Основной целью работы является получение оценок kKfkq,µ≤ckfkp, f∈Lp(I), (1) для широкого класса интегральных операторов вида Kf(x) = Zx 0 K(x, s)f(s)ds, x >0, (2) K∗g(s) = Z∞ s K(x, s)g(x)dx, s >0, (3) с неотрицательным ядромK(·,·)

УДК 517.518

ОГРАНИЧЕННОСТЬ И КОМПАКТНОСТЬ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

ВОЛЬТЕРРОВСКОГО ТИПА Р. Ойнаров

Аннотация. Вводятся расширяющиеся классы интегральных операторов вольтер- ровского типа. Для операторов из этих классов устанавливаются критерии ограни- ченности и компактности в пространствах Лебега.

Ключевые слова: интегральный оператор, интегральный оператор вольтерров- ского типа, оператор дробного интегрирования, ограниченность, компактность.

1. Постановка задачи. Основной целью работы является получение оценок

kKfkq,µ≤ckfkp, f∈Lp(I), (1) для широкого класса интегральных операторов вида

Kf(x) = Zx 0

K(x, s)f(s)ds, x >0, (2)

K^∗g(s) = Z∞ s

K(x, s)g(x)dx, s >0, (3)

с неотрицательным ядромK(·,·).

Здесь и далее 1< p, q <∞,I= (0,+∞),B0 — множество борелевских мер наI, не имеющих сингулярных компонентов, дискретные компоненты которых сосредоточены на множестве монотонных последовательностей точек изI. При интегрировании по µ∈ B0 промежутки интегрирования считаются замкнуты- ми. Более того, ядроK(·,·) операторов (2), (3) является соответственноµ×λ-, λ×µ-измеримыми (λ — мера Лебега), Lp,µ(I) — пространство µ-измеримых функцийg:I→Rс конечной нормой

kgkp,µ=



 Z∞

0

|g(x)|^pdµ(x)





1 p

,

причемkgkp,µ≡ kgkp иL_p,µ(I)≡L_p(I) приdµ(x) =dx.

В работах [1–4] В. Д. Степанов установил точные оценки вида

kKϕkq,µ≤ckvϕkp (4) для оператора дробного интегрирования Римана — Лиувилля. Эти оценки дали новые импульсы для исследования аналогичных оценок для операторов вида (2) и (3) (см. [5–9]).

c 2007 Ойнаров Р.

Заметим, что оценки (1) и (4) эквивалентны. Полагая в (4) vϕ=f, имеем оценку (1), где ядра операторов (2) и (3) соответственно имеют видK(x, s)v⁻¹(s) и K(x, s)v⁻¹(x).

В работах [9, 10] нами рассмотрены операторы вида (2) и (3) с ядромK(·,·)

≡K1(·,·)≥0, удовлетворяющим условию: существует постояннаяd1такая, что 1

d1

(K1(x, t) +K1(t, s))≤K1(x, s)≤d1(K1(x, t) +K1(t, s)) (5) приx≥t≥s≥0.

Этому условию удовлетворяют ядра многих операторов дробного интегри- рования. В частности, для этого класса операторов установлены точные оценки вида (4), обобщающие результаты работ [5–7]. Класс интегральных операторов с ядром, удовлетворяющим условию (5), позже стал объектом исследования многих авторов (см., например, [11–14]).

В работах [15, 16] в связи с теоремами вложения весовых пространств и с исследованием спектральных свойств сингулярных дифференциальных опера- торов полярного типа изучены оценки вида (4) для оператора кратного инте- грирования с весами, ядро которого, вообще говоря, не удовлетворяет условию (5). Поэтому, чтобы охватить более широкие классы интегральных операторов вольтерровского типа, встречающихся в различных задачах анализа, в частно- сти, операторы типа кратного интегрирования с весами, в работе [17] введены расширяющиеся классы H0 ⊂H1 ⊂ · · · ⊂ H_n ⊂. . . положительных ядер, где H0состоит из одной функцииK(x, s)≡1, а классH1характеризуется условием (5), и для операторов (2) и (3) с ядрами из классаHn,n≥1, найдены необходи- мые и достаточные условия справедливости неравенства (4) при 1< p≤q <∞ с точной по порядку оценкой наименьшей постоянной в (4). Исследования опе- раторов с ядрами из классаHn продолжены в работах [18, 19].

Из принадлежности ядра K(·,·) операторов (2) и (3) классам H_n, n ≥ 1, вытекает, что функцияK(·,·) эквивалентна функции, не убывающей по первому аргументу и не возрастающей по второму аргументу, что ограничивает широту охвата исследований операторов вида (2) и (3).

Здесь вводятся классы ядерP_n иQ_n,n≥0, более широкие, чем классыH_n, и даются критерии ограниченности и компактности из L_p вL_q, 1< p≤q <∞, операторов (2) и (3), когда их ядра принадлежат P_n∪O_n.

В работе полагается ⁰₀ = 0,∞·0 = 0. СоотношениеA≪BозначаетA≤cB, где константаc >0 может зависеть от несущественных параметров. Мы пишем A ≈B вместо A≪ B ≪A. Через V_i(·), U_i(·), i = 0,1, . . ., обозначим неотри- цательные функции, определенные наI,χ_D(·) — характеристическая функция множестваD⊂R.

2. Необходимые понятия и обозначения. Для каждогоn≥0 опреде- лим классы P_n и Q_n ядер операторов вида (2) и (3) соответственно и догово- римся писатьK(·,·)≡K_n(·,·), еслиK(·,·)∈P_n илиK(·,·)∈Q_n.

Сначала определим индуктивным образом классы P_n, n ≥0. Обозначим через K(x, s) неотрицательнуюµ×λ-измеримую функцию, определенную при всехx≥s >0 и не убывающую по первому аргументу.

К классу P0 отнесем все ядра вида K0(x, s) ≡ V0(s) ≥ 0, x ≥ s > 0.

Пусть определены классы Pi, i = 0,1, . . . , m−1, m ≥ 1. По определению ядро K(·,·) = Km(·,·) принадлежит классу Pm тогда и только тогда, когда

существуют функцииKi(·,·)∈Pi,i= 0,1, . . . , m−1, и числоhm>0 такие, что Km(x, s)≤hm

m−1X

i=0

Km,i(x, t)Ki(t, s) +Km(t, s)

!

(6) приx≥t≥s >0, где

K_m,i(x, t) = inf

0<s≤t

K_m(x, s)

Ki(t, s) , i= 0,1, . . . , m−1. (7) Из определения K_m,i следует, что функции K_m,i(x, t), i= 0,1, . . . , m−1, m= 1,2, . . ., не убывают по первому аргументу и не возрастают по второму аргу- менту и справедливы неравенства

Km(x, s)≥Km,i(x, t)Ki(t, s), x≥t≥s >0, i= 0,1, . . . , m, m= 0,1, . . . , (8) где для удобства принято Km,m(·,·)≡1,m= 0,1, . . ..

Тем самым каждый классP_m, m≥0, ядер K_m(·,·) характеризуется соот- ношением вида

Km(x, s)≈ Xm i=0

Km,i(x, t)Ki(t, s) (9) для всехx, t, sтаких, чтоx≥t≥s >0, гдеKm,i(·,·),i= 0,1, . . . , m, определены по формуле (7).

В частности,K1(·,·) принадлежит классуP1, если существует функцияV1

такая, что

K1(x, s)≈K1,0(x, t)V1(s) +K1(t, s) для всех x≥t≥s >0.

Ядра класса P2 характеризуются соотношением

K2(x, s)≈K_2,0(x, t)V2(s) +K_2,1(x, t)K1(t, s) +K2(t, s) для всех x≥t≥s >0.

В дальнейшем нам понадобится следующее неравенство. Пусть m ≥ j ≥ i≥0. Тогда

K_m,i(x, t)≥K_m,j(x, τ)K_j,i(τ, t), x≥τ ≥t >0. (10) Действительно, дляx≥τ≥t >0 имеем

Km,j(x, t) = inf

0<s≤t

Km(x, s)

K_j(t, s) ≥Km,i(x, τ) inf

0<s≤t

Ki(τ, s)

K_j(t, s) =Km,i(x, τ)Ki,j(τ, t).

Теперь определим классы P_n, n≥0. ЯдроK_n(·,·) принадлежитP_n тогда и только тогда, когда существуют функции Un, Kn(·,·) ∈ Pn и имеет место соотношение

K_n(x, s)≈U_n(x)K_n(x, s) (11) дляx≥s >0.

Как и выше, для определения классовQ_m,m≥0, сначала определим клас- сыQ_m,m≥0. Неотрицательнуюλ×µ-измеримую функциюK(·,·), определен- ную при всех x≥s >0 и не возрастающую по второму аргументу, обозначим черезK(·,·). По определению ядроK(·,·)≡K₀(·,·) принадлежит классуQ

0то- гда и только тогда, когда оно имеет видK0(x, s)≡U0(x)≥0,x≥s >0. Пусть

определены классыQ_i,i= 0,1, . . . , m−1,m≥1. ЯдроK(·,·)≡K_m(·,·) принад- лежит классуQ_mтогда и только тогда, когда существуют функцииK_i(·,·)∈Q_i, i= 0,1, . . . , m−1, и числоhm>0 такие, что

K_m(x, s)≤hm

Xm i=0

K_i(x, t)K_i,m(t, s), x≥t≥s >0, где

K_m,m(t, s)≡1, K_i,m(t, s) = inf

t≤x<∞

K_m(x, s)

K_i(x, t) , i= 0,1, . . . , m−1. (12) ФункцииK_i,m(t, s),i= 0,1, . . . , m−1,m= 0,1, . . ., не убывают по первому аргументу и не возрастают по второму аргументу и дляm≥i≥j≥0,t≥τ ≥ s >0 удовлетворяют неравенству

K_j,m(t, s)≥K_j,i(t, τ)K_i,m(τ, s).

Как в (9), каждый классQ_m,m≥0, ядерK_m(·,·) характеризуется соотно- шением вида

K_m(x, s)≈ Xm i=0

K_i(x, t)K_i,m(t, s)

для всехx, t, sтаких, чтоx≥t≥s >0, гдеK_i,m(·,·),i= 0,1, . . . , m, определены по формуле (12).

Ядра из классовQ1и Q2 соответственно характеризуются соотношениями K₁(x, s)≈K₁(x, t) +U1(x)K_0,1(t, s),

K₂(x, s)≈K₂(x, t) +K₁(x, t)K_1,2(t, s) +U2(x)K_0,2(t, s) приx≥t≥s >0.

Замечание 1. Если существуют функции φm,i(·,·)≥0,ψi,m(·,·)≥0, i= 0,1, . . . , m−1, и имеют место соотношения

K(x, s)≈

m−1X

i=0

φm,i(x, t)Ki(t, s) +K(t, s), m≥1, (13)

K(x, s)≈K(x, t) +

m−1X

i=0

K_i(x, t)ψi,m(t, s), m≥1, для всех x, t, sтаких, чтоx≥t≥s >0, то соответственно

K≡K_m∈P_m, K≡K_m∈Q_m. Действительно, из (13) следует, что

K(x, s)≫φ_m,i(x, t)K_i(t, s), i= 0,1, . . . , m−1,

приx≥t≥s >0. Отсюда и из (7) имеемK_m,i(x, t)≫φ_m,i(x, t),i= 0,1, . . . , m− 1, при всехx≥t >0. Следовательно, в силу (13) выполнено (6), т. е. K≡K_m∈ Pm. Аналогично показывается справедливость соотношенияK≡K_m∈Q_m.

Например, функция K1(x, s) = (f(x) +g(s))^β, где β > 0 и f(·), g(·) — неотрицательные возрастающие функции, не удовлетворяет, вообще говоря, усло- вию (5), однако принадлежит классуP1, так как

(f(x) +g(s))^β ≈(f(x)−f(t))^β+ (f(t) +g(s))^β, x≥t≥s >0.

Определим классыQm,m≥0. ЯдроK(·,·)≡Km(·,·) принадлежит классу Qm тогда и только тогда, когда существуют функцииVm(·)≥0,K_m(·,·)∈Q_m и имеет место соотношение

Km(x, s)≈K_m(x, s)Vm(s) дляx≥s >0.

Из определения классовP_mиQ_m,m≥0, вытекает, чтоP0=Q0 иK(·,·) = K0(·,·)∈P0 тогда и только тогда, когда

K0(x, s)≈U0(x)V0(s)

для всехx≥s >0. Отметим, что класс ядерHm из работы [17] содержится в Pm∩Qm.

Положим

A⁺(z, µ)≡A⁺(z, µ, K) =



 Z∞ z



 Zz 0

K^p′(x, s)ds





q p′

dµ(x)





1 q

,

A⁻(z, µ)≡A⁻(z, µ, K) =



 Zz 0



 Z∞ z

K^q(x, s)dµ(x)





p′ q

ds





1 p′

,

B⁺(z, µ)≡B⁺(z, µ, K) =



 Z∞ z



 Zz 0

K^q(x, s)dµ(s)





p′ q

dx





1 p′

,

B⁻(z, µ)≡B⁻(z, µ, K) =



 Zz 0



 Z∞ z

K^p′(x, s)dx





q p′

dµ(s)





1 q

,

где ¹_p+_p¹′ = 1. В случае, когда µ— мера Лебега, полагаемA⁺(z, µ)≡A⁺_p,q(z), A⁻(z, µ)≡A⁻_p,q(z),B⁺(z, µ)≡B_p,q⁺ (z) иB⁻(z, µ)≡B⁻_p,q(z). Нетрудно заметить, чтоA⁺_q′,p^′(z) =B⁺_p,q(z) иA⁻_q′,p^′(z) =B⁻_p,q(z), где ¹_q +_q¹′ = 1.

3. Критерии ограниченности.

Теорема 1. Пусть1< p≤q <∞, µ∈B0 и ядро оператора(2) принадле- жит классуP_m, m≥0. Тогда для оператора(2)справедлива оценка(1) в том и только в том случае, если выполнено одно из условий:

A⁺(µ) = sup

z>0

A⁺(z, µ)<∞, (14)

A⁻(µ) = sup

z>0

A⁻(z, µ)<∞. (15)

При этом для наименьшей константыCв(1)имеет место соотношениеA⁺(µ)≈ A⁻(µ)≈C.

Теорема 2. Пусть1< p≤q <∞, µ∈B0 и ядро оператора(3) принадле- жит классуQm, m≥0. Тогда для оператора(3) справедлива оценка(1)в том и только в том случае, если выполнено одно из условий:

1)B⁺(µ) = sup

z>0

B⁺(z, µ)<∞; 2)B⁻(µ) = sup

z>0

B⁻(z, µ)<∞.

При этом для наименьшей константыCв(1)имеет место соотношениеB⁺(µ)≈ B⁻(µ)≈C.

Следующее неравенство дуально неравенству (1) относительно формы R∞

0

f(x)g(x)dµ(x):

kK_µ^′gkp^′ ≤C, kgkq^′,µ, g∈L_q^′_,µ(I), (16) где дуальные к операторам (2) и (3) операторы соответственно имеют вид

K_µ^′g(s) = Z∞ s

K(x, s)g(x)dµ(x), (17)

(K^∗)^′_µg(x) = Zx 0

K(x, s)g(s)dµ(s). (18)

Действительно, пустьK — один из операторов (2) или (3). Тогда

C= sup

f∈Lp(I),f6=0

kKfkq,µ

kfkp

= sup

f∈Lp(I),f6=0

sup

g∈L_q′,µ(I),g6=0

∞R

0

g(x)Kf(x)dµ(x) kgkq^′,µkfkp

= sup

g∈L_q^′_,µ(I),g6=0

sup

f∈Lp(I),f6=0

∞R

0

f(s)K_µ^′g(s)ds kfkpkgkq^′,µ

= sup

g∈L_q^′_,µ(I),g6=0

kK_µ^′gkp^′

kgkq^′,µ

, (19) что показывает эквивалентность неравенств (16) и (1). Так как в силу (19) нера- венства (1) и (16) одновременно выполняются или не выполняются, из теорем 1 и 2 вытекают

Теорема 3. Пусть1< q^′ ≤p^′<∞, µ∈B0и ядро оператора(17)принад- лежит классу Pm, m ≥0. Тогда для оператора (17) справедлива оценка (16) тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий1или2 теоремы1.

Теорема 4. Пусть1< q^′ ≤p^′<∞, µ∈B0и ядро оператора(18)принад- лежит классу Qm, m ≥ 0. Тогда для оператора (18)справедлива оценка (16) тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий1или2 теоремы2.

В случае, когда µ — мера Лебега, сравнивая условия и утверждения тео- рем 4 и 3 при q^′=p,p^′=qс условиями и утверждениями теорем 1 и 2 соответ- ственно, имеем следующие утверждения.

Теорема 5. Пусть 1 < p ≤ q < ∞ и ядро оператора (2) принадлежит классуP_m∪Q_m,m≥0. Тогда оператор(2)ограничен из L_p(I)вL_q(I)тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий:

1)A⁺_p,q= sup

z>0

A⁺_p,q(z)<∞, 2)A⁻_p,q= sup

z>0A⁻_p,q(z)<∞.

При этом для нормы оператора (2) выполнены соотношения kKkp→q ≈ A⁺_p,q≈A⁻_p,q.

Теорема 6. Пусть 1 < p ≤ q < ∞ и ядро оператора (3) принадлежит классуPm∪Qm,m≥0. Тогда оператор(3)ограничен из Lp(I)вLq(I)тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий:

1)B_p,q⁺ = sup

z>0

B_p,q⁺ (z)<∞, 2)B_p,q⁻ = sup

z>0

B_p,q⁻ (z)<∞.

При этом для нормы оператора (3) выполнены соотношения kKkp→q ≈ B⁺_p,q≈B_p,q⁻ .

4. Доказательство теоремы 1. Теорема 2 доказывается так же, как теорема 1. Поэтому мы докажем только теорему 1. Сначала докажем слабую форму теоремы 1.

Теорема 1^′. Пусть1< p≤q <∞,µ∈B0и ядро оператора(2)принадле- жит классуPm, m≥0. Тогда оценка(1)для оператора(2) справедлива тогда и только тогда, когда

A_m≡A_m(µ) = max

0≤i≤msup

z>0

A_m,i(z, µ)<∞, (20) при этомA_m≈C, гдеC — наименьшая константа в(1). Здесь

Am,i(z, µ) =



 Z∞ z

K^q_m,i(x, z)dµ(x)





1 q 

 Zz 0

K^p

′

i (z, s)ds





1 p′

,

функцииK_m,i(·,·),K_i(·,·),i= 0,1, . . . , m, из оценки (6).

Доказательство теоремы 1^′. Необходимость. Пусть ядро оператора (2) принадлежит классу P_m, m ≥0, и имеет место оценка (1). Полагая в (1) f(·) =χ_(0,z)(·),z >0, получим

z^1pC≥ kKχ_(0,z)kq,µ≥



 Z∞ z



 Zz 0

K_m(x, s)ds





q

dµ(x)





1 q

≥(8)

≥



 Z∞ z

K^q_m,i(x, z)dµ(x)





1 q

 Zz 0

Ki(z, s)ds



, i= 0,1, . . . , m.

Отсюда вытекает, что Km,i(·, z) ∈ Lq,µ[z,+∞), i = 0,1, . . . , m, для z > 0.

Так как неравенства (1) и (16) выполняются одновременно, полагая g(·) = χ_[z,∞)(·)K^q−1_m,i(·, z), 0≤i≤m, в (16), имеем



 Z∞ z

K^q_m,i(x, z)dµ(x)





1 q′

C≥ kK_µ^′gkp^′

≥



 Zz 0



 Z∞ z

Km(x, s)K^q−1_m,i(x, z)dµ(x)





p^′

ds





1 p′

≥(7)≥



 Zz 0

K^p

′

i (z, s)ds





1 p′ 

 Z∞ z

K^q_m,i(x, z)dµ(x)



,

откуда

∞> C≥A_m. (21)

Необходимость доказана.

Достаточность. Пустьµ∈B0, ядро оператора (2) принадлежит классу Pm,m≥0, и имеет место (20).

Начнем со случая m = 0. По определению классаP0 ядро оператора (2) имеет видK0(x, s)≡V0(s)≥0. Тогда оператор (2) — оператор интегрирования K0 с весомV0, а условие (20) дает оценку (см. обзор [20])

kK0fkq,µ≪A0(µ)kfkp, f ∈L_p(I).

Пусть из условия (20) приm= 0,1, . . . , n−1,n≥1, вытекает оценка kK_mfkq,µ≪A_m(µ)kfkp, f ∈L_p(I), (22) где Km — оператор (2) с ядром Km(·,·)∈ Pm. Покажем, что из (20) следует справедливость оценки (22) и при m=n. Положим

F(x) = Zx

0

Kn(x, s)|f(s)|ds, x >0,

где f — произвольная функция из Lp(I) с компактным носителем. Функция F(·) не убывает и обращается в нуль в некоторой окрестности нуля. Пусть xe = inf{x > 0 : F(x) > 0}, Ie= (ex,∞) и h ≡ h_n, где h_n из (6) при m = n.

Определим функцию

k(x) = max{k∈Z : (h+ 1)^k≤F(x)}, x∈I,e

гдеZ— множество целых чисел. Из определения функцииk(·) и свойств функ- цииF(·) следует, чтоk(·) — неубывающая функция и

(h+ 1)^k(x)≤F(x)<(h+ 1)^k(x)+1 ∀x >ex.

Отсюда и из определения функции k(·) легко следует, что если функция F(·) непрерывна справа в точке x∈I, то функцияe k(·) также непрерывна справа в этой же точке. Пусть{k_i},k_i< k_i+1, — область значений функцииk:Ie→Z и I_i — прообраз точкиk_i∈Z, т. е. I_i={x:k(x) =k_i}. Тогда

Ie=[

i

Ii. (23)

Положимx_i= infI_i. Очевидно, чтоx_i≤x_i+1.

Пустьµ=µ1+µ0, гдеµ1 — абсолютно непрерывный (относительно меры Лебега) компонент меры µ, аµ0 — дискретный компонент мерыµ. Тогда

Z∞ 0

|K_nf(x)|^qdµ(x)≤ Z∞ x˜

F^q(x)dµ1(x) + Z∞ x˜

F^q(x)dµ0(x) =J1+J0. (24) Оценим J1 и J0 по отдельности. Для оценки J1, не ограничивая общности, можем считать, что функцияK_n(x, s) по первому аргументу непрерывна справа в точках{xi}, так как в противном случаеKn(xi, s) заменим наKn(xi+ 0, s),

что не влияет на значениеJ1в силу абсолютной непрерывности мерыµ1. Тогда Ii= [xi, xi+1) и

(h+ 1)^kj ≤F(x)<(h+ 1)^kj+1 приx_j≤x < x_j+1. (25) По определению k_j< k_j+1, поэтому

k_j−1≥k_j−1≥k_j−2+ 1. (26)

В силу (25), (26) и (6) имеем

(h+ 1)^kj−1= (h+ 1)^kj−h(h+ 1)^kj−1≤(h+ 1)^kj −h(h+ 1)^kj−2+1

< F(xj)−hF(xj−2)≤

xj

Z

xj−2

Kn(xj, s)|f(s)|ds+h

n−1X

i=0

Kn,i(xj, xj−2)Ki|f|(xj−2).

(27) На основании (23), (25) и (27) получим

J1= Z∞ 0

|K_nf(x)|^qdµ1(x)≤X

j

Z

Ij

F^q(x)dµ1(x)≤X

j

(h+ 1)^q(kj+1)µ1(I_j)

≪X

j

(h+ 1)^q(kj−1)µ1(Ij)≪X

j

µ1(Ij)





xj

Z

xj−2

Kn(xj, s)|f(s)|ds





q

+h^q

n−1X

i=0

X

j

K^q_n,i(xj, xj−2)µ1(Ij)(Ki|f|(xj−2))^q =J1,n+h^q

n−1X

i=0

J1,i. (28) Применяя неравенство Г¨ельдера, с учетомq≥pимеем

J_1,n≤X

j

µ1(I_j)





xj

Z

xj−2

K^p

′

n(x_j, s)ds





q p′



xj

Z

xj−2

|f|^pds





q p

≤sup

y∈I

A^q_n,n(y, µ)



X

j xj

Z

xj−2

|f|^pds





q p

≪(A_n(µ))^qkfk^qp. (29) Выражение для J_1,i,i= 0,1, . . . , n−1, перепишем в виде

J_1,i= Z∞ 0



 Zt 0

K_i(t, s)|f(s)|ds





q

dµ_1,i(t) =kK_i|f|k^qq,µ1,i, (30) гдеdµ_1,i(t) =P

j

µ1(I_j)K^q_n,i(x_j, x_j−2)δ(t−x_j−2)dt,δ(·) — дельта-функция Дирака.

Так какµ1,i∈B0, то по нашему допущению для оператораKi,i= 0,1, . . . , n−1, имеет место оценка вида (22), следовательно,

J_1,i≪A^q_i(µ_1,i)kfk^qp, i= 0,1, . . . , n−1, (31) где

A_i(µ_1,i) = max

0≤j≤isup

z>0



 Z∞ z

K^q_i,j(x, z)dµ_1,i(x)





1 q

 Zz 0

K^p

′

j (z, s)ds





1 p′

.

Далее, поскольку Z∞

z

K^q_i,k(x, z)dµ1,i(x) = X

xk−2≥z

µ1(Ik)K^q_n,i(xk, xk−2)K^q_i,k(xk−2, z)

≤(10)≤ X

xk−2≥z

Z

Ik

dµ1(x)K^q_n,k(x_k, z)≤ Z∞ z

K_n,k(x, z)dµ(x)

для n ≥ i ≥ k ≥ 0, то Ai(µ1,i) ≤ An(µ) для i = 0,1, . . . , n−1. Тогда из (31) имеем

J_1,i≪A^q_n(µ)kfk^qp, i= 0,1, . . . , n−1. (32) Из (28), (29) и (32) следует, что

J1≪A^q_n(µ)kfk^qp. (33) Теперь оценим J0. Пусть{˜kj} ⊆ {ki} — область значений функции k(·) в точках {y_i} ⊂ I,e y_i < y_i+1, где сосредоточена мера µ0. Пусть Ie_j — прообраз точки ˜kj. Положимlj= min{i:yi∈Iej}. Тогдаlj+1−1 = max{i:yi∈Iej} и

(h+ 1)^k˜j ≤F(y_i)<(h+ 1)^k˜j+1 приl_j ≤i≤l_j+1−1. (34) Для удобства значениеy_i приi=l_j обозначим через ˜x_j, т. е. ˜x_j =y_lj. Так как k˜_j удовлетворяет условию (26), поступая, как в (27), из (34) и (6) приходим к неравенству

(h+ 1)^˜kj−1<

x˜j

Z

x˜j−2

K_n(˜x_j, s)|f(s)|ds+h

n−1X

i=0

K_n,i(˜x_j,x˜_j−2)K_i|f|(˜x_j−2). (35)

Используя (34) и (35), получим аналог соотношения (28):

J0=X

i

F^q(y_i)µ0(y_i) =X

j lj+1−1

X

i=lj

F^q(y_i)µ0(y_i)≤X

j

(h+ 1)^q(˜kj+1)µ0(eI_j)

≪X

j

(h+ 1)^q(˜kj−1)µ0(Iej)≪X

j

µ0(Iej)





x˜j

Z

˜xj−2

Kn(˜xj, s)|f(s)|ds





q

+h^q

n−1X

i=0

X

j

K^q_n,i(˜x_j,x˜_j−2)µ0(eI_j)(K_i|f|(˜x_j−2))^q =J_0,n+h^q

n−1X

i=0

J_0,i. (36) Далее, для оценки J_0,i, i = 0,1, . . . , n, поступая точно так же, как при оцени- вании J_1,i, i = 0,1, . . . , n, из (36) имеем J0 ≪ A^q_nkfk^qp. Из полученной оценки вместе с (24) и (33) вытекает, что неравенство (22) имеет место и при m = n для функций из L_p(I) с компактным носителем. Но совокупность таких функ- ций плотна в L_p(I), поэтому неравенство (22) при m =n выполнено для всех f ∈L_p(I). Тем самым для любогоm≥0 из (20) следует справедливость нера- венства (1) с оценкойC≪A_mдля наименьшей константыC в (1). Эта оценка вместе с (21) даетC≈A_m. Теорема 1^′ доказана.

Теперь для доказательства теоремы 1 нам нужна

Лемма 1. Пусть ядро оператора (2) принадлежит классу Pm, m ≥ 0.

Тогда дляz >0выполнены соотношения A⁺(z, µ, K_m)≈ max

0≤i≤mA_m,i(z, µ)≈A⁻(z, µ, K_m), (37) где константа эквивалентности не зависит от z >0.

Действительно, справедливость (37) легко следует из (9).

Доказательство теоремы 1. Пусть ядроKm(·,·) оператора (2) принад- лежит классуPm,m≥0. Тогда по определению класса Pm существуют функ- цииUm(·)≥0,Km(·,·)∈Pmи имеет место соотношение (11). Тем самым

kKmfkq,µ≈ kKmfkq,µu, (38) где dµ_u ≡ U_m^qdµ, а K_m и K_m — операторы вида (2), когда их ядра K(·,·) соответственно равны Km(·,·) иKm(·,·).

Из (38) вытекает, что оценка (1) эквивалентна оценке

kKmfkq,µu≤Ckfkp, f ∈Lp(I), (39) гдеC≈C, при этомCиC— наименьшие константы в (1) и (39) соответственно.

Очевидно, чтоµ_u∈B0, поэтому на основании теоремы 1^′выполнение оцен- ки (39) эквивалентно условию A_m(µ_u)<∞, причем C ≈A_m(µ_u). В силу лем- мы 1 имеем

Am(µu)≈sup

z>0A⁺(z, µu, Km), Am(µu)≈sup

z>0A⁻(z, µu, Km). (40) На основании (11)

A⁺(z, µ_u, K_m) =



 Z∞ z



 Zz 0

K^p

′

m(x, s)ds





q p′

U_m^q(x)dµ(x)





1 q

≈



 Z∞ z



 Zz 0

K_m^p′(x, s)ds





q p′

dµ(x)





1 q

=A⁺(z, µ, Km). (41) Точно так же устанавливаем, что

A⁻(z, µ_u, K_m)≈A⁻(z, µ, K_m). (42) Из (40)–(42), эквивалентности неравенств (1) и (39) и эквивалентности констант C и C получим, что неравенство (1) равносильно выполнению условий (14) и (15). Более того, имеет место соотношение A⁺(µ) ≈ A⁻(µ) ≈ C. Теорема 1 доказана.

5. Критерии компактности.

Теорема 7. Пусть 1 < p ≤ q < ∞ и ядро оператора (2) принадлежит классуP_m∪Q_m,m≥0. Тогда оператор(2)компактен изL_p(I)в L_q(I)тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий:

1)A⁺_p,q<∞, lim

z→0A⁺_p,q(z) = lim

z→∞A⁺_p,q(z) = 0, 2)A⁻_p,q<∞, lim

z→0A⁻_p,q(z) = lim

z→∞A⁻_p,q(z) = 0.

Операторы (2) и (3) являются взаимно сопряженными, поэтому оператор (2) компактен из Lp(I) в Lq(I) тогда и только тогда, когда оператор (3) ком- пактен из Lq^′(I) вLp^′(I). Следовательно, из теоремы 7 вытекает

Теорема 8. Пусть 1 < p ≤ q < ∞ и ядро оператора (3) принадлежит классуPm∪Qm,m≥0. Тогда оператор(3)компактен изLp(I)в Lq(I)тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий:

1)B_p,q⁺ <∞, lim

z→0B_p,q⁺ (z) = lim

z→∞B_p,q⁺ (z) = 0, 2)B_p,q⁻ <∞, lim

z→0B⁻_p,q(z) = lim

z→∞B_p,q⁻ (z) = 0.

Доказательство теоремы 7 опирается на следующие утверждения, ко- торые являются частными случаями теорем 7 и 8.

Теорема 7^′. Пусть 1 < p ≤ q < ∞ и ядро оператора (2) принадлежит классу Pm, m ≥ 0. Тогда оператор (2) компактен из Lp(I) в Lq(I) тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий1или2 теоремы7.

Теорема 8^′. Пусть 1 < p ≤ q < ∞ и ядро оператора (3) принадлежит классу Q_m, m ≥ 0. Тогда оператор (3) компактен из L_p(I) в L_q(I) тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий1или2 теоремы8.

На основании теорем 7^′ и 8^′ установим сначала справедливость утвержде- ния теоремы 7. Если ядро оператора (2) принадлежит классу Pm, m ≥ 0, то утверждение теоремы вытекает из теоремы 7^′. Пусть ядро оператора (2) K(·,·)≡ Km(·,·) принадлежит Qm, m ≥0. Рассмотрим оператор (3) с ядром Km(·,·) изLq^′(I) вLp^′(I). По условию теоремы 7 1< p≤q <∞, следовательно, 1 < q^′ ≤p^′ < ∞. Тогда на основании теоремы 8^′ компактность оператора (3) из Lq^′(I) в Lp^′(I) в силу B⁺_q′,p^′(z) = A⁺_p,q(z) и B_q⁻′,p^′(z) = A⁻_p,q(z) эквивалентна каждому из условий 1 и 2 теоремы 7. Но компактность оператора (3) изLq^′(I) в Lp^′(I) равносильна компактности оператора (2) изLp(I) вLq(I) ввиду того, что операторы (2) и (3) взаимно сопряженные. Поэтому утверждение теоре- мы 7 справедливо и в случае, когда ядро оператора (2) принадлежит классу Q_m, m≥0. Теорема 7 доказана.

Теперь перейдем к доказательству теорем 7^′ и 8^′. Теорема 8^′ доказывается таким же методом, что и теорема 7^′. Поэтому мы докажем только теорему 7^′.

Доказательство теоремы7^′. Пусть ядроKm(·,·) оператора (2) принад- лежит P_m, m ≥ 0. Из утверждения леммы 1 и соотношений (41), (42) имеем A⁺_p,q(z) ≈A⁻_p,q(z), где константы эквивалентности не зависят отz > 0, откуда вытекает эквивалентность условий 1 и 2 теоремы 7.

Теперь покажем, что для компактности изL_p(I) вL_q(I) оператора (2) необ- ходимо и достаточно условие 1.

Необходимость. Пусть оператор (2) компактен из L_p(I) в L_q(I), тогда он ограничен. Следовательно, в силу теоремы 5 выполнено условиеA⁺_p,q <∞, а из (42) вытекает, что операторKmограничен изLp(I) вLq,µu(I), гдеµ— мера Лебега. Тогда из теоремы 1^′ следует, что дляz > 0 имеемKi(z,·) ∈Lp^′(0, z), U_m(·)K_m,i(·, z)∈L_q(z,+∞),i= 0,1, . . . , m, где функцииU_m(·),K_m,i(·,·),K_i(·,·), i= 0,1, . . . , m−1, из (6) и (11).

Пусть {zk} — последовательность точек из I такая, что zk → 0 приk →

∞. Положим g_k(·) = χ_(0,zk)(·)K^p

′−1

i (z_k,·), 0 ≤i ≤m, и рассмотрим функцию f_k(·) =g_k(·)/kg_kkp. Так какkf_kkp= 1, то

Z∞ 0

ϕ(x)f_k(x)dx ≤





zk

Z

0

|ϕ|^p′dx





1 p′

∀ϕ∈L_p^′(I).

Поэтому последовательность{fk}изLp(I) слабо сходится к нулю. Тогда в силу компактности (2) изLp(I) вLq(I) последовательность{Kmfk} ⊂Lq(I) сильно сходится к нулю. На основании (38)

k→∞lim kK_mf_kkq,µu = 0. (43)

Поскольку

kKmfkkq,µu ≥



 Z∞ zk





zk

Z

0

Km(x, s)fk(s)ds





q

U_m^q(x)dx





1 q

≥(8)≥



 Z∞ zk

|Um(x)Km,i(x, zk)|^qdx





1 q



zk

Z

0

K^p

′

i (zk, s)ds





1 p′

=Am,i(zk, µu), 0≤i≤m, ввиду леммы 1 и (41), (43) имеем lim

k→∞A⁺_p,q(z_k) = 0. Отсюда в силу произволь- ности последовательности{z_k} следует, что

z→0limA⁺_p,q(z) = 0. (44) Из компактности оператора K_m из L_p(I) в L_q(I) вытекает компактность из Lq^′(I) вLp^′(I) сопряженного оператораK_m^∗. Пусть теперь{zk}— произвольная последовательность изI такая, что lim

k→∞zk=∞. Положим

˜

g_k(·) =χ_[zk,∞)(·)U_m^q−1(·)K^q−1_m,i(·, z_k) и рассмотрим функцию ˜fk(·) = ^g˜_k˜^k_g^(·)

kkq^′. Так какkf˜kkq^′ = 1, то

Z∞

0

ψ(s) ˜f_k(s)ds ≤



 Z∞ zk

|ψ(s)|^qds





1 q

∀ψ∈L_q(I),

что показывает слабую сходимость к нулю последовательности {f˜k} ∈ Lq^′(I).

Тогда в силу компактностиK_m^∗

k→∞lim kK_m^∗f˜_kkp^′ = 0. (45)

Из соотношений (11) и (8) имеем

kK_m^∗f˜kkp^′ ≥





zk

Z

0



 Z∞ zk

Km(x, s) ˜fk(x)/, dx





p^′

ds





1 p′

≫Am,i(zk, µu), 0≤i≤m.

Отсюда и из (45), как в случае (44), получаем, что lim

z→∞A⁺_p,q(z) = 0. Таким образом, необходимость доказана.

Достаточность. Пусть ядро K_m(·,·) оператора (2) принадлежит P_m, m ≥ 0, и выполнено условие 1 теоремы 7. Из условия A⁺_p,q < ∞ на основа- нии теоремы 5 оператор (2) непрерывно действует изLp(I) вLq(I).

Пустьω(·) и v(·) — неотрицательные функции, заданные на I. Из опреде- ления классов (см. (6), (11)) P_m, P_mследует, чтоK_m(x, s)v(s)∈P_m, и поэтому по теореме 1

kωK_mvfkq =kK_mvfkq,µω≪A⁺(µ_ω, K_mv)kfkp, значит,

kωKmvkp→q ≪A⁺(µω, Kmv), (46) где dµ_ω(x) =ω(x)dx,A⁺(µ_ω, K_mv) = sup

z>0

A⁺(z, µ_ω, K_mv).

Пусть 0< a < b <∞. Рассмотрим операторKa,b ≡χ_(a,b)Kmχ_(a,b). Опера- тор Ka,b компактен изLp(I) вLq(I) тогда и только тогда, когда он компактен из Lp(a, b) в Lq(a, b). В силу теоремы 5.6 из [21, с. 92] оператор компактен из L_p(a, b) вL_q(a, b) тогда и только тогда, когда

|D^∗|+|D|→0lim kχ_D^∗K_a,bχ_Dkp,(a,b)→q,(a,b)= 0, (47) где D^∗ ⊂ (a, b), D ⊂ (a, b), |D| — лебегова мера множестваD. Так как ядро оператораKa,bχD принадлежит классуPm, из (46) и леммы 1 имеем

kχD^∗Ka,bχDkp,(a,b)→q,(a,b)

≪ max

0≤j≤m



 Zb a

χD^∗(x)K^q_m,j(x, a)U_m^q(x)dx





1 q

 Zb a

K^p

′

j (b, s)χD(s)ds





1 p′

.

Отсюда легко следует (47). Таким образом, для любых 0< a < b <∞оператор Ka,b компактен изLp(I) в Lq(I). Оператор (2) представим в виде

K_m=K_a+K_b+Ke_a,b+K_a,b,

где K_a=χ_(0,a)K_mχ_(0,a),K_b=χ_(b,∞)K_mиKe_a,b=χ_(a,b)K_mχ_(0,a), откуда

kK−Ka,bkp→q≤ kKakp→q+kKbkp→q+kKea,bkp→q. (48) Если покажем, что правая часть (48) стремится к нулю при a→0 иb→ ∞, то оператор (2) как равномерный предел компактных операторов будет компакт- ным изL_p(I) вL_q(I) .

Введем меры

dµ_a(x) =χ_(0,a)(x)dx, dµ_b(x) =χ_(b,∞)(x)dx, dµ_a,b(x) =χ_(a,b)(x)dx.

По теореме 1 справедливы оценки

kK_afkq ≤ kK_mfkq,µa≪A⁺(µ_a)kfkp, kK_bfkq≤ kK_mfkq,µb≪A⁺(µ_b)kfkp, kKe_a,bfkq=kK_mχ_(0,a)fkq,µa,b ≪A⁺(µ_a,b, K_mχ_(0,a))kfkp.

Следовательно,

kKakp→q ≪A⁺(µa), kKakp→q≪A⁺(µa), kKe_(a,b)kp→q ≪A⁺(µa,b). (49) ПосколькуA⁺(µ_a) = sup

z>0

A⁺(z, µ_a) и

A⁺(z, µ_a) =







0 приz≥a,

Ra z

R_z

0

K_m^p′(x, s)ds _p^q′

dx

!¹_q

при 0< z≤a,