О коэрцитивных оценках решения разностных уравнений

Труды Математического института АН СССР 1988, том 181

У Д К 519.614

М. О . О Т Е Л Б А Е В

О КОЭРЦИТИВНЫХ ОЦЕНКАХ РЕШЕНИЙ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

Содержание настоящей статьи тесно связано с результатами и методами работы [1], где для трехдиагональной матрицы, соответствующей разност­

ному аналогу оператора Штурма—Лиувилля, была получена двусторонняя точная оценка наименьшего собственного числа. Метод работы [1] получил развитие в статье Е. Смаилова [2], который обобщил результаты работы [1]

с точки зрения разностных теорем вложения и нашел интересные приложе­

ния в теории функций.

В этой работе мы для решения линейных (или нелннейных) разностных уравнений

щ⁺¹ — 2щ + uy-i + cj {а)щ = f^s, ] Œ {. . —1, 0, 1, . . . } , получаем неравенство:

SI ^— 2щ -f 1 + ! cj

(u)

uj | < 3 SI fj |,

3 j

а в линейном случае — еще следующую оценку:

3 3

гед а эффективно выражается через {с^}. Первая из этих оценок, очевидно,, неулучшаема; доказывается, что неулучшаемой является и вторая оценка.

Важно отметить (и это является главным достоинством работы), что полученные оценки верны только при одном предположении Cj (и) > О, все оценки точны по порядку и не зависят or количества узлов.

В конце работы указывается достаточно широкий класс разностных уравнений, для которых верны аналогичные оценки коэрцитивности. Оценки такого вида важны при анализе вопроса об устойчивости разностных схем, а также вопроса о сходимости решений разностных схем к решениям соот­

ветствующих дифференциальных уравнений*

Содержание данной работы обсуждалось с Р. Ойяаровым и Ш. Смагу- ловым. Автор благодарит их за внимание.

1. ОЦЕНКА НОРМЫ

ОДНОГО РАЗНОСТНОГО ОПЕРАТОРА ВЛОЖЕНИЯ

Пусть cj > s > 0 ( J GZ = (0, + 1 , + 2 , . . . } ) . Обозначим через 1^Х и H

«банаховы пространства, снабженные соответственно нормами:

II и Ik= S К-!

J = — о о 9 Тр. Математического ин-та, т. CLXXXI 241

Ц и Ц я = S (\^lj\ + Cj\Uj\),

j — —0 0

где Au^s = иу-х — 2u; + w^j4.^x. В этом параграфе] мы получим оценку нормы оператора вложения E: H -> Z^x.

Введем новую последовательность чисел {с*}:

Ср С / > 1 ,

1

тг = min JA: ^ >

4jc + l (4тг + I )2 5

/ = - 2 ? £ г=7с

Целое неотрицательное число, для которого достигается этот min, будем>

обозначать через п$. В случае с^ 1 полагаем по определению: rij = 0. В сплу Cj > s > 0 для любого 7 число 72; конечно. Для любых i и / (/ 1> 0) легкое проверить следующие равенства:

Mi+i⁺i = Mi + (7 — Wi-i) + S S Aui+z (1.1)

Tî=0 Z=0

и

= Щ + (j + 1) (Щ — Ui+à + S S Auw- (1-2) lî~0 1=0

Л е м м а 1.1. Пусть cj < 1, j Œ Z. Тогда

2П; 2П;. 2rij

l——2rtj l=—2rij l^=—2rij

Д о к а з а т е л ь с т в о . Нетрудно убедиться, что можно рассматривать.

только действительнозначные последовательности и считать, что

У | u^j+z| < l и max \u^j+l\ = u^jo= ¹ . (1.3)

-VbfSteanj ^{4 7 г}7 +¹

Обозначим

S | A u^{i + z}| = 4 .

1=—2П*

Утверждение леммы легко проверяется в силу (1.3) и определения cf, еслт,

Л ^-g-firij + I)"². Поэтому можно считать, что Л < -g-(4?ij + 1)~². Если 7 — 2/г; < /о < 7 + 2т2^;, то u^h — > 0 и] u^jo — > 0, и поэтому не­

равенств (1.1) и (1.2) вытекает, что при / — 2п^} < 7о + * + 1 < 7 + 2>п^

имеет место цепочка неравенств:

2Uj

ъ 1 1 7

^ 4 п7. + 1 8 ( 4 п , + 1) ~ 8 ( 4^ + 1 ) •

Следовательно, выполняется соотношение

Л *

8 ^Cj'

l=-²ⁿJ

242

Последнее неравенство и соотношение (1.3) доказывают лемму в случае / — 2щ < 70 < 7 + ^пг Осталось рассмотреть случай /0 = / — 2щ или /0 =

= / + 2rij. Для определенности будем считать, что /0 = 7 — 2щ. Тогда*

3

если Щ-2п} — Щ-2п.-1^ ^{7 7 — ,} , х о1 , то в силу соотношения (1.1) и условия

J J [Ш . -f- I)- . . 1

^ 8 (4в + х)^{3 им е ем} неравенство

77- • - > 1 3 ( i + l ) i + 1

^ ¹ ^ 4 л , + 1 ~ ( 4 » , + 1)« ~~ 8 (in. + 1/» •

Отсюда, для s + 1 < ^ щ получаем оценки

1 4 л . ^{/ j %}

> ^ ^ ( > - ^ ) > i ^ r r > 4 -

^c

î ( 4 - + i ) -

Поэтому, используя определение cf", выводим неравенства

cj +z | M ;+z f > -rc * (4л, + 1)

C j + r > 4 "

^c

*

l=—2rij Z=—2n •

Последнее неравенство и соотношение (1.3) доказывают лемму при рас­

сматриваемом предположении. Осталось изучить случай — ^uj-znj-i <С

< —3/(4д; + I )2. При этом условии, в силу формулы (1.1), имеем неравен­

ство:

1 i - j -1 1

« j - 2^Vi^{+ 1 <} 4 ^ . ^{+ 1} — 3 ⁽⁴^^{+ i )2} + (4п, + 1) ^{8 { 4 l},^{j + 1 ) a} • Тогда при i = 4/г,- — 1 получаем цепочку соотношений:

f 36/г. + 9 - 9 6 к . ) \ ^ j

— ( 4 и , + 1)*

а это противоречит формуле (1.3). Лемма полностью доказана.

З а м е ч а н и е 1.1. Лемма 1.1 при Cj > 1, j Œ Z также имеет местоА

так как в этом случае щ = 0 и утверждение леммы тривиально.

Т е о р е м а 1.1. Для \\ Е || {нормы оператора вложения Е : H Z^x) справедливы оценки:

Г1 (inf с*)-1 < И £ | | < 16 (inf (1.4)

О"} {if

Здгсь постоянная к не зависит от последовательности {cj}.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим о7- = [/ — 2щ, j + 2п3] — мно­

жество целых точек отрезка [7 — 2щ, j + 2щ\. Согласно теореме типа Бе- зиковича [3] ¹ числовую ось можно покрыть отрезками V^j]{:

Vh = lh - 2nh, h + 2nikl к Œ Z,

которые таковы, что Уд f| У/ к = ф, если | к± — к21 > 1. Поэтому выпол­

няется неравенство

сю оо оо ь JK

j = — oo j = — оо К*=—оо Z=jj.—-2П^

1 В рассматриваемом нами случае такое утверждение можно легко д о к а з а т ь э л е м е н т а р ­ ными средствами.

2 4 3 ⁹*

Теперь, пользуясь леммой 1.1 и замечанием 1.1, получаем цепочку оценокг

с»

> -4-(inf

^с*)

V | ^ |

= - j j - ( i n f с*) U u\\i^r

Итак, правое неравенство (1.4) доказано. Докажем левое неравенство тео­

ремы. Обозначим а = i n f cf. Если a J> 1, то все С/, / G Z н е меньше 1, и по­

этому £f = CjP> а для всех ; Œ 2 . Пусть u^JQ = 1, = 0 при / Ф /⁰. Тогда

оо оо

j=—со j=—ос

Отсюда, так как /0 — произвольно, следуют оценки:

Ii и 11я И u J , , > - j J L - > - f i l^u 1Гн 11 " l k > 4 я "¹-

Последнее неравенство доказывает левое неравенство теоремы в случае а^1~

Пусть теперь я < 1 . Тогда найдется/⁰ такое, что с\ < 2 # , щ[ ^ 1, С /0< 1 - Если щ⁹ <; 2, то берем за пробную последовательность ту же самую после­

довательность, которую брали выше и получим неравенства:

II " II« II и |к > -^т±— >

4"

• (1.5>

~ Jo

* / 1 \2 1

В силу % < 2 имеем ^ j⁰> ( 4 - 2 + 1 ) = =" 8 Г * Поэтому из (1.5) получаем цепочку оценок:

« » 11н II » l k > 4 " •^{8 1 - 1} (^С* П = W (^c?»)^{_ 1} > W ^fl_1-

Следовательно, левое неравенство теоремы в случае пи <^ 2 доказано. Если же тг^А > 2, то в силу определения с\ имеем соотношения:

£ cj < ^ Z T

или

£ с. < ^ i _ .

Допустим для определенности, что выполнено первое из этих неравенств.

За пробную последовательность {UJ}JL._OO возьмем следующую:

Uj =

-Y 0 - h + ²ⁿJ⁰ — 1) (7 — h + ⁿh — ²)> ^ПР^И Jo ~ ^{2 п}л + 1 < / < /о — ²ⁿjo + ²- О, в остальных случаях.

Тогда непосредственным вычислением получаем неравенства II и ||я < а^гпь, \

II и \\^к >

а

²

4-

Из этих неравенств следуют оценки:

Il ^и II» Il w ||⁴ > а³я * > а⁴ (с*)"¹ > a⁵ûf^х. Теорема доказана.

З а м е ч а н и е 1.2. Следует отметить, что важным моментом в форму­

лировке теоремы 1.1 является независимость постоянной к от положительной- 244

последовательности а также ее нижней грани. Изменяя, при необходи­

мости, определение «усредненной» последовательности с*, можно уточнить и сблизить границы оценок (1.4). Мы в этой работе такой задачей не зани­

маемся, хотя сознаем, что улучшение границ оценок в (1.4) имеет важное- значение.

2. О ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЯХ Рассмотрим разностное уравнение:

-Au, + cjuj = cffj, jŒZ, (2.1)

где Auj = Uj⁺¹ — 2UJ + щ-^х, 1 > a > 0, c, > e > 0. Умножим уравнение (2.1) на Uj ( Щ )У/2, (y ]> —1) и просуммируем по всем /; получим:

со оо S ( - A u ^A. ( ^ ) ^ + ^ u f ( a j ) v / 2 ) = S cJfjUjtây"*-' (²-²)

j=—oo j——-00

Легко проверить следующие соотношения:

оо со

S А и , и , ( и > * = S [ ( » j⁺

i - a

^;) - ( ^ - u^j_¹) ] « / ( " î )^{v / a} =

j = — о о j=—оо

оо оо

= S ^(«i+i —»J)"J(

^m

?)

^vï/

— . S ("j+i—»j)«j+i(«?u)

^{v / 2}

=

j=—oo j=—oo oo

= S ( u

^{j + 1}

- u

⁷

. ) [ w H ^ )

^{Y / 2}

- " ^ i ( " ;

⁺

i )

^{v / 2}

] -

Очевидно, что каждое слагаемое суммы в правой части последнего равенства неположительно. Поэтому из соотношения (2.2) следует оценка:

оо оо j=—O0 js=--O0

< ( S с Г Ы

^{( 1 +}^ Г Ч S | / ; И^{1 Л /}, (1/Р + 1 / Р ' = 1, 1 < Р < о о ) .

j = — С О js=—оо

Возьмем р, а, 7 , удовлетворяющие условиям: ра = 1, (1 + у) P = 2 + у^у /> = 1/а, у = (2 — р)/(р — 1). Тогда выполняются неравенства: 1 < р <С

< о о , у > — 1 ,

со оо °* оо j = OO _J=— 00 j=— со

Следовательно, имеет место оценка

( S о Ы

^у

Г ' < ( S (а + 1/р' = 1). (2.3)

j = ~ - C O Jss:—OO

Пусть {fj} — финитная последовательность. Тогда уравнение (2.1), в силу условия Cj > е > 0 в Z² имеет решение {и^;}. Используя неравенство (2.3)^г нетрудно убедиться, что это решение принадлежит Z^p> при 1/р' + а = 1.

Устремляя а к 0 или 1 получаем, что сказанное выше верно и при a ЕЕ [0^% 1), причем выполняется неравенство (2.3).

Если теперь {fj} принадлежит l^p, (1 <; р' < о о ) , но не является финит­

ной последовательностью, то, приближая {fj) в /^р> финитными последователь­

ностями, получаем, что уравнение (2.1) имеет решение, удовлетворяющее неравенству (2.3).

Рассуждения и выкладкп, данные выше, приводят к лемме 2.1.

245

Л е м м а 2.1. Пусть Cj > e > 0. Тогда уравнение (2.1) при 1 > а > 0 Аля любой правой части f = {/Д Œ ZP' (ce + 1/р' = 1) имеет решение, удов­

летворяющее неравенству (2.3).

С л е д с т в и е 2.1. Пусть cj > s > 0. Обозначим через L"¹ оператор в пространстве последовательностей, сопоставляющий каждой последова­

тельности {fj} решение {щ} разностных уравнений:

—Ащ + с,щ = 7 Œ Z. (2.4)

Тогда, если 1 > а > 0 и а + Up' = 1, то оператор Л^а , первоначально оп ределенный на финитных последовательностях равенством

допускает ограниченное продолжение из lv* в 1р>.

Т е о р е м а 2.1. Разностное уравнение (2.4) для любой последователь­

ности {fj} ЕЕ Ii имеет решение {и,} такое, что выполняются неравенства

S l A « j | + . 2 C ; K | < 3 . 5 Ш (2-5) j = — C O j=sz—OO j = — O O

2 K | < 4 8 ( i n f^C* ) - i S | / , | . (2.6)

j = — o o {j} j = — o o

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу следствия 2.1, в котором берем а = 0, получаем, что уравнение (2.4^ имеет решение {i^}, удовлетворяющее оценке

со со 2 ^ . | u , | < 2 | /7. | . i*=—оо i = — о о

Отсюда и из самого уравнения (2.4) получаем неравенство:

со со

2 | А ^ - | < 2 S | / / | .

j——оо i = — о о

Эти два неравенства доказывают оценку (2.5). Из неравенства (2.5) и теоре­

мы 1.1 вытекает неравенство (2.6). Теорема 2.1 доказана.

З а м е ч а н и е 2.1. Из уравнения (2.4) и неравенства треугольника для нормы следуют оценки:

оо со оо

2 Ш< S | А " Л + S с,\и}\.

j = — о о j=—со j=—оо

Эти неравенства вместе с неравенством (2.5) в силу теоремы 1.1 показывают что оценка (2.6) не улучшаема по порядку, точнее:

kx (inf с * р < И LT1\ Ы < к% (inf с*)Л

w ш где и &² — абсолютные постоянные.

З а м е ч а н и е 2.2. К разностным уравнениям вида (2.4) автоматиче­

ски приводятся разностные уравнения вида

A u .

Л*

возникающие при конечно-разностной аппроксимации дифференциального уравнения

—У" {*) + Ч (я) У = / (я), где J" — любое открытое подмножество прямой.

246

3. О НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЯХ.

ОБОБЩЕНИЯ

Рассмотрим теперь следующую нелинейную разностную схему (р. с ) : ' — Au^s + Cj {и) и, = f^p j — — — iV + 1 , . . . , 0 , 1 , . . . ^ifN,

где N < o o , u = (и-.дг-1, . .

WN +I),

Au, = w^{j 4 1} — + Будем предполагать, что с, непрерывны и с, (•) ;> s > 0. Наряду с р. с. (3.1)

рассмотрим вспомогательную р. с.

- AHJ + Cj (U) Uj = с- (и) fj,

Умножим равенство (3.2) на (и%)^у<'²щ и просуммируем полученное по всем j ; в результате получим равенство

S ( - А и

^Л

# / * +

^{С ;}

(

^и

) и ? ( ^ ) = I сЧ(и)и,(и№ъ. (3.3)

Преобразуем слагаемые левой части равенства (3.3), содержащие раз­

ность А^:

N N

2 - A w^A

- ( u | ) v / 2 = 2 1 ( и м - и , ) - ( и , - и ^ ] и , ( и 5 ) ^ =

N N

js=—jV j~—N N N

=— s (^

⁺

i-^)^(^)

^{Y / 2}

+ s (wi+i-^)w

^{J +}

i;(^i)

^{Y / a}

=

j = — N " 7-=— IV

JV-1

= - S ( ^^{+ 1}

- ^ . ) ( ^ ( и | ) ^ _ и

^{; + 1}

( и ^ / 2 ) .

Каждое слагаемое, входящее в последнюю сумму, неотрицательно. Поэтому из (3.3) получаем неравенство

i=—N i = — J V

Отсюда, применяя методы, употребленные в разделе 2 и аналогичные рассу­

ждения, получаем оценку

( 2

^CJ

.(U)K|P')

^W

<(

^S

1/,ГГ'-

« + 1 / P ' = 1 .

j=sa— N j=~N

Тогда, устремляя a к нулю, получаем оценку

Из последнего неравенства в комбинации с уравнением (3.1) выводим оценку

2 ( | Д и^;

. | +

^С

» М < 3 2 \fj\- (3-4)

Неравенство (3.4) верно также и в случае, когда коэффициенты Cj (и) не зави­

сят от и.

247

Тзперь покажем разрешимость задачи (3.1). Для любого вектора и =

= (y.jv, z;_jv+i^? . . i>⁰, • • *' ^VN) уравнение

f - Дм, + с » и, = / „ J = —iNT,—ЛГЧ-1 О N, j[ U„N-i — W-xV = U N + I — ^iV = U

разрешимо. Это является следствием условия: с, (У) > 8 ]> 0. Для решения

^ уравнения выполнена оценка (3.4). Поэтому, в силу Cj (v) > e > 0 имеем неравенство

Л" N

Обозначим через ^4 оператор, сопоставляющий вектору г; решение м^г урав­

нения (3.5) при фиксированном / = (/_дг, . . ., /⁰ . . ., / ^ ) . Если г; таково, что И У j] < ; ⁴/³ I / Hi, то для Av согласно (3.6) имеем

Il Av h - U u^v < II / И , . 4

Следовательно, оператор А переводит шар радиуса — [| / ||^х в шар радиуса

— I / | |^г По предположению с3- (v) — непрерывно зависит от v. Отсюда лег­

ко вытекает непрерывная зависимость Av от v. Теперь, пользуясь принци­

пом существования неподвижной точки Шаудера ([4, с. 409]), получаем, что А имеет неподвижную точку Av = v в шаре радиуса — | | / | | i - Но тогда v удовлетворяет уравнению (3.1), т. е. уравнение (3.1) имеет решение и = У.

Очевидно, для этого решения выполнено неравенство (3.4). Таким образом, доказана

Т е о р е м а 3.1. Разностное уравнение (3.1) имеет решение, удовлетво­

ряющее оценке:

S (|Au^;-| + ^{C j}- ( " ) K - | ) < 3 S | / , | . (3.7)

i=—Л" — лт

Здесь весьма важно, что правая часть неравенства (3.7) не зависит от {с⁷- (•)}.

З а м е ч а н и е 3.1. Теорема 3.1 обобщается на разностные аналоги следующих операторов:

а) эллиптического оператора второго порядка:

n

Ьщ = — S àiUijAiUj + qj (и) uj,

где AjWj = ~- ⁵ —, aiS(u),qj(u) положительны;

б) операторы типа теплопроводности:

Lu}= ^{t x + 1} — ^ Aia^tj (и) A^fuJ.+ qj (и) u^p i=i

с нулевым начальным условием ², где a^t (и), д⁷- (и) положительны.

3 а м е ч а н и е 3.2. Непрерывный аналог теоремы 3.1 в многомерном случае в более общей ситуации принадлежит Ойнарову Р., а одномерный ана­

лог доказан в работе [5].

2 По пространственным переменным, например, можно взять нулевые.

248

З а м е ч а н и е 3.3. Для каждого оператора, упомянутого в замечании 3.1, предельным переходом может быть получен непрерывный аналог теоре­

мы 3.1 при некоторых предположениях на коэффициенты.

З а м е ч а н и е 3.4. Результаты, аналогичные теореме 2.1, для раз­

ностных схем, соответствующих многомерным операторам типа Шредингера, не получены.

З а м е ч а н и е 3.5. С точки зрения приложения, более интересным яв­

ляется получение оценок коэрцитивное™ в l^p, р > 1, нежели полученные нами оценки коэрцитивности в 1^Х.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Муслимое Б., Отелбаев М. О. Оценка наименьшего собственного значения одного к л а с с а м а т р и ц , соответствующего разностному уравнению Ш т у р м а — Л и у в и л л я //

Ж у р н . вычисл. математики и мат. ф и з и к и . 1981. Т . 2 1 , № 6. С. 1430—1434.

2 . Смаилов Е. С. Р а з н о с т н ы е теоремы в л о ж е н и я д л я пространства Соболева с весом и их п р и л о ж е н и я // Д А Н СССР. 1983. Т . 270, № 1. С. 52—55.

3 . Гусман М. Дифференцирование и н т е г р а л о в в Rⁿ. M.: Мир, 1978.

4 . Треногий В. А. Ф у н к ц и о н а л ь н ы й а н а л и з . М.: Н а у к а , 1980.

5. Гриншпун Э. 3., Отелбаев М. О. Гладкость р е ш е н и я уравнения Ш т у р м а — Л и у в и л л я в Ь^х ( — о о , оо) / / И з в . А Н К а з С С Р . Сер. физ.-мат. 1984. № 5. С. 26—29.