ПОВЕДЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ ПО НЕКОТОРОЙ СИСТЕМЕ КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ

УДК 517.9

ПОВЕДЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ ПО НЕКОТОРОЙ СИСТЕМЕ КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Куанышов Н.

Казахский национальный университет им. Аль-Фараби, Алматы Научный руководитель – д.ф.-м.н., профессор Кангужин Б.Е.

В настоящей работе изучены свойства систем корневых функций, порождаемых корректно разрешимыми краевыми задачами для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Построена соответствующая система корневых функций и биортогальная к ней система. Поведение последовательности коэффициентов Фурье по системе корневых функции нелокальных краевых задач для дифферениальных уравнений может зависеть от гладкостных свойств разлагаемой функций или от гладкостных свойств граничной функции.

Выберем последовательность комплексных чисел ^Λ_{= { }}, в который каждой элемент считается со своей кратностью _∈^Λ. Свяжем с ^Λ систему функции

Λ = , ; 1

1! , ; 1

2! , ; … ; 1

− 1 ! , ; ∈Λ .

В данной работе последовательность ^Λ совпадает со спектром следующей нелокальной внутренне краевой задачи на собственные значения

≡ − ^!! + # = , 0 < < 1 1

& ≡ 0 = 0 2

& ≡ ^! 0 = '(− ^!! + # )*++++++,

-

3 где _{* ∈ 0,1 , # −} действительная и непрерывная функция на отрезке _/0,10, {1 , , , } −фундаментальная система решении однородного дифференцального уравнения второго порядка (1) [3]. При таком выборе последовательности ^Λ во-первых, все элементы отличны от нуля, и во-вторых, система функций ^Λ минимальна в 0,1 . В теореме 1 данной работы в терминах фундаментальной системы решений однородного уравнения (1) и граничной функции выписана биортогональная система функции.

23 Λ = {ℎ2, ₅ , ℎ2, ₅ , … , ℎ2,- } к системе ^Λ _, где

ℎ2, ₅ 6= − 1

2− 1 − 7 ! lim^;→; , ^{5 6}

, ^{5 6}= − ⁵>_;? @

∆ B , 7 = 0,1, … , 2− 1,

>_;? @ = * @ + ̅ D E , @,_F +++++++++++* , , _{E , @, =G F H1 ,1 @, @, H}^, ,

I @ = H 1 @, @,

1^! @, ^! @, H, _{∆ = 1 − D- , *++++++,} .

Экспоненциальные системы функций типа ^Λ исследовались в работах [1, 2]. В

работе [1, с. 51] доказывается только существование биортогональной системы функций без предъявления явных формул, а в работе [2] конструктивно построена биортогональная система функции к экпоненциальной системе.

Сформулируем полученные основные результаты.

Теорема 1. Система функций ³ биортогональна к системе функций Е, то есть

< ,J , ℎ _5KLKM >= O 1, если T, U = V, 7 0, если T, U ≠ V, 7 X

Теорема 2. Пусть _{* ∗ ∈ 0,1} и оператор L имеет только простые собственные значения, лежащие в некоторой горизонтальной полосе. Тогда для функций _{Z ∗ ∈} I ^[\ /0,10, # ∗ ∈ I ^[/0,10 , 0 ≤ ^ < ∞ , удовлетворяющих условиям

& ` ²Z ∗ a = 0, & ( ^JZ ∗ ) = 0, V = 0,1, … , ^; U = 0,1, … , ^ − 1 ,

коэффициенты Фурье по системе корневых функций оператора L имеют асимптотические поведения при _{T → ∞}

b _,c Z = d̿ f^;_∆^{K ghL}_{i ;} j. (4) Теорема 3. Пусть оператор L имеет только простые собственные значения, лежащие в некоторой горизонтальной полосе. Тогда для функций _{* ∗ ∈ I} ^[\ _/0,10,

# ∗ ∈ I ^[/0,10 ,

0 ≤ ^ < ∞ , удовлетворяющих условиям ^J_{X* ∗ |lm = 0, nl}^{n J}_{X* ∗ |lm} = 0, U = 0,1, … , ^. Если Z ∗ ∈ 0,1 и _{Z ∗ ⊥} ²* ∗ , V = 0,1, … , ^ − 1, тогда коэффициенты Фурье по системе корневых функций оператора L имеют асимптотические поведения при _{T → ∞}

b _,c Z = d̿ `_∆^;_i^Kg_; a. (5)

Пример. Если выберем * = ^l_[\^pghL, то при _{n → ∞} выполняется оценка (5).

Литература

1. Седлецкий А.М. Биортогональные разложения функций в ряд экспонент на интервалах вещественной оси // УМН., 1982, Т. 37, вып. 5(227), С. 51-95.

2. Кангужин Б.Е., Нурахметов Д.Б. О полноте корневых функций обыкновенных дифференциального оператора с интегральным возмущением краевого условия //

20 лет независимости Республики Казахстан: Тезисы докладов. – Алматы, 2011. – С. 134-135.

Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. – Киев: Наукова Думка, 1977. – 330 с.