ПЕРВАЯ АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА НА РЕШЕНИЯ ДЛЯ ОДНОЙ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОГАЗОДИНАМИКИ

УДК 517.51

ПЕРВАЯ АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА НА РЕШЕНИЯ ДЛЯ ОДНОЙ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОГАЗОДИНАМИКИ

Момынкулова А.К.

Казахский национальный университет имени Аль-Фараби, Алматы Научный руководитель – к.ф.м.н., доцент Тунгатаров Н.Н.

Электрогазодинамика (ЭГД) область физики и механики, изучающая движение униполярно заряженных или поляризованных жидкостей и газов в электрическом поле.

Многие математические задачи современной науки и техники, возникающие на практике, связаны с решением уравнений газовой динамики. Несмотря на многочисленное количество методов, используемых в настоящее время для решения этих уравнений, работа по их дальнейшему изучению продолжает оставаться важной и актуальной.

Поэтому задачи, встречающиеся при изучении проблем механики, представляют большой научный и практический интерес, поскольку их решение связано с дальнейшим развитием теории дифференциальных уравнений и разностных схем. С их помощью решаются многие задачи механики, физики и техники, которые приводятся, так или иначе, к уравнениям газовой динамики. Такие, как аэродинамика летательных аппаратов, астрофизики, прогноз погоды и другие.

Математическая задача об определении решений уравнений, описывающих движения сплошной среды сводится к отысканию неизвестных функций от трех пространственных переменных и времени, например, скорости, объема, давления, температуры, плотности, электрической и магнитной напряженности.

Рассматривается баротропное движение вязкого газа и ионов (под ионами будем понимать заряженные атомы или молекулы) одного сорта в электрическом поле при отсутствии внешнего магнитного поля. Область течения имеет непроницаемые стенки.

Настоящая работа посвящена изучению сходимости и устойчивости разностной схемы для одномерной модели электрогазодинамики с учетом коэффициента диффузии заряженных частиц, когда давление зависит только от плотности. Для модели баротропного движения вязкого газа на сетке

Q

_h∆t

U Q

_h¹_∆t рассмотрим следующую разностную схему:

1,

1 2 / 1

+ +

− = _iⁿ_x

n t

i u

v i=1,...,N, (1)

[ ( ) ] [ ]

^,

2

1 1 1 1

1 1 1

2 / 1 1

1 2 / 1

1 + + +

+ + + −

−+

+  − + +



 



=  _iⁿ _{x i}ⁿ _iⁿ _ixⁿ

x n

x n i i n

t

i u p v E E E

u µ v ε (2)

( ) ( )

[ ]

^{1 ,}

6 ¹

1 1

2 / 1 2 / 1 1 2

1 1 1 2 1

1 2 / 1

1 n

x n

x i n i n i x n i n i n i n

n i i n

t

i E j

v v E D

E E v E

E b  +



 

 +  +

+

−

= ₊ ⁺

−

−

−+

−+ + +

− +

(3) ,

1 ,...,

1 −

= N

i n=0,...,M−1,

( ) ( )

p v_iⁿ₋⁺_{1 2}¹_/ = v_iⁿ₋⁺_{1 2}¹_/ ^−γ , γ_>1 с начальными и граничными условиями

( )^,

0 0

i

i u x

u = 0( 1/2)^,

0 2 /

1 −

− = i

i v x

v 0( )^,

0

i

i E x

E = (4)

u

₀ⁿ⁺¹

= u

_Nⁿ⁺¹

= 0 , E

₀ⁿ⁺¹

= E

_Nⁿ⁺¹

= 0 ,

(5) причем

v

_i⁰_−1/2

−

строго положительная и ограниченная функция

. 0 < m₀ ≤v_i⁰_−1/2 ≤ M ₀ < ∞

Кроме того, разностный аналог удельного объема обладает свойством

v_i h

i N

= −

∑

1 2 ⁼ 0 1

/ 1.

Разностные уравнения (1)-(3) аппроксимируют дифференциальные уравнения соответственно с порядками ^{O h}

(

^{2 + ∆t}

)

^,

^{O h ( + ∆ t )}

^{, O h}

(

^{2 + ∆t}

)

^.

Для дифференциальной задачи дано определение обобщенного решения и доказана теорема единственности [2].

Для получения первой априорной оценки на решение разностной схемы используется известные теоремы из математического анализа, все оценки получены в разностных аналогах норм пространств Соболева, методом априорных оценок доказана следующая лемма.

Лемма. Если

^,

2¹

( ) ^,

0 0

h

W

h

E

u ∈ Ω

^v0∈W21h

( )

^{Ω1h j}1∈^L2_∆t( )ω_∆t ^, то для разностного решения

(

^{u, v, E}

)

задачи (1)-(5) имеет место оценка

( )

∑

=

−+

+ + ^N +

i n i

n v h

u

1

1 1

2 / 1 1 2

2 ϕ ε

]

⁺

^{∑∑ ( )}

^{∆ +}

= = +

− + +

+ h t

v v u

E

n

m N

i m i m

x n i

n

0 1 1

2 / 1

1 2 2

1

1 µ

_∑∑ ( )

_{∆ ≤ <∞}

= = +

− n +

m N

i m i

m x

i h t C

v D E

0 1 1 0

2 / 1

12

2ε1 ,

где

( ) ( ( ) ( )

¹

)

^.

1 2 / 1

1 1

2 /

1

∫

−+

−

=

−+

n

vi

n

i p p S dS

ϕ v

Литература

1. Ватажин А.Б., Грабовский В.И., Лихтер В.А., Шульгин В.И.

Электрогазодинамические течения. – М.: Наука, 1983. – 344 с.

2. Файзуллина Н.Т. О разрешимости краевой задачи для уравнении электрогазодинамики //Математические проблемы механики сплошных сред.

Динамика сплошной среды. Сборник научных трудов. – Новосибирск, 1989. - Выпуск 91.- С. 135-148.

Бортников Ю.С., Рубашов И.Б. Некоторые вопросы исcледования системы уравнений электрогазодинамики // Магнитная гидродинамика. – 1968. – Вып. 2. – С. 26 – 32.