (i(µ₂−λ₁)x) 0

0 exp

i(µ₂−λ₁)x+ ^2i(µ2_α^−λ1)y−4i(µ₂−λ₁)²t

!

, (18)

A₂₁=−2i π

g₀₂f₀₁

µ₁−λ₂ exp (F(µ₁, x, y, t)−F(λ₂, x, y, t)) =

−2i π

g02f01

µ1−λ2

exp (i(µ1−λ2)x) 0

0 exp

i(µ1−λ2)x+ ^2i(µ1_α^−λ2)y−4i(µ1−λ2)²t

!

, (19)

A22=−2i π

g02f02

µ2−λ2

exp (F(µ2, x, y, t)−F(λ2, x, y, t)) =

−2i π

g₀₂f₀₂ µ₂−λ₂

exp (i(µ₂−λ₂)x) 0

0 exp

i(µ₂−λ₂)x+ ^2i(µ2_α^−λ2)y−4i(µ₂−λ₂)²t

!

. (20) Отсюда получим

(I −A11)⁻¹ =

=





1 +²ⁱ_πµ^g01f01

1−λ₁exp (i(µ₁−λ₁)x)−1

0 0

1 +²ⁱ_{π µ}^g01f01

1−λ1 exp

i(µ1−λ1)x+^2i(µ1_α^−λ1)y−4i(µ1−λ1)²t −1





и (I −A₁₂)⁻¹ =

=





1 +²ⁱ_πµ^g01f02

2−λ1exp (i(µ2−λ1)x) −1

0

0

1 +²ⁱ_{π µ}^g01f02

2−λ₁ exp

i(µ₂−λ₁)x+^2i(µ2_α^−λ1)y−4i(µ₂−λ₁)²t−1



, (I −A21)⁻¹ =

=





1 +²ⁱ_πµ^g02f01

1−λ2exp (i(µ1−λ2)x) −1

0

0

1 +²ⁱ_{π µ}^g02f01

1−λ₂ exp

i(µ₁−λ₂)x+^2i(µ1_α^−λ2)y−4i(µ₁−λ₂)²t−1



, (I −A₂₂)⁻¹ =

=





1 +²ⁱ_πµ^g02f02

2−λ2exp (i(µ2−λ2)x) −1

0

0

1 +²ⁱ_{π µ}^g02f02

2−λ₂ exp

i(µ₂−λ₂)x+^2i(µ2_α^−λ2)y−4i(µ₂−λ₂)²t−1



. Теперь построим следующие матрицы:

ξ1(I−A11)⁻¹η1 =

=













−4g₀₁f01exp

−i(λ₁−λ⁰₁)x

1+²ⁱ_π^g_µ^01f01

1−λ1exp(i(µ1−λ1)x) 0

0

−4g₀₁f01exp −2i(λ₁−λ⁰₁)x−^4i(λ1−λ

0 1)

α y+8i(λ1−λ⁰₁)²t

!

1+²ⁱ_π^g_µ^01f01

1−λ1 exp

i(µ1−λ1)x+^2i(µ1_α^−λ1)y−4i(µ1−λ1)²t











 ,

ξ1(I −A12)⁻¹η2=

=













−4g₀₁f02exp

−2i(λ₁−λ⁰₂)x

1+²ⁱ_π^g_µ^01f02

2−λ1exp(i(µ2−λ1)x) 0

0

−4g01f02exp −2i(λ1−λ⁰₂)x−^4i(λ1−λ

0 2)

α y+8i(λ1−λ⁰₂)²t

!

1+²ⁱ_π^g_µ^01f02

2−λ1exp

i(µ2−λ1)x+^2i(µ2_α^−λ1)y−4i(µ2−λ1)²t











 ,

ξ2(I −A21)⁻¹η1=

=













−4g02f01exp

−2i(λ2−λ⁰₁)x

1+²ⁱ_π^g_µ^02f01

1−λ2exp(i(µ1−λ2)x) 0

0

−4g02f01exp −2i(λ2−λ⁰₁)x−^4i(λ2−λ

0 1)

α y+8i(λ2−λ⁰₁)²t

!

1+²ⁱ_π^g_µ^01f02

1−λ2exp

i(µ1−λ₂)x+^2i(µ1_α^−λ2)y−4i(µ₁−λ₂)²t











 ,

ξ₂(I −A₂₂)⁻¹η₂=

=













−4g02f02exp

−i(λ2−λ⁰₂)x

1+²ⁱ_π^g_µ^02f02

2−λ2exp(i(µ2−λ₂)x) 0

0

−4g02f02exp −2i(λ2−λ⁰₂)x−^4i(λ2−λ

0 2)

α y+8i(λ2−λ⁰₂)²t

!

1+²ⁱ_π^g_µ^02f02

2−λ2 exp

i(µ2−λ₂)x+^2i(µ2_α^−λ2)y−4i(µ₂−λ₂)²t











 .

Для построения двухсолитонного решения, рассмотрим случай, когда

λ⁰_k= 0, µl =−λ_k= (−1)^l+kiΛ, g0k =g0, f0l=f0, k = 1,2, l= 1,2. Тогда из предыдущей формулы имеем

X

k,l

ξ_k(I−A_kl)⁻¹η_l=

= 2







4Λg0f0exp(2Λx) 1−^g0f0

π exp(2Λx)− ^{4Λg0f0exp(−2Λx)}

1−^g0f0

π exp(−2Λx) 0

0 ^4Λg0f0exp(^2Λx+4Λαy−8iΛ²t)

1−^g0_π^f0exp(^2Λx+4Λαy−8iΛ²t) − ^4Λg0f0exp(^{−2Λx−4Λ}αy−8iΛ²t)

1−^g0_π^f0 exp(^{−2Λx−4Λ}αy−8iΛ²t)





. Решение примет вид:

q(x, y, t) =

= 2







4Λg0f0

π exp(2Λx) 1−^g0f0

π exp(2Λx)−

4Λg0f0

π exp(−2Λx) 1−^g0f0

π exp(−2Λx) 0

0

4Λg0f0

π exp(^2Λx+4Λ_α^y−8iΛ2t)

1−^g0_π^f0exp(^2Λx+4Λ_α^y−8iΛ2t) −

4Λg0f0

π exp(^{−2Λx−4Λ}_α^y−8iΛ2t)

1−^g0_π^f0exp(^{−2Λx−4Λ}_α^y−8iΛ2t)







21

(21) Тогда элемент 21 этой матрицы дает точное двухсолитонное решение исходного уравнение:

q= 8Λ m^∗exp −2Λx−^4Λ_α y−8iΛ²t

1 +m^∗exp −2Λx−^4Λ_αy−8iΛ²t −8Λ m^∗exp 2Λx+ ^4Λ_α y−8iΛ²t

1 +m^∗exp 2Λx+^4Λ_α y−8iΛ²t, (22) где m= ^−4g01_π^f01. Графики этого решение при различных значениях параметров Λ, m= 1, t

представлены на Рис. 2-4.

Двухсолитонное решение при Λ = 1, m= 1, t= 6

Двухсолитонное решение при Λ = 1, m= 1, t= 17

Заключение

В данной работе получены одно– и двухсолитонные решения НУШ, графики кторых представлены на Рис.2-4. Как видно из Рис.2 получено односолитонное решение в виде доменной стенки, на Рис.3 и Рис.4 представлены два солитона в виде двух доменных стенок.

Решение были построены на основе выражения (2), полученного из решения НУШ методом ∂¯ – проблемы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Есмаханова К.Р. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. – 2008. – 18 с.

2. Захаров В.Е., Манаков С.В. Многомерные нелинейные интегрируемые системы и методы построения их решений //Зап. науч. сем. ЛОМИ. –1984. –Т.133. –С. 77-91.

3. Bogdanov L.V., Manakov S.V. Nonlocal ∂¯-problem and (2+1) dimensional soliton equations //In: Proc. of Int. Workshop on Plasma theory and nonlinear and turbulent processes in physics,

Kiev, April 1987, World Scientific, Singapore, -1988, -V.1. -P. 7.

4. Martina L., Myrzakul Kur., Myrzakulov R and Soliani G. Deformation of surfaces, integrable systems and Chern-Simons theory //J. Math. Phys. –2001. –V.42, №3. -P. 1397-1417.

Есмаханова Қ.Р.

(2+1)–өлшемдi Шредингер теңдеуiнiң бiр және екi солитондық домин турiндегi шешiмдерi (2+1)–өлшемдi сызықты емес Шредингер теңдеуiне ∂¯–проблемасы әдiсiн пайдаланып, бiр– және екi– солитондық

домин турiндегi шешiмдерi табылды.

Yesmakhanova K.R.

One and two soliton’s solution type domins Shrodinger equation (2+1)–dimensional

In this paper we consider (2+1)- dimensional nonlinear Schrodinger equations the method of nonlocal ∂¯–problem is used. One and two soliton’s solution found.

Поступила в редакцию 11.10.2011 Рекомендована к печати 19.10.2011