X T2i  XT2 ti , YT2i YT2 ti , ZT2i ZT2 ti , i1,5 Решение задачи синтеза механизма проведено с использованием метода интерполирования

СИНТЕЗ НАПРАВЛЯЮЩЕГО ПРОСТРАНСТВЕННОГО МЕХАНИЗМА С ЗАМКНУТЫМ ИЗМЕНЯЕМЫМ КОНТУРОМ

ПО ЗАДАННЫМ ПОЛОЖЕНИЯМ ВЫХОДНЫХ ТОЧЕК О. Канлыбаев, М.О. Саткалиева

ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, Астана

Рассмотрим задачу синтеза направляющего пространственного механизма V класса общего вида с замкнутым изменяемым контуром в соответствии с рисунком по заданным положениям входных звеньев 1 и 7

_1i ₁ t_i , _7i ₇ t_i (1) и выходных точек T₁, T₂ соответственно шатунных звеньев 3, 5

X_T1i  X_T1 t_i , Y_T1i Y_T1 t_i , Z_T1i Z_T1 t_i , i1,5.

X _T2i  X_T2 t_i , Y_T2i Y_T2 t_i , Z_T2i Z_T2 t_i , i1,5

Решение задачи синтеза механизма проведено с использованием метода интерполирования. Для решения задачи синтеза кинематической цепи DENM механизма по заданным положениям выходной точкойT₂ звена 5 (EN) [1], в котором приближающая окружность точки N радиусом l_NM =l_6 с центром в точке M звена 6 (NM) определяется как линия пересечения сферы с координатами X_M1,Y_M1,Z_M1 и плоскости, удобно использовать выражения взвешенных разностей [2].

ql₆²l₆²_, (2) q_i ax_5Niby_5Ni cz_5Ni 10 (3) где l_6 – расстояние между точками N звена 5 и M₁

l₆²_ X_M1X_Ni ² Y_M1Y_Ni ² Z_M1Z_Ni², (4) c

b

a, , – коэффициенты уравнения приближающей плоскости.

Ni Ni Ni M M

M Y Z X Y Z

X ₁, ₁, ₁, , , – соответствующие координаты точек M₁ (центра сферы) и N звена 5(EN) в абсолютной системе координат OXYZ. По условию синтеза координаты точки N звена 5 (EN), которому принадлежат локальные координаты выходной точки T₂, в абсолютной системе координат OXYZ определяются с использованием обобщенного метода символических обозначений преобразования координат [3] в виде

X_N x_5Ncos(₄₅)z_5Nsin(₄₅)X_N^' ,

Y_N y_5Ncos₅Y_N^' ,

Z_N x_5Nsin(₄₅)z_5Ncos(₄ ₅))Z_N^' , (5)

где X_N^' a₀₄a_5,4cos₄, Y_N^' b₀₄b_5,4,, Z_N^' c₀₄a_5,4sin₄.

Синтезу подлежат 10 неизвестных геометрических параметров кинематической цепи DENM механизма. Из них 7 параметров: x_5N, y_5N, z_5N,

M M

M Y Z

X , , , l_NM – параметры синтезируемого звена 6 (NM) и 3 параметра

1 1 1, _M , _M

M Y Z

X – координаты центра сферы.

Вычисление пяти параметров рассмотрим на примере одного из вариантов: X_M1,Y_M1,Z_M1,y_5N,l_NM1.

Выражение взвешенной разности (2) с учетом уравнений координат точкиN запишем в виде обобщенного полинома.

( , ) ( , ) ( , ) ( , ),

) , ( )

, ( )

, (

4 1 4

1 6 4 3 4 1 5 5 4 1 4 4

4 1 3 3 4 1 2 2 4 1 1 1





























F f

p p f

p f

p

f p f

p f

p q

















 (6)

где

p₁X_M1, f₁(₁,₄)2[x_5Ncos(₄₅)z_5Nsin(₄₅)X_N^' ], p₂ Y_M1, f₂(₁,₄)2Y_N^' ,

p₃Z_M1, f₃(₁,₄)2[x_5Nsin(₄₅)z_5Ncos(₄₅)Z_N^' ],

Y

Z

O

xD

x1

₁ 1

z1

u2 A x2

2 w2

B z3

3

₂

C F

8 K 6

N 5

₆ M

7 R

yR

₄ E 4

D

yD zD

xR

X y1

z2 v2

y2

u3 x3

v3

3

y3

w3

z8

u8

x8

w

8

v8

y8

₈

w6

z6

u6

x6 y6

v6

v5

y5

w

5

z5

x5

u5 ₅

w7 z7

y7

v7

u7

x7 ₇

u4

x4

y4 w

4 z4

v4

zR

O1

T1

T2

p₄  y_5N, f₄(₁,₄)2Y_N^' cos₅,

p₅ X_M²₁Y_M²₁Z_M²₁y₅²_N l_NM² _1, f₅(₁,₄)1,

p₃p₄  y_5NY_M1, f₆(₁,₄)2cos₅,

).

( ) (

)) (

2 sin 2

)]

cos(

) sin(

[ 2

)]

sin(

) cos(

[ 2 ) , (

2 ' 2 ' 2 ' 2

5 2 5 5

4 5

5

5 4 '

5 4 '

5

5 4 '

5 4 '

5 4

1

N N N N

N N

N

N N

N

N N

N

Z Y X z

x z

x

Z X

z

Z X

x F





























































При решении задачи синтеза по методу интерполирования для четырех заданных положений механизма отклонения взвешенной разности должны равняться нулю. С учетом этого, из выражения (6) имеем

       

 ,   ,   ,  0, 1,5.

, ,

, ,

2 1 2

1 6 4 3 2 1 5 5

2 1 4 4 2 1 3 3 2 1 2 2 2 1 1 1



















i F

f p p f

p

f p f

p f

p f

p

i i i

i i

i

i i i

i i

i i

i



























 (7)

Решая систему уравнений (7) получим квадратное уравнение относительно неизвестного p₄.

k₁p₄²k₂p₄k₃ 0. (8)

Решая уравнение (8), определяем геометрические параметры кинематической цепи DENM механизма по формулам:

.

, ,

, ,

5 2 4 2 3 2 2 2 1 1

4 5 3 1 2 1 1 1

p p p p p l

p y p Z p Y p X

NM

N M

M M



















Вычисление остальных пяти параметров: x_5N,z_5N,X_M,Y_M,Z_M

проводим с использованием выражения взвешенной разности (3)

q_i ax_3Ci by_3Ci cz_3Ci 10, i1,5. С учетом координат точки N запишем систему пяти уравнений в виде

aX_N1bY_N1cZ_N11, aX_N2bY_N2cZ_N2 1,

3 1

3

3 _N  _N 

N bY cZ

aX ,

aX_N4bY_N4cZ_N4 1,

5 1

5

5 _N  _N 

N bY cZ

aX . (9) Из первых трех уравнений определяем коэффициенты приближающей плоскости



¹

a ,



²

b ,



³

c , если ≠0. (10) Для решения задачи синтеза указанных пяти параметров составляем систему

трех алгебраических уравнений, состоящих из двух уравнений системы (9) и квадратного уравнения (8). Решая полученную систему трех алгебраических уравнений, после соответствующих преобразований получим

0 ) ( )

( )

( )

( )

( ^{0 4} ₃ ³ ₂ ^{2 2} ₁ ³ ₀ ⁴

4 z x T z x T z x T z x T z 

T ,

, 0 ) ( )

( )

(

) ( )

( )

( )

(

6 0 5

1 2 4 2

3 3 3 4 2 4 5 5 6 0 6

















z S x z S x z S

x z S x z S x z S x z

S . (11) где x =x_5N, y =y_5N, z=z_5N.

Система уравнений (11) содержит неизвестные x и z. Исключая неизвестное получим алгебраическое уравнение 24 степени относительно неизвестного z. Решая данное уравнение, находим вещественные решения относительно неизвестного, число которых определяется по теореме Штурма. Для положительных вещественных значений неизвестного z определяем значения остальных неизвестных x =x_3C, y =y_3C. В частном случае, когда одна из двух подвижных систем координат принимается за неподвижную систему, совпадающую с абсолютной системы координат OXYZ, координаты x_M,y_M, z_M (центра окружности) приравниваются к координатам точки M : X_M,Y_M,Z_M. Следовательно, основание перпендикуляра, опущенного из центра сферы точкиM₁к плоскости, определяет координаты X_M,Y_M,Z_M центра M приближающей окружности

X_M X_M1Q_xd, Y_M Y_M1Q_xd, Z_M Z_M1Q_xd , (12)

где 2 2 2

c b a Q_x a



  ,

2 2

2 b c

a Q_y b



  ,

2 2

2 b c

a Q_z c



  -направляющие

косинусы оси вращательной пары в точке D звена 4;

2 2 2

1 1

1 1

c b a

cZ bY

d aX^{M M M}









  . (13) Длина звена 6(NM), т.е. радиус окружности, определяется по формуле

l_6(NM)ф  (X_MX_N)²(Y_M Y_N)²(Z_M Z_N)² . (14) Для кинематической цепи DENM механизма определены 10 геометрических параметров: x_5N, y_5N, z_5N,X_M,Y_M,Z_M, l_NM, X_M1,Y_M1,Z_M1.

Для решения задач синтеза кинематической цепи ABCD механизма по заданным положениям выходной точки T₁ звена 3 (BC), в котором

приближающая окружность точки C радиусом l_CD=l_4 с центром в точке D звена 4 (CD) определяется как линия пересечения сферы с координатами

1 1 1, _D , _D

D Y Z

X и плоскости, удобно использовать выражения взвешенных разностей [2].

ql₄²l₄²_, (15) q_i ax_3Ci by_3Ci cz_3Ci 10, (16) Синтезу подлежат 10 неизвестных геометрических параметров кинематической цепи ABCD механизма. Из них 7 параметров: x_3C,y_3C,z_3C,

D D D Y Z

X , , ,l_CD – параметры синтезируемого звена 4 (CD) и 3 параметра

1 1 1, _D , _D

D Y Z

X – координаты центра сферы.

Вычисление пяти параметров рассмотрим на примере одного из вариантов: X_D1,Y_D1,Z_D1, y_3C,l_CD1.

Выражение взвешенной разности (15), с учетом координат точки C звена 3, которому принадлежат локальные координаты выходной точки T₁

звена 3 (BC), запишем в виде обобщенного полинома.

( , ) ( , ) ( , ) ( , ),

) , ( )

, ( )

, (

2 1 2

1 6 4 3 2 1 5 5 2 1 4 4

2 1 3 3 2 1 2 2 2 1 1 1





























F f

p p f

p f

p

f p f

p f

p q

















 (17)

При решении задачи синтеза по методу интерполирования для пяти заданных положений механизма отклонения взвешенной разности должны равняться нулю. С учетом этого, из выражения (17) имеем

       

 ,   ,   ,  0, 1,5.

, ,

, ,

2 1 2

1 6 4 3 2 1 5 5

2 1 4 4 2 1 3 3 2 1 2 2 2 1 1 1



















i F

f p p f

p

f p f

p f

p f

p

i i i

i i

i

i i i

i i

i i

i



























 (18)

Решая систему уравнений (18) методом исключения неизвестных, получим квадратное уравнение относительно неизвестного p₄.

k₁p₄²k₂p₄ k₃ 0. (19)

Выбирая положительные значения остальных неизвестных p₁,p₂,p₃, определяем геометрические параметры кинематической цепи ABCD механизма по формулам:

.

, ,

, ,

5 2 4 2 3 2 2 2 1 1

4 3 3 1 2 1 1 1

p p p p p l

p y p Z p Y p X

CD

C D

D D



















Вычисление остальных пяти параметров: x_3C,z_3C,X_D,Y_D,Z_D

проводим с использованием выражения взвешенной разности (16)

q_i ax_3Ci by_3Ci cz_3Ci 10, i1,5. (20)

Определяем коэффициенты



 ¹

a ,



 ²

b ,



 ³

c , если  ≠ 0.

Для решения задачи синтеза указанных пяти параметров составляем систему трех алгебраических уравнений, состоящих из двух уравнений системы (20) и квадратного уравнения (18). После соответствующих преобразований получим

T₄(z⁰)x⁴T₃(z )x³T₂(z²)x²T₁(z³)x T₀(z⁴)0,

, 0 ) ( )

( )

(

) ( )

( )

( )

(

6 0 5

1 2 4 2

3 3 3 4 2 4 5 5 6 0 6

















z S x z S x z S

x z S x z S x z S x z

S (21)

где x =x_3C, y =y_3C, z=z_3C.

Решение системы уравнений аналогично решению системы уравнений (11). Для положительных вещественных значений неизвестного z определяем значения остальных неизвестных x =x_3C, y =y_3C. Определяем координаты центра приближающей плоскости

X_D  X_D1Q_xd, Y_D Y_D1Q_xd, Z_D Z_D1Q_xd. Длина звена 4 (CD), т.е. радиус окружности, определяется по формуле l_CDф  (X_DX_C)² (Y_D Y_C)²(Z_DZ_C)² .

Определены 10 параметров кинематической цепи ABCD механизма: x_3C

,y_3C,z_3C,X_D,Y_D,Z_D,X_D1,Y_D1,Z_D1,l_CD.

Заключение. Таким образом, по пяти заданным положениям точек двух выходных шатунных звеньев механизма определены 20 параметров:

x_5N, y_5N, z_5N, l_NM,X_M,Y_M,Z_M X_M1,Y_M1,Z_M1, x_3C,y_3C,z_3C,X_D,Y_D,Z_D,X_D1,Y_D1,Z_D1,l_CD.

Литература:

1. Зиновьев В.А. Пространственные механизмы с низшими парами. – М.:

Гостехиздат, 1952. – 432с.

2. Артоболевский И.И., Левитский Н.И., Черкудинов С.А. Синтез плоских механизмов. – М.: Госиздат, 1959. – 1084 с.

3. Шет и Уикер мл. Обобщенная система символических обозначений механизмов. // Конструирование и технология машиностроения. – №1, 1971.

– С. 96-106.