УДК 531.01
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ИСТОЧНИКА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА Аманжолов Т.Е., Ибраева А.С., Султанкулов А.М.
Казахский национальный университет имени аль-Фараби, Алматы Научный руководитель – Айтжанов С.Е.
Рассмотрим в прямоугольнике QT {(x,t): 0 x l, 0 t T} обратную задачу для уравнения Бюргерса, определить функций v(x,t) и f(t) которые удовлетворяют
), , ( ) (t x t f
v t vv
v
xx
x (1) начальному и краевым условиям
),
0 (x
vt v(0,t) 0, v(l,t) 0, (2) и нелокальному условию
) ( )
, ( ) , (
0
t e dx t x v t x u
l
(3) Первое и второе слагаемые в левой части уравнения (1) являются соответсвенно нестационарным и конвективным членами, а в правой части стоит вязкий член и функция.
Где v v(x,t), x –координата, t –время, предложенное первоначально для описания турболентности [1]. В частности, в работе [2] показано, что уравнение (1) возникает при рассмотрении широкого класса процессов в гидродинамике, нелинейной акустике и физике плазмы. При этом уравнение Бюргерса с нетривиальной правой частью, т.е. с источником F F(x,t) , описывает динамику физической системы, находящейся во внешнем поле (систему с “подкачкой” энергии), и является естественным обобщением однородного уравнения, отвечающего автономным движениям.
Краевые задачи определения коэффициентов или функции источника для параболического уравнения в предположении независимости искомых коэффициентов или функции источника либо от временной переменной, либо от пространственной переменной рассматривались в работах [3-10], численным исследованиям всевозможных задач математической физики, в том числе некорректным и обратным, посвящено множество работ: [6], [10] и литературы в них.
Обратную задачу (1)-(3) можно трактовать как задачу нахождения точных управлений f(t), необходимых для достижения заданной или ожидаемой энергии e(t).
Пусть выполняются условия согласования ,
0 ) ( ) 0
( l ( ,0) ( ) (0).
0
e dx x x u
l
Определение. Функций v(x,t) и f(t) называются обобщенным решением обратной задачи (1)-(3), если функции ( , ) 0, ; (0, ) (0, ; (0, ))
0 1 2 2
2 l L T W l
L T L t x
v
и f(t) L2(0,T) удовлетворяют следующим интегральным тождествам
, ) 0 , ( ) ( )
2 ( 1
0 2
l
Q Q
x x
x
t v v dxdt f t dxdt x x dx
v
T T
(4) для любых ( , ) ( ) ( ), ( , ) 0,
0 1 2 1
, 1
2 Q W Q xT
W t
x T T
2 , 1
0 0 0 0
2
l l l l
x x
x
t dx u dx u dx f t udx
u t
e (5)
где
].
, 0 [ ,
0 ),
, 0 ( ) (
), ( ) , ( ), , 0 ( ) ( )), , 0 (
; , 0 ( ) , (
0 2
1 2 0
1 2 1
T t dx
u l L x
Q C t x T W t e l W T C t x u
l
T
при
(6)
Лемма. Обратная задача (1)-(3) эквивалентна задаче (1)-(2), (5) при достаточно гладком решении v, f
и при совместных данных задач, причем функцию f(t) можно выразить явно, т.е.
2 . 1
0 0
2 0
1
0
l l
x x
x l
t l
dx u dx
u dx
u t e udx t
f
(7) Теорема. Пусть выполняются условия (6), тогда существует единственное обобщенное решение ( , ) 0, ; (0, ) (0, ; (0, ))
0 1 2 2
2 l L T W l
L T L t x
v
, f(t) L2(0,T) обратной задачи (1)-(3).
На основе теории разрешимости обратной задачи, предложен итерационный разностный алгоритм решения обратной задачи. Приводится описание численных экспериментов, реализующих теоретическую часть данной работы.
Литература
1. Burgers J.M. // Adv. Appl. Mech. 1948, №1. P. 171–199.
2. Su C.S., Gardner C.S. // J. Math. Phys. 1969, №10. P. 536–539.
3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука.
1979.
4. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. – М.: Наука. 1980.
5. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Method for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics. Marcel Dekker: Monograths and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. 2000, № 231.
6. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирское научное изд–во, 2009.
7. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. – М.: МГУ, 1994.
8. Kozhanov A.I. Composite type equations and inverse problems. The Netherlands:
VSP. 1999.
9. Belov Yu.Ya. Inverse problems for partial differential equations. The Netherlands VSP. 2002.
Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. – М.: ЛКИ, 2009.
