РАСЧЕТЫ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ НА ПРОЧНОСТЬ
Задания и методические указания по выполнению расчетно-графических работ
для студентов образовательных программ 6В07111 –Космическая техника и технологии,
6В07112 – Космическая инженерия
Алматы 2021
АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ ИМЕНИ ГУМАРБЕКА ДАУКЕЕВА
Некоммерческое
акционерное общество
Кафедра космической инженерии
СОСТАВИТЕЛЬ: Р.К. Койлыбаева. Расчеты элементов конструкций на прочность. Задания и методические указания по выполнению расчетно- графических работ для студентов образовательных программ 6В07111 – Космическая техника и технологии, 6В07112 – Космическая инженерия. – Алматы: АУЭС, 2021. – 24 с.
Дисциплина «Расчеты элементов конструкций на прочность» является для студентов образовательных программ 6В07111 – Космическая техника и технологии, 6В07112 – Космическая инженерия базовой дисциплиной по выбору. При ее изучении студенты обязаны выполнить три расчетно- графические работы. В методических указаниях даются задания к расчетно- графическим работам и примеры их выполнения. Приводится список рекомендуемой литературы.
Данные методические указания могут быть также использованы студентами указанных образовательных программ при изучении дисциплины
«Прикладная механика».
Таблиц – 4, ил. – 11, библиогр. – 8 наим.
Рецензент: Искакова А.К.
Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества
«Алматинский университет энергетики и связи имени Гумарбека Даукеева» на 2020 г.
© НАО «Алматинский университет энергетики и связи имени Гумарбека Даукеева», 2021 г.
3 Введение
Согласно учебным планам при изучении курса «Расчеты элементов конструкций на прочность» студенты образовательных программ 6В07111 – Космическая техника и технологии, 6В07111 – Космическая инженерия выполняют две расчетно-графические работы, каждая из которых состоит из двух заданий. К заданиям даются по 10 вариантов схем и 10 вариантов числовых данных. Во всех заданиях студент выбирает свой вариант по двум последним цифрам номера студенческого билета (транскрипта): схему – по последней цифре (цифре 0 соответствует схема Х), вариант числовых данных из таблиц – по предпоследней цифре (цифре 0 соответствует вариант 10).
Например, если последние две цифры транскрипта 37, то студент в каждой задаче выбирает схему VII и в соответствующей таблице вариант 3.
Расчетно-графические работы оформляются согласно требованиям внутривузовского стандарта СТ НАО 56023-1910-04-2014. Они выполняются в текстовом редакторе или пишутся разборчивым почерком на белых листах формата А4. Работы должны содержать титульный лист, выполненные задания, выводы, список использованной литературы и содержание. Перед выполнением заданий рекомендуется ознакомиться с теоретическим материалом по теме и рассмотреть пример выполнения задания. В каждом задании должна быть указана тема, приведены исходные данные (схема и числовые данные), необходимые расчеты, пояснения по выполнению, графические построения, вывод или ответ. Все заданные и вычисляемые величины должны приводиться с указанием их размерностей. Схемы и графические построения можно выполнять на миллиметровке или с использованием графических редакторов. В списке литературы должны быть указаны данные методические указания, использованные стандарты и учебная литература.
При защите расчетно-графических работ нужно уметь объяснить исходные данные, цель и ход выполнения заданий, обосновать выводы и ответить на вопросы по соответствующему теоретическому материалу.
1 Расчетно-графическая работа №1
Работа состоит из двух заданий, выполняемых по темам «Растяжение- сжатие» и «Кручение».
1.1 Проверка прочности стержневой конструкции
Конструкции состоят из двух стержней, соединенных между собой и прикрепленных к стене с помощью шарниров (рисунок 1). Весом стержней пренебрегают, поэтому каждый стержень находится под действием двух растягивающих или сжимающих сил, направленных вдоль стержня. Стержень
4
1 представляет собой один или два стандартных равнополочных уголка, стержень 2 имеет круглое поперечное сечение.
Приложенная к конструкции нагрузка и данные о стержнях даны в таблице 1. Принимая для материала стержней допускаемое нормальное напряжение при растяжении [σрас]=160 МПа и при сжатии [σсж]=120 МПа, проверить прочность стержневой конструкции.
Рисунок 1
5 Таблица 1
Вариант F1, кН F2, кН α,град β,град Стержень 1 Диаметр 2-го стержня, мм
1 15 35 40 60 уголок 50х3 14
2 35 50 45 50 2 уголка 40х3 12
3 20 45 50 30 уголок 45х4 16
4 45 20 40 50 2 уголка 36х3 18
5 15 30 60 30 уголок 50х4 10
6 25 15 30 75 2 уголка 36х3 12
7 20 45 65 40 уголок 40х4 14
8 50 20 60 45 2 уголка 32х3 16
9 40 25 75 30 уголок 45х5 15
10 30 45 50 35 2 уголка 32х4 18
Указания. Вначале из условий равновесия следует найти продольные силы, действующие на стержни. По знаку полученных сил определяют, что испытывают стержни – растяжение или сжатие. При определении нормальных напряжений в поперечных сечениях стержней площадь поперечного сечения 1-го стержня принимают из стандарта [6], а для 2-го стержня подсчитывают по заданному диаметру. Сравнивая вычисленные нормальные напряжения с допускаемыми, делают вывод о прочности стержневой конструкции.
Пример. Требуется проверить прочность стержневой конструкции (рисунок 2). Дано: F1=15 кН, F2=20 кН, α=75°, β=30°, стержень 1 – 2 уголка 32х4, диаметр 2-го стержня d=12 мм, [σрас]=160 МПа, [σсж]=120 МПа.
Рисунок 2 Рисунок 3 Рисунок 4
Решение: изобразим конструкцию с заданными углами (рисунок 3).
Рассечем стержни и предполагая их растянутыми, направим силы, действующие на отсеченные части стержней, как показано на рисунке 4.
Выберем систему координат и для полученной плоской системы сходящихся сил составим два уравнения равновесия:
6
1 1 2
1)
Fkx 0; F cos15 N N cos 60 0;1 2 2
2)
Fky 0; F cos 75 F N cos 30 0;Отсюда найдем продольные силы:
1 2
2
cos 75 15 0, 259 20
18, 6 ;
cos 30 0,866
F F
N кН
1 1cos15 2cos 60 15 0,966 18, 6 0,5 23,8 .
N F N кН
Знаки показывают, что 1-ый стержень испытывает растяжение силой N1=23,8 кН, а 2-ой стержень – сжатие силой N2=18,6 кН. Условия прочности стержней записываются следующим образом:
1 1
1
[ рас], N
A 2 2 1
[ сж].
N
A
1-й стержень составлен из двух уголков, поэтому площадь его поперечного сечения А1=2Ауг. Площадь поперечного сечения одного уголка Ауг принимаем из стандарта ГОСТ 8509-93 [6] для стороны b=32 мм и толщины полки d=4 мм: Ауг=2,43 см2. Тогда А1=2Ауг=2∙2,43=4,86 см2.
Для 2-го стержня площадь поперечного сечения находится по формуле площади круга:
2 2
2 2
12 113,1 .
4 4
A d мм
Вычисляем нормальные напряжения в поперечных сечениях стержней и проверяем выполнение условия прочности:
3 1
1 2
1
23,8 10
49 [ ],
4,86 10 соз
N МПа
A
3 2
2
2
18, 6 10
164,5 [ ].
113,1 сыг
N МПа
A
Здесь для того, чтобы нормальные напряжения получались в МПа, силы берутся в Н, а площади поперечных сечений в мм2. Таким образом, для 1-го стержня условие прочности выполняется, а для 2-го – нет. Следовательно, для конструкции условие прочности не выполняется.
Ответ: условие прочности для конструкции не выполняется.
7
1.2 Расчет вала на прочность при кручении
К валу, заделанному одним концом, приложены четыре вращающих момента (рисунок 5). Значения нагрузки, размеров и допускаемого касательного напряжения даны в таблице 2. Вал изготовлен из стали, модуль сдвига для стали G=0,8∙105 МПа.
Требуется:
1) построить эпюру крутящих моментов;
2) используя условие прочности при кручении, подобрать диаметры вала d и d1;
3) построить эпюру максимальных касательных напряжений в поперечных сечениях при выбранных диаметрах;
4) построить эпюру углов закручивания поперечных сечений вала относительно закрепленного сечения.
Рисунок 5
8 Таблица 2
Вариант a, м b, м c, м M1,
кНм M2,
кНм M3,
кНм M4,
кНм [τ], МПа
1 0,7 0,6 0,4 0,6 1,2 0,4 0,6 90
2 0,5 0,7 0,8 0,5 0,9 1,2 0,8 80
3 1,2 0,6 0,7 1,4 0,7 0,6 1,2 100
4 0,6 0,8 0,5 1,2 0,8 0,5 1,6 70
5 0,7 0,5 0,6 0,8 1,3 0,8 1,4 95
6 0,8 0,6 0,4 0,7 1,2 0,4 0,6 90
7 0,5 0,7 0,8 0,5 0,9 1,2 0,8 80
8 1,2 0,6 0,7 1,4 0,7 0,6 1,2 100
9 0,6 0,8 0,5 1,2 0,8 0,5 1,6 70
10 0,7 0,5 0,6 0,8 1,3 0,8 1,4 95
Указания. Для построения эпюры крутящих моментов применяется метод сечений. Рекомендуется проводить сечения, начиная со свободного конца, и определять крутящий момент, как сумму внешних моментов, приложенных справа от сечения. При этом внешний момент берется со знаком
«+», если со стороны рассматриваемого сечения он виден направленным по ходу часовой стрелки. Применяя два раза условие прочности при кручении, определяют необходимые диаметры в миллиметрах. Затем округляют полученные значения до ближайшего четного числа или числа, делящегося на 5 без остатка. Для выбранных диаметров подсчитывают полярные моменты сопротивления поперечных сечений и максимальные значения касательных напряжений в сечениях. Если при этом на некоторых участках вала максимальные касательные напряжения превышают допускаемые касательные напряжения, то надо подсчитать перегруз. Для перегруза менее 4% значения диаметров можно принять, в противном случае необходимо увеличить диаметр и пересчитать максимальные касательные напряжения.
Подсчитав для выбранных диаметров полярные моменты инерции поперечных сечений, находят углы закручивания сечений, начиная с заделанного конца вала.
Пример. Для вала, изображенного на рисунке 6, а дано: a=0,6 м, b=1 м, c=0,8 м, [τ]=90 МПа, G=0,8∙105 МПа.
Решение: проводим сечения на каждом участке вала, начиная со свободного конца. Вычисляем крутящие моменты через внешние моменты, приложенные справа от рассматриваемых сечений, и строим эпюру крутящих моментов (рисунок 6, б):
: I k 4 0, 7 ;
прав
I I Т
M М кНм4 3
: II k 0, 7 0,5 0, 2 ;
прав
IIII Т
M М M кНм9
4 3 2
: III k 0, 7 0,5 1,5 1,3 ;
прав
III III Т
M М M M кНм4 3 2 1
: IV k 0,3 .
прав
IV IV Т
M М M M М кНмУсловие прочности при кручении записывается следующим образом:
] [
max
max
Wp
T
. Отсюда находим необходимый полярный момент сопротивления и диаметр d поперечного сечения для левых двух участков вала:
max 6 3
3 3
1,3 10
14, 44 10 ;
[ ] 90 16
p p
T d
W мм W
3 3 16 3 16 14, 44 10
41,8 . 3,14
Wp
d мм
Округляя до ближайшего четного числа, принимаем d=42 мм.
Аналогично находим полярный момент сопротивления и диаметр d1
поперечного сечения для двух правых участков вала:
7,78 10 ; 16
90 10 7 , 0 ] [
3 1 1 3 3 max 6
1
W d T мм
Wp p
. 1 , 14 34
, 3
10 78 , 7 16 16
3
3
3 1
1 W мм
d p
Округляя до ближайшего четного числа, принимаем d1=34 мм.
Подсчитываем полярные моменты сопротивлений поперечных сечений и максимальные касательные напряжения в сечениях вала:
3 3 3
3 3
3,14 4, 2 10
14,5 10 ;
16 16
p
W d мм
3 3 3
3 3
1 1
3,14 3, 4 10
7, 71 10 ;
16 16
p
W d мм
10 Рисунок 6
; 9
, 10 25
71 , 7
10 2 ,
; 0 8
, 10 90
71 , 7
10 7 , 0
3 6
1 3 max
6
1
max МПа
W МПа T
W T
p II II
p I
I
. 7
, 10 20
5 , 14
10 3 ,
; 0 7
, 10 89
5 , 14
10 3 , 1
3 6 3 max
6
max МПа
W МПа T
W T
p VI VI
p III
III
В сечениях первого участка максимальное касательное напряжение превышает допускаемое: maxI [] , поэтому подсчитываем перегруз:
%.
8 , 0
% 90 100
90 8 ,
% 90 ] 100
[ ]
max [
I
Так как перегруз меньше 4%, значение диаметра d1 оставляем. Строим эпюру максимальных касательных напряжений, как показано на рисунке 6, с.
11
Подсчитываем полярные моменты инерции поперечных сечений:
. 10
1 , 32 13
10 4 , 3 14 , 3 32
, 10
5 , 32 30
10 2 , 4 14 , 3 32
4 4 4
4 4 1 1
4 4 4
4 4
d мм J
d мм J
p p
Для того, чтобы определить углы закручивания поперечных сечений вала, пронумеруем сечения вала 0, 1, 2, 3, 4, начиная с закрепленного сечения (рисунок 6, а). Применяем формулу:
180.
1
p k
k G J
l T
Здесь значения крутящего момента Т, длины участка l и полярного момента инерции Jp берутся для участка, расположенного между сечениями k и k-1. Подсчитываем углы закручивания:
; 42 , 14 0 , 3 180 10
5 , 30 10 8 , 0
10 6 , 0 10 3 , 0 0 , 180
0 5 4
3 6
0 1
0
p IV
J G
a T
; 63 , 2 05 , 3 42 , 14 0 , 3 180 10
5 , 30 10 8 , 0
10 1 10 3 , 42 1 , 180 0
4 5
3 6
1
2
p III
J G
b T
; 75 , 1 88 , 0 63 , 14 2 , 3 180 10
1 , 13 10 8 , 0
10 8 , 0 10 2 , 63 0 , 180 2
4 5
3 6
1 2
3
p II
J G
c T
. 55 , 0 3 , 2 75 , 14 1 , 3 180 10
1 , 13 10 8 , 0
10 6 , 0 10 7 , 75 0 , 180 1
4 5
3 6
1 3
4
p I
J G
а T
Как показывают расчеты, свободный конец вала закручивается относительного заделанного на 0,55° по ходу часовой стрелки. Эпюра углов закручивания представлена на рисунке 6, d.
Ответ: d=42 мм, d1=34 мм.
2. Расчетно-графическая работа №2
Работа состоит из двух задач, выполняемых по темам: «Изгиб» и
«Совместное действие изгиба с кручением».
12
2.1 Расчет балки на прочность при поперечном изгибе
Балка, заделанная одним концом, находится под действием сосредоточенной силы F , равномерно распределенной нагрузки интенсивности q и пары сил с моментом М (рисунок 7). Нагрузка, полная длина балки l=10a, отношения длин двух участков к a и форма стандартного сечения (профиля) балки даны в таблице 3.
Требуется:
1) записать для сечений на каждом участке выражения для поперечной силы Qy и изгибающего момента Мx в общем виде и затем подсчитать их значения в соответствующих сечениях;
Рисунок 7
13 2) построить эпюры Qy и Мx;
3) принять для материала балки сталь Ст3 допускаемое нормальное напряжение [σ]=160 МПа и проверить прочность балки;
4) при невыполнении условия прочности подобрать подходящее стандартное сечение балки.
Таблица 3 Вариант l,
м a1/a a2/a F,
кН M,
кНм q, кН/м
Форма и номер профиля балки
1 8 5 2 22 10 6 швеллер №16аУ
2 4 2 6 10 15 4 двутавр №18
3 6 3 5 20 14 8 швеллер №24У
4 8 4 3 10 6 3 двутавр №20а
5 4 5 2 14 12 6 швеллер №22У
6 4 2 4 8 25 5 двутавр №16
7 6 3 4 10 16 8 швеллер №12У
8 8 4 2 15 20 4 двутавр №14
9 4 3 5 20 12 3 швеллер №14У
10 6 4 3 25 8 5 двутавр №12
Указания. Для построения эпюр поперечной силы Qy и изгибающего момента Мx применяют метод сечений, при этом проводят сечения, начиная с участка на свободном конце. После построения эпюр необходимо проверить скачки на эпюрах и законы изменения внутренних силовых факторов, вытекающие из дифференциальных зависимостей между q, Qy и Мx.
При использовании условия прочности при изгибе осевой момент сопротивления поперечного сечения для двутавра берется из стандарта [7], а для швеллера - из стандарта [8].
Пример. Для балки, показанной на рисунке 8, а дано: F=20 кН, M=25 кНм, q=6 кН/м , l=8 м, a1/a=3, a2/a=4, [σ]=160 МПа. Профиль балки - швеллер
№18аУ.
Решение: вначале определим длины участков балки:
. 4 , 2 2 , 3 4 , 2 8
; 2 , 3 4
; 4 , 2 3 8
, 0 10 / 8
10
2 1 3
2 1
м a
a а l
м a
м a a
м a l
м a a l
14 Рисунок 8
Проводим сечения на участках балки, начиная со свободного конца, и определяем внутренние силовые факторы в поперечных сечениях через внешнюю нагрузку, приложенную слева от рассматриваемых сечений (рисунок 8, б). Для первого участка имеем:
1 1
1
1 1
: 0
; ;
y ky x k 2
лев лев
I I z a
Q F q z M M q z z
. 3 , 2 17
4 , 6 2
; 2 0 0
; 4 , 14 4
, 2 6
; 0 0
2 1
1 1
1 1
1 1
1 1
а кНм а
q M
a z M
z
a кН q Q
a z Q
z
x x
y y
15
Строение эпюры Qy и Мx на первом участке. Так как интенсивность распределенных сил q постоянна, Qy меняется по линейному закону, а Мx по параболе. Знак Qy на участке не меняется, поэтому будет только одна ветвь параболы Мx (рисунки 8, с, d).
Для второго участка:
2 3
1 2
1 2 1 2 2
: 0
( )
( ) ; ( ) ;
y ky x k 2
лев лев
II II z a
a z
Q F q a z F M M q a z F z
; 6 , 5 20 4 , 2 6
0 1
2 Q q a F кН
z y
; 4 , 14 4
, 2 6 ( 1
3
2 a Q q a кН
z y
; 3 , 2 17
4 , 6 2 0 2
2 2
1
2 а кНм
q M
z x
. 1 , 21 4
, 2 2 20
8 , 6 4 2
)
( 2
3 2
3 1 3
2 а а F a кНм
q M
a
z x
Строим эпюру Qy на втором участке (рисунок 8, с). Здесь Qy меняется по линейному закону и при этом меняет знак на участке, поэтому в сечении, где Qy=0 изгибающий момент Мx имеет экстремум, то есть в этом сечении будет вершина параболы. Для определения экстремума Мx вначале определяем координату z2* сечения, приравняв нулю Qy:
. 93 , 0 4 , 6 2
* 20
* 0
*)
( 1 2 1 2 2 a1 м
q z F q z F a F
z a q
Qy
Подставляем найденное значение координаты в выражение Мx и определяем экстремальное значение Мx:
. 7 , 14 93
, 0 2 20
) 93 , 0 4 , 2 6 ( 2 *
*)
* (
2 2
2 2
1 z F z кНм
q а
Mx
Строим эпюру Мx (рисунок 8, d).
Для третьего участка:
3 2
1 3
1 3
1 3 3 3 3
: 0
( ) 6 (2, 4 2, 4) 20 8,8 ;
( ) ( ) ;
2
y ky
лев
x k
лев
III III z a
Q F q a a F кН
a а
M M q a а z F а z M
16
; 9 , 3 25 4 , 2 2 20
8 , 6 4 2
) 0 (
2 3
2 3 1
3 а a F a M кНм
q M
z x
. 3 , 24 25
) 2 , 43 , 2 ( 20 2 , 2 3
8 , 8 4 , 4 6
) 2 (
)
( 1 3 1 3 2 3 2
2 3
кНм
M a
a F а a
а а а q M
a
z x
Строим эпюры Qy и Мx на третьем участке (рисунки 8, с, d). Поскольку на участке нет распределенных сил, поперечная сила Qy постоянна, а изгибающий момент Мx меняется по линейному закону.
Проверим скачки на эпюрах: на эпюре Qy в сечении, где приложена внешняя сосредоточенная сила F, имеется скачок, равный величине этой силы; на эпюре Мx в сечении, где приложен внешний момент М, имеется скачок, равный величине этого момента. В сечении, где имеется жесткая заделка, на эпюрах имеются скачки, равные соответственно реакции жесткой заделки и моменту жесткой заделки.
Применим условие прочности при изгибе: [ ]
max
max
х х
W М
. Здесь максимальное значение изгибающего момента по модулю берется из эпюры Мx, осевой момент сопротивления поперечного сечения Wx для швеллера
№18аУ из стандарта ГОСТ 8240-97 [8]: Wx=132 см3.
Вычисляем максимальное нормальное напряжение в опасном сечении балки и сравниваем его с допускаемым:
].
[ 1
, 10 184
132 10 3 , 24
3 max 6
max
МПа
W М
х х
Поскольку максимальное нормальное напряжение превышает допускаемое, подсчитываем перегруз:
%.
1 , 15
% 160 100
160 1 ,
% 184 ] 100
[ ]
max [
Если перегруз не превышает 4%, то можно сделать заключение, что условие прочности приближенно выполняется. В нашем случае делаем вывод, что условие прочности не выполняется, и продолжаем расчет. Подберем швеллер из условия прочности следующим образом:
max 6
3 3 3
24,3 10
151,9 10 151,9 .
[ ] 160
х х
W М мм см
17
По стандарту ГОСТ 8240-97 подбираем в качестве подходящего швеллер №20У, для которого осевой момент сопротивления Wx=152 см3.
Ответ: для заданного по условию швеллера №18аУ условие прочности не выполняется, для швеллера №20У условие прочности выполнено.
2.2 Расчет вала на прочность при изгибе с кручением
На вал насажены шкив диаметра D1 с вертикальными ветвями ремня и два одинаковых шкива диаметра D2 с горизонтальными ветвями ремня (рисунок 9). Шкив диаметра D1 вращается с угловой скоростью ω и передает мощность Р. Каждый из двух других шкивов передает мощность Р/2.
Значения мощности, угловой скорости, размеры участков вала и диаметры шкивов даны в таблице 4.
Требуется:
1) определить приложенные к шкивам моменты М1 и М2; 2) построить эпюру крутящих моментов Т;
3) определить окружные усилия на шкивах Ft1 и Ft2;
4) определить давления на вал со стороны шкивов F1=3Ft1 и F2=3Ft2; 5) определить вертикальные реакции опор от действия вертикального
давления F1 и построить эпюру изгибающих моментов в вертикальной плоскости Мх;
6) определить горизонтальные реакции опор от действия горизонтальных давлений F2 и построить эпюру изгибающих моментов в горизонтальной плоскости Му;
7) построить эпюру суммарного изгибающего момента Ми;
8) найти опасное сечение и определить значение максимального расчетного момента по третьей теории прочности;
9) подобрать из расчета на прочность диаметр вала, приняв допускаемое нормальное напряжение [σ]=200 МПа.
Указания. Рассматриваемый вал находится под одновременным действием изгиба и кручения. Условие прочности в случае совместного действия изгиба и кручения для валов с круглым или кольцевым поперечным сечением совпадает по форме с условием прочности при изгибе, в котором расчетный момент определяется с учетом крутящего и изгибающего моментов. Полученное из условия прочности значение диаметра округляют до ближайшего большего четного числа или числа, делящегося на 5 без остатка.
18 Рисунок 9 Таблица 4
Вариант Р, кВт ω, рад/c a, м b, м c, м D1, м D2, м
1 30 20 0,4 0,4 0,4 0,5 0,2
2 48 20 0,5 0,5 0,5 0,6 0,2
3 56 40 0,6 0,6 0,6 0,7 0,5
19 Продолжение таблицы 4
Вариант Р, кВт ω, рад/c a, м b, м c, м D1, м D2, м
4 32 20 0,5 0,5 0,5 0,8 0,4
5 60 40 0,8 0,8 0,8 1,0 0,8
6 33 15 0,6 0,6 0,6 1,1 0,5
7 36 10 0,4 0,4 0,4 1,2 0,5
8 45 15 0,8 0,8 0,8 1,0 0,6
9 30 50 0,4 0,4 0,4 0,6 0,4
10 20 40 0,5 0,5 0,5 1,0 0,4
Пример. Для вала, изображенного на рисунке 10 дано: Р=24 кВт, ω=40 рад/c, а=b=c=0,6 м, D1= 0,8 м, D2= 0,5 м, [σ]=200 МПа.
Решение: определяем моменты на шкивах:
3 1
1 2
24 10
600 0, 6 ;
40 0,3 . 2
М Р Нм кНм
М М кНм
Найдем окружные усилия на шкивах:
1 1
1 2 2
2
0, 6 1,5 ; / 2 0,8 / 2
0,3 1, 2 . / 2 0,5 / 2
t
t
F М кН
D
F М кН
D
Рисунок 10
20
Определяем силы давления шкивов на вал:
1 1
2 2
3 3 1,5 4,5 ; 3 3 1, 2 3, 6 .
t t
F F кН
F F кН
Выполним расчетную схему вала, показав приложенные к шкивам моменты, оси x, y и z, а также обозначив сечения, где расположены подшипники, А и В, остальные сечения вала С, D и Е (рисунок 11, а).
Построим эпюру крутящих моментов Т (рисунок 11, b).
Рассмотрим изгиб вала в вертикальной плоскости под действием вертикального давления F1 (рисунок 11, с). Покажем вертикальные составляющие реакций подшипников в точках А и В и найдем их из уравнений равновесия:
1 1
1 1
4, 5 0, 6
0; ( ) 0 2, 25 ;
0, 6 0, 6 4, 5 0, 6
0; ( ) 0 2, 25 .
0, 6 0, 6
вер вер
А B B
вер вер
В А А
М R a b F a R F a кН
a b
М R a b F b R F b кН
a b
Выполним проверку правильности определения реакций:
0; вер вер 1 2, 25 2, 25 5 0.
ky A B
F R R F
Определяем изгибающие моменты Mx в сечениях вала:
2, 25 0, 6 1,35 ; 0.
вер
xC C A
лев
xА xВ xD xE
M M R а кНм
M M M M
Построим по найденным значениям эпюру Mx на сжатом волокне, как показано на рисунке 11, d.
21 Рисунок 11
22
Рассмотрим изгиб вала в горизонтальной плоскости под действием горизонтальных давлений F2 (рисунок 11, е). Покажем горизонтальные составляющие реакций подшипников в точках А и В и найдем их из уравнений равновесия:
2 2
2
2 2
2
0; ( ) ( ) (2 ) 0
(3 2 2 ) 3, 6 (3 0, 6 2 0, 6 2 0, 6)
12, 6 ; 0, 6 0, 6
0; ( ) ( ) 0
(2 ) 3, 6 (2 0, 6 0, 6)
5, 4 . 0, 6 0, 6
гор
А B
гор B
гор
А A
гор A
М R a b F а b с F a b с
F а b с
R кН
a b
М R a b F с F с a
F c a
R кН
a b
Выполним проверку правильности определения реакций:
0; гор гор 2 2 5, 4 12, 6 2 3, 6 0.
kx A B
F R R F
Знак горизонтальной составляющей реакции подшипника А показывает, что ее действительное направление противоположно показанному на рисунке.
Определяем изгибающие моменты My в сечениях вала:
2
0;
5, 4 0, 6 3, 24 ;
( ) 5, 4(0, 6 0, 6) 6, 48 ; 3, 6 0, 6 2,16 .
yА yE
гор
yC C A
лев
гор
yВ В A
лев
yD D
прав
M M
M M R а кНм
M M R а b кНм
M M F а кНм
Для проверки также найдем изгибающий момент в сечении В как сумму моментов внешних сил, расположенных справа от сечения:
2 ( ) 2 3, 6 (0, 6 2 0, 6) 6, 48 .
yB В
прав
M
M F c а F c кНм Построим по найденным значениям эпюру My на сжатом волокне, как показано на рисунке 11, f.Определяем суммарные изгибающие моменты Mи в сечениях вала:
2 2 2 2
2 2
2 2
0;
1, 35 3, 24 3, 51 ; 6, 48 ;
2,16 .
иА иE
иC xC yC
иВ xВ yВ
иD xD yD
M M
M М М кНм
M М М кНм
M М М кНм
Построим по полученным значениям эпюру Mи, как показано на рисунке 11, g.
Условие прочности при совместном действии на вал изгиба и кручения имеет вид:
23
max расч [ ].
экв
х
М
W
Здесь эквивалентное напряжение определяется в опасном сечении, т.е. в сечении с наибольшим расчетным моментом.
По третьей теории прочности расчетный момент находится по формуле:
2 2
расч и .
М М Т
Из эпюры крутящих моментов Т и суммарных изгибающих моментов Mи видим, что опасным является сечение В. Вычисляем расчетный момент в этом сечении:
max 2 2
6, 48 0, 6 6, 1 . Мрасч кНм
Из условия прочности найдем осевой момент сопротивления сечения:
max 6
3 3
6,51 10
32,55 10 .
[ ] 200
расч х
W М мм
Так как для круглого сечения
3
0,1 3 х 32
W d d
, то
3 3 3 32,55 10
10 6,88 68,8 .
0,1 0,1
Wх
d мм
Округляя до большего четного числа, окончательно принимаем диаметр вала d=70 мм.
Ответ: d=70 мм.
24
Список литературы
1 Динасылов А.Д. Прикладная механика. Основы расчетов на прочность и жесткость. - Алматы: АИЭС, 2009.
2 Сопротивление материалов: пособие по решению задач. / под ред.
Миролюбова И.Н. - СПб.: БХВ-Петербург, 2009.
3 Эрдеди А.А. Теоретическая механика. Сопротивление материалов. – М.:Академия, 2010.
4 Сапрыкин В.Н. Техническая механика. - М.: ЭКСМО, 2008.
5 Олофинская В.П. Техническая механика. - М.: Форум-Инфра, 2007.
6 ГОСТ 8509-93. Уголки стальные горячекатаные равнополочные.
Сортамент
7 ГОСТ 8539-89. Двутавры стальные горячекатаные. Сортамент 8 ГОСТ 8540-97. Швеллеры стальные горячекатаные. Сортамент
Содержание
Введение ... 3
1. Расчетно-графическая работа №1 ... 3
1.1. Проверка прочности стержневой конструкции ... 3
1.2.Расчет вала на прочность при кручении ... 7
2. Расчетно-графическая работа №2... 11
2.1. Расчет балки на прочность при поперечном изгибе ... 12
2.2. Расчет вала на прочность при изгибе с кручением ... 17
Список литературы ... 24
Сводный план 2020 года, поз. 69
Роза Кайрулловна Койлыбаева
РАСЧЕТЫ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ НА ПРОЧНОСТЬ Задания и методические указания по выполнению расчетно-графических
работ для студентов образовательных программ 6В07111 – Космическая техника и технологии,
6В07112 – Космическая инженерия
Редактор: Даркембаева Р.Д.
Специалист по стандартизации: Данько Е.Т.
Подписано в печать ___.___.___ Формат 60х84 1/16
Тираж __50_ экз. Бумага типографская №1
Объем 1,5 уч.-изд.л. Заказ. Цена 750 тенге
Копировально-множительное бюро некоммерческого акционерного общества
«Алматинский университет энергетики и связи имени Гумарбека Даукеева»
050013, г. Алматы, ул. Байтурсынова, 126/1
